Introduccion al Control de Procesos - prof.usb.ve.

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS
SECCIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
PROF. YAMILET SANCHEZ MONTERO
INDICE
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
INDICE
I. INTRODUCCIÓN
1
II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
UTILIDAD
2
2
2
5
9
10
ELEMENTOS BÁSICOS
SISTEMAS FLUÍDICOS
SISTEMAS MECÁNICOS
SISTEMAS TÉRMICOS
SISTEMAS ELÉCTRICOS
RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARA ELEMENTOS
12
LINEALES
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
13
LINEALIZACIÓN
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
FUNCIONES DE TRAMSFERENCIA A LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO
SISTEMA A LAZO CERRADO SOMETIDO A PERTURBACIÓN
GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL
13
13
14
14
19
1
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
4.1. RESPUESTA ANTE DIFERENTES ENTRADAS
4.1.1.
FUNCIÓN IMPULSO
4.1.2. FUNCIÓN ESCALÓN
4.1.3. FUNCIÓN RAMPA
4.1.4. FUNCIÓN PARÁBOLA
1
1
2
2
2
4.2. TIPO DE UN SISTEMA
2
4.3. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
4.3.1. SISTEMAS TIPO CERO
4.3.2. SISTEMAS TIPO UNO
3
3
5
4.4. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
9
4.4.1. SISTEMA SUBAMORTIGUADO
10
4.4.2. SISTEMA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
11
4.4.3. SISTEMA SOBREAMORTIGUADO
11
4.4.4. CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO
4.4.5. ESPECIFICACIONES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
i
12
12
YAMILET SANCHEZ MONTERO
INDICE
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
5. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS
5.1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
5.2. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
14
14
15
6. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
6.1. ENTRADA TIPO ESCALÓN
6.2. ENTRADA TIPO RAMPA
6.3. ENTRADA TIPO PARÁBOLA
6.4. ERROR A LA PERTURBACIÓN
18
19
19
19
20
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
ii
YAMILET SANCHEZ MONTERO
I. INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
I. INTRODUCCIÓN
Para el estudio de los sistemas de control es necesario definir como proceso o sistema
físico a un conjunto de componentes que actúan conjuntamente, interactuando con el
medio. Los procesos o sistemas a estudiar en este curso, serán sistemas físicos, entre
los cuales se encuentran los siguientes.
9 Mecánicos (transacionales y rotacionales)
9 Térmicos
9 Fluídicos
9 Eléctricos
Dichos procesos pueden ser representados matemáticamente de diferentes formas,
entre las cuales podemos mencionar las siguientes.
9 Ecuaciones diferenciales
9 Diagrama de bloques
9 Función de Transferencia
9 Diagrama de flujo de señal
Los pasos a seguir por un ingeniero cuando conforta un problema de control de un
sistema dinámico son los siguientes:
9 Definir el sistema y sus componentes.
9 Formular el modelo matemático
a. Hacer una lista de las suposiciones necesarias.
b. Escribir las ecuaciones diferenciales.
9 Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.
9 Examinar las soluciones para validar el modelo matemático.
9 Reanalizar el sistema, las suposiciones y diseñar.
A continuación se desarrollaran cada uno de los puntos mencionados que tengan
relación con la representación matemáticas de sistemas físicos.
En un lazo de control, los controladores pueden realizar sus funciones de distinta forma
y pueden estar incluidos, dentro de diferentes esquemas de control. De allí, la
importancia de que se conozca a profundidad las diferentes acciones que puede
ejecutar un controlador y su efecto sobre la respuesta de un sistema de control. Se
pretende introducir al estudiante en dichos conocimientos, así como, en el
entendimiento de otros esquemas de control diferentes al esquema de retroalimentación
simple.
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
1
YAMILET SANCHEZ MONTERO
I. INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
2
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS
2.1
Utilidad
9 Realizar el análisis de la respuesta del sistema ante diferentes situaciones.
9 Diseño de procesos.
9 Análisis de sensibilidad a perturbaciones.
9 Diseño de sistemas de control.
2.2
Elementos básicos
Para el modelaje de sistemas de control se pueden identificar ciertos elementos
básicos que describen el comportamiento de los sistemas.
9 Fuentes de energía: elementos que proporcionan energía proveniente del medio
externo.
9 Almacenadores de energía: elementos capaces de almacenar y ceder energía. Son
los elementos dinámicos del sistema.
9 Disipadores de energía: elementos que provocan pérdidas energéticas al medio
exterior.
9 Transformadores de energía.
A continuación se mostraran los diferentes elementos para los distintos tipos de
sistemas.
2.3
Sistemas fluídicos
Este tipo de sistemas las variables que se manejan serán la presión P y el caudal Q.
2.3.1 Fuentes
9 Fuentes de presión
Entradas al sistema
9 Fuentes de caudal
2.3.2 Almacenadores de energía
9 Almacenador de energía potencial (capacitor): Un tanque almacena energía en
forma de energía potencial por la altura de la columna fluídica.
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3
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Su relación constitutiva es:
P = ρ ⋅ g ⋅ h + P0
(asumiendo que trabajamos con presiones manométricas)
P = ρ⋅g⋅h
Derivando la relación constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento
dP d(ρ ⋅ g ⋅ h )
=
dt
dt
(como V = h · A)
dP d ⎛ ρ ⋅ g ⋅ V ⎞
= ⎜
⎟
dt dt ⎝ A ⎠
Considerando ρ, g y A constantes se obtiene una relación dinámica particular para el
caso lineal, cuya variable de estado es P.
A dP dV
⋅
=
=Q
ρ ⋅ g dt
dt
( Q = u1 + u 2 − u 3 )
Si se desea tener a la altura h como la variable de estado, la relación dinámica del
elemento se puede escribir como:
A⋅
dh
=Q
dt
9 Almacenador de energía cinética (Inercia): la masa de fluido encerrada en una
tubería almacena energía en forma de energía cinética
m, masa encerrada en la tubería
v, velocidad del fluido
La relación constitutiva en este caso será la cantidad de movimiento lineal:
p = m⋅v
(m = ρ · V = ρ · A · L)
p = ρ⋅L⋅A⋅v
Derivando se obtendrá la relación dinámica general del elemento inercia
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4
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
dp d
= (ρ ⋅ L ⋅ A ⋅ v )
dt dt
Como dP/dt es igual a la fuerza aplicada sobre m se tiene la siguiente relación general:
F=
d
(ρ ⋅ L ⋅ A ⋅ v )
dt
A⋅P =
(v = Q/A y P = F/A)
d
(ρ ⋅ L ⋅ Q )
dt
Si la densidad es constante la relación dinámica particular para el caso lineal queda
representada por la siguiente ecuación, cuya variable de estado es Q.
P=
ρ ⋅ L dQ
⋅
A dt
P… Presión total ejercida sobre la masa de fluido
2.3.3 Disipadores de energía
En general la relación constitutiva de estos disipadores son de la forma ∆P = f(Q), la
cual en los siguientes casos particulares es:
9 Pérdidas por fricción
∆P = b ⋅ Q 2
9 Pérdidas por accesorios
∆P = b ⋅ Q ó Q = b ∆P
2.3.4. Transformadores de energía
F1
= p1
A1
V1 ⋅ A1 = Q1 ;
F1
= p1 V2 ⋅ A 2 = Q1
A1
Las relaciones de entrada y salida quedan como:
F2 = F1 ⋅
A2
A1
V2 = V1 ⋅
A1
A2
Ejemplo
Para el siguiente sistema se desea obtener un modelo matemático que lo represente.
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
9 Fuentes: u1, u2.
9 Almacenadores: tanque (variable de estado = P), tubería (variable de estado = Q)
9 Disipadores: fricción, válvula.
Las ecuaciones diferenciales que va a tener en el modelo serán igual al número de
elementos almacenadores de energía, donde las variables involucradas sean
independientes. Se plantean cada una de las relaciones dinámicas expresadas en
función de variables de estado y entradas.
Tanque
A dP
⋅
= u1 + u 2 − Q
ρ ⋅ g dt
ρ ⋅ L dQ
⋅
= P − PFRICCIÓN − ∆PVÁLVULA − PO
A dt
Tubería
ρ ⋅ L dQ
⋅
= P − b1 ⋅ Q 2 − b 2 ⋅ Q
A dt
Las ecuaciones anteriores se conocen como una representación de estado.
2.4 Sistemas mecánicos
Este tipo de sistemas se pueden dividir en sistemas mecánicos traslacionales, donde
las variables que se manejan serán la fuerza F y la velocidad lineal v y sistemas
mecánicos rotacionales donde las variables que se manejan serán el torque τ y la
velocidad angular ω.
2.4.1 Fuentes
Traslacionales
Rotacionales
9 Fuentes de fuerza
9 Fuentes de torque
9 Fuentes de velocidad
9 Fuentes de velocidad angular
2.4.2 Almacenadores de energía
9 Almacenadotes de energía potencial (Capacitadores)
Traslacional: Un resorte almacena energía en forma de energía potencial
x = desplazamiento relativo entre los extremos.
F = fuerza ejercida entre los extremos del resorte.
K = constante de elasticidad, constante o f(x).
La relación constitutiva de este elemento es:
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
F=k·x
derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica tomando F como la variable de
estado
dF d
= (k ⋅ x )
dt dt
Para k constante la relación dinámica particular para el caso lineal es:
dF
= k⋅v
dt
(v es la velocidad relativa entre los extremos)
También una barra con cierta elasticidad que sufre una compresión o expansión puede
ser representada como un capacitor.
Rotacional: Resortes helicoidales también almacenan energía en forma de energía
potencial
KT = constante de elasticidad torsional.
τ = torque.
φ = desplazamiento angular entre sus extremos.
La relación constitutiva de este elemento es:
τ = KT · φ
derivando la constitutiva, para KT constante, se obtiene la relación dinámica particular
para el caso lineal , tomando τ como variable de estado
dτ
= KT ⋅ ω
dt
9 Almacenadores de energía cinética (Inercias)
Traslacional: Una masa en movimiento almacena energía en forma de energía cinética.
m = masa del elemento
v = velocidad del elemento
La relación constitutiva del elemento es:
p = m⋅v
derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento tomando v como
variable de estado.
dp d
= (m ⋅ v )
dt dt
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Para m constante se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal
F = m⋅
dv
dt
Rotacional: Una masa girando almacena energía en forma de energía potencial
J = momento de inercia
ω = velocidad angular
La relación constitutiva del elemento es:
H = j⋅ w
derivando se obtiene la relación dinámica general función de la variable de estado ω
dH d
= ( j ⋅ ω)
dt
dt
Si J es constante la relación dinámica particular para el caso lineal será:
τ=j
dω
dt
2.4.4 Disipadores de energía
Traslacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma F = f(v)
9 Roce con una superficie.
9 Resistencia al viento.
9 Un amortiguador.
b = coeficiente de fricción viscosa
x = desplazamiento relativo entre sus
extremos.
F = fuerza aplicada.
Amortiguador
v = velocidad entre sus extremos.
Este tipo de elemento proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Absorbe energía
y la disipa como calor. No almacena ni energía cinética ni potencial. Su relación
constitutiva es de la forma F = b⋅v
Rotacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma τ = f(ω)
9 Roce entre elementos que giran.
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8
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
9 Resistencia al viento.
2.4.5 Transformadores de energía
V1 = ω ⋅ L1
V2 = ω ⋅ L 2
τ = L 1 ⋅ F1
τ = L 2 ⋅ F2
→
V1 L1
=
V2 L 2
→
F1 L 2
=
F2 L 1
V = ω⋅R
R ⋅F = τ
τ1 R 1
;
=
τ2 R 2
ω1 R 2
=
ω 2 R1
Ejemplo
Considere que en la figura se muestra un esquema simplificado
de una locomotora. Donde F es la fuerza impulsora, m1 y m2 las
masa de los vagones unidos a través de un resorte y un
amortiguador (Fa = R1 Va ) y el roce con el piso se representa
como f = R2 ⋅ Vi2 (i : Vagón)
Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:
9 Fuente de fuerza. (F)
9 Almacenadores: inercia 1 (V1), inercia 2 ( V2), capacitor (FR)
9 Resistencias: Amortiguador y fricción.
Se tienen 3 elementos almacenadores independientes → 3 ecuaciones de Estado (V1,
V2, FR, F)
Inercia 1
m1 =
Inercia 2
m2
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
dV1
= F − FR − R 1 (V1 − V2 ) − R 2 ⋅ V12
dt
dV2
= FR − R1 (V1 − V2 ) − R 2 V22
dt
9
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
dFR
= k (V1 − V2 )
dt
Capacitor
2.5
Sistemas térmicos
2.5.1 Fuentes
9 Fuentes de temperatura.
9 Fuentes de flujo de calor
2.5.2 Almacenadores
En este tipo de sistemas la única forma de almacenamiento de energía es
almacenando calor, lo cual puede realizarlo cualquier elemento que posea capacidad
de almacenamiento de calor. Por ejemplo una masa como la que se muestra a
continuación.
M = masa del elemento
Cp = Calor específico del elemento
T = Temperatura del elemento
q = Flujo de calor sobre el elemento
La relación constitutiva de dicho elemento será:
m ⋅ Cp ⋅ T = q
derivando la expresión anterior se obtendrá la relación dinámica general tomando T
como variable de estado.
.
•
d
(m ⋅ Cp ⋅ T ) = q
dt
Si m y Cp son constantes, se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal.
m ⋅ Cp ⋅
dT •.
=q
dt
2.5.3 Disipadores
Se utilizan para representar mecanismos de transferencia de calor, los cuales son los
siguientes:
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Mecanismo de Transferencia de Calor
Flujo de Calor
Conducción (transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos)
K ⋅A
q=
⋅ ( ∆ T)
∆x
.
•
Convección (transferencia de calor entre un sólido y un fluido o dos fluidos)
Radiación (transferencia de calor entre una fuente luminosa y un cuerpo
.
•
q = h ⋅ A ⋅ ( ∆ T)
•
.
q = K ⋅ε ⋅T4
Ejemplo
Considere la aleta de enfriamiento que se muestre y obtenga su modelo.
9 Conducción y convección.
9 Se divide la aleta en tres elementos y se
suponen
conocidos
todos
los
parámetros
9 Variable de estado = Ti
Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:
9 Fuentes: T, To
9 Almacenadores: T1, T2, T3
9 Mecanismos de transferencia: Conducción y convección
Número de ecuaciones: tres
.
dT
K ⋅A
K ⋅A
m 1 ⋅ Cp ⋅ 1 =
⋅ (T − T1 ) −
⋅ (T1 − T 2 ) − h 1 ⋅ a 1 ⋅ (T1 − T O )
dt
∆x
∆x
.
dT
K ⋅A
K ⋅A
⋅ (T 2 − T1 ) −
⋅ (T 2 − T 3 ) − h 2 ⋅ a 2 ⋅ (T 2 − T O )
m 2 ⋅ Cp ⋅ 2 =
∆x
dt
∆x
.
dT
K ⋅A
m 3 ⋅ Cp ⋅ 3 =
⋅ (T 2 − T 3 ) − h 3 ⋅ a 3 ⋅ (T 3 − T O )
dt
∆x
2.6
Sistemas eléctricos
2.6.1 Fuentes
9 Fuentes de voltaje.
9 Fuentes de intensidad de corriente.
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
2.6.2 Almacenadores
Puesto que la relación constitutiva es lineal sólo se mostrarán las relaciones dinámicas.
Elemento
Relación dinámica
9 Capacitor
.
dV
C
=i
dt
Variable de estado: V
9 Inductancia
.
di
L
=V
dt
Variable de estado: V
2.6.3 Disipadores
Este tipo de elemento solamente tiene Relación
Constitutiva
.
V = R ⋅i
2.6.4
Transformadores
.
V1 =
1
⋅ V2
n
i1 = n . i2
n = relación de transformación
2.6.5 Leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff
9 Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). “La suma algebraica de todas las
corrientes que entran y salen de un nodo es cero”, o lo que es lo mismo “ la suma de
las corrientes que entran a una nodo es igual a la suma de las que salen del mismo”.
9 Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). “La suma algebraica de los voltajes
alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero”, o lo que es lo mismo, “la
suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje
alrededor de una malla”.
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12
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
2.7
Resumen de ecuaciones diferenciales para elementos ideales
2.7.1 Almacenadores inductivos
Inductancia fluídica
dQ
dt
P21 = I
Masa traslacional
F=M
Masa rotacional
T=J
Inercia eléctrica
v 21 = L
dv 2
dt
dw 2
dt
di
dt
2.7.2 Almacenadores capacitivos
Capacitancia Fluídica
Q = Cf
Resorte trasnacional
v 21 =
Capacitancia Térmica
q = Ct
Capacitancia eléctrica
dP21
dt
1 dF
K dt
dT2
dt
dv
i = C 21
dt
2.7.3 Disipadores de energía
Resistencia fluídica
Q=
1
⋅ P21
Rf
Amortiguador traslacional F = f ⋅ v 21
Amortiguador rotacional
T = f ⋅ w 21
Resistencia térmica
q=
1
⋅ T21
Rt
Resistencia eléctrica
i=
1
⋅ v 21
R
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Para lograr representar un proceso utilizando funciones de transferencia se debe
proceder primero a mostrar como se puede linealizar de un conjunto de ecuaciones no
lineales.
3.1.
Linealización
Suponga que en la siguiente figura se muestra una función no lineal que se desea
linealizar alrededor de un punto Po. Para ello se debe tomar la derivada de dicha
función y evaluarse en el dicho punto.
y = x2
pO(x0,y0) ≡ punto de operación
m=
dy
dx
Po
(x − x O )
m es la pendiente de la aproximación
lineal
La función linealizada quedará entonces,
y = y0 +
dy
dx
Po
y − y 0 = y*
x − x0 = x
(x − x O )
expansión hasta la primera derivada en serie de Taylor
y* = m ⋅ x *
variables de perturbación
*
En forma general, si se tiene una función f1 no lineal que depende de x variables y u
entradas
f1 = f1 ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,..., x n , u1 , u 2 ,..., u n )
La expresión lineal f1* en el punto de equilibrio p0
*
f1 =
3.2
∂f1
∂x1
*
p0
x1 + ... +
∂f n
∂x n
*
p0
xn +
∂f1
∂u1
*
p0
u1 + ... +
∂f n
∂u n
p0
un
*
Función de Transferencia
Se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la
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14
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
transformada de Laplace de la entrada, para las siguientes condiciones:
9 Condiciones iniciales iguales a cero.
9 Independiente de la entrada
9 Conocido G(s) puedo estudiar C(s) para todo C(s)
9 G(s) existe si el sistema es lineal e invariante en el tiempo
9 G es una función de s (G = f(s))
9 G(s) no aporta información sobre el sistema físico
9 Siempre se puede establecer la identificación del sistema
La función de transferencia
se puede escribir en forma general como G (s) =
donde D(s) = 0 se conoce
como
la ecuación
característica
del
sistema.
N(s)
,
D(s)
Las
soluciones de N(s) = 0 son los ceros del sistema y las soluciones de D(s) = 0 son los
polos del sistema.
3.3 Función de transferencia a lazo abierto y a lazo cerrado
Función de transferencia a lazo abierto
F.T.L.A. =
B(s)
= G (s) ⋅ H(s)
E(s)
Función de transferencia a lazo directo
F.T.L.D. =
C(s)
= G (s)
E(s)
Función de transferencia a lazo cerrado
F.T.L.C. =
C(s)
G(s)
=
R(s) 1 + G(s) ⋅ H(s)
Ecuación característica a lazo cerrado
1 + G(s)·H(s) = 0
3.4 Sistema a lazo cerrado sometido a una perturbación
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
N(s) = 0
,
C R (s)
G1 (s) ⋅ G 2 (s)
=
R (s) 1 + G1 (s) ⋅ G 2 (s) ⋅ H(s)
R(s) = 0
,
C N (s)
G 2 (s)
=
N(s) 1 + G1 (s) ⋅ G 2 (s) ⋅ H(s)
C(s) = CR(s) + CN(s)
Un sistema lineal debe cumplir con los siguientes principios:
9 Principio de superposición
x1(t) + x2(2) → y1(t) + y2(2)
9 Principio de homogeneidad
β x(t) → β y(t)
Ejemplo
En la figura 1 se muestra un esquema simplificado de transporte de carga, para el cual
es necesario controlar la velocidad de desplazamiento de la carga, manipulando el
voltaje aplicado al motor. En la figura 2 se muestra en detalle el esquema del
motor donde ee = (eref – em), Ki amplifica dicho valor, Ra la resistencia eléctrica, La la
inductancia, Jm la inercia del motor y ωm la velocidad angular del motor que es
trasmitida a la barra. Las relaciones de transformación en el motor son τm = K2ia y
ea= Kaωm donde ea es la caída de potencial en la armadura. En la figura 3 se tiene la
curva de calibración del medidor de velocidad. La resistencia eléctrica presenta una
relación lineal, en tanto que, la resistencia en la polea es de la forma τ = R1ω2.
J1
mC
Carga
VC
Ra
La
amplificador
Motor
ee
Radio “r”
KT
ia
K1
Jm
R1
Figura 1 Esquema del sistema
τ, ωm
armadura
Figura 2 Detalle interno del motor
Figura 3 Curva de calibración del elemento de medición
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16
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Se desea que usted realice lo siguiente:
9 Modelo del proceso (sin control y con control )
9 Diagrama de Bloques del proceso y Diagrama de Bloques del esquema de control,
en el cual estén especificados todas las funciones de transferencia.
Solución:
Elementos del sistema
Almacenadores.
Disipadores
Transformadores
Inductancia Eléctrica (La)
Resistencia Eléctrica
Elemento de Medición
Inercia del motor (Jm)
Roce en la Polea
(esquema de control)
Capacitor (KT)
Transformación de sistema
Inercia (J1)
eléctrico al mecánico
Inercia (mc)
Estos dos últimos son
dependientes
Se plantean tanto las ecuaciones de cada uno de los elementos almacenadores, como
las diferentes relaciones entre las distintas variables.
Modelo del proceso
La
dia
= K1 ⋅ ee − Ra ⋅ ia − ea
dt
Jm
dω m
= τm − τ b
dt
......
...... τm = K2ia
1 dτ b
= ω m − ω1
K T dt
J1
(1)
(2)
(3)
dω 1
2
= τ b − τ c − R1 ⋅ ω1
dt
mc
ea = Ka ωm
(4)
dVc
= FC
dt
(5)
Para completar el modelo se toman en cuentan las siguientes relaciones conocidas,
τC = r FC
y ω1 =VC/r
Reacomodando las ecuaciones (4) y (5) queda,
2
dVc 1 ⎛⎜
J dVc ⎞⎟
⎛ Vc ⎞
mc
= τb − R1 ⋅ ⎜ ⎟ − 1
dt
r ⎜⎝
r dt ⎟⎠
⎝ r ⎠
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
R 1 ⋅ Vc 2 ⎞⎟
J1 ⎞ dVc 1 ⎛⎜
⎛
m
+
=
τ
−
⎜ c
⎟
b
r ⎜⎝
r 2 ⎠ dt
r 2 ⎟⎠
⎝
(4’)
En el modelo de control se debe tener definir el error como:
ee = K1 (eref – em) = K1 (eref – m⋅VC)
Linealizando:
*
La
di a
= K 1 ⋅ e e * − R a ⋅ i a * − K a ⋅ ω*
dt
(6)
Jm
dω m
*
*
= K 2 ⋅ ia − τ b
dt
(7)
*
V
1 dτ b
*
= ωm − C
K T dt
r
*
*
(8)
*
J ⎞ dV
1 ⎛ * 2R
⎛
*⎞
⎜ m c + 21 ⎟ c = ⎜ τ b − 2 1 VCo ⋅ VC ⎟
r⎝
r ⎠ dt
r
⎝
⎠
(9)
NOTA: El punto de operación se calcula igualando a cero las ecuaciones (1), (2), (3) y
(4’) Aplicando Transformada de Laplace, eliminando los * y agrupando términos:
(Las + Ra)ia = K1⋅ee – Ka⋅ωm
(6’)
Jm⋅s⋅ωm = K2⋅ia – τb
(7’)
Vc
1
τbs = ωm −
KT
r
(8’)
τ
2R
J
⎛
⎞
⎜ (mc + 21 ) s + 31 VCo ⎟ ⋅ VC = b
r
r
r
⎝
⎠
⇒
J
2R
⎛
⎞
⎜ m c + 21 + 3 1 VCo ⎟ = I
r
r
⎝
⎠
(9’)
Diagrama de Bloques del Esquema de control
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18
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Obtención de la Función de Transferencia del proceso GP(s) = VC (s ) , por reducción del
e e (s )
diagrama de Bloques (sin control):
Modificando el último lazo de la siguiente forma queda:
La sección marcada se reduce a lo siguiente.
G1 =
KT ⋅ r
2
r I ⋅ s2 + KT
Rearreglando...
La sección marcada se reduce a: G2 =
G1
J m ⋅ s + r ⋅ Is
y a partir de allí, el Diagrama de Bloques del esquema de control se puede reducir
como sigue:
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
19
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
3.5 Gráficas de Flujo de Señal
Una gráfica de flujo de señal se puede ver como una versión simplificada de un
diagrama de bloques, cuyos elementos básicos son los siguientes:
9 Nodos: se utilizan para expresar variables.
9 Ramas: Son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La
señal se transmite a través de una rama solamente en la dirección de la flecha.
9 Nodo de entrada (fuente): Es un nodo que tiene solamente ramas de salida.
9 Nodo de salida (pozo): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada.
9 Trayectoria:
es una sucesión continua de ramas que se dirigen en la misma
dirección.
9 Trayectoria directa: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y
termina en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningún nodo se atraviesa más de
una vez.
9 Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde
ningún otro nodo se atraviesa más de una vez.
9 Ganancia de la trayectoria: Es el producto de las ganancias de las ramas de una
trayectoria.
9 Lazos disjuntos: Son lazos que no comparten ningún nodo en común.
A partir de estas definiciones es posible plantear el uso de la Fórmula de Ganancia de
Mason para reducir Diagramas de Flujo de señal.
Fórmula de Ganancia para gráficas de Flujo de señal:
M=
N
y sal
M ∆
=∑ K K
y ent k =1 ∆
en donde:
yent = Variable del nodo de entrada
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20
YAMILET SANCHEZ MONTERO
III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
ysal = Variable del nodo de salida
M = Ganancia entre yent y ysal (Función de Transferencia)
N = Número total de trayectorias directas entre yent y ysal
Mk = Ganancia de la trayectoria directa k-ésima entre yent y ysal
∆ = 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos)+(Σ productos de las ganancias de
todas las combinaciones de 2 lazos disjuntos)-(Σ productos de las ganancias de todas
las combinaciones de 3 lazos disjuntos)+...
∆k = igual a ∆ pero eliminando todos los lazos que toquen a la k-ésima trayectoria
directa.
Ejemplo
G4
1
R
1
G1
E
G2
-H1
G3
1
Y
-H2
-1
Determinantes
∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 + L5)
∆1 = 1;
∆2 = 1
Número de trayectorias directas = 2
M1 = G1 G2 G3)
M2 = G1 G4
Ganancias de los Lazos
L1 = G1 G2 (-H1)
L2 = G2 G3 (-H2)
L3 = G4 (-H2)
L4 = G1 G2 G3 (1)
L5 = G1 G4 (-1)
Función de Transferencia
M = (M1⋅∆1 + M2⋅∆1) / ∆
Ejemplo
La siguiente figura muestra un esquema de un intercambiador de calor en el cual se
desea controlar la temperatura de salida TS, manipulando el caudal de la camisa U
U, T2
Q, T1
Q, TS
U, TC
El elemento medidor o termopar y el controlador tienen las curvas de calibración que se
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21
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
muestran a continuación.
Volts
Acc. Control
(Volts )
m.. pendiente
kC.. pendiente
Temp
Error ( Volts)
La capacitancias térmicas del líquido encerrado en la camisa y en el interior del
intercambiador son respectivamente MC⋅CpC = CC y Mi⋅Cpi = Ci. El flujo de calor entre la
camisa y el interior del intercambiador es q& = R 1 (∆T ) , en tanto que no existe
transferencia de calor con el medio ambiente. Debe considerarse que la temperatura de
entrada T1 y su flujo Q son perturbaciones y que los valores de T1O, T2O, QO, UO, TO
(ambiente) son conocidos. Suponga además, que conoce la función de transferencia de
la válvula necesaria para implementar el esquema de control, G Válvula =
kV
. Se
τ S +1
desea que usted como ingeniero de planta realice lo siguiente: modelo del proceso,
diagrama de flujo de señal (proceso y esquema de control), función de transferencia del
proceso y función de transferencia del esquema de control.
Solución
9 Variables de estado:
TS, TC
9 Entradas:
T1, T2, Q, U
9 Camisa:
CC
dTC
= ρ C ⋅ U ⋅ Cp C (T2 − TC ) + R 1 (TS − TC )
dt
(1)
9 Intercambiador:
Ci
dTS
= ρ i ⋅ Q ⋅ Cp i (T1 − TS ) + R 1 (TS − TC )
dt
(2)
Puesto que T1 y Q son perturbaciones las ecuaciones son no lineales y se deben
linealizar quedando como sigue:
(
*
CC
dTC
*
*
= ρ C ⋅ Cp C ⋅ T2 o ⋅ U * − ρ C ⋅ Cp C ⋅ TC o ⋅ U * − ρ C ⋅ Cp C ⋅ TC ⋅ Uo + R 1 TS − TC *
dt
*
(
)
(
)
)
dT
*
*
*
C S S = ρ i ⋅ Cp i ⋅ Qo T1 − TS + ρ i ⋅ Cp i ⋅ Q * (T1o − TS o ) − R 1 TS − TC *
dt
El esquema de control a implantar es el que se muestra a continuación.
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22
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III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Para realizar el diagrama de flujo de señal se agrupan los siguientes términos:
K1 = ρc Cpc T20
K2 = ρc Cpc Tc0
K3 = ρc Cpc U0
K4 = ρi Cpi Q0
K5 = ρi Cpi (T10 – Ts0)
A partir de dicho diagrama, se obtiene la función del proceso eliminando todas las otras
entradas diferentes a la variable a manipular (U)
Número de caminos = 1
P1 = (K1 – K2)(1/Ccs)(R1)(1/Cis)
Número de lazos = 3
L1 = -(K3 + R1)/(Ccs)L2 = -(K4 + R1)/(Cis) L3 = R12/CcCis2
∆ = 1 – (L1 + L2 + L3) + (L1L2)
De allí que, la función de transferencia del proceso será:
Ts(s)/U(s) = ∆1 P1 / ∆
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23
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
Sea y(t) la respuesta en el tiempo de un sistema en tiempo continuo; entonces:
y( t ) = y t ( t ) + yss ( t )
donde yt(t) es la respuesta transitoria (solución homogénea) y yss(t) la respuesta en
estado estacionario (solución particular). En la siguiente figura se puede apreciar el
comportamiento dinámico de un sistema, compuesto por la respuesta transitoria y la
permanente
El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el
posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. A
continuación se estudiara, tanto la respuesta transitoria, como la respuesta permanente
de un sistema.
4.1 Respuesta ante diferentes entradas
4.1.1 Entradas Tipo
A continuación se mostraran las entradas típicas utilizadas para el análisis de la
respuesta de un sistema.
4.1.1.1 Función impulso
0
r(t) =
t < to
t = to
A
0
t > to
A ∈ Números reales r (t ) = A ⋅ δ( t )
donde δ(t) es la función impulso ≡ Delta de Dirac y su
transformada de Laplace es: L (r(t)) = R(s) = A
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24
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
4.1.1.2 Función escalón
r(t) =
A
0
t>0
t<0
→
r (t ) = A ⋅ u (t )
donde u(t) es escalón unitario y su transformada de
Laplace es: L (r(t)) = R(s) = A/s
4.1.1.3 Función rampa
r (t ) = b ⋅ t ⋅ u (t )
b ∈ Números reales Indica cómo
responde el sistema a señales que cambian
linealmente con el tiempo. Su transformada de
L
Laplace es:
(r(t)) = R(s) = b/s 2
4.1.1.4 Función parábola
r (t ) =
K ⋅ t2
⋅ u (t )
2
K∈R
El análisis de la respuesta temporal de un sistema se realizará detalladamente para
sistemas de primero y segundo orden, en tanto que, sistemas de orden superior se
analizarán aproximándolos a ordenes inferiores.
4.2 Tipo de un sistema
Además de clasificar a los sistemas según su orden, es importante realizar una
clasificación adicional de los mismos según su tipo, la cual se realiza al escribir en
forma general cualquier función de transferencia como sigue.
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25
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
G (s ) =
K ⋅ (τ a ⋅ s + 1) ⋅ (τ b ⋅ s + 1)...(τ m ⋅ s + 1)
s N ⋅ (τ 1 ⋅ s + 1) ⋅ (τ 2 ⋅ s + 1)...(τ p ⋅ s + 1)
en donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las
del denominador como los polos. A partir de allí, SN representa un polo de multiplicidad
N en el origen, el cual define el tipo del sistema que no necesariamente es igual al
orden del sistema.
N=0
→
sistema tipo 0
N=1
→
sistema tipo 1
N=n
→
sistema tipo n
4.3 Sistemas de Primer Orden
La respuesta de sistemas de primer orden se estudiaran tanto a lazo abierto como a
lazo cerrado para sistemas de tipo “cero” y de tipo “uno”.
4.3.1 Sistemas tipo cero.
Para un proceso a lazo abierto como el que se muestra a continuación, donde R(s) es
un escalón de magnitud A, se tiene:
K ........ ganancia del proceso.
τ .......... constante de tiempo del proceso
La respuesta de dicho sistema ante esa entrada se puede obtener realizando la
antitransformada de C(s), tal como se muestra a continuación.
R (s) =
A
s
→
Aplicando fracciones
Antitransformando
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C(s) =
A ⎛ K ⎞
⋅⎜
⎟
s ⎝ τ ⋅ s + 1⎠
C(s ) =
A⋅K A⋅K⋅t
−
s
τ ⋅s +1
t
− ⎞
⎛
c(t ) = A ⋅ K⎜⎜1 + e τ ⎟⎟
⎠
⎝
26
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Para t = 0;
Para t = τ;
Para t = ∞,
( )
c(t ) = A ⋅ K (1 − e ) = 0,632 ⋅ K ⋅ A
c(t ) = A ⋅ K (1 − e ) = A ⋅ K
c(t ) = A ⋅ K 1 − e0 = 0
−1
∞
En la siguiente figura se aprecia dicha respuesta, en la cual se puede observar que a
mayor τ se tiene menor rapidez de la respuesta y a mayor K mayor valor de
establecimiento (c(∞)).
Además, se puede definir τ como el tiempo que tarda el proceso en alcanzar el 63,2 %
de su valor final y caracterizar también la respuesta transitoria por el tiempo que tarda
en establecerse (ts) tal como sigue:
ts = 3·τ
→
c(3·τ) = 0,95·c(∞)
(Criterio del 5%)
ts = 4·τ
→
c(4·τ) = 0,98·c(∞)
(Criterio del 2%)
Para el mismo sistema anterior también se puede hacer el análisis de su respuesta
transitoria a partir de la función de transferencia a lazo cerrado tal como sigue.
K LA
C(s )
K LA
τLA ⋅ s + 1
=
=
R (s ) 1 + K LA
τLA ⋅ s + (1 + K LA )
τLA ⋅ s + 1
a partir de allí se pueden obtener tanto la ganancia del sistema a lazo cerrado como su
constante de tiempo.
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
K LC =
K LA
1 + K LA
y
τLC =
KLC = ganancia del sistema;
C(s )
K LC
=
R (s ) τLC ⋅ s + 1
τLA
1 + τ LA →
τLC = constante de tiempo
Siendo dicha función de transferencia semejante a la de lazo abierto, la forma de la
respuesta a lazo cerrado también lo será, pero se deben considerar como ganancia a
KLC y τLC como la constante de tiempo. Además, a lazo cerrado se puede calcular el
error en estado estacionario, tal como sigue:
⎛
K ⋅A⎞
A
⎟⎟ =
e ee = e(∞ ) = A − c(∞ ) = ⎜⎜ A − LA
1 + K LA ⎠ 1 + K LA
⎝
4.3.2 Sistemas tipo 1
Para este tipo de sistema se estudiará solamente el lazo cerrado, pues la respuesta el
lazo abierto no alcanza ningún valor de establecimiento.
Al igual que en el caso anterior se obtienen la ganancia y la constante de tiempo a lazo
cerrado a partir de las de lazo abierto, así como, la respuesta ante una entrada escalón
de magnitud A.
K LA
C(s )
K LA
τLA ⋅ s
=
=
R (s ) 1 + K LA
τLA ⋅ s + K LA
τLA1 ⋅ s
C(s )
1
=
R (s ) τ ⋅ s + 1 ,
Para
R (s ) =
τ=
τLA
K LA ;
K=1
A
s
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28
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
C(s ) =
aplicando fracciones parciales...
Antitransformando…
c(t ) = A ⋅ (1 − 1) = 0
t=τ
c(t ) = A ⋅ (1 − e −1 ) = 0,632 ⋅ A
t=∞ →
s⋅ s + 1
τ
)
=
A
A
−
s s+ 1
τ
t
⎛
− ⎞
c(t ) = A ⋅ ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟
⎝
⎠,
t=0 →
→
(
A
c(t ) = A ⋅ (1 − 0 ) = A
ess = e(∞ ) = A − c(∞ ) = A − A = 0
En este caso se puede también analizar la respuesta de este tipo de sistema ante una
entrada rampa tal como sigue.
A
R (s ) = 2
s →
C(s ) =
⎛1 τ
⎞
A
⎜ − + τ ⎟
A
=
⋅
⎜ s2 s s + 1 ⎟
s 2 ⋅ (τ ⋅ s + 1)
τ⎠
⎝
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29
⎛
→
c(t ) = A ⋅ ⎜⎜ t − τ − τ ⋅ e
⎝
−
t
τ
⎞
⎟
⎟
⎠
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
La rapidez de la respuesta viene dada por τ y el estado estacionario será tal y como se
observa en la figura.
ess = e(∞ ) = A ⋅ t − c(∞ ) = A ⋅ τ
Ejemplo
En la siguiente figura se muestra un esquema de control de presión para un tanque
presurizado, cuya función de transferencia es desconocida (G1(s)). Con la intención de
averiguar dicha función de transferencia se realiza la siguiente experiencia sobre el
proceso. Estando la presión estable en 12 psi, se le da un escalón de 3 psi a la
referencia y se obtiene la respuesta que se muestra a continuación. Se desea que
usted realice lo siguiente, a partir de dicha información.
1) Identifique la función de transferencia del proceso (G1(s))
2) Grafique la respuesta a lazo abierto si la entrada es
Pr =
2
5.
3) Considere que hubo un error en la medición de la referencia y en realidad, el
escalón en la entrada era de 2,5 psi. Con esta nueva información realice
nuevamente el problema.
Solución
1) Al conocer la entrada y la salida a lazo cerrado, y observando el gráfico de la
respuesta se puede aproximar G1(s) a un sistema de primer orden de tipo cero pues la
respuesta presenta un error al escalón.
G1 =
K LA
τ LA ⋅ s + 1
Como c(∞)= 14,5 – 12 y el valor de la amplitud es A = 3 se tiene
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30
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IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
K LC =
KLC · 3 = 2,5 →
2,5
= 0,8333
3
La constante de tiempo a lazo cerrado se obtiene a partir de la gráfica, calculando el
63,2 % del valor final y leyendo el tiempo que tarda la repuesta en alcanzar dicho valor.
CSS – Co = C(τ)
→
→C(τ) = 1,58 + 12 = 13,58
(14,5 – 12) · 0,632 = 1,58
De allí, y por inspección sobre la gráfica, se tiene que la constante de tiempo a lazo
cerrado es 18. Teniendo ahora, tanto la ganancia como la constante de tiempo a lazo
cerrado, se puede conocer las de lazo abierto.
τ LC =
τ LA
1 + K LA
= 18
→
K LC =
KLA ≈ 5
K LA
= 0,833
1 + K LA
τLA ≈ 108
G1 =
→
5
108 ⋅ s + 1
2) Conocida la función de transferencia a lazo
abierto se puede graficar la respuesta ante una
entrada igual a 2/5 en la referencia. Como la
amplitud del escalón A es 2/5 y la ganancia a lazo
abierto, KLA, es 5, entonces la respuesta que
tiende a
KLA * A, tenderá a 2. Además, la
respuesta alcanza 1,264 (63,2% del valor final)
cuando a transcurrido un tiempo igual a τ.
3) Si la entrada fuese un escalón de magnitud 2,5 y no de 3, el cálculo de la constante
de tiempo a lazo cerrado se realizaría de la siguiente forma:
A.KLC = (14,5 – 12)
como A = 2,5 → KLC = 1 y τLC = 18 (de la gráfica)
Además, al observar la gráfica se aprecia que el valor final a lazo cerrado coincide con
la referencia, de donde se deduce que el error en estado permanente es cero. De allí
que, la forma de la función de transferencia a lazo abierto será de primer orden pero no
de tipo 0, sino de tipo 1.
G1
1
=
1 + G1 18 ⋅ s + 1
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Por lo tanto G1 se puede obtener como sigue:
→
⎛ 1 ⎞
G1 = ⎜
⎟ ⋅ (1 + G1 )
⎝ 18 ⋅ s ⎠
31
→
G1 =
1
18 ⋅ s
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
4.4 Sistemas de segundo orden
Este tipo de sistemas requiere dos variables que definan su estado de energía, por lo
tanto su modelo podrá estar formado por dos ecuaciones diferenciales de primer grado.
Para el estudio de este tipo de sistemas partiremos del siguiente ejemplo. Un tanque de
área A, líquido de densidad ρ, tubería de longitud L y área a.
u
Modelo del proceso
A dP
= u−Q
ρg dt
ρL dQ
= P − RQ
a dt
Se desea conocer la función de transferencia entre u y Q, para lo cual se toma la
transformada de Laplace de dichas ecuaciones y queda:
s P(s) = (u(s) - Q(s)) / C
C = A/ρg
s Q(s) = (P(s) - RQ(s)) / I
I = ρL/a
A partir de allí se obtiene la función de transferencia
Q(s)
1
=
2
u(s) (C ⋅ I ⋅ s + R ⋅ C ⋅ s + 1)
→
1 CI
Q(s)
= 2
u(s) (s + R/I ⋅ s + 1/CI)
Para realizar el análisis de la respuesta de sistemas de segundo orden su función de
transferencia se escribe en función de ciertos parámetros característicos tal como
sigue:
2
ωn
G(s) = 2
(s + 2ξω n s + ω 2n )
ωn = Frecuencia natural no amortiguada.
ξ = Coeficiente de amortiguación
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos
de ξ y ωn, los cuales estarán en función de los parámetros físicos del sistema. Para 0 <
ξ < 1 se tiene un sistema Subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Para
ξ > 1 el sistema está sobre amortiguado y
si ξ = 1 es sistema es críticamente
subamortiguado; en los dos últimos casos la respuesta no es oscilatoria. Si ξ = 0 no
existe amortiguación y la oscilación es permanente.
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
32
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Para el ejemplo anterior se pueden expresar ξ y ωn como sigue:
ω = 1/CI
2
n
ωn =
Æ
2ξω n = R/I
ξ=
Æ
1
CI
R CI R
=
2I
2
C
I
Ahora se ha de estudiar la respuesta ante una entrada escalón unitario, para los casos
mencionados anteriormente.
4.4.1 Sistemas subamortiguado (0 < ξ < 1)
2
ωn
Q(s)
= 2
G(s) =
2
u(s)
s + 2ξω n s + ω n
(
)
2
Q(s) =
Para una entrada escalón:
antitransformando se obtiene:
ωn
1
2
s s + 2ξω n s + ω n 2
(
)
⎛
⎞
ξ
Q( t ) = 1 − e −ξωn t ⎜ Cos(ω d t ) +
Sen (ωd t ) ⎟
⎜
⎟
1 − ξ2
⎝
⎠
2
donde ωd = ωn 1 − ξ se conoce como frecuencia natural amortiguada. Se puede
observar que la respuesta transitoria tiene una frecuencia de oscilación igual a ωd que
varía con ξ. Además, nótese que si el sistema no es amortiguado, la respuesta oscila
con ωn. Para sistemas amortiguados la frecuencia que se observa experimentalmente
es ωd. la cual siempre es menor que ωn.
4.4.2 Sistemas críticamente amortiguados (ξ = 1)
2
ωn
Q(s)
=
u (s) (s + ω n )2
Q(s) =
Para una entrada escalón:
Antitransformando resulta:
ωn
2
s(s + ω n )
2
Q(t) = 1 – e-ωnt (1+ωnt)
Se puede apreciar que esta respuesta no es oscilatoria y que se parece a la del
sistema de primer orden.
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33
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
4.4.3 Sistemas sobreamortiguados (ξ > 1)
c( t ) = 1 +
s1 = ωn ⎛⎜ ξ + ξ2 − 1 ⎞⎟
⎝
⎠
⎛ e − s1 t e − s 2 t ⎞
⎜
⎟
−
⎜ s1
⎟
2
s
2 ⎠
2 ξ −1 ⎝
ωn
s 2 = ωn ⎛⎜ ξ − ξ 2 − 1 ⎞⎟
⎝
⎠
donde s1 y s2 son las soluciones de la ecuación característica, o denominador de la
función de transferencia.
Esta respuesta incluye dos términos de caída exponencial. Cuando ξ >> 1 uno de los
dos términos se hace despreciable frente al otro. Para una solución aproximada se
desprecia |s1| >> |s2|
c( t ) = 1 − e
− ω n t ⎛⎜ ξ − ξ 2 −1 ⎞⎟
⎝
⎠
4.4.4 Características de la respuesta de un sistema subamortiguado
Al igual que para sistemas de primer orden es necesario caracterizar la respuesta para
sistemas de segundo orden. Para una entrada escalón se especifican los siguientes
parámetros:
a) Tiempo de crecimiento (tr): Tiempo en que la respuesta crece de un 10% a un 90%
de su valor final.
b) Máximo pico (Mp): valor de máximo pico medido desde el valor final.
c) Tiempo de pico (tp): Tiempo en alcanzar el máximo pico.
d) Tiempo de establecimiento (ts): Es el tiempo necesario para que la respuesta sólo
oscile entre un 2 o 5 % del valor final.
4.4.5 Especificaciones sobre la respuesta transitoria
Para un sistema que presenta la siguiente función de transferencia los valores
característicos de la respuesta pueden expresarse en función de los parámetros de la
función.
ωn2
G(s) = 2
2
s + 2ξω n s + ω n
(
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)
34
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IV. RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
tr =
⎛ − ωd ⎞
1
⎟⎟
arctg⎜⎜
ωd
⎝ ξωn ⎠
tp =
π
ωd
9 Tiempo de crecimiento:
9 Tiempo pico:
9 Máximo pico:
Mp = (C(tp) – C(∞))/C(∞)
Mp = e
− (ξωn ωd )π
− ⎛⎜ ξπ
=e ⎝
1− ξ 2 ⎞⎟
⎠
ts = 4τ =
4
ξωn
ts = 3τ =
3
ξωn
9 Tiempo de establecimiento: Criterio del 2%
Criterio del 5%
En la siguiente figura se puede observar la relación entre la solución de la ecuación
característica o polos del sistema y su respuesta transitoria.
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35
YAMILET SANCHEZ MONTERO
V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
V. LOCALIZACIÓN
DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS
SISTEMAS
La función de transferencia G(s) puede ser representada como G(s) = f 1 (s) f 2 (s) , a
partir de la cual se puede decir que la respuesta del sistema dependerá de f1(s) y f2(s).
Las raíces de f1(s) se conocen como los ceros del sistema y las de f2(s) como los polos.
Además, f2 se conoce como la ecuación característica del sistema y define el
comportamiento dinámico del mismo. Más específicamente, las soluciones de dicha
ecuación definen el comportamiento dinámico del proceso, por lo tanto, si se desea
modificar la respuesta de un sistema, se lograría modificando la ecuación característica
del mismo. Para un sistema de control a lazo cerrado, donde G(s) y H(s) representan
las funciones de transferencia del proceso, al añadir un controlador en la línea se
podría modificar la ecuación característica de lazo cerrado (ECLC) y así obtener la
respuesta deseada.
+
Gc(s)
G c (s) ⋅ G (s)
1 + G c (s) ⋅ G (s) ⋅ H(s)
ECLC = 1 + G c (s) ⋅ G (s) ⋅ H(s)
G (s) =
G(s)
-
H(s)
La ubicación de dichos polos en el plano complejo define el comportamiento del
sistema, tal como se mostrará a continuación.
5.1 Sistemas de primer orden
G (s) =
k
τ⋅s +1
(Ecuación característica)
f 2 (s) = τ ⋅ s + 1 = 0
s = -1/τ (polo del sistema)
El polo del sistema se representa en el plano como se muestra a continuación, donde
se representan los polos de tres sistemas distintos de primer orden.
Se puede apreciar que a medida que τ es mayor el
valor numérico del polo decrece y se acerca más al
eje real.
τ↓
Sistema responde más rápidamente y tarda
menos en establecerse.
τ↑
τ1> τ2> τ3
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Sistema responde más lentamente y tarda más
en establecerse.
36
YAMILET SANCHEZ MONTERO
V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Se concluye que a medida que el polo del sistema se acerca al eje imaginario, el
sistema tarda más en establecerse, por lo que a dichos polos se les conoce como polos
dominantes del sistemas.
5. 2 Sistemas de segundo orden
G (s) =
ωn
2
s 2 + 2ξω n s + ω n
s = −ξωn ± jω n 1 − ξ 2
2
(polos del sistema)
Si ξ<1, los polos son imaginarios y se pueden representar de la siguiente forma en el
plano S.
1 − ξ 2 ωn
θ
tgθ =
1 − ξ2 ω
1 − ξ2
/n
=
ξ⋅ω
ξ
/n
Cosθ =
ξω n
=ξ
ωn
ξωn
En la siguiente figura se detalla las características de la respuesta transitoria de un
sistema de segundo orden subamortiguado, según la ubicación de sus polos.
jω
Igualξ
x
x
x
x
x
Igualωd
x
x
σ
x
Igualωn
Igualξωn
Los sistemas cuyos polos se encuentran sobre las líneas punteadas comparten la
característica temporal señalada.
Ejemplo
Para un siguiente sistema cuya, función de transferencia es la que se muestra a
continuación, se desea que usted calcule lo siguiente: G(s) =
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37
1
4s + 2s + 1
2
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
a) Valor de ξ, ωn , Mp, ts 2%
Se debe reescribir la función de transferencia como
G=
14
2ξωn =0.5
ωn2 = ¼
s 2 + 0.5s + 1 4
ωn = ½ →
ξ = 0.5
A partir de los valores de ξ y ωn se calculan las características solicitadas.
ts2% =
4
ξωn
− ξπ
= 16
Mp = e
1− ξ 2
= 0.16
b) ¿Cuáles serán las raíces del sistema para los casos en que ωd se duplique y se
cuatriplique sin variar el valor del amortiguamiento? ¿Cuál tendrá mayor rapidez?
¿Cómo variará Mp ?
Como ξ se conserva, a partir de allí se puede calcular ωn para los dos casos
ωd o = 0,433
ωd 1 = 0,866
ωd 2 = 1,732
ωd = ω n 1 − ξ 2
ωn 1 = 1
ωn 2 = 2
La rapidez de respuesta se relaciona con la cercanía al origen que tengan los polos del
sistema. A medida que se acercan al eje imaginario el sistema es más lento y
viceversa, de allí que se verifica el valor de ξωn.
ξωn1 = 0,5
ξωn2 = 1
El sistema dos tendrá mayor rapidez de respuesta, en cuánto al pico se tiene que Mp1 =
Mp2 debido a que Mp = f(ξ) y como ξ se conserva, entonces el pico no cambia.
Ejemplo
Se tienen dos sistemas de segundo orden cuyas raíces se muestran en el plano “s” a
partir de allí se desea hacer una comparación entre ambos.
a) Se
necesita
un
sistema
que
4
A
alcance, lo más rápido posible, la
B
2
condición de equilibrio y cuyo
Mp sea menor del 5%.
¿Cuál
0
-4
-3
escogería A o B?
-2
-1
-2
0
-4
b) Si se desea aumentar ξ al doble para el sistema de mayor rapidez, manteniendo la
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
38
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V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
misma ¿Cuáles deberían ser las raíces?
Solución
a) PA = 3
PB = 2
τA = 1/3
τB = ½
El sistema A es más rápido pues está más lejos del eje imaginario, el máximo pico de
ambos sistemas es igual por tener el mismo ξ .
− ξπ
ξ = Cos θ = Cos 45º = 0,707
Mp = e
1−ξ 2
= 0,04325 ⋅ 100 = 4,32%
⇒ Se escoge el sistema A
b) ξ = 0,707 y se desea ξ = 0,407. Como además se debe mantener la rapidez, la
parte real de la raíz se debe mantener igual, la cual es igual a ξωn. De allí se obtiene
el nuevo ωn.
ωn = 2ωno = 2 ⋅ (2 3 ) = 4 3
s1, 2 = −ξωn ± ω n 1 − ξ 2
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
→
s1, 2 = −3 ± 6.328 j
39
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
Al igual que las características de respuesta transitoria es importante analizar el error
que pueda tener un sistema ante una perturbación dada. Para un sistema a lazo
cerrado como el siguiente.
En forma general se puede escribir la función de transferencia del lazo directo como
FTLA = G (s )H ( s ) =
K ⋅ (τ a ⋅ s + 1) ⋅ (τ b ⋅ s + 1)...(τ m ⋅ s + 1)
s N ⋅ (τ 1 ⋅ s + 1) ⋅ (τ 2 ⋅ s + 1)...(τ p ⋅ s + 1)
Donde SN representa un polo de multiplicidad N en el origen. Como se mencionó
anteriormente, dependiendo del valor de N se define el tipo del sistema. A medida que
N aumenta el sistema se hace más exacto (menos error) pero su respuesta transitoria
desmejora considerablemente. Para calcular el error se debe conocer su función de
transferencia respecto de la entrada, la cual se obtiene a partir del diagrama de bloque,
como sigue:
E(s) = X(s) − Y(s)
E(s) = X(s) − E(s)G(s)
→
→
1
E(s) = (
)X(s)
1 + G(s)
Utilizando el teorema del valor final, se puede encontrar el valor del error en estado
estacionario.
ess = lím e(t ) = lím s ⋅ E (s ) = lím
t →∞
s →0
s →0
s ⋅ R (s )
1 + G (s )
Como el error forma parte de la respuesta de un sistema depende de la entrada a la
cual sea sometido el mismo. A continuación se calcularán los errores en estado
estacionario o estado estable para diferentes tipos de entrada.
6.1 Entrada tipo escalón
Para r(t) = R . u(t), con R = 1
e ss = lím
s→0
s
1
1
⋅ =
1 + G (s ) s 1 + lím G (s )
s →0
Kp se define como la constante de error de posición estática, cuyo valor dependerá del
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40
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de posición.
lím G (s ) = K p = G (0 )
e ss =
s →0
1
1+ Kp
Para un sistema tipo 1 o mayor
Para un sistema tipo 0,
K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
=K
s → 0 s 0 ⋅ ( τ ⋅ s + 1)...
1
Kp = ∞, N ≥ 1
K p = lím
6.2 Entrada tipo rampa
Para r(t) = R . t . u(t), con R = 1
ess = lím
s→0
s
1
1
⋅ 2 =
1 + G (s ) s
s ⋅ G (s )
Kv se define como la constante de error estático de velocidad cuyo valor dependerá del
tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de velocidad.
K v = lím s ⋅ G (s )
s →0
ess =
1
Kv
Sistema tipo 1,
Sistema tipo 0,
Sistema tipo 2 o mayor,
K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
s ⋅ K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
s ⋅ K ⋅ (τ a ⋅ s + 1)...
= 0 K v = lím
= K K v = lím N
=∞
s→0
s
0
→
→
s
0
(τ1 ⋅ s + 1)...
s ⋅ (τ1 ⋅ s + 1)...
s ⋅ (τ1 ⋅ s + 1)...
K v = lím
6.3 Entrada tipo Parábola
Para r(t) = R . t2 . u(t), con R = 1
s
1
1
⋅ 3 =
2
s → 0 1 + G (s ) s
lím s ⋅ G (s )
ess = lím
s→0
Ka se define como la constante de error estático de aceleración, cuyo valor dependerá
del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de aceleración.
K a = lím s 2 ⋅ G (s )
s →0
ess =
1
Ka
Para un sistema tipo 0,
Para un sistema tipo 1,
s 2 ⋅ K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
=0
K a = lím
s→0
(τ1 ⋅ s + 1)...
s 2 ⋅ K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
=0
K a = lím
s →0
s ⋅ (τ1 ⋅ s + 1)...
Para un sistema tipo 2,
Para un sistema tipo 3 o mayor,
s 2 ⋅ K ⋅ (τa ⋅ s + 1)...
=K
s →0
s 2 ⋅ (τ1 ⋅ s + 1)...
K a = lím
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
s 2 ⋅ K ⋅ (τ a ⋅ s + 1)...
=∞
s→0
s N ⋅ (τ1 ⋅ s + 1)...
K a = lím
41
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VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Resumiendo
Tipo de sistema
Constante de error
Error con retroalimentación unitaria
Kp
Kv
Ka
Escalón
Rampa
Parábola
0
K
0
0
R
∞
∞
1
∞
K
0
0
R
2
∞
∞
K
0
0
R
3
∞
∞
∞
0
0
0
(1 + K )
∞
K
K
6.4 Error a la perturbación
Basándose en la siguiente figura, se considerará una perturbación P(s) al proceso y se
estudiará su efecto sobre el error.
La respuesta C(s) ante variaciones tanto en R(s) como en P(s) será:
C(s ) = G1 (s ) ⋅ R (s ) + G 2 (s ) ⋅ P(s ) = C1 (s ) + C 2 (s )
Donde C1(s) es el componenete de la salida dado R(s) y C2(s) es el componente de la
salida dado P(s). El error del sistema para Gm = 1, será:
e(t ) = r (t ) − c(t ) G m
e(t ) = (r (t ) − G m c1 (t )) − c 2 (t )G m
→
→
e(t ) = r (t ) − (c1 (t ) + c 2 (t ))G m
e(t ) = e r (t ) + e p (t )
donde er(t) es el error a la referencia y ep(t) el error a la perturbación. Para el caso en el
que no exista perturbación ep(t) = 0.
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42
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VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
A continuación se enumeran ciertos aspectos resaltantes que identifican la importancia
del estudio de la estabilidad de un sistema.
9 Se clasifica en estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La absoluta nos dice,
como su nombre lo indica, si un sistema es estable o no, en tanto que, la relativa, nos
indica en que grado un sistema es estable. Un sistema es estable (absolutamente) si la
salida regresa eventualmente a su estado de equilibrio cuando el sistema se somete a
una perturbación, y es inestable si la salida o bien oscila indefinidamente, o diverge sin
límite de su estado de equilibrio, cuando el sistema sufre una perturbación.
9 La estabilidad puede determinarse según la ubicación de los polos en el plano s.
Polos en el semiplano derecho implican una respuesta oscilatoria creciente y por tanto
se dice que el sistema es inestable. Polos a lazo cerrado en el semiplano izquierdo
indican que la respuesta alcanzará el equilibrio característico de un sistema estable.
9 La ubicación de los ceros no tiene efecto en la estabilidad del sistema, afecta sólo la
respuesta dinámica.
9 La estabilidad es una propiedad del sistema en sí y no depende de la entrada o
función excitadora del sistema.
9 Este criterio se puede aplicar a sistemas a lazo abierto (L.A.) y a lazo cerrado (L.C.).
Recordar que los polos de lazo abierto son diferentes a los de lazo cerrado ya que
ambas funciones de transferencia son distintas.
9 Un sistema a lazo abierto inestable puede o no generar un sistema a lazo cerrado
estable.
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43
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Para estudiar la estabilidad de sistemas lineales se puede utilizar un criterio conocido
como el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, el cual será descrito a continuación.
7.1 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Para un sistema o proceso que tenga la siguiente función de transferencia como la
siguiente, donde los coeficientes son constantes y m ≤ n, se debe factorizar A(s) para
verificar en que parte del plano s se encuentran sus raíces.
C(s ) b 0 ⋅ s m + b1 ⋅ s m −1 + ... + b m −1 ⋅ s + b m B(s )
=
=
R (s ) a 0 ⋅ s n + a 1 ⋅ s n −1 + ... + a n −1 ⋅ s + a n
A(s )
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la cantidad de polos que
se encuentran en el semiplano derecho plano s sin factorizar A(s), cabe destacar que
sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de términos.
7.1.1 Procedimiento
1. Escriba el polinomio en s de la siguiente forma:
ao ⋅ s n + a1 ⋅ s n −1 + ... + an −1 ⋅ s + an = 0
en donde ai ∈ R. Suponemos que an ≠ 0, se elimina cualquier raíz cero.
2. Si alguno de los coeficientes es menor que cero, ante la presencia de al menos un
coeficiente mayor que cero, hay una raíz o raíces imaginarias o que tiene partes reales
mayor que cero. En tal caso, el sistema no es estable, si lo que se está analizando es
la estabilidad absoluta el procedimiento debe terminar aquí. (Condición necesaria pero
no suficiente)
3. Si todos los ai > 0, ordene los ai en filas y columnas de acuerdo al siguiente patrón:
sn
a0
a2
a4
donde
…
sn-1
a1
a3
a5
…
sn-2
b1
b2
b3
…
n-3
c1
c2
c3
…
.
.
.
.
.
.
.
.
hasta que las restantes sean cero.
.
.
.
.
Se sigue el mismo patrón para las c, d,.., etc.
s1
h1
h2
s0
g1
s
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b1 =
a 1 .a 2 - a 0 .a 3
a1
b1 =
a 1 .a 4 - a 0 .a 5
a1
Finalmente, el arreglo completo es triangular
y se conoce como tabla de Routh-Hurwitz
44
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
En base al criterio de estabilidad se concluye lo siguiente:
1. El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual al
número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.
2. Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación
característica se encuentren el semiplano izquierdo del plano s es que todos los
coeficientes de la ecuación característica y todos los términos de la primera columna
del arreglo sean mayores que cero.
Ejemplos
1) Verifique la estabilidad de un proceso cuya ecuación característica sea la siguiente:
3
2
a) s − 4s + s + 6 = 0
Tiene un ai < 0
→
no todas las raíces están el en semiplano izquierdo, con lo
que es suficiente para concluir que el proceso es inestable, pero se planteará la tabla
solamente para ejercitarse.
s3
s2
1 1
−4 6
s1 2,5 0
s0
6
− 4.1 − 1.6
= 2,5
−4
2,5.6 − (−4).0
c1 =
=6
2,5
b1 =
Dos cambios de signo implican dos polos en el semiplano derecho.
3
2
b) s + 6s + 11s + 6 = 0
como todos los ai son mayores que cero, se cumple la con condición necesaria pero no
suficiente, por lo que se realiza la tabla para concluir respecto a la estabilidad.
s 3 1 11
s2 6 6
s1 10 0
s0
6
6.11 − 6
= 10
6
10.6 − 6.0
c1 =
=6
10
b1 =
No hay cambio de signo, lo que implica que no hay raíces en el semiplano derecho, por
lo tanto el sistema es estable.
7.1.2 Casos especiales
1) Si alguno de los término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero
no los demás o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un número
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45
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
positivo muy pequeño (un ε que tiende a cero) y se evalúa el resto del arreglo. Si el
signo del coeficiente por encima del cero (ε) es igual al signo que esta por debajo del
mismo, se deduce que existen un par de raíces imaginarias.
2) Si todos los coeficientes de cualquier fila son iguales a cero, existen raíces de igual
magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano, es decir, dos raíces con
magnitudes iguales y signo opuesto y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este
caso se forma un polinomio auxiliar (P(s)) con coeficientes del renglón que está justo
arriba del renglón de ceros. Dicho polinomio auxiliar, que siempre es par (potencias
pares de s), se deriva P(s) y se colocan sus coeficientes en la fila de ceros.
Ejemplo
a)
s 4 + s 3 + 2s 2 + 2s + 3 = 0
s4
1
2 3
s3
1
2 0
2
0
∞
s
s1
1.2 − 1.2
=0
1
1.3 − 1.0
b2 =
=3
1
c1 = ∞
b1 =
s0
s4
s3
1
1
2 3
2 0
s2
ε
3
c1 =
0
d1 = 3
s
1
−3
ε
s0
2.ε − 3
ε
se debe modificar el arreglo…
, ε → 0 ⇒ c1 =
−3
ε
3
Hay dos cambios de signo, o sea, dos raíces en el semiplano derecho, lo que indica
que el sistema es inestable.
5
4
3
2
b) s + 4s + 8s + 8s + 7s + 4 = 0
s5
s4
1 8 7
4 8 4
s3
6 6 0
2
4 4 0
0 0 0
s
s1
4.8 − 1.8
=6
4
4.7 − 1.4
b2 =
=6
4
b1 =
6.8 − 4.6
=4
6
6. 4 − 4. 0
b2 =
=4
6
c1 =
4.6 − 6.4
=0
4
d2 = 0
d1 =
s0
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46
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
2
Se debe sustituir la fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar P ( s ) = 4 s + 4
dP( s )
= 8s
ds
s5
s4
1 8 7
4 8 4
s3
s2
s1
6 6 0
4 4 0
8 0 0
s0
4
No hay cambios de signo, o sea, no hay raíces en el semiplano derecho del plano s.
Resolviendo:
P(s ) = 4 ⋅ s 2 + 4 ⇒ s 2 = −1 ⇒ s = ± j
tiene dos raíces en el eje jω y es marginalmente estable.
El criterio de Routh-Hurwitz es muy útil cuando la ecuación característica que se desea
analizar tiene algún parámetro involucrado, de forma tal que se podrán conocer los
rangos del parámetro para el cual el sistema es estable.
Ejemplo
s 3 + 3Ks 2 + (k + 2)s + 4 = 0
La primera condición que se debe cumplir es que todos los coeficientes sean mayor
que cero, lo cual sucederá si y solo si K es mayor que cero. A partir de allí se debe
plantear el arreglo y verificar los posibles valores de K para que no ocurra ningún
cambio de signo en la primera columna de la tabla.
s3
s2
s1
s0
1
3K
b1
4
K +2
4
0
0
0
b1 =
3 K ( K + 2) − 4
≥0
3K
Para obtener el valor límite de K se debe cumplir que b1 sea mayor o igual a cero en el
límite.
K ≤ -2,528 ó K ≥ 0,528
Debido a que la primera restricción es que K sea mayor que cero, entonces para que el
sistema sea estable se debe cumplir que K ≥ 0,528.
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47
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
VIII. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL
A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la
respuesta temporal de un sistema, los controladores a analizar son:
9 Proporcional (P)
9 Proporcional derivativo (PD)
9 Proporcional integral (PI)
9 Proporcional integral derivativo (PID)
Inicialmente se describirá el efecto que tiene cada uno de ellos sobre la respuesta
temporal del sistema y más adelante se plantearán dos metodologías para especificar
el valor de los parámetros del controlador, una de ellas fundamentada en la reubicación
de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra será una sintonización empírica del
controlador. Cada tipo de controlador será introducido tal como se puede apreciar en el
siguiente sistema de control, a partir del cual se realizará el estudio aquí planteado.
8.1 Controlador Proporcional (P)
Un controlador proporcional tiene una Función de Transferencia de la siguiente forma:
G C (s) = K P
KP, conocida como la ganancia proporcional, tiene su efecto tanto en la parte transitoria
como en la parte permanente de la respuesta transitoria, ya que la ecuación
característica del sistema a lazo cerrado será 1+ KPG(s)H(s) = 0, por lo tanto la
ubicación de los polos dependerá del valor de KP. En cuánto a la respuesta
permanente, el error del sistema depende de la ganancia a lazo abierto, a mayor
ganancia menor error. De allí, que se podrá diseñar el valor de KP tal que el sistema
cumpla con ciertos requisitos. Concluyendo, la introducción de un controlador
proporcional tiene influencia sobre las respuestas transitoria y permanente, pero
limitada.
8.2 Controlador Proporcional Derivativo (PD)
En este caso la Función de Transferencia del controlador es de la siguiente forma:
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
48
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
G C (s) = K P (1 + TD s)
Al introducir dicho controlador en el lazo abierto, se presentará una modificación mayor
en la ecuación característica a lazo cerrado, que la introducida con un controlador
proporcional, tal que la reubicación de los polos dependerá de los valores de KP y TD.
Por ello, con este tipo de controlador se tendrá un mayor manejo de la respuesta
transitoria a lazo cerrado, en tanto que, la respuesta permanente solamente se verá
influencia por el valor de KP. Esto último se confirma al verificar que la ganancia del
sistema a lazo abierto no se ve afectada por el valor de TD. Resumiendo, se puede
concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los siguientes efectos sobre el
sistema, mejora apreciable de la respuesta transitoria y mejora del error similar a la
proporcionada por un controlador proporcional puro.
8.3 Controlador Proporcional Integral (PI)
En este caso la Función de Transferencia del controlador es
G C (s) = K P (1 +
1
⎛ s + 1 TI ⎞
) = KP ⎜
⎟
TI s
⎝ s ⎠
Como se puede apreciar este tipo de controlador introduce, además de una ganancia
proporcional, un polo en el origen y un cero en el eje real. Su efecto sobre la respuesta
transitoria es relativamente negativo, pues desmejora la estabilidad relativa del sistema
a lazo cerrado, en tanto que, su efecto sobre la respuesta transitoria es una mejora
radical. Esto es debido a la introducción de un cero en el origen, lo que aumenta el tipo
del sistema.
8.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)
En este caso la Función de Transferencia del controlador es como se muestra a
continuación:
K
1
G C (s) = K P (1 + TD s +
)= P
TI s
TI
⎛ TD TI s 2 + TI s + 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
s
⎝
⎠
Como se puede observar se añaden dos ceros y un polo en el origen a la función de
transferencia de lazo abierto, a través de lo cual se puede lograr un buen manejo de la
respuesta temporal y una mejora radical en la respuesta permanente. Lo primero se
alcanza gracias a la reubicación de los polos a lazo cerrado y lo segundo, proviene del
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
49
YAMILET SANCHEZ MONTERO
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TRANSITORIA
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
aumento del tipo de sistema a lazo abierto. Es importante hacer resaltar que la
escogencia del tipo de controlador a utilizar dependerá de las condiciones o
restricciones preestablecidas para el sistema de control.
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50
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS
Este método consiste en reubicar los polos a lazo cerrado de un sistema variando el
tipo de controlador a añadir y los parámetros del mismo. A continuación se mostrarán
algunos ejemplos de diseño, utilizando el método de reubicación de polos para
sistemas sencillos, los cuales ponen en evidencia el efecto que cada tipo de
controlador tiene sobre la respuesta a lazo cerrado.
Ejemplo
Los helicópteros son inestables sin adecuados sistemas de control. A continuación se
muestra un esquema de control para el ángulo de avance, dada una referencia en la
posición de la varilla de control del helicóptero.
Diseñe un controlador (Gc(s)) tal que la respuesta tenga 0,707 ≤
≤ 1 y un tiempo de
establecimiento al 2% menor o igual a 2. Especifique posibles rangos para los
parámetros del controlador.
Si además se requiere que el ess≤ 1 (ante una entrada tipo rampa), verifique si el
controlador escogido anteriormente cumple con esto y de no ser así diseñe uno nuevo.
En cada caso especifique claramente la función de transferencia del controlador, así
como, el rango para el valor de sus parámetros y unos valores particulares escogidos
por usted.
Controladores disponibles
Proporcional
Prop. Derivativo
Prop. Intergral
G C (s) = K P
G C (s) = K P (1 + TD s)
G C (s) = K P (1 +
1
)
TIs
Prop. Intergral Derivativo
G C (s) = K P (1 + TD s +
1
)
TI s
Solución
Inicialmente se debe analizar la respuesta que tiene el sistema a lazo cerrado sin
introducir ningún controlador para verificar si cumple o no con las restricciones
impuestas.
De no ser así, se debe analizar que parte de la respuesta temporal, transitoria o
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
51
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
permanente, no cumple con lo establecido, para iniciar el diseño en forma razonada.
Para ello, se debe revisar la Ecuación característica a Lazo Cerrado (ECLC) sin
controlador y verificar las restricciones.
ECLC (sin controlador)
1+
10( s + 0,05)
=0
( s − 2) 2
ts =
4
ξω n
≤2
ω n 2 = 4,5
→
→
s 2 + 8s + 4,5 = 0
→
ξω n ≥ 2
ω n = 2,12
→
→
2ξω n = 8
ω n 2 = 4,5
Esta restricción se cumple
ξ = 1,88
No cumple con la otra restricción.
Como se puede observar, el sistema no está muy lejos de cumplir ambas restricciones,
por lo tanto, como sólo se debe mejorar ligeramente la respuesta transitoria, se puede
intentar el diseño de un controlador proporcional. Dicho controlador, además de ser el
más sencillo, es también el más fácil de diseñar. Para ello, se introduce en la ECLC el
controlador escogido.
ECLC (Controlador Proporcional)
1+
10K(s + 0,05)
=0 →
(s − 2) 2
K > 0,2
ts =
4
ξω n
s 2 + (10K − 2)s + (4 + 0,5K) = 0
→
2ξω n = 10K − 2
ω n 2 = 4 + 0,5K
(Criterio de estabilidad) → ξωn = 5K – 1 > 2 → K > 0,6 (obligatorio)
≤2 →
ξω n = 5 K − 1 ≥ 2
→
K ≥ 0,2
Esta restricción se cumple
Ahora se escogerá un valor para ξ =1 y se verificará que valor de K cumple con todas
las restricciones.
ξ=1
→
ωn ≥ 2
→
4 + 0,5K ≥ 4 (para todo K ≥ 0)
Por lo tanto, si se escoge un controlador proporcional cuyo parámetro K sea mayor que
0,6 se cumplirá con el requerimiento de la estabilidad, del tiempo de establecimiento y
del ξ. Ahora, se verifica si se cumple con la restricción del error.
e ss =
1
1
=
1 + K P 1 + (0,5 K 4)
→
e ss =
4
≤1
4 + 0,5K
→
K≥0
Un controlador proporcional cuya ganancia sea mayor de 0,6 cumplirá todos los
requisitos.
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Ejemplo
Para un esquema de control como el mostrado a continuación se requiere que el error
ante un escalón sea cero y que el tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea
menor que 0.5 (considere una entrada escalón unitario).
Controladores disponibles
Proporcional
Prop. Derivativo
Prop. Integral
G C (s) = K P
G C (s) = K P (1 + TD s)
G C (s) = K P (1 +
1
)
TIs
Prop. Integral Derivativo
G C (s) = K P (1 + TD s +
1
)
TI s
a) Calcule los parámetros del controlador escogido para que esto se cumpla.
b) Si además se solicitase que el sistema no tuviese sobrepico (ξ=1), verifique si
ésto se cumple con el controlador diseñado y de no ser así modifique el
controlador y calcule los nuevos parámetros.
c) Discuta el comportamiento del PID en este caso en cuánto a mejoras en el
estado estacionario y en la respuesta transitoria, sin realizar el diseño del
controlador.
Solución
ECLC (Sin controlador)
2s + 3 = 0
→
ts = 3τ = 2
→
ess es finito ante el escalón
De allí se puede concluir que, el sistema original sin controlador no cumple, ni las
restricciones transitorias ni las permanentes. Se analizará que tipo de controlador se
debe añadir.
El controlador proporcional mejorara el ts pero el error no será cero, de igual manera
será con el controlador PD. El controlador PI, al aumentar el tipo del sistema, cumple
con el requerimiento del error, aún cuando desmejora la respuesta transitoria se
intentará diseñar este tipo de controlador utilizando la parte proporcional para manejar
la respuesta transitoria.
a) ECLC (con un Controlador Proporcional Integral)
⎛ s + 1 TI
1+ KP⎜
⎝ s
⎞⎛ 2 ⎞
⎟⎜
⎟=0 →
⎠⎝ 2s + 1 ⎠
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2TI s 2 + TI (1 + 2K P ) s + 2K P = 0
53
YAMILET SANCHEZ MONTERO
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS
s2 +
(1 + 2K P )
K
s+ P =0
2
TI
→
2ξω n = K P + 0,5
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
ω n 2 = K P TI
El único requerimiento que se debe cumplir es que el tiempo de establecimiento sea
menor o igual a 3, de allí que se verifica el valor que debe deben tener los parámetros
del controlador.
ts =
3
ξω n
=
6
≤ 0,5
K P + 0,5
→
12 ≤ K P + 0,5
→
K P ≥ 11,5
Ti puede tener cualquier valor.
b) Si además se solicita ξ = 1 entonces se verificaran los valores de los parámetros del
PI en el límite. Se toma KP = 11.5, con lo cual se satisface el establecimiento y se
calcula un TI de forma tal que se cumpla con el ξ.
2ξω n = K P + 0,5 = 12
→
ξω n = 6
→
ωn = 6
ω n 2 = K P TI
→
36 = K P TI = 11,5 TI
→
TI = 0,3194
c) Caso PID. Si se añade una parte derivativa se tiene que
ECLC (con controlador PID)
⎛ s + 1 TI ⎞⎛ 2 ⎞
1 + K P (1 + TD s)⎜
⎟⎜
⎟=0
⎝ s ⎠⎝ 2s + 1 ⎠
(2 + 2K P TD )s 2 + (1 + 2K P ) s + 2 K P TI = 0
De esta expresión para la ecuación característica se observa que es posible lograr un
mayor manejo de todos los términos de la ecuación, lo que fundamentalmente se
revierte en mayores posibilidades de manejo de la respuesta temporal.
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es decir,
a partir del modelo del proceso y del esquema de control. Si no se dispone de la
información antes descrita se plantea el uso de reglas de sintonización para
controladores, PID, donde la función de transferencia del controlador PID es de la
forma:
G C (s) = K P (1 + TD s +
K
1
)= P
TI s
TI
⎛ TD TI s 2 + TI s + 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
s
⎝
⎠
Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia
proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td basados en las
características de respuesta transitoria de una planta dada. La determinación de los
parámetros de los controladores PID puede ser realizada por ingenieros en el sitio
mismo efectuando experimentación en la planta.
Hay dos métodos denominados reglas de sintonización de Cohen – Coon y Ziegler –
Nichols, fundamentados en la experimentación en los cuales se pretende obtener, a
lazo cerrado, un sobrepaso máximo del 25 %.
10.1 Método de Cohen – Coon (Reacción)
En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un
escalón unitario, como se muestra en la siguiente figura. Si la planta no incluye
integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al
escalón unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de S, como se observa
en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se puede aplicar
el método.
La curva en forma en S se puede caracterizar con dos parámetros, el tiempo del atraso
L y la constante de tiempo τ. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se
determinan trazando una línea tangente a la curva en la forma de S en el punto de
inflexión y se determinan las intersecciones de esta línea tangente con el eje del tiempo
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X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
y con la línea c(t) = K, como se muestra en la siguiente figura. Entonces la función de
transferencia C(s)/U(s) se puede aproximar por un sistema de primer orden con atraso
de transporte.
C(s ) K ⋅ e − L ⋅s
=
U (s ) τ ⋅ s + 1
Una vez identificado los parámetros del proceso, se obtienen los parámetros del
controlador utilizando la siguiente tabla.
Tipo de controlador
Kp
TI
Td
P
τ/L
∞
0
PI
0,9 τ/L
L/0,3
0
PID*
1,2 τ/L
2L
0,5L
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L
10.2 Método de Ziegler – Nichols (Oscilación Continua)
En este método, primero se hace Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del
controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp
desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez
oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo
para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.
De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el
período correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
calculan los valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a
continuación.
Tipo de controlador
Kp
Ti
Td
P
5Κcr
∞
0
PI
0,45Κcr
1/1,2Pcr
0
PID*
5Κcr
0,5Pcr
0,125Pcr
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr
Ejemplo
Se solicita que se sintonicen los parámetros del siguiente controlador utilizando el
método de oscilación continua.
Solución
Se debe calcular el valor de la ganancia critica (si existe). Para ello se utiliza el criterio
de estabilidad de Routh en la ecuación característica a lazo cerrado. Tomando la
función de transferencia del controlador como Gc(s) = Kp.
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
1+
s3
s2
s1
s0
KP
=0
s(s + 4)(s + 8)
1
12
b1
KP
32
KP
0
→
→
s 3 + 12s 2 + 32s + K P = 0
b1 =
12.32 - K P
≥0
12
→
Kcr ≤ 384
Con dicho valor de Kcr se sustituye en la ecuación característica y se calcula la
frecuencia de la oscilación sustituyendo s = jω
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
s 3 + 12s 2 + 32s + 384 = 0
s = jω
− ω 3 j − 12ω 2 + 32ωj + 384 = 0
(384 − 12ω 2 ) + (32 − ω 2 ) jω = 0
Como la solución que se busca es una raíz cuya parte real es cero, se tiene que:
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57
YAMILET SANCHEZ MONTERO
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
384 − 12ω 2 = 0 Æ
ω = 32 ⇒ ω = 5.66
2
A partir de dicho valor de ω se puede calcular el Período Crítico, Pcr, como:
Pcr =
2π
ω
=
2π
= 1.11
32
Con dichos valores de Kcr y Pcr se calculan los parámetros del controlador.
Kp = 0.6 Kcr = 230.4
Ti = 0.5 Pcr = 0.555
Td = 0.125 Pcr = 0.13875
En la siguiente gráfica se muestran las simulaciones correspondientes a la respuesta a
lazo cerrado, sin controlador y con el PID sintonizado con los parámetros originales, así
mismo, dos simulaciones adicionales en las cuales se han modificado el valor de los
parámetros del controlador logrando mejoras sustanciales en las respuestas.
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X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
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YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
Para mejorar el control de un proceso puede ser necesario incluir diferentes tipos de
esquemas de control, los cuales logran efectos diferentes, sobre las variables a
controlar, de los que se obtienen cuando se introduce un esquema en retroalimentación
simple. Entre otros, los esquemas de control a estudiar serán los que se mencionan a
continuación:
-
Esquema de control en cascada.
-
Esquema de control de alimentación adelantada.
-
Esquema de control de relación.
11.1.Esquema de control en cascada
Para un sistema de control de retroalimentación simple sólo se involucra una variable
medida y una variable manipulada en el lazo de control, tal como se muestra a
continuación, donde se plantea un lazo de retroalimentación simple para el control de la
temperatura del crudo a la salida del horno.
Este tipo de esquema mantiene la temperatura del horno, Y(s), en su valor de
referencia, R(s), pero es indiferente a las distintas perturbaciones que se presenten en
el proceso. Por ejemplo, si se presenta una perturbación en el flujo del gas, el esquema
de control de retroalimentación simple no tomará ninguna acción sino hasta que se
presente, a posteriori, una variación en la temperatura de salida. Añadiendo un
esquema de control en cascada se logra minimizar el efecto de dicha perturbación.
Para este ejemplo se puede resumir el efecto del esquema en cascada, sobre la
perturbación flujo de gas, como sigue: el valor de referencia para el flujo de gas viene
establecido por el control de temperatura, el cual decide que valor debe el flujo de gas
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
60
YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
para que la temperatura de salida se encuentre en el valor deseado. Para ello se mide,
de forma continua, el flujo de gas de forma tal que el esquema de control será sensible
ante variaciones en dicha perturbación y se tomará una acción de control antes de que
la variable principal a controlar sea afectada. En la siguientes figuras se muestran el
esquema de control en cascada para el horno y su correspondiente diagrama de
bloques.
Otro ejemplo en el cual se puede añadir un esquema de control en cascada es un
reactor con reacción exotérmica, en el cual se busca mantener constante la
temperatura T de la mezcla. En la camisa circula un refrigerante cuya temperatura TR
se considera una perturbación. La temperatura Ti también puede considerarse como
una perturbación. La única variable manipulada es el flujo de refrigerante FR.
El diagrama de bloques de este esquema de control de retroalimentación simple es
semejante al que se mostró anteriormente para el horno, donde R(s) será la
temperatura del reactor T y R(s) será la referencia de dicha temperatura.
En dicho lazo de retroalimentación se mide la temperatura T, se lleva al controlador,
donde se compara con la referencia y de allí se emite la acción de control que va a la
válvula manipulando FR. Este esquema de control no será muy efectivo si cambia TR,
pues el esquema de control sólo tomará una acción ante dicho cambio, cuando T se
vea modificada.
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
61
YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Una forma de mejorar dicho esquema, es medir la temperatura del refrigerante TR, y
tomar una acción de control antes de que el cambio en dicha temperatura tenga efecto
sobre la temperatura T, si TR aumenta se debe aumentar FR y viceversa. Este esquema
de control es una cascada, pues se minimiza el efecto de una perturbación interna al
lazo de retroalimentación simple, donde se miden dos variables T y TR y se tienen dos
lazos con una sola variable manipulada (FR), tal como se muestra a continuación.
(a) El lazo de control que mide T (variable principal), usa como referencia el valor de T
fijado por el operador.
(b) El lazo de control que mide TR (variable secundaria), utiliza la salida del controlador
primario como referencia y es llamado el lazo esclavo.
Para el caso de la perturbación en Ti no se puede utilizar un esquema de control en
cascada pues dicha perturbación no es interna al lazo de retroalimentación simple, para
ello se planteará un esquema diferente que se estudiará a continuación.
Los ejemplos mencionados anteriormente son esquemas muy comunes en procesos
químicos. El diagrama de bloques de un esquema de control en cascada, en forma
general, puede ser resumido como sigue:
El proceso tiene como salida C(s),variable principal a controlar, cuya referencia viene
establecida por R(s). El lazo principal tiene un controlador que compara el valor real de
C(s) con su referencia y fija el valor de la referencia para el lazo de control secundario,
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
62
YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
cuyo controlador compara la señal proveniente del medidor secundario, o perturbación
a minimizar, con el valor su referencia. Finalmente se ejecuta una acción sobre la
variable manipulada de forma tal que el valor de la variable principal a controlar y de la
secundaria se acerquen a sus valores de referencia.
Resumiendo, un esquema de control en cascada tiene como objetivo minimizar las
perturbaciones internas al lazo de retroalimentación simple.
Además presenta una
mayor rapidez de respuesta ante dichas perturbaciones que un sistema de control con
sólo retroalimentación simple.
11.2. Esquema de control en alimentación adelantada (Feed- forward)
Un esquema de control en alimentación adelantada mide la perturbación y toma acción
para reducir el efecto de dicha variable sobre la variable a controlar. La diferencia entre
este tipo de esquema y el anterior es que la alimentación adelantada se utiliza para
minimizar las perturbaciones externas al lazo de retroalimentación simple.
En el
siguiente ejemplo se puede apreciar el efecto que se busca al añadir este tipo de lazo.
Lazo I:
Esquema de retroalimentación simple en el cual se
controla la temperatura T, manipulando el flujo de vapor. En este
lazo de control si se tienen variaciones de Ti , el controlador no
toma ninguna acción, sino hasta que la temperatura T se vea
modificada.
Lazo II: Este sería un lazo en alimentación adelantada, el cual
toma una acción una vez que mide una variación en la
temperatura (Ti ) a la entrada.
En general, en los siguientes diagramas se puede mostrar la diferencia entre un lazo de
retroalimentación simple y un alimentación adelantada.
Perturbación
Perturbación
Controlador
Variable
Manipulada
Variable
Manipulada
Variable
Controlada
Proceso
estos
diagramas
se
puede
Variable
Controlada
Controlador
Esquemas de control en retroalimentación
Simple
Esquemas de control en Alimentación Adelantada
En
Proceso
observar
claramente
que
un
esquema
en
retroalimentación simple toma acción una vez que se haya modificado la variable a
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
63
YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
controlar, en tanto que, la alimentación adelantada toma acción en el momento en que
la varía la perturbación.
Entre otras cosas, se puede concluir que en un esquema de control en alimentación
adelantada la variable a controlar no es la variable a medir, además, el controlar debe
incluir la información relativa al sistema, (fundamentada en un modelo del sistema),
pues este debe conocer el efecto que tiene la perturbación sobre la variable a controlar.
Esto implica que este controlador no es convencional, sino particular según el sistema.
A medida que sea mejor el modelo del sistema,
mejor será el controlador en
alimentación adelantada.
Resumiendo, se puede concluir que:
9 La señal medida no es la señal controlada.
9 El controlador no es un controlador convencional (P, PI, PID) sino que depende del
modelo del proceso.
9 Debido a que no es un modelo perfecto el controlador tendrá allí su mayor debilidad.
Este esquema pareciera perfecto, pues, se adelanta a tomar acciones de control en el
momento en que aparecen perturbaciones, pero, sería necesario identificar todas las
perturbaciones posibles, para así poder implementar tantos lazos como sea necesario,
lo que no es posible. Además, si hubiese algún cambio en un parámetro físico no podrá
ser compensado, pues no sería detectable.
Por todo lo anterior, lo mejor sería introducir un esquema de control que contenga
alimentación adelantada y retroalimentación a la vez cuyo Diagrama de Bloques se
muestra seguidamente.
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
64
YAMILET SANCHEZ MONTERO
CAP. XI. OTROS ESQUEMAS DE CONTROL
INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
11.3. Esquema de control de relación
Se utiliza para controlar la relación entre dos flujos, los dos flujos son medidos, pero
sólo uno es manipulado. Se pueden mostrar dos configuraciones para el control de
relación, las cuales se muestran a continuación.
Esquema (a): Se miden ambos flujos y se obtiene su relación, se compara con la
relación deseada (referencia) y se manipula uno de los flujos.
Esquema (b): Se miden ambos flujos, se multiplica el flujo no controlado por la relación
deseada y se utiliza como referencia para un controlador de flujo que manipulará el otro
flujo para obtener el resultado deseado.
Este tipo de esquema es muy utilizado en diferentes procesos químicos como, Relación
entre dos reactantes, relación aire (combustible, etc.)
JENNY MONTBRUN DI FILIPPO
65
YAMILET SANCHEZ MONTERO