Generación de Onda Senoidal Modulación por Ancho de Pulso

Generación de Onda Senoidal
Modulación por Ancho de Pulso
Marder, Felipe - Aquino, Carlos de J. - Lombardero, Guillermo O.
Departamento de Ingeniería Eléctrica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
9 de Julio 1449 - 2º Piso - Laboratorio Nº 10 - (3400) Corrientes - Argentina.
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ANTECEDENTES
Entre los objetivos fijados por el Grupo de Investigación, PI Nº 454 “Diseño de sistemas de control y
automatización para la industria, basado en micro controladores”, se encuentra el diseño e implementación de
una UPS (Uninterruptible Power Supply), que fuera capaz de generar ondas sinusoidales.
El presente trabajo consiste en el estudio matemático de las formas de onda a aplicarse y su relación con el
objetivo enunciado mas arriba.
Una UPS suministra, a la salida una tensión igual a la de la red de energía eléctrica local, tanto en su magnitud
(220 Voltios eficaces en nuestro caso) como en su frecuencia (50 Hertz), pero además puede o no respetar la
forma senoidal de la tensión de salida. En el caso en que se decida optar por esta última, aparecen dificultades
para sintetizar la misma, por lo que no es un esquema estándar.
Brevemente expliquemos como funciona una UPS. A partir de una fuente de energía primaria de baja tensión, (
por ejemplo 12 voltios de corriente continua de una batería), se obtiene una salida como la descripta en el
párrafo anterior. Para conseguir esto debemos atacar, con los niveles de tensión de la fuente primaria, a un
transformador que se encargará de elevar la tensión a los niveles deseados en el secundario.
Además, debemos conseguir que la frecuencia y la forma de onda sean las mismas que las de la red. Esto
constituye el corazón de la UPS, y en nuestro caso fue implementado con un microcontrolador.
Como los elementos de control, en aras a tener buen rendimiento, deben trabajar en régimen de conmutación, (es
decir en estado de saturación o de corte). Esto restringe las posibilidades de las formas de onda que podremos
aplicar en el primario del transformador, las que serán rectangulares, debido a que si queremos mantenernos en
el citado régimen, estamos limitados a dos valores netamente diferentes:
1) Tensión primaria plena (Por ejemplo 12 voltios)
2) Tensión cero ( 0 Voltios)
Así pues, aplicaremos una sucesión de pulsos rectangulares, cuya duración (Período) será de 20 milisegundos,
de manera de tener asegurada la frecuencia de 50 Hertz.
Hasta aquí no tenemos nada novedoso, salvo los problemas de implementación práctica.
Las dificultades surgen cuando se desea que una determinada sucesión de pulsos rectangulares, aplicados al
primario de un transformador, tengan en su secundario una forma que se aproxime lo máximo posible a la forma
sinusoidal.
METODOLOGIA
Es conocido el hecho, de que existen determinadas sucesiones de pulsos, en las que ajustando,
1) La cantidad de pulsos
2) La duración de los pulsos
3) El espaciamiento entre pulsos,
se puede obtener una onda, que nunca será una sinusoidal pura, ya que parte en su generación de pulsos
rectangulares. Sin embargo si se eligen adecuadamente los tres valores antes citados, se puede conseguir que los
armónico superiores, hasta un número muy bien definido se hacen prácticamente nulos o al menos despreciables
(1)
. Como contrapartida aparece un efecto secundario indeseable y es que los armónicos superiores podrán ser de
amplitudes muy grandes. (1) (Exceptuando la fundamental, que es la que nos interesa se mantenga pues será
nuestra tensión de salida)
Cuanto mayor sea la cantidad de armónicos, que se desea sean despreciables, se deberá también tomar mayor
cantidad de pulsos rectangulares.
Además para que ocurra prácticamente, una completa eliminación de armónicos, el ancho de los pulsos y el
espaciamiento entre los mismos, debe darse con extrema exactitud, en el orden de la diez milésima de grado
sexagesimal. Esto traducido a tiempos, quiere decir que debemos dar los mismos con una precisión de 0,055
microsegundos. (Supuesto un período de la onda de 20 milisegundos, lo que corresponde a una frecuencia de 50
Hertz)
En el caso que nos ocupa, el microcontrolador usado trabaja a una frecuencia de reloj de 4 Mega hertz, lo que
nos dice de inmediato que el tiempo más pequeño que manejará, será de un microsegundo, ya que el ciclo de
máquina es de cuatro ciclos de reloj.
.
El problema planteado fue: ver si con los tiempos que puede manejar nuestro microcontrolador, y tomando
como base las distribuciones conocidas y adaptándolas a los nuevos tiempos, se conseguían similares resultados,
en cuanto a nivel de armónicos.
Con esa finalidad se comenzó el estudio con una distribución de catorce pulsos por ciclo, lo que asegura como
primer armónico importante, el número trece.
Se ajustaron los tiempos, y se generó un archivo de datos representativo de la onda propuesta, el que consiste de
20.000 puntos, con igual espaciado temporal de 1 microsegundo y con amplitudes de 0, 1 y –1 Voltios (Los
valores negativos corresponden al semiciclo negativo) Ver Figura 1.
P u n to s .d a t
1 .5
Tensión [ Voltios ]
1 .0
0 .5
0 .0
-0.5
-1.0
-1.5
0
5000
10000
15000
20000
T ie m p o [ M ic r o s e g u n d o s ]
Figura 1.
Luego se efectuó un desarrollo en Serie de Fourier de la función definida por el conjunto de datos, valiéndonos
de las siguientes expresiones:
f (t) = A0 +
∑
∫
T
A0 = (1/T)
∫
T
An = (2/T)
Bn = (2/T)
0
0
∫
∞
n =1
An cos (n2π t/T) +
∑
∞
n =1
Bn sen (n2π t/T)
f (t) cos (n2π t /T) dt
(1)
f (t) cos (n2π t /T) dt
(2)
f (t) sen (n2π t /T) dt
(3)
T
0
Acotemos que en los cálculos de las expresiones (1), (2) y (3), se usaron sumatorias, en lugar de integrales,
debido al carácter discreto del conjunto de datos.
Efectuados los cálculos para los que se confeccionaron programas en Fortran para ese propósito, se obtuvieron
los siguientes resultados:
a) En la Serie de Cosenos: Todos los armónicos son despreciables.
b) En la Serie de Senos: Los armónicos pares son despreciables, y los impares lo son hasta el número 11.
Todos los armónicos se expresaron en función de la fundamental la que tiene una amplitud muy próxima a 1
Voltio.(Se supone el valor de tensión de la onda de entrada, igual a 1 voltio)
DISCUSION DE RESULTADOS - CONCLUSIONES
Analizando los coeficientes calculados, se observa que con error del orden del microvoltio los coeficientes de los
armónicos pares se pueden despreciar (lo que es razonable ya que la función cuyo desarrollo se efectúa, es
impar), centraremos pues nuestro interés en los armónicos impares.
Respecto a los armónicos impares, se observa que hasta el armónico once, las amplitudes de los coeficientes de
Fourier no exceden de 0,4 milivoltios ( Armónico 7)
En cambio son muy importantes las amplitudes de los armónicos superiores, por ejemplo: Armónico de orden:
13 = 8%, 15 = 4%, 17 = 30%, etc.
Por los estudios anteriores y con las consideraciones hechas, se concluye que la distribución práctica sugerida de
la sucesión de pulsos rectangulares, con las limitaciones adicionales impuestas por la frecuencia de trabajo del
microprocesador, dan una solución satisfactoria a la síntesis de una onda sinusoidal, si es posible eliminar los
armónicos cuyo orden sea igual o superior al número trece.
Esto se logrará colocando a la salida del transformador un filtro, cuya finalidad será eliminar los armónicos
superiores a partir del de orden 13.
Como ilustración se observa en la Fig. 2 la onda obtenida con la inclusión de los 12 primeros armónicos.
En la Fig. 3 se considera el aporte de los 999 primeros armónicos, a los fines de comprobar que los coeficientes
calculados, efectivamente reproducen los datos originales (Dentro de los límites de error admitidos en la
simulación)
Para cuantificar la desviación de la forma de onda obtenida, de la correspondiente a la sinusoidal, se utiliza la
Distorsión Armónica Total, calculada con la expresión (4)
∞
D=
(∑ C 2n )
n =2
C1
.100
donde : C n = An + B n
(4)
(5)
Si en el cálculo de la expresión (4), teniendo en cuenta (5), se toman los doce primeros armónicos resulta:
D = 0,0444955 %
De lo que se deduce que si se eliminan los armónicos, desde el número trece en adelante, la sintetización de la
onda senoidal, será a los fines prácticos casi perfecta.
Es importante además considerar la energía puesta en juego por los armónicos superiores, evaluarla en una
primera instancia.
En nuestro caso la potencia asociada a la fundamental, es de un 79,24 % de la potencia total, lo que nos dice que
será necesario mejorar el rendimiento del sistema.
Este problema será abordado en un próximo artículo.
BIBLIOGRAFIA
1) Introducción a los Microcontroladores – José Adolfo González Vázquez – Capitulo 11
Editorial Mc Graw Hill – 1992
2) Programación en Fortran 77 – Félix García Merayo – Capítulos Varios
Editorial Paraninfo - 1992
3) Magic Sine Waves. Don Lancaster. http//:www.tinaja.com
1.5
Caln12.dat
Tensión [ Voltios ]
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
5000
10000
15000
20000
Tiempo [ Microsegundos ]
Figura 2
1.5
C a ln 9 9 9 . d a t
Tensión [ Voltios ]
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
5000
10000
15000
T ie m p o [ M i c r o s e g u n d o s ]
Figura 3
20000