Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.5 – Razonamientos con
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.5 – Razonamientos con proposiciones Si nos entregan el valor de verdad de las proposiciones simples es posible deducir el valor de verdad de la proposición compuesta. p: Holmes nació antes que Marx, es falsa q: Freud nació en el siglo XIX, es verdadera r: Einstein murió antes de 1960, es verdadera s: Freud nació en Jupiter, es falsa Holmes nació antes que Marx y Freud no nació en el siglo XIX sólo si Einstein murió antes de 1960. Holmes nació antes que Marx y Freud no nació en el siglo XIX, pero Freud nació en Jupiter o no nació en el siglo XIX. Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.5.1 – Implicaciones Lógicas Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.6 – Reglas de Inferencia Una proposición Q se puede inferir de las proposiciones P1 , P2 ,..., Pk siempre que P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pk ⇒ Q simbolizamos tal regla de inferencia como: P1 P2 Pk ∴Q La implicación lógica modus ponens [ p ∧ ( p → q )] ⇒ q corresponde a la regla de inferencia P P→Q ∴Q Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.6 – Reglas de Inferencia Modus ponens Modus tollens Silogismo disyuntivo Silogismo hipotético conjunción Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial El cálculo proposicional no permite el uso de un número infinito de proposiciones. Por ejemplo si tenemos “p(n) es verdadera para toda n” el único simbolismo que podriamos utilizar sería p (0) ∧ p (1) ∧ p ( 2) ∧ ... pero no es aceptable en el cálculo proposicional. Para solucionar este problema introduciremos un nuevo sistema de símbolos y reglas llamado cálculo de predicados. Los nuevos símbolos que utilizaremos se llaman cuantificadores. El conjunto Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis U lo llamaremos universo de discurso o dominio del discurso. Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial ∀, El cuantificador universal compuestas de la forma: Para toda x… Para cada x… Para cualquier x… ∀x p (x) ∀x p ( x ) es verdadera si otro caso es falsa. se utiliza para construir proposiciones p (x) es verdadera para toda x en U, en cualquier El cuantificador existencial compuestas de la forma: ∃x p ( x ) ∃ , se utiliza para construir proposiciones Existe x tal que… Hay una x tal que… Para alguna x… ∃x p ( x ) es verdadera si p ( x ) es verdadera para al menos una x .∃x p ( x ) es falsa si p ( x ) es falsa para toda x en U . Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática en U, INF 152 – Programación en Lógica 3 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial El predicado corresponde al atributo, propiedad o cualidad de un determinado objeto. La madre de josé está casada con el padre de josé Una constante es un objeto especifico de un dominio en particular. La madre de josé está casada con el padre de josé Una variable es una generalización de un objeto específico de un dominio en particular. El escaló el Everest Una función es una transformación de uno o más elementos de un conjunto a un único valor de otro conjunto. La madre de josé está casada con el padre de josé Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial María es madre de José ser madre (maría, José) Juan juega fútbol o tenis jugar (Juan, fútbol) ∨ jugar (Juan, tenis) Alejandra es amiga de Manuel y Gonzalo ser amiga (Alejandra, Manuel) ∧ ser amiga (Alejandra, Gonzalo) Pedro estudia matemáticas y escucha música estudiar (Pedro, matemáticas) ∧ escuchar (Pedro, música) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 4 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial Toda persona tiene padre ∀x tener ( x, padre) Existe alguien que juega fútbol y tenis ∃x (jugar ( x, fútbol) ∧ jugar ( x, tenis)) Alejandra viene hoy o mañana venir (Alejandra, hoy) ∨ venir (Alejandra, mañana) No Todos los niños toman leche ¬∀x (tomar ( x, leche)) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial Para toda x p(x) es verdadero No existe un x tal que p(x) sea falso ∀x p ( x ) ¬∃x [¬p ( x)] Todos han comido pan ∀x comer ( x, pan ) No existe alguien que no haya comido pan ¬∃x [¬comer ( x, pan )] No para todo x p(x) es falso Existe x tal que p(x) sea verdadero ¬∀x [¬p ( x )] ∃x p ( x ) No todos los candidatos pierden las elecciones ¬∀x [¬ganar ( x, elecciones )] Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática Existe un candidato que gana las elecciones ∃x ganar ( x, elecciones ) INF 152 – Programación en Lógica 5 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7 – Cuantificador Universal y Existencial Para toda x p(x) es falso ∀x [¬p ( x)] No existe un x tal que p(x) sea verdadero ¬∃x p ( x) Todos los jugadores perdieron el partido No existe un jugador que haya ganado el partido ∀x [¬ganar ( x, partido )] No para todo x p(x) es verdadero ¬∃x ganar ( x, partido ) Existe x tal que p(x) sea falso ¬∀x p ( x ) No todos estudian física ¬∀x estudiar ( x, fisica ) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO ∃x [¬p ( x)] Existe alguien que no estudia física ∃x [¬estudiar ( x, fisica )] INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7.1 – Reglas de Inferencia para Cuantificadores Especificación Universal ∀x p ( x) , a = constante ∴ p(a) Generalización Universal p(a) , a = constante ∴ ∀x p ( x ) Especificación Existencial ∃x p ( x ) , a = constante ∴ p(a) Generalización Existencial p(a) , a = constante ∴ ∃x p ( x ) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 6 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7.1 – Reglas de Inferencia para Cuantificadores En términos generales la estrategia para manejar inferencias que impliquen cuantificadores se desarrolla en 4 partes. 1. Representación simbólica de las premisas en notación simbólica. 2. Representación de cuantificadores. 3. Aplicación de métodos de reducción o reglas de inferencia para obtener una conclusión sin cuantificadores. 4. Añadir cuantificadores para obtener una conclusión final. Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INF 152 – Programación en Lógica Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7.1 – Reglas de Inferencia para Cuantificadores Ejemplo: Todos los hombres son mortales, Juan es un hombre, por lo tanto Juan es mortal 1. ∀x [ serhombre( x) ⇒ sermortal ( x)] 2. serhombre(Juan) ∴ sermortal (Juan) 1. ∀x [ H ( x ) ⇒ M ( x )] 2. H ( j ) ∴ M ( j) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 7 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniería Informática Capítulo 3 – Cálculo proposicional 3.7.1 – Reglas de Inferencia para Cuantificadores 1. ∀x [ H ( x ) ⇒ M ( x )] 2. H ( j ) ∴ M ( j) 1. H ( j ) ⇒ M ( j ) 2. H ( j ) 1. Especificación Universal ∴ M ( j) 1,2 Modus Ponens 1. M ( j ) ∴ M ( j) Desarrollado por Ricardo Soto De Giorgis Escuela de Ingeniería Informática INF 152 – Programación en Lógica 8
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