E dq/dt = iR + (q/C) dq/dt

}
PROFESOR: MOGUEL POZOS ERASMO
INGENIERIA INDUSTRIAL
SEC. 5IMC
MESA 1
INTEGRANTES
ÁLVAREZ SÁNCHEZ ESTRELLA
BRAVO MEDINA EDITH
GASPAR GALICIA MIGUEL ANGEL
MONTIJO GONZÁLEZ SALVADOR
SPAWN
FECHA DE ENTREGA: 25 DE MARZO DEL AÑO 2004
CAL:________
PRACTICA No. 3
ANALISIS DE CIRCUITOS R-L Y R-C
OBJETIVOS:
A) Que el alumno analice el comportamiento de voltajes y corrientes en el circuito
R-L y R-C tipo serie alimentados con tensión senoidal.
B) Que el alumno analice y compruebe los efectos de variación de frecuencia de la
tensión de alimentación sobre la corriente y reactancia.
MATERIAL Y EQUIPO:








Un generador de funciones
Un Multimetro
Un Voltímetro
Un Modulo 292C
Un osciloscopio
Dos sondas para osciloscopio
Un cable de alimentación para osciloscopio
Ocho cables para conexiones
MARCO TEORICO
La corriente alterna (CA) es aquella que cambia de sentido continuamente
con el transcurso del tiempo a una determinada frecuencia. Un gráfico típico de
intensidad de la corriente en función del tiempo aparece en la figura 2.1, donde el
signo (+) representa la corriente avanzando en un sentido y el signo (-) en el
sentido contrario.
La curva de la figura 2.1 se describe por la ecuación
i = im sen( t +  )
2
CIRCUITOS RC
Al introducir el uso del capacitor como un elemento de circuito, conduce a
un estudio de corrientes variables en el tiempo.
En el tiempo dt una carga dq (= i dt) pasa a través de cualquier sección
transversal del circuito. El trabajo (= E dq) efectuado por la fuente de la fem (E)
debe ser igual a la energía interna (=i2 R dt) producida en el resistor durante el
tiempo dt, mas el incremento du en la cantidad de energía U
(= q2/2C) que
esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da:
E dq = i2 R dt + d (q2/2C)
O sea:
E dq = i2 R dt + (q/C) dq
Al dividir entre dt se tiene:
E dq/dt = iR + (q/C) dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt
positiva. Con i=dq/dt, esta ecuación se convierte en:
E = iR + q/C
(1)
La ecuación anterior se deduce también del teorema del circuito cerrado se
obtuvo a partir del principio de conservación de la energía. Comenzando desde el
punto x rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj,
experimentamos un aumento en potencial al pasar por la fuente de fem y una
disminución en potencial al pasar por el resistor y el capacitor, o sea:
E – iR – q/C = 0
(2)
La cual es idéntica a la ecuación 1
Para resolver la ecuación 1 , sustituimos primero i por dq/dt, lo cual da.
E = R dq/dt + q/C
(3)
3
Podemos rescribir la ecuación 3 así:
dq/q–EC = - dt/RC
(4)
Si se integra este resultado para el caso en que q=0 en t=0, obtenemos (después
de despejar q):
q= C E (1-e-t/RC)
(5)
Al derivar la ecuación 5 con respecto del tiempo obtenemos:
i = dq/dt = E/R (e-t/RC)
(6)
En las ecuaciones 4 y 5, la cantidad RC tiene las dimensiones de
tiempo(porque el exponente debe ser adimensional) y se llama constante
capacitiva del tiempo, TC del circuito:
TC = RC
Es el tiempo en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor de
1–
(~ 63%) de su valor final C E. Para demostrar esto, ponemos t=TC=RC en
la ecuación 4 para obtener
e-1
q = CE( 1-e-1) = 0.63CE
Si a un circuito se le incluye una resistencia junto con un capacitor que esta
siendo cargado, el aumento de la carga en el capacitor hacia su valor limite se
retrasa durante un tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un
resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hasta su valor limite. Si
bien hemos demostrado que este retraso de tiempo se deduce de la aplicación del
teorema de circuito cerrado en los circuitos RC, es importante lograr una
comprensión física de las causas del retraso.
A causa de una corriente en este tipo de circuitos, la carga fluye hacia el
capacitor y la diferencia de potencial en el capacitor aumenta con el tiempo. La
ecuación 1 muestra ahora que, a causa de que la E fem es constante, cualquier
aumento en la diferencia de potencial en el capacitor debe balancearse por una
disminución correspondiente en la diferencia de potencial en el resistor, con una
disminución similar en la corriente. Esta disminución de corriente significa que la
4
carga en el capacitor aumenta mas lentamente. Este proceso continua hasta que
la corriente disminuye hasta cero, en cuyo momento no existe una caída de
potencial en el resistor , toda la diferencia de potencial de la fem aparece ahora en
el capacitor, el cual se carga totalmente ( q=CE). A no ser que se hagan cambios
en el circuito, no existe un flujo de carga posterior.
CIRCUITOS LR
Anteriormente vimos la fem (E), ademas de ver la siguiente formula:
q= C E (1-e-t/RC)
(1)
Donde la velocidad a la que crece la carga está determinada por la constante
capacitiva de tiempo TC definida por:
TC = RC
(2)
Si en el mismo circuito se retira súbitamente la fem E de la batería cuando
el capacitor ha almacenado una carga q0, la carga no cae a cero inmediatamente
sino que tiende a él exponencialmente, como se describe por medio de la
siguiente ecuación:
q = q0e-t/TC
(3)
La misma Cte. de tiempo TC describe la subida y caída de la carga en el
capacitor.
Una elevación (o caída) similar de la corriente ocurre si introducimos
súbitamente una fem E en (o la retiramos) un circuito de una sola malla que
contenga un resistor R y un inductor L.
Al encontrar una elevación de +E en el potencial al atravesar a la batería de
polo a polo, el teorema del circuito cerrado da:
-iR – L di/dt + E = 0
(4)
O sea:
L (di/dt) + i R = E
(5)
5
Para resolver la ecuación 5, debemos hallar la función i(t) de modo que
cuando esta y su primer derivada se sustituyan en la ecuación 5 satisfagan esa
ecuación.
Por lo tanto, probaremos como una solución la función:
i(t) = E/R (1 – e-t/TC)
(6)
Nótese que esta forma matemática tiene 2 propiedades i(0) = 0 e i --->
infinito. La constante de tiempo TL debe determinarse al sustituir i(t) y su derivada
di/dt en la ecuación 5. Al derivar la ecuación 6, obtenemos:
di/dt = E/R (1/TL) e-t/TL
(7)
Llevando acabo las sustituciones y el álgebra necesaria, hallamos que la
ecuación 5 satisface sí.
TL = L/R
(8)
TL se llama constante inductiva del tiempo. En analogía con la constante
capacitiva del tiempo TC = RC, indica lo rápidamente que la corriente tiende al
valor estacionario en un circuito LR.
La significación física de TL se deduce de la ecuación 6. Si ponemos t = TL
se reduce a:
i = E/R ( 1 – e-1 ) = ( 1 – 0.37 ) E/R = 0.63 E/R
(9)
La constante de tiempo TL es aquel tiempo en que la corriente en el circuito
es menor que su valor estacionario final E/R por un factor de 1/e (alrededor del
37%).
La solución completa para la corriente de un circuito LR puede escribirse
como:
i(t) = E/R (1 – e-tR/L)
(10)
6
La ecuación que regula el decaimiento subsiguiente de la corriente en el
circuito puede
hallarse al hacer E=0 en la ecuación 5 lo cual da:
L di/dt + iR =0
(11)
Por sustitución directa o por integración, puede demostrarse que la solución
de la ecuación es:
i(t) = i0e-t/TL
(12)
Donde i0 es la corriente cuando t=0 . El decaimiento de corriente ocurre con
la misma constante de tiempo exponencial TL = L/R como lo hace la elevación de
la corriente.
Si conectamos las terminales de un osciloscopio entre los extremos del resistor, la
corriente se intensifica hasta su valor máximo E/R cuando la fem tiene un valor de
E y decae exponencialmente a cero, cuando la fem aplicada es cero.
Si conectamos las terminales del osciloscopio entre los extremos del inductor,
obtenemos una forma de onda determinada por;
VL = L di/dt =Ee-t/TL
(13)
Cuando la fem aplicada tiene el valor de E. Cuando la fem aplicada es cero,
al derivar la ecuación 12 se demuestra que:
VL = L di/dt =-E e-t/TL
(14)
Puesto que E = i0R en este caso. Vemos que este resultado es
precisamente el negativo de la ecuación 13.
Así que si se cumple el teorema del circuito cerrado (VR + VL = E.)
7
De manera general podemos resumir lo anterior diciendo que hay tres tipos
de cargas:



RESISTENCIA
INDUCTANCIA
CAPACITANCIA
CONCEPTOS IMPORTANTES
RESISTENCIA: Es una carga eléctrica que al mismo tiempo que demanda una
corriente eléctrica, se opone a que esta pase a través de ella, produciendo así un
calentamiento en ella misma, su símbolo es “R” y su magnitud se mide en ohms.
INDUCTANCIA: Es una carga eléctrica que solo muestra sus efectos inductivos
cuando la corriente eléctrica es variable, puesto que al mismo tiempo que la
demanda, se opone a que sus valores instantáneos cambien, debido que con esos
cambios instantáneos dela corriente, se induce en su interior un voltaje que se le
aplica.
El símbolo de la inductancia es “L”, la cual también recibe el nombre de coeficiente
de autoinducción y se mide en Henry.
CAPACITANCIA: Es un dispositivo que almacena energía eléctrica directa,
alterna, etc.
Cuando se aplica un voltaje directo o variable unidireccional a un capacitor, este
demanda una corriente eléctrica grande, la cual se reduce gradualmente hasta
cero, que es el instante en que el capacitor ha quedado cargado.
El símbolo de la capacitancia es “C” su unidad de medida es el Farad. Como el
Farad es una unidad muy grande, se usa el siguiente múltiplo:
1 = 1 micro farad = 10-6 F
REACTANCIA INDUCTIVA: Es la oposición a que los valores instantáneos de la
corriente cambien dentro de la inductancia, la cual se calcula de la siguiente
manera:
XL = L = 2fL
XL = reactancia inductiva en ohms.
 = velocidad angular.
L = inductancia en Henry.
f = frecuencia del sistema eléctrico en hertz (Htz)
REACTANCIA CAPACITIVA: Es el fenómeno de cargarse y descargarse de un
capacitor conforme cambia la polaridad del voltaje que se aplica, siendo la
oposición que presenta el capacitor contra los valores instantáneos del voltaje. Se
calcula de la siguiente manera.
8
Xc = 1/ C = 1/2fC
Xc = reactancia capacitiva en ohms.
 = velocidad angular.
C = capacitancia en Farad.
f = frecuencia del sistema en hertz (Hz.
Esquema del diagrama fasorial del comportamiento el voltaje y la corriente
en una carga capacitiva.
i(t)
90°
Triangulo de impedancia para un circuito RL
Este triangulo es la suma vectorial de las reactancias individuales (bobina) y la
resistencia.
Z
XL
R
L
R
9
Triangulo de impedancia para un circuito RC
Igualmente que en el anterior es una suma vectorial de las reactancias
individuales (capacitor) y la resistencia.
R
R
C
Z
XC
Como se obtiene la reactancia y la impedancia de un circuito R-L.
La impedancia esta dada por:
Z =  R2 + (XL)2
La reactancia esta dada por:
XL = L = 2fL
Como se obtiene la reactancia y la impedancia en un circuito R-C.
La impedancia esta dada por:
Z =  R2 + (- XC)2
La reactancia esta dada por:
Xc = 1/ C = 1/2fC
Ejercicio
Se tiene un circuito en serie en el cual están conectadas las siguientes cargas:
R = 50 ohms, L1 = 300 mH, C1 = 100 microF, el cual está conectado a una fuente
de 50 volts a 60 Hz.
10
Calcule:

Impedancia
X L  2fL  2 (60)(0.3)
X L  113.0973
z  502  113.0972
z  123.65
1
1

2fC 2 (60)(0.0001)
X C  26.52
XC 
Z  502  ( 26.52) 2
Z  56.60

Angulo de Defasamiento
XL
113.0973

R
50
1
  t an 2.26194 66.14º
  t an1
X C 26.52

R
50
1
  tan 0.5304 27.94º
  tan1

I
Corriente
V
50 v

 0.4 A
Z 123 .65
I
V
50 v

 0.88 A
Z 56 .60
Realice el mismo problema pero con una frecuencia de 100 Hz.
11

Impedancia
X L  2fL  2 (100)(0.3)
X L  188.5
z  502  188.52
z  195.01
1
1

2fC 2 (100)(0.0001)
X C  15.91
XC 
Z  502  ( 15.91) 2
Z  52.47

Angulo de Defasamiento
XL
188.5

R
50
1
  t an 3.77  75.14º
  t an1
X C 15.91

R
50
1
  tan 0.3182 17.65º
  tan1

Corriente
V
50v

 0.256 A
Z 195 .01
V
50 v
I 
 0.953 A
Z 52 .47 
I
Se tiene un circuito en serie en el cual están conectadas las siguientes cargas:
R = 80 ohms, L1 = 100 mH, C1 = 50 microF, el cual está conectado a una fuente
de 120 volts a 100 Hz.
12
Calcule:

Impedancia
X L  2fL  2 (100)(0.1)
X L  62.83
z  802  62.832
z  101.72
1
1

2fC 2 (100)(0.00005)
X C  31.83
XC 
Z  802  ( 31.83) 2
Z  86.1

Angulo de Defasamiento
XL
62.83

R
80
  t an1 0.7853 38.14º
  t an1
X C 31.83

R
80
  t an1 0.3978 21.69º
  t an1

Corriente
V
120 v

 1.179 A
Z 101 .72
V
120 v
I 
 1.393 A
Z 86.1
I
13
Realice el mismo problema pero con una frecuencia de 50 Hz.

Impedancia
X L  2fL  2 (50)(0.1)
X L  31.41
z  802  31.412
z  85.95
1
1

2fC 2 (50)(0.00005)
 63.66
XC 
XC
Z  802  ( 63.66) 2
Z  102.23

Angulo de Defasamiento
XL
31.41

R
80
1
  t an 0.3926 21.43º
  t an1
X C 63.66

R
80
1
  tan 0.796  38.51º
  tan1

Corriente
I
V
120 v

 1.39 A
Z 85.95
I
V
120 v

 1.17 A
Z 102 .23
14
INFORME DE MEDICIONES
CIRCUITO RESISTENCIA – INDUCTANCIA (RL)
Hertz
Vent. Volts
RMS
VR volts
RMS
VL volts
RMS
IT
Miliamperes
Defasamiento en
grados
entre Vent y VR
2000
2
1.85
0.6
1.9
17.9
4000
2
1.65
1
1.5
31.2
6000
2
1.45
1.35
1.2
42.9
8000
2
1.25
1.6
1.15
52
10000
2
1.05
1.67
1
57.8
12000
2
0.95
1.75
0.89
61.5
14000
2
0.85
1.78
0.69
64.4
16000
2
0.75
1.81
0.63
67.4
18000
2
0.61
1.85
0.55
71.7
20000
2
0.66
1.87
0.45
70.5
CIRCUITO RESISTENCIA – CAPACITANCIA (RC)
1.86
IT
Miliamperes
0.49
Defasamiento en
grados
entre Vent y VR
71.5
1.1
1.62
0.85
55.8
2
1.51
1.2
1.3
38.4
3000
2
1.68
0.9
1.44
28.1
4000
2
1.75
0.71
1.6
22
5000
2
1.88
0.61
1.65
17.9
6000
2
1.89
0.5
1.7
14.8
7000
2
1.9
0.44
1.7
13
8000
2
1.9
0.38
1.7
11.3
9000
2
1.91
0.34
1.7
10
10000
2
1.94
0.31
1.7
9
Hertz
Vent. Volts RMS
VR volts RMS
VC volts RMS
500
2
0.62
1000
2
2000
15
Conclusión
Con lo visto en la práctica podemos definir como se comporta la reactancia, así
como el ángulo de defasamiento, con respecto a la frecuencia, tanto en el circuito
RL, como en el RC y concluimos que
La impedancia de la inductancia es mayor mientras mayor es su frecuencia,
pero su ángulo de defasamiento es menor conforme mayor es la frecuencia.
La impedancia de la capacitancia es menor mientras mayor es su
frecuencia y su ángulo de defasamiento es menor mientras mas frecuencia exista.
16