El método de completar el cuadrado

El método de completar el cuadrado
1. Resolución de una ecuación de segundo grado geométricamente.
Examinaremos un método geométrico para resolver la ecuación del segundo grado:
x2 + px = q (con p > 0 y q > 0)
Interpretemos los términos de la ecuación como áreas. Entonces el término x2 representa el
área de un cuadrado de lado x y el término px el área de un rectángulo de las dimensiones x y p
p
(x > 0); este último rectángulo es equivalente a 4 rectángulos de dimensiones x y --- . El primer
4
miembro de la ecuación se representa como el área del cuadrado y de los cuatro rectángulos
que se ven en la figura siguiente:
A
p
4
D
p
4
x2
p
4
x
p
4
B
C
Es fácil ver que podremos «completar» nuestro diseño en un cuadrado, agregando cuatro cuap
drados iguales oportunamente elegidos: cada uno de estos cuadrados tendrá lado --- .
4
E
A
H
p
4
D
p
4
x2
p
4
x
B
p
4
C
F
G
El área del cuadrado mayor, es decir es el área del cuadrado EFGH, está dada por:
área del cuadrado central
área de los rectángulos grises
p
2
x + px + 4 ⎛ ---⎞
⎝ 4⎠
2
2
2
= x + px + p--4
área de los cuatro cuadrados
complementarios
2
Pero el segundo miembro de la última igualdad es: ⎛ x + p---⎞ .
⎝
2⎠
(nótese que p--- + x + p--- = x + p--- es justo la medida del lado del cuadrado EFGH). Para satisfa4
4
2
cer la ecuación tal área debe ser igual a:
2
p
q + ---4
término agregado
al primer miembro
Por lo tanto
2
2
⎛ x + p---⎞ = q + p----⎝
4
2⎠
valor positivo
porque es suma
de positivos
2
2
+ 4q⎛ x + p---⎞ = p----------------⎝
⎠
2
4
2
p + 4q
x + p--- = --------------------2
2
2
p + p + 4qx = –----------------------------------2
Por lo que hemos obtenido la solución x positivo de la ecuación inicial.
2. Actividad con Cabri.
La figura siguiente es una figura dinámica de Cabri: puedes arrastrar el punto A o el punto B.
Arrastrando el punto B modificas el coeficiente p de la ecuación (p positivo), arrastrando el
punto A varías la medida x del lado del cuadrado. Nota que arrastrando x, el área del cuadrado
y los cuatro rectángulos varían con continuidad desde 0 a infinito.
Ahora, dado un cierto valor positivo q, resolver la ecuación:
x2 + px = q (con p > 0 y q > 0)
significa arrastrar el punto A hasta que el área sea (aproximadamente) igual a q. Se puede
encontrar siempre un valor para x (positivo) tal que la ecuación sea satisfecha. Eso significa, en
consecuencia, que una ecuación de este tipo con p y q positivos, siempre admite solución real.
Por ejemplo en la situación inicial de la siguiente figura ten en cuenta que la solución positiva
de la ecuación: x2+ 4,58 = 19,64 es aproximadamente x = 2,7.
Figura cabri:
completar_cuadrados.fig
Experimenta ahora tú, resolviendo geométricamente otras ecuaciones.
l
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