Diagrama de interferencia de dos rendijas

Tema 6: Interferencia y difracción de ondas
* Diferencia de fase y coherencia.
* Interferencia en películas delgadas.
* Diagrama de interferencias de dos rendijas.
* Diagrama de difracción de una rendija.
* Suma de ondas armónicas mediante fasores.
* Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.
* Difracción y resolución.
* Redes de difracción.
Tipler – Mosca: 33
Alonso – Finn: 34-35
Diferencia de fase y coherencia
La interferencia y la difracción son fenómenos genuinamente ondulatorios.
La interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas que inciden en el
mismo punto del espacio en el mismo instante.
La difracción es la deformación del frente de ondas cuando este se encuentra con un
obstáculo.
La combinación de dos ondas armónicas de la misma
frecuencia y amplitud pero diferente fase, producirá una
onda armónica de la misma frecuencia, pero cuya amplitud
dependerá del desfase entre ambas:
Amplitud máxima: δ = n2π.
Interferencia constructiva
Amplitud mínima: δ = (2n+1)π.
Interferencia destructiva
La causa más habitual por la que dos ondas interfieren con
desfase es que hayan recorrido distintas distancias (caminos
ópticos) desde sus respectivas fuentes hasta alcanzar el
punto de interferencia.
Diferencia de fase y coherencia
Sólo cuando una diferencia de caminos ópticos equivale a
un número entero de longitudes de onda no se producen
desfases.
La relación entre diferencias de caminos y desfases se
puede calcular a partir de:
∆r
δ = 2π
λ
Otro fenómeno corriente que causa desfases es la
reflexión bajo determinadas condiciones. Estas se
resumen en una incidencia desde un medio de mayor
velocidad de propagación a otro de menor. En esta
situación la onda reflejada sufre un desfase de π en el
mismo momento de su reflexión.
Este fenómeno es general para cualquier onda y se puede
encontrar también, por ejemplo, en ondas mecánicas que
se propagan por una cuerda.
Diferencia de fase y coherencia
Un requisito fundamental para la observación nítida de los fenómenos de interferencia es la
coherencia de las ondas que interfieren.
Los procesos estocásticos que generan OEMs en las fuentes de luz convencionales generan una
mezcla de ondas compleja, con diferencias de longitud de onda y de fase entre los componentes
individuales. Se dice que estas fuentes no son coherentes. La única fuente de luz que evita en
gran medida la presencia de esos procesos estocásticos es la luz láser.
Se pueden observar fenómenos de interferencia en fuentes no coherentes sólo cuando un haz de
luz proveniente de una única fuente se divide en dos y posteriormente se hacen confluir esos
dos «subhaces». A pesar de ser haces no coherentes en términos absolutos, estos presentan
coherencia relativa uno respecto del otro al ser virtualmente idénticos.
Las formas más habituales de dividir un haz en dos para este propósito son:
Reflexión en las dos superficies de una película delgada
•
Difracción en dos rendijas
•
Fuente e imagen reflejada en un espejo
•
Diferencia de fase y coherencia
La luz ideal es una onda sinusoidal infinitamente larga. Sólo la luz láser se aproxima a este ideal.
En fuentes convencionales, incluso en las monocromáticas, las ondas se presentan en forma de
paquetes de onda en los que en el fenómeno ondulatorio de los componentes individuales se
identifica un principio y un fin.
Esos paquetes suelen tener la misma longitud («longitud de coherencia»). Las longitudes de
coherencia de una típica fuente de luz monocromática es de unos pocos milímetros. Por el
contrario algunos láseres llegan a longitudes de coherencia de varios kilómetros.
Interferencia en películas delgadas
La interferencia en películas delgadas se observa en muchas situaciones cotidianas.
Los patrones coloreados de las figuras se producen por las distintas condiciones de
interferencia que se dan para los diversos colores que forman la luz blanca reflejada.
Interferencia en películas delgadas
Consideremos la observación a ángulos bajos (respecto a la normal) de una película de agua
en aire.
Entre el rayo 1 (reflexión directa) y el rayo 2 (reflexión
interna) existirán diferencias de fase causadas por (1) la
diferencia de caminos ópticos y (2) la existencia de desfase de
δreflex= π por reflexión en la onda 1 (la luz se propaga más
despacio en el agua que en el aire – no hay desfase en la
reflexión interna de la onda 2).
En esa incidencia casi normal, la diferencia de camino óptico
corresponde a 2t que equivale a un desfase de:
δ ∆r
2t
= 2π
→ δ neta
λ'
λ'

2t
 si δ = 2nπ ⇒ 2 t = ( 2n + 1) Int. constructiva
= 2π
+ π→ 
2
λ'
 si δ = ( 2n + 1) π ⇒ 2t = nλ ' Int. destructiva
λ’ es la longitud de la onda dentro de la película, que se relaciona con la de la onda en aire
(λ) a través del índice de refracción:
v1 = λ ν  λ ' v 2 n1
λ
=
=
→
λ
'
≈

v2 = λ ' ν  λ
v1 n 2
n2
Interferencia en películas delgadas
En el caso de una película de agua entre aire y
vidrio, el cálculo del desfase debe ajustarse pues en
esta caso tanto la onda 1 como la 2 sufrirán una
inversión de fase.
δ neta
Int. constructiva
 si δ = 2nπ ⇒ 2 t = nλ '
2t 
= 2π → 
λ'
λ '  si δ = ( 2n + 1) π ⇒ 2t = ( 2n + 1) Int. destructiva
2

Una aplicación de este fenómeno se da en el control de calidad de lentes mediante
el estudio de los anillos de Newton. Cuando una lente descansa sobre una
superficie plana, entre la lente y esa superficie se produce una película de aire de
espesor variable que da lugar a un patrón de franjas claras y obscuras
(condiciones de interferencia constructiva y destructiva).
Diagrama de interferencia de dos rendijas
Este experimento fue ideado por T. Young en 1801 para
probar la naturaleza ondulatoria de la luz.
La idea consiste en producir dos fuentes coherentes
mediante la iluminación de dos rendijas paralelas por
una única fuente de luz convencional.
En virtud del principio de Huygens, los puntos de esas
aperturas se convierten en fuentes secundarias de
radiación. La luz emergente tiene coherencia por
provenir realmente de una única fuente.
El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla suficientemente alejada de las
rendijas, y, como veremos a continuación, consiste en una sucesión de franjas claras y
oscuras equidistantes.
Diagrama de interferencia de dos rendijas
A distancias suficientemente grandes los rayos que inciden en el punto P son prácticamente
paralelos, por lo que la diferencia de caminos que recorren es aproximadamente d senθ, de
manera que se llega a las condiciones:
Int. constructiva
 si δ = 2nπ ⇒ d senθ = nλ
d senθ

δ = 2π
→ 
λ
λ
 si δ = ( 2n + 1) π ⇒ d senθ = ( 2n + 1) 2 Int. destructiva
Diagrama de interferencia de dos rendijas
La distancia de la n-ésima franja brillante respecto al centro de la pantalla, y n, será:
yn 
tgθ n ≈ senθ n =
λL

L  ⇒ yn = n
d

d senθ n = nλ
Y, por tanto, la distancia entre dos franjas consecutivas vendrá dada por:
∆y=
λL
d
Diagrama de interferencia de dos rendijas
La intensidad en un punto cualquiera de la pantalla
corresponderá a la resultante de la combinación de las dos
ondas que en él inciden.
Dada la lejanía de la pantalla, podemos asumir que las dos
ondas son paralelas y por tanto sus magnitudes vectoriales se
suman como escalares.
Los caminos ópticos son muy parecidos y por tanto las
amplitudes (E0) serán prácticamente iguales:
 E1 = E 0senω t

 E 2 = E 0sen (ω t + δ )
δ
δ

E = E1 + E 2 = E 0 ( senω t + sen (ω t + δ ) ) = 2E 0 cos sen ω t + 
2
2

2 δ
I = 4I 0 cos
2
En caso de incoherencia de las fuentes, sobre la pantalla se observaría una iluminación
bastante uniforme cuya intensidad equivaldría a 2 I 0.
Diagrama de difracción de una rendija
http://www.walter-fendt.de/ph14e/singleslit.htm
Cuando observamos la luz que atraviesa una rendija, bajo determinadas condiciones se
puede apreciar un patrón de franjas claras y oscuras.
La mayor parte de la intensidad lumínica se concentra en el área central aunque existen
máximos relativos (secundarios) a cada lado del máximo principal.
Diagrama de difracción de una rendija
Los primeros ceros de intensidad aparecen en la posiciones:
senθ =
λ
a
donde a es la anchura de la rendija. Así, para a<λ no se producirá difracción y para valores
de a>>λ, la difracción es imperceptible pues las franjas claras y oscuras son muy estrechas.
Por tanto, el fenómeno de difracción será más discernible para rendijas cuyo tamaño sea del
orden de la longitud de onda lumínica, pero mayor que ésta.
A pesar de tener una única fuente, la difracción tiene evidentes reminiscencias de un
fenómeno interferencial:
Patrón en franjas claras y oscuras.
•
Coincidencia de las expresiones de los mínimos con condiciones de interferencia
destructiva.
•
Aplicabilidad del principio de Huygens a cada punto de la rendija.
•
Diagrama de difracción de una rendija
λ
1
λ
senθ = ⇒ a senθ =
a
2
2
La expresión ½ a senθ coincide con la diferencia de caminos
de dos rayos para los cuales la distancia entre sus fuentes
secundarias en la rendija es a/2. Puesto que esta diferencia
de caminos ópticos corresponde a un desfase de λ/2, se tiene
interferencia destructiva. El mínimo obtenido a ese ángulo se
asocia a todas las parejas de rayos cuyas fuentes distan a/2.
El segundo mínimo aparece para:
2λ
a
λ
senθ =
⇒ senθ =
a
4
2
caso en que las fuentes secundarias distan a/4. Por iteración,
para el resto de los mínimos de difracción se obtiene:
mλ
a
λ
senθ =
⇒
senθ =
a
2m
2
Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas
Cuando tenemos 2 rendijas de las dimensiones
adecuadas, la difracción en cada una de ellas junto
con la interferencia del conjunto dan lugar a la
aparición de un patrón más complejo que los
anteriores.
Los dos fenómenos de superponen de forma clara. La
interferencia de las dos rendijas da lugar a una
distribución uniforme de franjas claras y obscuras. La
difracción en las rendijas modula la intensidad de las
franjas según el patrón de difracción. Así en aquellos
puntos en los que se de un mínimo de difracción la
intensidad en la pantalla será cero aunque esa
posición corresponda a un máximo de interferencia y,
al revés, si un máximo de difracción coincide con un
mínimo de interferencia, tendremos un valor nulo de
intensidad.
Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas
Obviamente la distancia entre rendijas (d) siempre será mayor que su anchura (a). Puesto
que el primer mínimo de interferencia está en:
λ
senθ 1i =
d
y el primer mínimo de difracción en:
senθ 1d =
λ
a
se tendrá que dentro del máximo central de difracción se observarán varios órdenes
interferenciales, tantos más cuanto mayor sea la relación d/a.
Suma de ondas armónicas mediante fasores
La determinación del resultado de un proceso
interferencial implica la suma de funciones
armónicas de la misma frecuencia pero desfasadas.
El cálculo directo mediante sumas de las
funciones seno o coseno puede llegar a ser tedioso
en el caso de múltiples fuentes. Para solventar esta
circunstancia se puede recurrir a la representación
fasorial de las ondas.
Sean dos ondas E1 y E2 que interfieren, en
términos generales podemos poner:
E1 + E 2 = A1 senα + A 2 sen ( α + δ )
Las funciones E1 y E2 equivalen a las proyecciones sobre el eje Y de dos vectores
(“fasores”) A1 y A2 que forman ángulos α y α+δ con el eje X, respectivamente.
Geométricamente, la suma de E1 y E2 coincide con la proyección sobre el eje Y del fasor
A=A1+A2.
Suma de ondas armónicas mediante fasores
De forma general los fasores se consideran elementos que
giran en torno al eje a una velocidad angular que coincide
con la frecuencia angular ω. Cuando se calcula la amplitud
de la onda resultante, esta circunstancia adquiere especial
relevancia en el caso de que las ondas tengan distinta
frecuencia. En el caso contrario, la amplitud resultante es
independiente del tiempo.
Utilizaremos este procedimiento a continuación para
analizar fenómenos de interferencia y difracción.
Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas
Como ilustra la figura, la diferencia
de caminos entre la 1ª y 2ª fuentes
es de d senθ, al igual que en el caso
de dos fuentes. Esta diferencia de
caminos coincide con la que existe
entre la 2ª y la 3ª. Analíticamente
podemos escribir:
E1 = A 0 senα


E 2 = A 0 sen ( α + δ ) 
E 3 = A 0 sen ( α + 2δ ) 
2π
2π yd
δ =
d senθ ≈
λ
λ L
Para θ=0 tendremos δ=0 y A=3A0. (I=9I0). Esta posición
corresponde a un máximo. Recurrimos a la representación
mediante fasores para analizar la variación de la amplitud
en función del desfase.
Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas
Cuando θ aumenta la amplitud resultante se va reduciendo
hasta que se anula para δ=120º. A partir de 120º la amplitud
vuelve a aumentar de nuevo hasta δ=180º, desfase para el
cual aparece un máximo secundario. De nuevo decrece
hasta alcanzar un nuevo mínimo para δ=240º. Tras este
crece y se alcanza un nuevo máximo principal para
δ=360º.
Por tanto, los máximos principales se producen para los
mismos ángulos que en un sistema de dos fuentes.
d senθ m = mλ
Estas observaciones se pueden generalizar. Para un
número N de fuentes equiespaciadas, entre dos máximos
principales existen N-2 máximos secundarios y N-1
mínimos
Patrón interferencial de fuentes sincrónicas equiespaciadas
Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores
En virtud del principio de Huygens, se puede considerar la rendija
como un conjunto muy grande (infinito en el límite) de fuentes
sincronizadas e idénticas. La aplicación del método fasorial resulta
especialmente útil en esta situación.
La separación, d, entre cada una de esas N fuentes de la rendija se
puede poner como d=a/N con un diferencia de caminos entre dos
consecutivas de valor d senθ.
Amax es la amplitud en el punto central de la pantalla, θ=0. A partir de
ese ángulo la amplitud empieza a disminuir hasta que se hace cero
cuando los N fasores dibujan un polígono cerrado. Esto se producirá
la primera vez cuando
2π
2π a
2π
λ
δ =
d senθ =
senθ =
⇒ senθ =
λ
λ N
N
a
Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores
Para un punto cualquiera sobre la pantalla, tendremos
que, en el límite, la figura de fasores correspondientes a
infinitas fuentes infinitesimales dibuja un arco de
circunferencia. La amplitud se corresponderá con la
cuerda de ese arco y su valor será función del desfase
φ entre las fuentes de los extremos de la rendija. Según
se ve en la figura:
sen
φ A/2
φ
=
⇒ A = 2r sen
2
r
2
φ = Nδ =
2π a
senθ
λ
La longitud del arco es Amax=NA0, luego el ángulo φ que subtiende es:
A max
φ =
r
Si sustituimos en la expresión anterior, se obtiene:
 sen ( φ / 2 ) 
A max
φ
sen ( φ / 2 )
I
A

A= 2
sen = A max
⇒
= 2 = 
φ
2
φ /2
I 0 A max  φ / 2 
2
2
Determinación del patrón de interferencia-difracción de dos rendijas
Conocida ya la forma analítica de la difracción de una rendija, podemos escribir la
expresión que da cuenta de la intensidad de la onda sobre la pantalla como el producto de
las intensidades de difracción e interferencia (interferencia modulada por la intensidad de
la difracción).
 sen ( φ / 2 ) 
2 δ
 cos
I = 4I 0 
2
 φ /2 
2
donde, como en el apartado anterior,
2π a
φ =
senθ
λ
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/mulslid.html#c3
es la diferencia de fase entre los rayos extremos una misma rendija, y
δ =
2π d
senθ
λ
la diferencia de fase entre dos rayos equivalentes de cada rendija.
Difracción y resolución
La difracción causa una importante
limitación en la resolución de los
instrumentos ópticos. En éstos, la
forma de las rendijas suele ser
circular, y el ángulo subtendido
por el primer mínimo de difracción
se relaciona con el diámetro D
según:
senθ ≈ θ = 1,22
λ
D
Si la luz procedente de dos ondas separadas un ángulo α atraviesan simultáneamente
la rendija, sus patrones de difracción se solapan en la pantalla. Si la separación no es
muy grande, las figuras solapadas pueden ser difíciles de identificar como causadas
como dos fuentes y no una sola.
Difracción y resolución
Se conoce como «Criterio de resolución de Rayleigh» al
valor de la separación angular crítica que permite la
resolución de las dos fuentes. Se estima que dos fuentes se
pueden considerar claramente distinguibles a partir del
momento en que el máximo de una cae sobre el primer
mínimo de la otra.
λ
α c = 1,22
D
Así, el poder de resolución puede aumentarse bien
incrementando el diámetro de las rendijas, bien
disminuyendo la longitud de onda de operación.
Redes de difracción
Una red de difracción es un sistema formado por N
rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas
regularmente una distancia a. Estos dispositivos tienen
una importancia fundamental en el análisis de espectros.
En transmisión tendremos la interferencia debida a N
fuentes sincrónicas modulada por el diagrama de
difracción de una rendija.

 πb

 sen λ senθ  


I = I0 
 π b senθ 


λ
DIFRACCIÓN
2

 Nπ a

 sen λ senθ  



 sen π a senθ  

 

 λ
 
INTERFERENCIA
2
Redes de difracción
Si N es grande, el diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes angostas
correspondientes a los máximos principales del diagrama de interferencia:
senθ = n
λ
a
Este patrón corresponde a una configuración tipo transmisión, si bien las redes pueden
operar también en modo reflexión.
Redes de difracción
Cuando sobre una red incide luz de diversas longitudes de onda, éstas producen máximos
de difracción a ángulos diferentes, excepto para el orden cero, que es el mismo para
todas. El conjunto de máximos de un orden dado para todas las longitudes de onda
constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda, mayor es la desviación para
un orden dado del espectro.
La dispersión de una red se define como:
D=
dθ
dλ
Recordemos que para N grande
λ
dθ n
n
senθ = n → cos θ
= ⇒ D=
a
dλ a
a cos θ
Así, cuanto mayor es el orden de difracción, mayor es la dispersión.