Probabilidad Condicional e Independencia

Notas de Probabilidad
Probabilidad Condicional e Independencia
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
Definición
Si A y B son dos eventos, se define la probabilidad de A dado B
como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya
ocurrió o se tiene la certeza de que ocurrirá, y se calcula como
P ( A ⏐B ) =
P( A ∩B )
;
P(B)
P(B)≠0
De la misma manera, se define la probabilidad de B dado A como la
probabilidad de que ocurra el evento B cuando el evento A y ocurrió o se
tiene la certeza que de ocurrirá. Esta probabilidad se calcula como
P ( B ⏐A ) =
P( A ∩B )
;
P( A )
P(A)≠0
Teorema 4.1.1 ( Regla de la multiplicación )
Si A y B son dos eventos, entonces
P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A ⏐B )
Y también
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ⏐A )
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Ejemplo 1
En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes
probabilidades:
a) La probabilidad de que los dos hijos sean varones.
b) La probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo
sean.
RESOLUCIÓN:
Para poder resolver el problema es necesario empezar por definir algunos
eventos.
Sean
a)
A: el evento de que los dos hijos sean varones, y
B: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón.
Si observamos en el espacio muestral
S = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) }
y consideramos que todos los eventos
probables, es claro que
P ( A ) = 1 / 4 = 0.25
b)
y
simples son igualmente
P ( B ) = 3 / 4 = 0.75
Se desea calcular P ( A ⏐B ).
Utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene
P ( A ⏐B ) =
P ( A ∩ B ) 1/4 1
=
=
P(B )
3/4 3
P ( A ⏐B ) = 1 / 3
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Pero ¿qué pasa al imponer una condición?.
En este mismo ejemplo consideremos la condición impuesta de que al
menos uno de los hijos es varón, entonces, el evento ( m, m ) no es
factible, con lo cual, el espacio muestral se modifica, es más, se reduce al
conjunto
S B = { (h, h), (h, m), (m, h) }
Si calculamos ahora la P (A) a partir de este espacio muestral reducido,
se puede observar con toda claridad que P ( A ) = 1/3.
¡Exactamente lo que habíamos calculado usando la definición !
Ejemplo 2
Se lanzan dos dados balanceados y se definen los eventos
A: el resultado del lanzamiento del primer dado es par.
B: el resultado del lanzamiento del segundo dado es 4.
C: el resultado del lanzamiento del primer dado es 3.
Calcular
a) P ( A ⏐B )
f) P ( B )
b) P ( B ⏐C )
g) P ( C )
c) P ( A ⏐C )
d) P ( C ⏐A )
e) P ( A )
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Definición
Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de A dado
B es igual a la probabilidad de A, y también la probabilidad de B dado A es
igual a la probabilidad de B, es decir, si la ocurrencia o no ocurrencia de un
evento no modifica en nada la probabilidad de ocurrencia de otro. Esto es,
A y B son independientes si
P ( A ⏐B ) = P ( A )
y también
P ( B ⏐A ) = P ( B )
Teorema
Dos eventos A y B son eventos independientes sí y sólo sí
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Teorema (Fórmula de Probabilidad Total)
Sean los eventos B1 , B2 , ... , Bn una partición colectivamente
exhaustiva del espacio muestral S, y sea A otro evento, entonces,
P(A) = P[ (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bn) ]
n
= ∑ P( A ∩ Bi )
i =1
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Pero sabemos que P(A ∩ Bi) = P(Bi) P(A ⏐Bi), de donde se obtiene el
siguiente resultado.
Teorema (Teorema de Bayes)
Sean los eventos B1 , B2 , ... , Bn una partición colectivamente
exhaustiva del espacio muestral S, y sea A otro evento, entonces,
P(Bi )P(A⏐Bi )
P(Bi ⏐A) = n
∑ P(Bk )P(A⏐Bk )
k =1
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Ejemplo 3
Una fábrica de artículos eléctricos recibe un cierto tipo de partes de
tres proveedores conocidos como A, B, C. De acuerdo con las pruebas de
calidad que efectúa la fábrica al recibir cada remesa, se sabe que el 10%
de las partes recibidas de A no satisface las especificaciones, mientras
que por parte de B y C dichos porcentajes son 5% y 8% respectivamente.
Ante tal experiencia, la política de la fábrica ha sido requerir el 20% de los
pedidos a A, el 50% a B y el 30% a C. Una vez recibidas y revisadas las
remesas se juntan todas las partes recibidas. Si se selecciona
aleatoriamente una parte de las almacenadas,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con las especificaciones ?
b. Si la parte seleccionada no cumple con las especificaciones, ¿cuál
es la probabilidad de que haya sido vendida por A?
Procedimiento de solución
Definamos los siguientes eventos:
A: La parte seleccionada fue fabricada por A
B: La parte seleccionada fue fabricada por B
C: La parte seleccionada fue fabricada por C
D: El producto seleccionado está defectuoso.
Datos
P(A) = 0.20
P(D⏐A) = 0.10
P(B) = 0.50
P(D⏐B) = 0.05
P(C) = 0.30
P(D⏐C) = 0.08
Problema
a. P(Dc)
b. P(A⏐D)
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Resolución
a. P(Dc) = 1 – P(D)
P(D) = P(A) P(D⏐A) + P(B) P(D⏐B) + P(C) P(D⏐C)
= 0.2 (0.1) + 0.5 (0.05) + 0.3 (0.08) = 0.069
P(Dc) = 0.931
b.
P(A D) =
=
P(A) P(D A)
P(C) P(D C) + P(B) P(D B) + P(C) P(D C)
0.20 ( 0.10)
= 0.2898
0.069
P(A⏐D) = 0.29
Ejemplo 4
En una ciudad determinada, el 30% de las personas son
conservadores, el 50% liberares y el 20% son independientes. Los
registros muestran que en unas elecciones concretas votaron 65% de los
conservadores, el 82% de los liberales, y el 50% de los independientes.
a. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad, ¿cuál es la
probabilidad de que haya votado?
b. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que
no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad de
que sea un liberal ?
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Resolución
Definamos los eventos siguientes:
A: La persona seleccionada al azar es conservadora.
B: La persona seleccionada al azar es liberal.
C: La persona seleccionada al azar es independiente.
D: La persona seleccionada al azar votó en las elecciones pasadas.
a. P(D) = ?
Usando un diagrama de árbol,
D
P(A) = 0.30
Dc
A
B P(B) = 0.50
D
Dc
C
P(C) = 0.20
D
Dc
P(A ∩D) = P(A) P(D⏐A) = 0.195
P(D⏐A) = 0.65
P(Dc⏐A) = 0.35
P(A ∩Dc) = P(A) P(Dc⏐A) = 0.105
P(B ∩D) = P(B) P(D⏐B) = 0.41
P(D⏐B) = 0.82
P(Dc⏐B) = 0.18
P(B ∩Dc) = P(B) P(Dc⏐B) = 0.09
P(C ∩D) = P(C) P(D⏐C) = 0.10
P(D⏐C) = 0.50
P(Dc⏐C) = 0. 5
P(C ∩Dc) = P(C) P(Dc⏐C) = 0.10
Entonces, P(D) = 0.195 + 0.41 + 0.10 = 0.705
b. P(B ⏐Dc) = 0.09 / 0.295 = 0.305
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