ANOVA y ANCOVA

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Esquema (1)
1. Análisis de la Varianza de 1 Factor
(Muestras independientes)
Análisis de la Varianza
y de la Covarianza
2. Análisis de la Varianza de 1 Factor
(Muestras relacionadas)
3. Análisis de la Varianza de 2 Factores
ANOVA y ANCOVA
4. Análisis de la Covarianza
5. Análisis con más de 2 Factores
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Comparar varios grupos respecto a una variable
cuantitativa.


Analizar la asociación entre una variable
cualitativa y una variable cuantitativa.
(Recordemos la equivalencia entre Comparación
y Asociación)
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas
La más conveniente es el Análisis de la Varianza.
B) No se cumple (A)
Tres opciones:
1) Transformar los datos para llegar a (A)
2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza
(es una prueba muy robusta)
3) Prueba no paramétrica de Kruskal-Wallis
J.F. Casanova
Pruebas utilizadas:

Prueba de Bartlett
(conveniente para distribuciones Normales)

Prueba de Levene
(conveniente para distribuciones No Normales)
ANOVA y ANCOVA
5
ANOVA y ANCOVA
4
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Planteamiento
Comparación de más de 2 Varianzas
ANOVA y ANCOVA
2
Análisis de la Varianza de 1 Factor
3
Análisis de la Varianza de 1 Factor
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
Pruebas utilizadas
Objetivos

J.F. Casanova
1

Medir: el efecto estudiado (efecto factorial)
mediante las desviaciones de las medias de cada
muestra respecto a la media global.

Medir: el efecto residual (resto de efectos)
mediante las desviaciones de los datos de cada
muestra respecto a la media de esa muestra.

Comparar: Efecto factorial demasiado
superior al residual como para explicarlo por el
“azar”  No todas las medias son iguales.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
6
1
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Procedimiento
Efectos

x1
x3
x
Varianza Factorial:
VF 
Residual
 n x
i
 x
2
i
k 1
•Numerador:
x2
“Dispersión Factorial”, DF
•Denominador:
“Grados de Libertad Factoriales”, F
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Procedimiento

J.F. Casanova
7
 x

Estadístico de Contraste:
FEXP 
 xi 
2
i
nk

•Numerador:
ANOVA y ANCOVA
VF
VR
Distribución para H0
(todas las medias grupales iguales):
F de Snedecor con 1 = F y 2 = R
“Dispersión Residual”, DR
•Denominador:
“Grados de Libertad Residuales”, R
J.F. Casanova
8
Análisis de la Varianza de 1 Factor
Varianza Residual:
VR 
ANOVA y ANCOVA
•
Si FEXP supera el valor teórico se
rechaza H0
J.F. Casanova
9
ANOVA y ANCOVA
10
Comparaciones Múltiples
Análisis de la Varianza: Terminología
Situación

“Análisis” = “Descomposición”


ANOVA estadísticamente significativo:
Alguna media grupal es diferente

Para detectarla, se comparan las medias 2 a 2

No se usa directamente la t de Student:
Puede demostrarse que la “Dispersión Total”
D T   x i  x 
2
La probabilidad de encontrar alguna diferencia
significativa por error se iría acumulando
coincide con la suma de las Dispersiones
Factorial y Residual.
Acrónimo: ANOVA
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA

(ANalysis Of VAriance)
ANOVA y ANCOVA
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Varias Soluciones

Una simple: Bonferroni

Una típica: Newman-Keuls
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
12
2
Método de Newman-Keuls
Método de Bonferroni


A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES
Como el error  iría aproximadamente
sumándose, se corrige este efecto

usando la t de Student

pero a un nivel de error  / C, donde C es el
número de comparaciones
1) Se numeran todas las medias de menor a mayor:
x1 , ..., x k
2) Se comparan las dos extremas: x1 con x k
3) Si es significativa, se toman dos grupos de k-1
medias: x1 , ..., x k 1 y x 2 , ..., x k
4) Se comparan en cada grupo las dos extremas y, si
son significativas, nuevamente se forman dos grupos,
de k-2 medias
INCONVENIENTE: Al aumentar el número de
grupos, C crece mucho y baja la potencia.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
J.F. Casanova
13
Método de Newman-Keuls
ANOVA y ANCOVA
14
Método de Newman-Keuls
A) ORDEN DE LAS COMPARACIONES
NOTA:
5)
Pueden darse “PARADOJAS”, como:
Se continúa el proceso hasta que llegamos a 2
muestras o cuando alguna comparación resulta
no significativa. En este caso, se declaran
homogéneas todas las medias del grupo.
x1 hom ogénea a x 2
> x diferente a x
1
x 2 hom ogénea a x 3
3
EXPLICACIÓN: “Homogénea” no quiere
decir “igual”, sino que “no se ha demostrado
con suficiente probabilidad la diferencia.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
J.F. Casanova
15
Método de Newman-Keuls
No solo interesa saber si existe o no relación entre
el factor y la respuesta, sino también cuál es su
intensidad. Es decir, el “TAMAÑO DEL EFECTO”.
 Uno de los índices para evaluarlo en ANOVA es

El estadístico de contraste es:
q ij 
siendo:
sij 
sij
VR  1 1 

2  n i n j 
𝜂2 =
* Bajo la H0 ( x i  x j ) sigue la distribución de NewmanKeuls, que depende de R y de R, el “Rango” (número de
medias que hay en el grupo que se compara).
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
ANOVA y ANCOVA
16
Tamaño del Efecto
B) PROCEDIMIENTO DE CADA
COMPARACIÓN
xi  x j
ANOVA y ANCOVA
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𝐷𝐹
= 𝑅2
𝐷𝑇
Representa la proporción de la variabilidad de la
respuesta atribuible a su relación con el factor.

J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
18
3
Análisis de la Varianza de 1 Factor.
Muestras relacionadas
Tamaño del Efecto
Es equivalente al Coeficiente de Determinación,
R2, en los modelos de regresión.
 Este índice evalúa correctamente dicha proporción
de variabilidad en la muestra, pero resulta sesgado
para estimarla en la población.
Para corregir ese inconveniente, puede sustituirse
por este otro:
𝐷𝐹 − (𝑘 − 1)𝑉𝑅
𝜔2 =
𝐷𝑇 + 𝑉𝑅
Pruebas utilizadas

J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
A) Poblaciones Normales y Varianzas Homogéneas
La más conveniente es el Análisis de la Varianza.
B) No se cumple (A)
Tres opciones:
1) Transformar los datos para llegar a (A)
2) Si no se está lejos de (A), Análisis de la Varianza
(es una prueba muy robusta)
3) Prueba no paramétrica de Friedman
J.F. Casanova
19
Análisis de la Varianza de 1 Factor.
Muestras relacionadas
Planteamiento
Tenemos el mismo grupo de individuos en k
situaciones distintas y queremos comparar
los resultados en esas situaciones
* También llamado
ANOVA con MEDIDAS REPETIDAS
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA

Descomposición de la Varianza

En el ANOVA simple se hacía la descomposición:
Dispersión:
DT = DF + DR
Grados de Libertad: T =  F +  R

En el ANOVA de Muestras relacionadas:
Dispersión:
DT = DF + DI + DR
Grados de Libertad: T =  F +  I +  R
ANOVA y ANCOVA
ANOVA y ANCOVA
23

Tenemos n individuos y k valores distintos del
factor cualitativo

Queremos estudiar la relación del factor cualitativo
F con una variable cuantitativa X.

Al utilizar los mismos individuos en todas las
mediciones, se elimina la influencia de la variable
individuo (I) en X.

Suponemos que la influencia de F en X no depende
del individuo (No hay “interacción).
J.F. Casanova
21
Análisis de la Varianza de 1 Factor.
Muestras relacionadas
J.F. Casanova
20
Análisis de la Varianza de 1 Factor.
Muestras relacionadas
Ejemplo

ANOVA y ANCOVA
ANOVA y ANCOVA
22
Análisis de la Varianza de 1 Factor.
Muestras relacionadas

Efecto de desglosar la dispersión entre individuos
(DI ):
 Se reduce la dispersión residual ( DR ),
aumentando la potencia de la prueba.

Procedimiento de Análisis:
 Análogo al ANOVA simple.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
24
4
Análisis de la Varianza de 2 Factores
Análisis de la Varianza de 2 Factores
Objetivos
Condiciones de Aplicación

Estudiar la relación de cada una de dos
variables cualitativas (factores) con una
variable cuantitativa.

Estudiar la interacción entre ellas.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
Poblaciones normales y varianzas
homogéneas
(como todo ANOVA)
 Para fácil interpretación  número de
casos igual en cada combinación de factores
(o proporcional a los totales parciales)

J.F. Casanova
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valores medios de glucosa
n = 6 datos / casilla
K = KA KB
N=Kn


MEDIOS DE CULTIVO
MEDIO1
MEDIO2
MEDIO3
CORTO
34
38
36
MEDIO
22
20
24
ALTO
14
8
12
Descomposición de la Varianza
Efectos: T: Total
A: Factor Tiempo
B: Factor Medio
I: Interacción
R: Residual
DT = DA + DB + DI + DR
J.F. Casanova
Análisis de la Varianza de 2 Factores
Procedimiento
EN EL EJEMPLO
V
FA  A ≶ F (K -1, N-K) ⇘
A
VR
= F (2, 45)
VB
VR ≶ F (KB -1, N-K) ⇗
= F (2, 45)
V
FI  I ≶ F ((KA -1)(KB -1), N-K)
VR
= F (4, 45)
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
28
Comparaciones Múltiples
 Sí interacción
ANOVA 1 factor dentro de cada una de las
categorías del otro
 Comparar todas las combinaciones de factores
entre sí.


ANOVA y ANCOVA
ANOVA y ANCOVA
Análisis de la Varianza de 2 Factores
[COMO ANOVA 1 FACTOR]
FB 
26
Análisis de la Varianza de 2 Factores
Ejemplo
TIEMPO
ANOVA y ANCOVA
No interacción

29
Comparar por separado las categorías de cada
factor significativamente relacionado con la
respuesta.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
30
5
Análisis de la Covarianza (ANCOVA)
Análisis de la Covarianza (ANCOVA)
Condiciones de Aplicación
Objetivos


Estudiar la relación de una variable
cualitativa (factor) con una variable
cuantitativa.



Eliminando la influencia de una tercera
variable (cuantitativa)
(llamada covariable)
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
Los habituales del ANOVA
Existe relación lineal entre la variable respuesta y
la covariable
Para fácil interpretación
 La pendiente de la relación es similar para
los distintos valores del factor cualitativo
(No hay interacción entre factor y covariable)
J.F. Casanova
31
Ejemplo
ANOVA y ANCOVA
32
Análisis de la Covarianza (ANCOVA)
RC
Procedimiento
RCT2
RCT1
T2
Análogo al ANOVA, sustituyendo las
dispersiones y grados de libertad directos
por los ajustados.
 También en las comparaciones múltiples se
sustituye por los valores ajustados.
 Medias ajustadas: yi  bx i
donde b es la pendiente de y = a + bx

dRC,AJ
T1
EDAD
·Podemos estudiar la relación entre el Tratamiento y la Reducción de
Concentración sin que afecte la Edad
(Como si la edad fuera la misma para ambos grupos)
·La diferencia ajustada dRC,AJ no coincide con la directa, R CT 2  R CT1
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
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Análisis con más de 2 Factores
 Es
posible cualquier número de
factores y covariables
 Puede aparecer interacción de 2º orden:

La interacción entre 2 factores depende
del valor de un tercer factor.
 Las
interacciones de orden superior
suelen subsumirse en el efecto residual.
J.F. Casanova
ANOVA y ANCOVA
ANOVA y ANCOVA
35
6
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