Learning Goals: Students will be able to explain the Conservation of

Unidad: Momentum Lineal
Al usar la segunda Ley de Newton para estudiar cómo las fuerzas afectan al movimiento de un
cuerpo, aparece de manera natural una combinación de variables llamada momento lineal (o
también momentum). La segunda ley de Newton puede escribirse usando el momentum lineal
como
F = m dv/dt = dp/dt
donde el momentum p se define como
p=mv
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Actividad:
Bola que choca a otra en reposo
La imagen muestra dos bolas de pool idénticas, la de la derecha quieta y
la otra moviéndose hacia la primera.
1. Haz una predicción: ¿Cómo se moverán las dos bolas después del choque?
Observa el video (grabado a 240 fps) para chequear tu predicción.
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Las bolas de pool tienen masa m=186 gr y la bola que se mueve tiene rapidez v=2,28 (m/s) antes
de chocar.
2. ¿Cuál es el momentum lineal de la bola de la izquierda antes del choque?
3. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió la bola de la izquierda producto del choque?
4. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió la bola de la derecha producto del choque?
5. ¿Cuánto momentum lineal ganó o perdió el sistema formado por ambas bolas durante el choque?
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Actividad:
Autos iguales impulsados por un elástico
En la actividad anterior viste que el momentum lineal del sistema era el mismo antes y después
del choque, solo se transfería momentum de una parte del sistema a la otra. A continuación
veremos por qué ocurre esto estudiando el movimiento de dos autos conectados por un elástico
que está inicialmente estirado y sujeto por un hilo.
Observa el video que muestra que cuando se quema el hilo los
autos se mueven partiendo del reposo y terminan con rapideces
iguales.
1. ¿Por qué cambió la rapidez del auto de la izquierda?
2. Utilizando un sistema de coordenadas positivo hacia la
derecha y llamando v a la rapidez de los autos, ¿cuál es el
momentum lineal del auto de la izquierda y del auto de la
derecha?
3. ¿Cuál es el momentum lineal del sistema (auto de la izquierda) + (auto de la derecha) antes y después de quemar el
hilo?
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Actividad:
Autos de masas m y 2m impulsados por un elástico
En la actividad anterior viste que el momentum del sistema es el mismo antes y después de
cortar el hilo y para este caso en particular el momentum del sistema era igual a 0. Para ser
consistente al estudiar el momentum de cada auto y del sistema, se debe tener cuidado en
colocar los signos correctos a las velocidades.
La imagen muestra el mismo experimento anterior pero ahora la
masa del auto de la izquierda es el doble que la masa del auto de
la derecha.
1. Predice cuantas veces más grande o más chica es la rapidez
del auto de la derecha que la rapidez del auto de la izquierda. Si
ambas rapideces son iguales señálalo explícitamente.
2. Predice si la fuerza que actúa sobre el auto de la derecha
mientras acelera es menor, mayor o igual a la fuerza que actúa
sobre el auto izquierda?
Observa el video para comprobar tus respuestas.
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Como pudiste ver, el auto de la derecha se movió con el doble de rapidez que el auto de la
izquierda.
3. A partir de este resultado, ¿qué puedes decir de las aceleraciones que experimentaron los autos mientras eran
impulsados por el elástico?
4. Utiliza la Segunda Ley de Newton y tu respuesta anterior para deducir si la fuerza que actúa sobre el auto de la
derecha ¿es mayor, menor o igual a la fuerza que actúa sobre el auto de la izquierda?
En resumen, el elástico ejerce fuerzas iguales y contrarias sobre los dos autos,
por lo que el cuerpo del doble de masa experimenta la mitad de la aceleración.
m1 a1 = - m2 a2 es decir m1 a1 + m2 a2= 0
de donde podemos encontrar la ley de conservación del momentum lineal:
m1 0 + m2 0 = m1 v1 después + m2 v2 después
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Actividad:
Autos de masas m y 2m, posición del centro de masa
1. Predicción: Observa la imagen de dos autos de masa m y 2m impulsados por un elástico y marca el punto desde
donde tu creas que partieron moviéndose juntos ambos autos.
En el instante que se muestra, la rapidez del auto de la derecha es (5 cm)/(4/30 s) y la rapidez del auto de la
izquierda es (5 cm)/(8/30 s)
2. La distancia total recorrida por el auto de la izquierda, es cuantas veces más grande o más chica que la distancia
total recorrida por el auto de la derecha?
3. Utiliza tu respuesta anterior para encontrar y volver a marcar en la imagen el punto donde estaban unidos los dos
autos al comienzo del movimiento. Ayúdate con las cintas blancas y negras de 5 (cm) para medir las distancias
relevantes.
Chequea tu respuesta mirando la imagen en la siguiente transparencia.
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D
D/3
2D/3
A medida que los autos se mueven, la distancia D entre ellos aumenta. Sin embargo, el punto
que se encuentra a distancia 2D/3 del auto de masa m y a distancia D/3 del auto de masa 2m,
no se mueve durante todo el movimiento de los autos y se conoce como el centro de masa del
sistema.
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Actividad:
Autos de masas distintas impulsados por un elástico (aplicación opcional)
Este experimento muestra una repetición del experimento
anterior pero ahora las masas de los autos de la derecha e
izquierda son 66 y 99 gramos respectivamente.
1. La magnitud del momentum lineal del auto de la derecha, ¿es
mayor, menor o igual que la magnitud del momento lineal del
auto de la izquierda?
2. La rapidez del auto de la derecha, ¿cuántas veces mayor o menor es que la rapidez del auto de la izquierda?
3. Cuando el auto de la izquierda ha avanzado dos barras, ¿dónde se encuentra al auto de la derecha?
4. ¿Dónde está el centro de masa del sistema?
Observa el video para comprobar tus respuestas anteriores.
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Actividad:
Auto que se mueve sobre una plataforma flotante
En esta actividad estudiaremos el movimiento de un auto a control remoto de masa 220 gramos
que se encuentra sobre una plataforma flotante de 200 gr.
1. Haz una predicción: cuando el auto avanza hacia la derecha, la
plataforma ¿se mantiene quieta, avanza hacia la derecha o avanza
hacia la izquierda?
Ahora observa el video para comprobar tu predicción.
2. ¿Por qué se mueve la plataforma?
3. ¿Qué semejanza tiene este ejemplo con el de los autos impulsados por un elástico?
4. Si la masa de la plataforma es 0,9 veces la masa del auto, ¿Qué relación hay entre la fuerza que ejerce el auto sobre
la plataforma y la fuerza que ejerce la plataforma sobre el auto?
5. Si la masa de la plataforma es 0,9 veces la masa del auto, ¿Qué relación hay entre la rapidez del auto y la rapidez
de la plataforma en un instante dado?
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6. El auto se mueve de izquierda a derecha y viceversa. Cuando el auto llega al extremo derecho de su trayectoria
tiene rapidez cero. En ese instante, ¿qué rapidez tiene la plataforma?
Observa el video para chequear tu respuesta.
7. Utilizando un sistema de coordenadas positivo hacia la derecha.
a) ¿Cuál es el valor del momento lineal del sistema mientras se mueve el auto?
b) ¿Cuál era el valor del momento lineal del sistema antes que se moviera el auto?
c) ¿Cuál es la fuerza total (o neta) sobre el sistema auto + plataforma?
El momentum lineal de un sistema permanece constante si la fuerza neta sobre el sistema es cero. En particular, el
momentum se conserva si solo existen pares de fuerzas de acción y reacción entre partes del sistema.
F = Δp/Δt
Si F es cero:
0 = Δp/Δt
y p no cambia de valor a medida que pasa el tiempo
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Actividad:
Fuerza y cambio de momentum lineal
Observa nuevamente el video del choque de dos bolas de la primera
actividad. En las actividades anteriores nos preocupamos del momentum
de cada sistema, ahora nos concentraremos en lo que le ocurre a cada
objeto.
1. Determina el cambio de momentum de la bola de la izquierda: ΔP1 = P1final – P1inicial
2. Determina el cambio de momentum de la bola de la derecha: ΔP2 = P2final – P2inicial
3. ¿Qué relación hay entre ΔP1 y ΔP2? Recuerda usar los signos correctos.
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Usando la Segunda ley de Newton en la forma:
ΔP1 = (Fuerza sobre la bola de la izquierda) · (Δt)
ΔP2 = (Fuerza sobre la bola de la derecha) · (Δt)
4. ¿Qué relación debería existir entre ΔP1 y ΔP2?
5. Utilizando tus valores para ΔP1 y ΔP2, ¿Cuánto vale ΔP del sistema?
6. Sabiendo que el P del sistema se conserva, ¿Cuánto debe valer ΔP del sistema?
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Actividad:
El momentum lineal como un vector (opcional)
Para poder visualizar la conservación del momentum lineal en las actividades anteriores, fue
crucial usar correctamente los signos positivos o negativos en cada momentum. Una forma
equivalente de trabajar es usando vectores, es decir usamos la dirección de una flecha para
indicar el signo o dirección y el largo de la flecha para indicar la magnitud de la cantidad física
correspondiente.
Bola de pool azul que choca a una bola en reposo.
1. Para la bola de la izquierda representa el vector momentum inicial.
2. Similarmente representa para la bola de la izquierda el vector momentum final .
3. Ahora resta los dos vectores para encontrar el vector Δp1 = p1 final – p1 inicial.
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4. Para la bola de la derecha representa el vector momentum
inicial.
5. Para la bola de la derecha representa el vector momentum
final.
6. Ahora resta los dos vectores para encontrar el vector Δp2 = p2 final – p2 inicial.
7. El vector Δp1 (bola izquierda) tiene la misma magnitud que el vector Δp2 (bola derecha), pero ¿apuntan en la
misma dirección o en direcciones contrarias?
8. ¿Cuánto vale el vector ΔP total (que es la suma de los vectores Δp izquierda y Δp derecha)?
9. Calcula el vector ΔP total en la forma P total final – P total inicial.
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Actividad:
Momentum lineal de una bola que rebota en una pared
Observa el video que muestra una bola de pool de masa m que se
mueve hacia la derecha con rapidez v, que rebota en un muro saliendo
con aproximadamente la misma rapidez que traía.
1. El momentum lineal de la pelota antes del choque, ¿es igual o
distinto al momentum lineal de la pelota después del choque?
2. ¿Actúa una fuerza sobre la pelota en algún instante?
3. De acuerdo a tu respuesta anterior, ¿debería haber cambiado el momentum lineal de la pelota producto del choque?
En la transparencia anterior viste que la velocidad del objeto cambia de dirección producto del
choque. Es decir, el momentum lineal de la pelota cambia de signo (p cambia debido a la fuerza
que ejerce el muro sobre la pelota). Considera las dos situaciones que ya hemos analizado:
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En ambos casos la pelota incidente tiene la misma masa y rapidez, pero en el primer caso queda detenida y en el
segundo caso rebota después del choque.
4. El cambio de momentum ΔP1 en el primer caso, tiene mayor menor o igual magnitud que el cambio de momentum
ΔP2 en el segundo caso?
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Actividad:
Bolas que chocan de frente
Este video muestra el choque frontal de dos bolas de pool que se
mueven con la misma rapidez en direcciones contrarias.
1. Haz una predicción: ¿Cuál es el movimiento de las bolas
después del choque?
Observa el video para chequear tu predicción.
2. Si las bolas al comienzo del video tenían rapidez de 10 cm/s y
después del choque como producto de la pérdida de energía
mecánica, la bola negra sale un poco más lento a 9cm/s, ¿Qué
rapidez tiene la bola amarilla después del choque?
3. ¿Cuánto vale el momentum lineal del sistema antes del choque? ¿y cuanto vale después del choque?
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En general si antes de un choque:
la bola 1 tiene velocidad v1 antes y la bola 2 tiene velocidad v2 antes
y después del choque:
la bola 1 tiene velocidad
v1 después y la bola 2 tiene velocidad v2 después
La ecuación que expresa la conservación del momento lineal es:
m1 v1 antes + m2 v2 antes = m1 v1 después + m2 v2 después
Donde las velocidades deben colocarse con los signos adecuados.
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Actividad:
Momentum lineal de bolas que chocan en 2D (opcional)
El siguiente experimento muestra el choque de dos bolas de pool, pero a diferencia de las
actividades anteriores, el movimiento resultante es un movimiento en dos dimensiones.
La siguiente imagen muestra la trayectoria de la bola verde (inicialmente
quieta) después del choque.
1. Dibuja sobre la imagen cual crees tu que es la trayectoria de la bola
incidente después del choque.
2. En la imagen, ¿cuál es la dirección de la fuerza que ejerce la bola
incidente sobre la bola quieta?
3. ¿Cuál es la dirección de la fuerza que ejerce la bola quieta sobre la
bola incidente?
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Observa el video (grabado a 30 fps) para chequear tus respuestas
anteriores.
Examinemos a continuación si tus respuestas anteriores son
consistentes con la segunda ley de Newton:
4. Para la bola roja, representa en la imagen el vector momentum
antes del choque, el vector momentum después del choque y la
resta los dos vectores para encontrar el vector Δp = p final – p
inicial.
Puedes chequear tu respuesta reescribiendo la resta como una suma de vectores, en la forma p inicial + Δp = p final.
Verifica que se cumpla esta relación.
5. Determina si el vector anterior es consistente con la Segunda Ley de Newton en la forma ΔP = F · Δt
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Un movimiento en 2D se puede analizar como dos movimientos en una dimensión que ocurren
simultáneamente, por ejemplo las componentes verticales y horizontales.
1. En la aproximación que la bola roja de masa m se movía
horizontalmente con rapidez v antes de chocar, ¿cuánto vale el
momentum “vertical” del sistema antes del choque?
2. Usando la idea anterior y sabiendo que la bola verde se mueve como
se muestra en la figura, deduce si el movimiento de la bola roja después
del choque es en una trayectoria “inclinada hacia arriba”, “inclinada
hacia abajo” u horizontal.
3. Antes del choque la bola roja se movía a 90 cm/s y después del
choque su velocidad tenía una componente horizontal de 35 cm/s,
¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad de la bola verde después del choque? (nota que en este ejemplo
todas las bolas tienen la misma masa).
Como nota curiosa, en cursos posteriores verás que la conservación del momentum y la energía
conducen a que el ángulo entre las dos bolas después que chocan es de 90°.
Unidad: Momentum Lineal, Centro de Masa
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El Centro de Masa (CM) se define como aquel punto que si concentrara toda la masa del sistema,
se movería con el mismo momentum lineal que el sistema completo.
Actividad:
Movimiento sobre una plataforma flotante
En esta actividad resumiremos lo aprendido en el movimiento de un auto que se mueve sobre una
plataforma flotante. Nos concentraremos en el CM del sistema para una plataforma que tiene
ahora mayor masa y su relación con cómo caminamos sobre la superficie de nuestro planeta.
Observa el siguiente video que muestra el mismo auto anterior
de masa 220 gr, pero ahora moviéndose sobre una plataforma de
mayor masa 450 gr.
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Cuando el auto avanza hacia la derecha, la plataforma avanza hacia la izquierda debido a la
fuerza que hace el auto sobre la plataforma. Esta fuerza es igual y contraria a la fuerza que
ejerce la plataforma sobre el auto.
El momentum inicial del sistema auto + plataforma valía cero, o sea: mava =
las rapideces del auto y de la plataforma dependen de las masas de éstos.
-mpvp, por lo que
Si la masa de la plataforma es muy grande, la fuerza que hace el auto produce un movimiento de
la plataforma casi imperceptible y solo se distingue el movimiento del auto.
1. ¿Cómo sería el movimiento si la masa del auto fuese mucho mayor que la de la plataforma?
Cuando caminamos hacemos una fuerza sobre la superficie del planeta que tiende a mover al
planeta en sentido contrario, durante esta interacción el planeta hace una fuerza igual y
contraria sobre nosotros produciendo el movimiento de caminar.
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Actividad:
Centro de masa
El Centro de Masa (CM) se define como aquel punto que, si concentrara toda la masa del
sistema, se movería con el mismo momentum lineal que el sistema que se está estudiando. Es
decir, se define el CM por la ecuación:
Ptotal del sistema= m1 v1 + m2 v2 + ... = (masa total) vCM
En los ejemplos ya vistos el P total del sistema era cero, por lo que vCM era cero, es decir, el
CM del sistema se mantenía quieto en cada experimento. Este resultado era cierto porque las
únicas fuerzas que actuaban eran pares de acción y reacción, y se anulaban entre sí al considerar
los efectos sobre el sistema como un todo. Pero si hay fuerzas externas (cuyo par de acción y
reacción actúa fuera del sistema) tenemos
dPtotal sistema/dt = (masa total) (aceleración CM) = Fuerza externa
El CM es el punto del sistema que se mueve como si tuviese toda la masa del sistema
y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre él.
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De la primera fórmula de la transparencia anterior puede deducirse la siguiente expresión, que
permite encontrar la posición del CM:
m1 x1 + m2 x2 + ... = (masa total) xCM
En particular, el peso de un objeto puede considerarse que actúa concentrado en el CM de éste.
Tu profesor te mostrará varias formas prácticas de determinar donde está el CM de un objeto, y
todas ellas se basan en este hecho.
1. Observa la imagen de la escoba que descansa sobre dos dedos, el CM de la escoba ¿está a
la izquierda del dedo izquierdo, entre los dos dedos, o a la derecha del dedo derecho?
2. ¿Qué ocurre si los dedos comienzan a acercarse?
Observa el video para chequear tu predicción.
3. En el video pudiste observar que encontramos un punto donde la escoba puede quedar en
equilibrio encima de un dedo. ¿El CM de la escoba está a la izquierda del dedo, a la derecha
del dedo o sobre el dedo?
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Actividad:
Movimiento del Centro de Masa
A continuación mostraremos el lanzamiento de un martillo al aire desde la posición que se
muestra en la imagen y donde el CM está marcado por un punto.
1. Predice el movimiento que seguirá la cabeza del martillo.
2. Predice el movimiento que seguirá el CM del martillo.
Observa el video para chequear tus predicciones.
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Actividad:
Péndulo sobre un carro
Estudiaremos un péndulo que está montado encima de un carro con ruedas como muestra la
figura.
1. Identifica que fuerza hará que el carro se mueva hacia la derecha.
2. Identifica que fuerza hará que la bola se mueva hacia la izquierda.
3. ¿Se mantiene constante el momentum lineal del sistema?
4. Indica donde crees que está el CM del sistema.
Observa el video del movimiento.
5. ¿Hay alguna imagen en el video en que puedas señalar con certeza la posición
(horizontal) del CM?
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