La evolución temporal.

Capı́tulo 16
La evolución temporal.
16.1.
Sistemas conservativos; representación de interacción.
En un sistema conservativo el Hamiltoniano H es independiente del tiempo. La ecuación
de Schrödinger
(16.1)
i~
dΨt
= HΨt , Ψs = ψ ,
dt
es equivalente a la ecuación
(16.2)
i~
∂U
(t, s) = HU (t, s) , U (s, s) = 1 ,
∂t
para el propagador U (t, s) que propaga el estado del instante de tiempo s al instante de
tiempo t. Con Ut = exp{−itH/~} que es un operador unitario con
i~
d
Ut = HUt , Uo = 1 , Ut Us = Ut+s ,
dt
tenemos U (t, s) = Ut−s ; el propagador depende solamente de la distancia temporal t − s y
la solución de la ecuación de Schrödinger es entonces
(16.3)
Ψt = U (t, s)Ψs = Ut−to ψ .
El propagador U (t, s) es unitario y se tiene la relación
U (t, t′ )U (t′ , s) = U (t, s)
caracterı́stica para un propagador.
Frecuentemente, el Hamiltoniano es de la forma H = Ho + H1 y el operador de evolución
(o)
temporal Ut = exp{−itHo /~} asociado con Ho es conocido, o a veces, la evolución temporal
asociada con Ho no nos interesa. En tal caso, definiendo
(o)
(o)
(o)
Φt = (Ut )∗ Ψt = U−t Ψt , Ψt = Ut Φt
213
(o)
tenemos, ya que Ut
conmuta con Ho para todo t,
!
(o)
dU−t
d
(o)
(o)
(o)
i~ Φt = i~
Ψt + Ut HΨt = −Ho U−t Ψt + U−t Ψt
dt
dt
(o)
(o)
(o)
(o)
(o)
= −U−t Ho Ψt + U−t Ho Ψt + U−t H1 Ψt = U−t V Ut Φt
i.e.,
(16.4)
i~
d
(o)
Φt = H1 (t)Φt , Φto = U−to Ψo
dt
con
(o)
(o)
H1 (t) = (Ut )∗ H1 Ut
(16.5)
.
Esta es la ecuación de movimiento para el estado Φt en la llamada representación de interacción (respecto de Ho ). Si Ho no conmuta con H1 , el Hamiltoniano H1 (t) depende explicitamente del tiempo, aunque esto es un artefacto de la representación. Por supuesto, en virtud
de (16.3),
(o)
Φt = U−t U (t, to )Ψo ,
donde U (t, s) = Ut−s = exp{−i(t − s)H/~} es el propagador unitario asociado con H =
Ho + H1 , con lo cual el propagador U (i) (t, s) asociado con (16.4), i.e.,
Φt = U (i) (t, to )Φto ,
es simplemente
(o)
U (i) (t, s) = U−t U (t, s)Us(o) = eitHo /~ e−i(t−s)H/~ e−isHo /~ .
Alternativamente, el propagador U (t, s) se expresa en términos del propagador U (i) (t, s) por
(o)
(o)
U (t, s) = Ut U (i) (t, s)U−s .
(16.6)
Cuando, y solo cuando, Ho y H1 conmutan, se tendra U (i) (t, s) = exp{−i(t − s)H1 /~}.
Notese que
(o)
(o)
hΨt |A|Ψt i = hΦt |U−t AUt |Φt i ,
con lo cual el cálculo de valores esperados de cualquier observable A en la representación de
interacción se hace con la fórmula
(o)
(o)
hΦt |A(t)|Φt i , A(t) = (Ut )∗ AUt
16.2.
.
Sistemas no conservativos
Tipicamente, las mediciones de un sistema cuántico se realizan sometiendo al sistema a
la interacción con “campos” controlados por el experimentador. En estos casos el sistema
214
cuántico no es conservativo y el Hamiltoniano H(t) dependerá del tiempo. La ecuación de
Schrödinger es entonces
(16.7)
i~
dΨt
= H(t)Ψt , Ψto = Ψo .
dt
Suponemos dado entonces el operador lineal H(t). Si la ecuación de Schrödinger admite una
solución única para condiciones iniciales Ψs en un subespacio I del espacio de Hilbert subyacente H, estas soluciones definen un mapa U (t, s) : I → H via U (t, s)Ψs = Ψt . Claramente,
I forma parte del dominio de definición del operador H(t) para todo t. Tendremos entonces
(16.8)
i~
∂U (t, s)
= H(t)U (t, s) , U (s, s) = 1 .
∂t
Ahora, si deseamos preservar la interpretación probabilistica de la función de onda es preciso
que k U (t, s)Ψs k=k Ψs k para todo t y s con Ψs ∈ I; i.e., U (t, s) es isométrico sobre I para
todo t, s. Tomando la derivada
i~
∂
k U (t, s)Ψs k2 = −hH(t)U (t, s)Ψs |U (t, s)Ψs i + hU (t, s)Ψs |H(t)U (t, s)Ψs i
∂t
y con s = t,
hH(s)Ψs |Ψs i = hΨs |H(s)|Ψs i ,
o sea que H(s) es simétrico (formalmente autoadjunto) sobre I. Además, para propagar la
condición inicial Ψs hasta t dada por U (t, s)Ψs , podemos primero propagar Ψs hasta t′ , para
obtener U (t′ , s)Ψs y luego propagar esto hasta t, U (t, t′ )U (t′ , s)Ψs . Luego, pedimos que
U (t, t′ )U (t′ , s) = U (t, s) .
Tomando aquı́ t = s obtenemos que U (s, t) es el inverso de U (t, s). Entonces U (t, s) puede
extenderse a un operador isométrico del cierre de I en H. Si I es denso en H obtenemos
ası́ el propagador que seguimos denotando por U (t, s) que es un operador isométrico de H en
si mismo. Ya que U (t, s) y su inverso son ambos isométricos, tenemos que U (t, s) es unitario,
i.e., U (t, s)∗ = U (s, t). También,
∗
∂
∂
∂
∗
i~ U (t, s) = i~ U (s, t) = −i~ U (s, t) = (−H(s)U (s, t))∗ = −U (t, s)H(s) .
∂s
∂s
∂s
Se puede demostrar que si H(t) es un operador autoadjunto para todo t con un dominio de
definición independiente de t, entonces existe el propagador U (t, s) que es solución unitaria
de (16.8) y U (t, s)Ψs es la solución de la ecuación de Schrödinger (16.7) para toda condición
inicial Ψs en el dominio de definición.
La ecuación diferencial (16.8) para el propagador es equivalente a la ecuación integral
Z t
−1
U (t, s) = 1 − i~
H(x)U (x, s)dx .
s
215
Como siempre, esto conduce a un proceso iterativo de solución. Tomando U0 (t, s) = 1,
obtenemos
Z t
Z t
−1
−1
U1 (t, s) = 1 − i~
H(x)U0 (x, s)dx = 1 − i~
H(x)dx ;
s
y luego
U2 (t, s) = 1 − i~
−1
s
t
Z
H(x)U1 (x, s)dx = 1 + (−i/~)
0
Z t Z x
2
+(−i/~)
dx
dyH(x)H(y) ;
s
etc.. En general,
Un (t, s) =
n
X
(−i/~)
m=0
con
m
Z
t
dt1
s
Z
Z
t
H(x)dx
s
s
t1
dt2 · · ·
s
Z
tm−1
dtm H(t1 )H(t2 ) · · · H(tm ) ,
s
∂
Un (t, s) = H(t)Un−1 (t, s) .
∂t
Dejando de lado los problemas de la convergencia de la serie,
Z t
Z t1
Z tm−1
∞
X
m
(−i/~)
(16.9)
U (t, s) =
dt1
dt2 · · ·
dtm H(t1 )H(t2 ) · · · H(tm ) .
i~
m=0
s
s
s
Observe que la integral es del tipo telescópico, t ≥ t1 ≥ t2 · · · ≥ tm ≥ s, y que el orden de
los factores H(t1 )H(t2 ) · · · H(tm ) es importante cuando, como es el caso en general, H(x) no
conmuta con H(y) para x 6= y. Cuando H(t) = H no depende de t, la m-ésima integral es
trivial y da (t − s)m /(m!) lo que recupera la exponencial e−i(t−s)H/~ .
Frecuentemente se introduce el llamado operador de ordenamiento temporal T dado por
T(H(t1 )H(t2 ) · · · H(tn ))
=
X
θ(tσ(1) − tσ(2) )θ(tσ(2) − tσ(3) ) · · · θ(tσ(n−1) − tσ(n) )H(tσ(1) )H(tσ(2) ) · · · H(tσ(n) ) ,
σ∈Sn
donde θ es la función de Heaviside o salto unitario en 0, i.e. θ(t) = 1 si t ≥ 0 y sino
θ(t) = 0. El manipuleo de esta fórmula algo engorrosa indica que el operador T actua muy
simplemente: toma el producto H(t1 )H(t2 ) · · · H(tn ) y lo reordena de tal manera que los
tiempos t1 , t2 , · · · , tn esten ordenados de mayor a menor de izquierda a derecha. Usando el
operador de ordenamiento temporal, se puede reescribir a (16.9) como1
Z
Z t
Z t
∞
X
(−i/~)m t
dt1
dt2 · · ·
dtn T(H(t1 )H(t2 ) · · · H(tn )) .
(16.10)
U (t, s) =
m!
s
s
s
m=0
1 Para
verificar esto considere el sumando con m = 2 con un integrando arbitrario f (t1 , t2 ); se tiene
Z t2
Z t1
Z t
Z t
Z t
Z t
dt1 f (t1 , t2 )
dt2 f (t1 , t2 ) +
dt2
dt1
dt2 f (t1 , t2 ) =
dt1
0
0
0
0
0
0
|
|
{z
}
{z
}
T1
T2
concomitantemente con partir la integración sobre el cuadrado [0, t]×[0, t] en la suma de las integraciones sobre los dos triángulos
T1 = {(t1 , t2 ) : 0 ≤ t1 ≤ t , 0 ≤ t2 ≤ t1 } y T2 = {(t1 , t2 ) : 0 ≤ t2 ≤ t , 0 ≤ t1 ≤ t2 }. En nuestro caso f (t1 , t2 ) = T(H(t1 )H(t2 ))
216
La fórmula (16.10) es tan útil/inútil como (16.9) salvo que trivializa la verificación de que
Z t
−i
′
′
H(t )dt
U (t, s) = exp
~ s
en el caso en el cual H(x) conmuta con H(y) para todo x, y en el intervalo subtendido por
s y t.
Para los valores de expectación de una observable A se tiene
hU (t, s)Ψs |A|U (t, s)Ψs i = hΨs |U (t, s)∗ AU (t, s)|Ψs i
y, como en el caso conservativo, si definimos
AH (t, s) = U (t, s)∗ AU (t, s)
tendremos que la representación de Heisenberg –en la cual evolucionan los operadores y no
los estados– es equivalente a la de Schrödinger. La ecuación de movimiento para AH (t, s) es
(haga el cálculo)
∂
AH (t, s) = (i/~)U (t, s)∗ [H(t), A]U (t, s) = (i/~)[U (t, s)∗ H(t)U (t, s), AH (t, s)] ;
∂t
∂
AH (t, s) = (i/~)[AH (t, s), H(s)] = (i/~)U (t, s)∗ [A, U (t, s)H(s)U (t, s)∗ ]U (t, s) ;
∂s
Note que, en general, U (t, s)∗ H(t)U (t, s) 6= H(t) y U (t, s)H(s)U (t, s)∗ 6= H(s).
y
Z
t
dt1
0
=
Z
Z
t
dt2 T(H(t1 )H(t2 )) =
0
t
dt1
0
Z
Z
t1
dt2 H(t1 )H(t2 ) +
0
t
dt1
0
Z
0
Z
Z
Z
Z
t
dt2
t1
dt2 T(H(t1 )H(t2 )) +
t2
dt1 H(t2 )H(t1 ) = 2
0
0
Z
t2
dt2
t1
dt1
Z
t
0
dt1 T(H(t1 )H(t2 ))
0
0
t
dt2 H(t1 )H(t2 ) .
0
Para el sumando m = 3 descomponemos la integración sobre el cubo [0, t] × [0, t] × [0, t] en 3! = 6 integrales de acuerdo con la
partición del cubo en 6 pirámides triangulares congruentes (la notación es algo imprecisa pero...)
[0, t] × [0, t] × [0, t] = {0 ≤ t1 ≤ t, 0 ≤ t2 ≤ t1 , 0 ≤ t3 ≤ t2 } ∪ {0 ≤ t1 ≤ t, 0 ≤ t3 ≤ t1 , 0 ≤ t2 ≤ t3 }
∪{0 ≤ t2 ≤ t, 0 ≤ t1 ≤ t2 , 0 ≤ t3 ≤ t1 } ∪ {0 ≤ t2 ≤ t, 0 ≤ t3 ≤ t2 , 0 ≤ t1 ≤ t3 }
∪{0 ≤ t3 ≤ t, 0 ≤ t2 ≤ t3 , 0 ≤ t1 ≤ t2 } ∪ {0 ≤ t3 ≤ t, 0 ≤ t1 ≤ t3 , 0 ≤ t2 ≤ t1 } ,
cada una de las cuales contribuye
Z
t
du
Z
Z
u
dv
0
0
v
dwH(u)H(v)H(w) .
0
En general la partición del hipercubo m-dimensional de lado [0, t] en en m! hiper-pirámides (más precisamente simplices
poliédricos en Rm generados por m + 1 vértices) congruentes
Tσ = {(t1 , t2 , · · · , tn ) : 0 ≤ tσ(1) ≤ t, 0 ≤ tσ(2) ≤ tσ(1) , 0 ≤ tσ(3) ≤ tσ(2) , · · · , 0 ≤ tσ(n) ≤ tσ(n−1) } , σ ∈ Sm ,
todas las cuales contribuyen
Z
=
Z
|
t
0
dtσ(1)
tσ(1)
0
dtσ(2) · · ·
{z
Z
tσ(n−1)
dtσ(n) T[H(t1 )H(t2 ) · · · H(tn )]
}
0
Tσ
dtσ(1)
Z
=
Z
t
0
Z
tσ(1)
dtσ(2) · · ·
0
t
dt1
0
Z
Z
tσ(n−1)
dt2 · · ·
0
dtσ(n) H(tσ(1) )H(tσ(2) ) · · · H(tσ(n) )
0
t1
Z
tn−1
dtn H(t1 )H(t2 ) · · · H(tn ) ,
0
muestra que (16.10) y (16.9) son idénticas.
217
16.3.
Probabilidades de transisición
Si φ y ψ son vectores unitarios, el número
|hφ, ψi|2
se interpreta como probabilidad de transición entre los estados asociados con φ y ψ. Observese
que si z1 y z2 son complejos unimodulares entonces |hz1 φ, z2 ψi| = |hφ, ψi| lo que nos permite
asignar el número al par de estados. Y, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
0 ≤ |hφ, ψi|2 ≤ 1
habiendo igualdad a la derecha si y sólo si ψ = zφ con |z| = 1 de modo que ψ y φ obtienen el
mismo estado; y habiendo igualdad a la izquierda cuando y sólo cuando φ y ψ son ortogonales.
Se tiene
|hφ, ψi|2 = kPφ ψk2 = kPψ φk2 ,
donde Pχ denota el ortoproyector al subespacio unidimensional generado por χ 6= 0; o sea:
Pχ ξ :=
hχ, ξi
χ.
kχk2
Esto sugiere generalizar y interpretar a
kP ψk2 = hP ψ, P ψi = hψ, P ψi ,
como probabilidad de transición del estado asociado con el vector unitario ψ al subespacio
cerrado E asociado con el proyector ortogonal P . Nuevamente, kP (zψ)k = kP ψk si |z| = 1 y
0 ≤ kP ψk2 ≤ kP ψk ≤ 1
con igualdad a la izquierda si y sólo ψ ∈ E ⊥ e igualdad a la derecha si y sólo si ψ ∈ E.
Usando la definición de la traza, podemos escribir
kP ψk2 = tr(P Pψ ) .
16.4.
Perturbaciones temporales
Muy frecuentemente el sistema cuántico no conservativo tiene un Hamiltoniano H(t) de
la forma
H(t) = Ho + V (t) .
Ho describe la evolución libre del sistema y H1 (t) es controlado por el experimentador.
Pasando al representación de interacción con Ho , el propagador U (i) (t, s) satisface
i~
con
∂ (i)
(o)
(o)
U (t, s) = U−t V (t)Ut U (i) (t, s) = V (i) (t)U (i) (t, s)
∂t
(o)
(o)
V (i) (t) = U−t V (t)Ut
218
.
Con la fórmula (16.9) para U (i) (t, s) y usando (16.6), obtenemos
(o)
s
m=0
=
∞
X
(o)
U (t, s) = Ut U (i) (t, s)U−s
Z t
Z t1
Z tm−1
∞
X
(o)
(o)
m
=
(−i/~)
dt1
dt2 · · ·
dtm Ut V (i) (t1 )V (i) (t2 ) · · · V (i) (tm )U−s
(−i/~)m
m=0
Z
t
dt1
s
Z
s
t1
dt2 · · ·
s
s
Z
tm−1
s
(o)
(o)
(o)
(o)
dtm Ut−t1 V (t1 )Ut1 −t2 V (t2 ) · · · Utm−1 −tm V (tm )Utm −s .
Este es un desarrollo (formal) en potencias de V que es generalmente inmanejable, salvo
(o)
cuando el propagador libre Ut es conocido explicitamente y se pueden calcular los integrandos. Sin embargo, para |t − s| chico,
Z t
(o)
(o)
−1
U (t, s)Ψ ≈ U1 (t, s)Ψ ≡ Ψ − i~
dsUt−x V (x)Ux−s Ψ
s
y entonces
(16.11)
hΦ|U (t, s)Ψi ≈ hΦ|Ψi − i~
−1
Z
t
(o)
(o)
hUx−t Φ|V (x)|Ux−s Ψi .
s
En el caso particular donde tanto Φ como Ψ son autofunciones normalizadas –y ortogonales
si distintas– de Ho a los autovalores EΦ y EΨ respectivamente, tendremos
Z t
−1 −it(EΦ /~)+is(EΨ /~)
hΦ|U (t, s)Ψi ≈ hΦ|Ψi − i~ e
eiτ (EΦ −EΨ )/~ hΦ|V (τ )|Ψi dτ .
s
Luego, para el caso Φ 6= Ψ la probabilidad de transición del estado Ψ al tiempo s al estado
Φ al tiempo t, es
Z t
2
2
−2 iτ (EΦ −EΨ )/~
(16.12)
|hΦ|U (t, s)Ψi| ≈ PB (Ψ, s; Φ, t) ≡ ~ e
hΦ|V (τ )|Ψi .
s
Esta fórmula conocida como aproximación de Born para la probabilidad de transición entre autoestados de la evolución libre es la base de mucha mitologı́a cuántica. En primer
lugar, U1 (t, s) no es una isometrı́a por lo cual no debe sorprendernos si el miembro derecho
de (16.12) es mayor que 1, lo que obviamente da un sinsentido. También, la aproximación
de Born es simétrica en el par (Φ, Ψ), PB (Φ, s; Ψ, t) = PB (Ψ, s; Φ, t) mientras que en general |hΦ|U (t, s)Ψi|2 6= |hΨ|U (t, s)Φi|2 . Otros comentarios sobre la pobreza de esto y
sobre la validez de la aproximación.
Consideremos el caso en el cual Φ es una superposición arbitraria de “autoestados” de Ho
y Ψ es un autoestado de Ho . Suponga que
Z
Z
Φ = dα
dǫf (ǫ, α)φǫ,α
∆E
donde: ∆E es un intervalo contenido en el espectro de Ho ; φǫ,α son soluciones no necesariamente normalizables de
Ho φǫ,α = ǫφǫ,α
219
y α tiene en cuenta la multiplicidad del valor espectral ǫ de Ho . La integral sobre α o sobre
∆E puede ser una suma discreta. Suponemos que
Z
φǫ,α φǫ′ ,α′ = δ(ǫ − ǫ′ )δ(α − α′ ) ;
y que la amplitud f está normalizada
Z
Z
dα
dǫ|f (ǫ, α)|2 = 1
∆E
con lo cual Φ está normalizada. Manipulando los productos escalares en el miembro derecho
de (16.11) obtenemos
Z
Z
hΦ|U (t, s)Ψi ≈ dα
dǫf (ǫ, α)hφǫ,α |Ψi
∆E
−1 −it(ǫ/~)+is(EΨ /~)
−i~ e
Z
dα
Z
f (ǫ, α)
∆E
Z
t
dτ eiτ (ǫ−EΨ )/~ hφǫ,α |V (τ )|Ψi .
s
Aquı́, el primer sumando se anula cuando EΨ ∈
/ ∆E, pero contribuye cuando EΨ es un
autovalor inmerso en ∆E.
Consideremos ahora el caso de transiciones a un grupo de estados φǫ,α con ǫ ∈ ∆E y
α ∈ ∆α, y calculemos –siempre en la aproximación de Born– la probabilidad de transición
del autoestado Ψ al tiempo s a algún estado del grupo (cualquiera) al tiempo t. Sea ρ(ǫ, α) ≥ 0
la densidad del estado φǫ,α tal que
Z p
p
ρ(ǫ, α)φǫ,α
ρ(ǫ′ , α′ )φǫ′ ,α′ = ρ(ǫ, α)δ(α − α′ )δ(ǫ − ǫ′ ) .
Entonces,
Z
dα
∆α
Z
2
dǫρ(ǫ, α)|hφǫ,α |U (s, t)|Ψi| ≈
∆E
Z
dα
∆α
Z
dǫρ(ǫ, α)PB (Ψ, s; φǫ,α , t)
∆E
≡ PB (Ψ, s; ∆E, ∆α, t) .
Si EΨ ∈
/ ∆E, tenemos
PB (Ψ, s; ∆E, ∆α, t)
(16.13)
=~
16.4.1.
−2
Z
dα
∆α
Z
∆E
Z
dǫ ρ(ǫ, α) t
dτ e
s
iτ (ǫ−EΨ )/~
2
hφǫ,α |V (τ )|Ψi .
Perturbaciones constantes. Regla de Oro de Fermi.
Consideramos el caso en el cual V (t) es constante a partir de algún instante de tiempo,
que elegimos como cero temporal,
0 , t≤0
V (t) =
.
V , t>0
220
Entonces, para autoestados Φ y Ψ ortogonales de Ho la aproximación de Born (16.12) se
calcula inmediatamente. Introduciendo el tiempo efectivo τ (t, s) = | máx{t, 0} − máx{s, 0}|
en el cual actua la perturbación; y con la frecuencia angular ωΦ,Ψ = (EΦ − EΨ )/~ de la
transición; se tiene

2
, si ωΦ,Ψ = 0

 τ (t, s)
−2
2
.
PB (Φ, s; Ψ, t) = ~ |hΦ|V |Ψi| ×

 2 1−cos(ω2Φ,Ψ τ (t,s)) , si ωΦ,Ψ 6= 0
ω
Φ,Ψ
O más succintamente,
−2
2
2
PB (Φ, s; Ψ, t) = ~ |hΦ|V |Ψi| τ (t, s) F
donde
ωΦ,Ψ , τ (t, s)
2
,
F (x) = (1 − cos(2x))/(2x2 ) = x−2 (sin(x))2
sobrentendiendo que F (0) = lı́mx→0 F (x) = 1. Ahora, x → F (x) es no negativa, par y el
máximo absoluto se obtiene en x = 0. F (·) se anula en los puntos nπ con n = ±1, ±2, · · ·
y los valores de los máximos locales entre estos puntos (localizados aproximadamente en
±(2|n| + 1)π/2) decrecen cuadraticamente a medida que uno se aleja de 0.
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
Figura 16.1: La función F .
Por ejemplo, F (3π/2) = 4/(9π)2 ≈ 0, 045. De esto vemos que ~2 τ (t, s)−2 PB (Φ, s; Ψ, t)
será del orden de 0, 1 − 1, si ωΦ,Ψ τ (t, s) está en la banda [−π, π]. Se tiene además,
Z
dx F (x) = π .
R
Para calcular integrales definidas de F conviene observar que
Z z
Z
sin(t)
(sin(x))2
, Si(z) =
,
F (x)dx = Si(2x) −
x
t
0
ya que la la integral-seno Si está tabulada2 . Se tiene asi, para a > 0,
Z a
2(sin(a))2
J(a) =
F (x)dx = 2Si(2a) −
,
a
−a
2 Si
es par con Si(∞) = π/2.
221
y se obtiene la siguiente tabla
a
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
∞
J(a)/π
0, 7737
0, 9028
0, 9311
0, 9499
0, 9591
1
En la banda [−π, π] está el 90 % de la superficie, pero a partir de allı́ el crecimiento de la
superficie es muy lento.
Si consideramos transiciones a un grupo de estados φǫ,α con ǫ ∈ ∆E y α ∈ ∆α, entonces
con (16.13) y suponiendo que se tiene que tanto ρ como hφǫ,α |V |Ψi son aproximadamente
constantes en ∆E, i.e.,
ρ(ǫ, α) ≈ ρ(ǫo , α) , |hφǫ,α |V |Ψi|2 ≈ |hφǫo ,α |V |Ψi|2 ,
se tendrá
ω(ǫ)τ (t, s)
PB (Ψ, s; ∆E, ∆α, t) ≈ ~ τ (t, s)
ρ(ǫo , α)|hφǫo ,α |V |Ψi|
dǫ F
2
∆α
∆E
Z
Z ǫo +(δ/2)
ω(ǫ)τ (t, s)
−2
2
2
= ~ τ (t, s)
,
ρ(ǫo , α)|hφǫo ,α |V |Ψi|
dǫ F
2
∆α
ǫo −(δ/2)
−2
2
Z
2
Z
con ω(ǫ) = (ǫ−EΨ )/~, y δ el largo del intervalo ∆E. Recuerde que debemos tener δ ≪ ǫo para
que ρ y el elemento de matriz de V puedan tomarse como constantes. Si ahora consideramos
el caso τ (t, s) 6= 0 entonces la integral energética se puede discutir de la siguiente manera,
Z
Z u+
ω(ǫ)τ (t, s)
2~
duF (u) ,
dǫ F
=
2
τ (t, s) u−
∆E
con u± = τ (t, s)(ǫo ± (δ/2) − EΨ )/(2~).
Si la banda [−π, π] cae en el intervalo [u− , u+ ], o lo que es lo mismo, u− < −π < π < u+ ,
se pueden reemplazar los lı́mites de integración u± por ∞ y −∞ respectivamente con
lo cual
Z
ω(ǫ)τ (t, s)
≈ 2~π/τ (t, s) ,
dǫ F
2
∆E
y
Z
PB (Ψ, s; ∆E, ∆α, t) ≈ 2π~−1 τ (t, s)
ρ(ǫo , α)|hφǫo ,α |V |Ψi|2 .
∆α
Esto será una buena aproximación cuanto más pronunciadas sean las desigualdades
τ (t, s) 1
τ (t, s) 1
δ + (ǫo − EΨ ) > π <
δ − (ǫo − EΨ ) ,
2~
2
2~
2
lo que necesariamente implica que Eψ ∈ ∆E y que
δ > 4~π/τ (t, s) .
222
Si la banda [−π, π] cae bien afuera de [u− , u+ ], o lo que es lo mismo se tiene o bien
u+ < −π o bien u− > π, la integral de F puede aproximarse de la siguiente manera.
Tendremos, recordando que δ ≪ ǫo , que ǫo < EΨ cuando u+ < −π, o alternativamente
ǫo > EΨ cuando u− > π. También ǫ − EΨ ≈ ǫo − EΨ y entonces reemplazando u−2 en
el integrando por (τ (t, s)(ǫo − EΨ )/2~)−2 , obtenemos
Z u+
Z
2~
ω(ǫ)τ (t, s)
duF (u)
=
dǫ F
2
τ (t, s) u−
∆E
Z u+
2~
du(sin(u))2
≈
τ (t, s)(τ (t, s)(ǫo − EΨ )/2~)2 u−
1
1 +
8~3
−
−
+
(u − u ) + (sin(2u ) − sin(2u ))
=
τ (t, s)3 (ǫo − EΨ )2 2
4
≈
Luego,
2~2 δ
.
τ (t, s)2 (ǫo − EΨ )2
2δ
PB (Ψ, s; ∆E, ∆α, t) ≈
(ǫo − EΨ )2
Z
ρ(ǫo , α)|hφǫo ,α |V |Ψi|2 ,
∆α
que no depende de τ (t, s). La aproximación mejora cuanto más lejos este EΨ de ǫo .
Fermi’s Golden Rule.
16.4.2.
Perturbaciones periódicas.
Consideramos el caso en el cual
V (t) = V sin(ωt + δ) ,
donde la fercuencia angular ω es positiva y δ es una fase arbitraria. Un cálculo inmediato
aunque largo da, para la aproximación de Born a | hΦ, U (t, s)Ψi |2 con Φ y Ψ autoestados
normalizados ortogonales de Ho , la expresión
Z t
2
−2 iτ (EΦ −EΨ )/~
PB (Ψ, s; Φ, t) ≡ ~ e
hΦ|V (τ )|Ψi
s
ω − ωΦ,Ψ
ω + ωΦ,Ψ
| hΦ, V Ψi |2
2
(t − s) + F
(t − s)
(t − s) F
=
4~2
2
2
)
ω + ωΦ,Ψ
ω − ωΦ,Ψ
8
cos(ω(t + s) + 2δ) sin
(t − s) sin
(t − s)
− 2
ωΦ,Ψ − ω 2
2
2
Falta comentario y discusión acompa~
nada con gráficos !
También se puede considerar el caso en el cual
W (t) = W eiωt + W ∗ e−iωt ,
223