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v
MATEMÁTICA
Unidad 3
Factorización y Áreas
de regiones planas
Objetivos de la unidad:
Utilizarás la factorización algebraica como un medio para
interpretar tus contextos escolares y sociales, y de esta manera
proponer soluciones creativas a los problemas que en dichos
ámbitos existan.
Aplicarás el cálculo de superficies y volúmenes en tu entorno, a
fin de buscar soluciones a las diversas problemáticas que puedan
presentarse, valorando además la armonía y belleza geométrica
que te rodean.
55
Factorización
mediante los casos de:
Diferencia de
cuadrados
Suma de
cubos
Diferencia de
cubos
Trinomios cuadrado
perfecto y diferencias
de cuadrados
Por división
sintética
Regiones planas
pueden ser:
Rectángulo, triángulo, rombo,
cuadrado, trapecio y romboide.
Polígonos regulares
Sector circular
Corona circular
El cubo
Lateral y total del ortoedro
Figuras compuestas
Descripción del Proyecto
Al finalizar la unidad tendrás la oportunidad de realizar cálculos que permitirán conocer
la cantidad de pintura que se necesita para pintar una casa con diseño arquitectónico.
56 Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Tercera Unidad
Factoreo II
Motivación
U
na plaza tiene forma cuadrada cuya dimensión es 5x de lado. Si un
ingeniero quiere diseñar una fuente que tenga la misma forma geométrica
pero de 2 m por lado, ¿tienes idea de cuál seria el área restante en la plaza
una vez construida la fuente?
Área de la plaza = (5x) (5x) = 25x2
Área de la fuente = 2 × 2 = 4
El área restante será 25x2 – 4
Indicadores de logro:
Factorizarás con certeza expresiones
algebraicas aplicando la diferencia de
cuadrados.
Resolverás problemas, con
perseverancia, aplicando la
descomposición de expresiones
algebraicas por diferencia de cuadrados.
Factorizarás con seguridad
expresiones algebraicas, aplicando la
suma de cubos.
Factorizarás con seguridad
expresiones algebraicas, aplicando la
diferencia de cubos.
Resolverás problemas, con
perseverancia, aplicando la
descomposición de expresiones
algebraicas por suma de cubos y/o
diferencia de cubos.
Diferencia de cuadrados
Observa la siguiente
figura:
¿Cómo encontrarás
el área de la figura que
queda al efectuar la
operación planteada?
y
y
− y
x
x
x2
−
y
Si reubicas la figura
anterior te queda la
siguiente:
x−y
La expresión obtenida en la situación anterior: 25x2 – 4, representa una diferencia de cuadrados.
Área
y2
total
x+y
Aplicando tus conocimientos sobre el área de un rectángulo: A = bh, tienes que el área
de esta figura es: (x + y) (x − y).
Entonces resulta que x2 – y2 = (x – y) (x + y), como la multiplicación cumple con ser
conmutativa, este producto también puede expresarse así: x2 – y2 = (x + y)(x – y).
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 3
Ejemplo 1
Observa la figura. Recuerda que el área de un cuadrado
es lado por lado: L × L
Encuentra el área del cuadro mayor menos el menor.
16x2
4x
4
Observa
Regla:
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es
igual a la suma de las cantidades por la diferencia de
las mismas.
Ejemplo 3
2
Factoriza: 25n4 – 81m2
Solución:
Solución:
Encuentra la raíz cuadrada de ambos términos:
A = (4x) (4x) – (2) (2) = 16x – 4 donde 16x es el área
del cuadro grande y 4 el área del cuadro pequeño.
2
2
Luego obtienes una diferencia de dos términos
cuadrados perfectos.
Como en el caso anterior para encontrar el área que
se te pide multiplicas la suma por la diferencia de las
longitudes de sus lados.
Entonces resulta que 16x2 – 4 = (4x + 2) (4x – 2).
Para resolverlo, extraes la raíz cuadrada a ambos
términos:
16x – 4 = 16 x = 4 x y 4 = 2 y luego lo expresas
como el producto de la diferencia de sus raíces por la
suma de las mismas:
2
2
16x2 – 4 = (4x + 2) (4x − 2).
Ejemplo 2
Factoriza: 49m2 – 144n6
Solución:
Extraes la raíz cuadrada a ambos términos
49m 2 = 7m, 144 n 6 = 12n 3
Luego expresas el polinomio de forma factorizada así:
49m 2 − 144 n 6 = ( 7 m + 12n 3 )( 7 m − 12n 3 )
58 Matemática - Octavo Grado
25n 4 = 5n 2 y 81m 2 = 9m
Luego 25n4 – 81m2 = (5n2 +9n) (5n2 – 9n).
Ejemplo 4
4x 4 x 6
Factoriza:
−
36 49
Solución:
Para encontrar la raíz cuadrada de una fracción, tienes
que buscar tanto la raíz cuadrada del numerador como
del denominador en ambas fracciones así:
4 x 4 2x 2
y
=
36
6
Por lo tanto:
x6 x3
=
49 7
4 x 4 x 6  2x 2 x 3   2x 2 x 3 
=
−
+ 
− 
36 49  6
7  6
7
UNIDAD 3
Ejemplo 5
Factoriza:
Solución:
100a 2
− 25b 2
64
100a 2 10a
y 25b 2 = 5b
=
64
8
2
100a
 10a
  10a

+ 5b  
− 5b 
− 25b 2 = 
 8
 8

64
5a
5a
O de forma simplificada:  + 5b   − 5b 
 4
 4

Ejemplo 6
Factoriza: (2x −3)2 – 16
Solución:
Observa, en este caso uno de los términos de esta diferencia de cuadrados está
formado por un polinomio.
Cuando se tienen términos que son polinomios, se extrae la raíz cuadrada a todo el
polinomio, así:
2
(2x -3)2 – 16 = ( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 ) y 16 = 4
Ahora: (2x −3)2 – 16
(2x −3)2 – 16
Luego: (2x −3) – 16
2
= [(2x – 3) + 4)] [(2x – 3) −4)]
= (2x – 3 + 4) (2x – 3 − 4)
Suprimes signos de agrupación.
= (2x + 1) (2x − 7)
Luego reduces términos
semejantes y aplicas ley de signos.
Ejemplo 7
Factoriza:
Observa
36x2 – (x – 5)2
Solución:
36 x 2 = 6 x ( x − 5)2 = (x – 5)
36x2 – (x – 5)2 = [6x + (x – 5)] [6x – (x – 5)]
Observa
Por lo tanto obtienes:
Tomas en cuenta la ley de los
signos de la multiplicación.
{
Suprimes signos de agrupación.
{
36x2 – (x – 5)2 = (6x + x −5) (6x –x + 5)
36x2 – (x – 5)2 = (7x − 5) (5x + 5)
Octavo Grado - Matemática 59
UNIDAD 3
1
Observa
Actividad
Regla:
La suma de los cubos de dos cantidades es igual a la
suma de las cantidades por el cuadrado de la primera
cantidad menos la primera por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 36m2 – 16 d) 49x2y2 – 4z2 g) (x + 1)2 – 16y2
b) 100 – y4
e) 81n2m4 – p8 h) (a + 2b)2 – 9
Ejemplo 8
1
4 x 2 25
c)
− f) 100 − 2
x
9 16
Factoriza: 125x3 + 1
Solución:
Suma de cubos
Extraes las raíces cúbicas: 3 125 x 3 = 5 x ; 3 1 = 1
Observa las figuras que se te presentan, es una suma de
los volúmenes de ambos cubos:
V = x3
V = y3
x
x
y
+
x
y
y
Representa como el producto de dos factores la suma de
dos cubos.
Luego aplicas la regla:
125x3 + 1 = (5x +1) [(5x)2 – 5x + (1)2]
125x3 + 1 = (5x + 1) (25x2 – 5x + 1)
Ejemplo 9
Factoriza: 64m9 + 27n6
Solución:
Encuentras la raíz cúbica de ambos términos:
3
64 m 9 = 4 m 3 y 3 27 n 6 = 3n 2
Para ello procedes de la siguiente manera:
Luego:
Extraes la raíz cúbica de ambos términos:
3
3
x3 =x ; 3 y = y
64m9 + 27n6 = (4m3 + 3n2) [(4m3)2 − (4m3) (3n2) + (3n2)2]
Un factor es la suma de las raíces cúbicas: (x + y).
El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz
menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de
la segunda raíz, es decir: x2 – xy + y2
Por lo tanto se dice que la suma de dos cubos
factorizada es:
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
60 Matemática - Octavo Grado
64m9 + 27n6 = (4m3 + 3n2) (16m6 − 12m3n2 + 9n4)
UNIDAD 3
Ejemplo 10
Factoriza: y12 + 8z3
Solución:
Extraes raíz cúbica: Aplicas la regla:
3
y 12 = y 4 3
8z 3 = 2z
y12 + 8z3 = (y4 + 2z) [(y4)2 – (y4) (2z)+ (2z)2]
y12 + 8z3 = (y4 + 2z) (y8 – 2y4z + 4z2)
Ejemplo 11
8 y6
1
+
27 x 3 z 3
Observa que son términos fraccionarios.
Factoriza:
Solución:
Extraes la raíz cúbica a ambos términos de la fracción:
3
1
1
= ,
3
27 x 3 x
3
luego aplicas la regla, así:
2
2
8 y 6 =  1 2 y 2   1   1   2 y 2   2 y 2  
1
+
 3 x + z   3 x  −  3 x   z  +  z  
27 x 3 z 3


8 y6 2 y2
=
z3
z
Por lo tanto:
8 y6  1 2 y2   1 2 y2 4 y4 
1
= +
−
+
+
 3x
z   9 x 2 3 xz z 2 
27 x 3 z 3
2
Actividad
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 125n3 + 1
c) 1,000m3 + 216
e) 729a3 + 64b3
b) 8x3 + 125
d) 343y3 + 27z3
f) 512x3 + 27y3
Diferencia de cubos
V = x3
Sabes ¿de qué forma podríamos factorizar la diferencia
de cubos?
V = y3
y
x
La diferencia de cubos se factoriza de la misma manera
que la suma de cubos, con la diferencia de los signos en
los factores.
x
x
y
y
Octavo Grado - Matemática 61
UNIDAD 3
Aplica el siguiente proceso:
Extraes la raíz cúbica de ambos cubos:
3
x 3 = x;
3
y3 = y
Un factor es la diferencia de las raíces cúbicas (x – y)
El segundo factor es el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces
más el cuadrado de la segunda raíz, x2 + xy + y2
Entonces: x3 − y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Ejemplo 12
Factoriza: 125x3 – z3
Solución:
3
3
Encuentras las raíces cúbicas: 125 x = 5 x ;
3
z3 = z
Luego aplicas la regla: 125x3 – z3 = (5x – z) [(5x)2 + (5x) (z) + (z)2]
Se concluye que: 125x3 – z3 = (5x – z) (25x2 +5xz + z2)
Observa
Regla:
La diferencia de los cubos de dos cantidades es igual a la diferencia de las
cantidades por el cuadrado de la primera cantidad más la primera por la segunda
más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo 13
Factoriza: 64a3 – 27b6
Solución:
3
64 a 3 = 4 a y 3 27b 6 = 3b 2
64a3 – 27b6 = (4a – 3b2) [(4a)2 + (4a) (3b2) + (3b2)2]
64a3 – 27b6 = (4a – 3b2) (16a2 + 12ab2 + 9b4)
Ejemplo 14
Factoriza: 1,000x3 – 125y3
Solución:
3
3
1 ,000 x 3 = 10 x y 3 125 y = 5 y
1,000x3 – 125y3 = (10x – 5y) [(10x)2 + (10x) (5y) + (5y)2]
1,000x3 – 125y3 = (10x – 5y) (100x2 + 50xy + 25y2)
62 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 3
Ejemplo 15
Factoriza:
Solución:
3
8 3
m − 343n 3
125
8 3 2 ;
m = m
125
5
3
343n 3 = 7 n
Aplicas la regla:
2
8 3
2
  2   2 
2
3
m − 343n =  m − 7 n   m  +  m  ( 7 n ) + ( 7 n ) 
5
  5   5 
125

8 3
2
14
4
m − 343n 3 =  m − 7 n   m 2 + mn + 49n 2 
5
  25

125
5
3
Actividad
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 125m6 – 27n9
c) 216a3 −343b3
e) 27c9 – 1
b) 1,000 − x3
d) 8y3 – 729z3
f) 729x6 – 64y3
Resumen
En esta lección estudiaste tres casos de factorización:
x2 – y2
(x + y)(x – y)
x3 + y3
(x + y) (x2 – xy + y2)
x 3 − y3
(x – y) (x2 + xy + y2)
La diferencia de los cuadrados de dos
cantidades es igual a la suma de las
cantidades por la diferencia de las mismas.
La suma de los cubos de dos cantidades
es igual a la suma de las cantidades por el
cuadrado de la primera cantidad menos la
primera por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad.
La diferencia de los cubos de dos cantidades
es igual a la diferencia de las cantidades por
el cuadrado de la primera cantidad más la
primera por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Octavo Grado - Matemática 63
UNIDAD 3
Autocomprobación
3
Al factorizar (8 + 3a)2 – 16a2 obtienes:
(8 – a) (8 – 7a)
b) (8 – a) (8 + 7a)
c) (8 + a) (8 + 7a)
d) (8 – 3a) (8 + 7a)
a)
(15y + 6z) (15y + 6z)
b) (25y + 6z) (25y + 6z)
c) (15y + 6z) (15y − 6z)
d) (25y – 6z) (25y + 6z)
a)
La suma de 27x3 + 1000 de forma factorizada es igual a:
(3x +10) (9x2 – 30x – 100)
b) (3x + 10) (9x2 – 30x + 100)
c) (3x + 10) (9x2 + 30x + 100)
d) (3x + 10) (9x2 + 30x −100)
4
La diferencia de cubos 8x9 – 125 es igual a:
(2x3 − 5) (4x6 + 10x3 + 25)
b) (2x3 − 5)(4x6 – 10x3 −25)
c) (2x3 − 5) (4x6 + 10x3 − 25)
d) (2x3 − 5)(4x6 – 10x3 + 25)
a)
a)
1. b.
2
El resultado de factorizar 225y2 – 36z2 es:
Soluciones
1
2. b.
3. c.
4. a.
LOS RENACENTISTAS Y EL ÁLGEBRA
El desarrollo del álgebra (con la introducción
de un sistema de símbolos por un lado, y la
resolución de problemas por medio de las
ecuaciones), vino de la mano de los grandes
matemáticos renacentistas como Tartaglia,
Stevin, Cardano o Vieta y fue esencial para el
planteamiento y solución de los más diversos
problemas que surgieron en la época como
consecuencia de los grandes descubrimientos
que hicieron posible el progreso científico que
surgirá en el siglo XVII.
TM08P110
Fotografía de
Cardano
Jerónimo Cardano
64 Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Tercera Unidad
Factoreo III
Motivación
Observa la figura:
Cuarto
xy
Baño
y²
José desea expresar el área construida de su casa sin el área del jardín
como producto indicado de factores.
El área de la casa es x2 + 2xy + y2
El área del jardín es 4 m2 .
Cuarto
xy
Sala
x²
Jardín
4 m²
Indicadores de logro:
Explicarás y aplicarás con seguridad las reglas, para
determinar si una expresión algebraica es factorizable por
la combinación del trinomio cuadrado perfecto con la
diferencia de cuadrados.
Resolverás problemas con perseverancia, aplicando
la descomposición de expresiones algebraicas por la
combinación del trinomio cuadrado perfecto con la
diferencia de cuadrados.
Aplicarás y explicarás con seguridad las reglas, para
determinar si una expresión algebraica es factorizable por la
división sintética.
Resolverás problemas con perseverancia factorizando las
expresiones algebraicas.
Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
Al observar la situación anterior, tienes que la suma de
las áreas de la parte construida de la casa de José es
x2 + 2xy + y2, que es un trinomio cuadrado perfecto
luego a esta área le restas el área del jardín que es igual a
4 y obtienes un polinomio igual a x2 + 2xy + y2 – 4, tiene
cuatro términos.
Para factorizar este tipo de polinomio: x2 + 2xy + y2 – 4,
procedes de la siguiente forma:
Identificas cuál es el trinomio cuadrado perfecto.
Una vez identificado el trinomio lo agrupas:
(x2 + 2xy + y2) – 4
Ahora, factorizas el trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Expresas el polinomio dado de la siguiente manera:
x2 + 2xy + y2 – 4 = (x + y)2 – 4
Esta expresión, representa una diferencia de cuadrados.
¿Recuerdas como factorizarlo?
Extraes la raíz cuadrada de cada término:
(x + y )2 = (x + y);
4 =2
Luego aplicas la regla:
(x + y)2 – 4 = [(x + y) + 2] [(x + y) − 2]
Octavo Grado - Matemática 65
UNIDAD 3
Entonces: (x + y)2 – 4 = (x + y + 2) (x + y − 2).
José expresa la diferencia de las áreas de la parte
construida de la casa menos la del jardín, por los factores
(x + y + 2) (x + y − 2)
Si la dimensión de la casa es para x = 9 metros y para
y = 3 metros.
a. ¿Cuál es el área construida de la casa?
Ejemplo 2
b. ¿Cuál es el área total de la casa?
Factoriza: a 2 − 6 ay + 9 y 2 − 4 x 2
c. ¿Cuál es el área construida menos el área del jardín?
Solución:
Resuelve lo anterior en tu cuaderno y luego compara tus
respuestas con las siguientes:
Agrupas: ( a 2 − 6 ay + 9 y 2 ) – 4x 2
a) 144 m
b) 148 m
2
c) 140 m
2
2
Compruebas si el trinomio es cuadrado perfecto y
factorizas a 2 − 6 ay + 9 y 2 = ( a − 3 y )2 .
Para ( a − 3 y ) – 4x2 se tiene que:
2
Ejemplo 1
(a − 3 y )
Factoriza: n2 + 6n + 9 – c2
4 x 2 = 2x
( a − 3 y )2 – 4x2 = ( a − 3 y ) + 2 x  ( a − 3 y ) − 2 x 
Solución:
Siguiendo los pasos anteriores, recuerda que tienes que
identificar el trinomio cuadrado perfecto.
Agrupas así: (n + 6n +9) – c luego compruebas si el
trinomio es cuadrado perfecto, extraes la raíz cuadrada
del primer y tercer término, n 2 = n y 9 = 3 ,
determinas si el doble producto de las raíces resultan el
segundo término: 2(n) (3) = 6n
2
En este caso cumple, entonces expresas el polinomio
como una diferencia de cuadrados y procedes a
factorizarlo.
( a − 3 y )2 – 4x2 = ( a − 3 y + 2 x )( a − 3 y − 2 x )
Es decir:
a 2 − 6 ay + 9 y 2 − 4 x 2 = ( a − 3 y + 2 x )( a − 3 y − 2 x )
Ejemplo 3
Factoriza: x2 – 8xy + 16y2 – 25c2
Solución:
Agrupas el trinomio y lo factorizas:
(x2 – 8xy +16y2) – 25c2 = (x – 4y)2– 25c2
Para (n + 3)2 − c2 se tiene:
( n + 3 )2 = ( n + 3 ) ;
= (a − 3 y )
Entonces tienes:
¿Cómo resuelves?
2
2
c 2 =c
(n + 3)2 − c2 = [(n + 3) + c] [(n + 3) − c]
(n + 3)2 − c2 = (n + 3 +c)(n + 3 − c)
Entonces: n2 + 6n + 9 – c2 = (n + 3 + c) (n + 3 − c)
Extraes la raíz cuadrada a cada uno de los términos de la
diferencia de cuadrados:
(x – 4y)2 – 25c2, tienes que:
(x − 4 y ) =(x − 4 y ) ;
2
25c 2 = 5c
Entonces: (x – 4y)2– 25c2 = [(x – 4y) + 5c] [(x – 4y) − 5c]
Luego: x2 – 8xy + 16y2 – 25c2 = (x – 4y+ 5c) (x – 4y − 5c)
66 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 3
Ejemplo 4
2
2
Factoriza: 4 a + 12ab + 9b − 25
Solución:
Agrupas el trinomio: 4 a 2 + 12ab + 9b 2 − 25 = ( 4 a 2 + 12ab + 9b 2 ) − 25 = ( 2a + 3b )2 − 25
Luego tienes: ( 2a + 3b )2 = ( 2a + 3b ) ;
25 = 5
Ahora, ( 2a + 3b )2 − 25 = [ ( 2a + 3b ) + 5] [ ( 2a + 3b ) − 5]
( 2a + 3b )2 − 25 = ( 2a + 3b + 5) ( 2a + 3b − 5)
Entonces: 4 a 2 + 12ab + 9b 2 − 25 = ( 2a + 3b + 5 ) ( 2a + 3b − 5 )
Ejemplo 5
Factoriza: m2 – 4m + 4 –
Solución:
9 2
y
25
9 2
9 2
y = (m + 2)2 –
y
25
25
9 2 3
( m + 2)2 = ( m + 2) ;
y = y
25
5
3
9 2 
Ahora, (m + 2)2 –
y = ( m + 2 ) +
5
25

(m2 – 4m + 4) −
(m + 2)2 –
3
y  ( m + 2 ) − y 
5 

3
9 2 
3


y =  m + y + 2  m − y + 2




5
25
5
Entonces: m2 – 4m + 4 –
Actividad
9 2 
3
y =  m + 3 y + 2  m − y + 2




25
5
5
1
Factoriza los siguientes polinomios:
a) x2 +2xy + y2 – n2
b) x2 + 4 − 4x – 9b2
c) 4x2 +25y2 − 36 + 20xy
d) 1 +64m2n2 – p4 – 16mn
e) a2 – b2 – 2bc – c2
f) 25 – x2 – 16y2 + 8xy
Octavo Grado - Matemática 67
UNIDAD 3
Factorización de polinomios empleando la división sintética
La aplicación de este procedimiento de factorización
resulta de gran utilidad, ya que permite obtener de forma
fácil los factores de polinomios de cualquier grado.
Punto de apoyo
Revisa la forma de operar con división sintética en
el módulo dos.
Al aplicar la división sintética, si el residuo es cero,
significa que la división es exacta.
En este caso el residuo cero indica que obtienes un factor.
Cuando a = – 1, la división es exacta, entonces el
polinomio es divisible entre:
Ejemplo 6
Factoriza: x3 – 4x2 + x + 6
Solución:
La división sintética se aplica cuando el divisor es de la
forma (x – a), pero en este caso, se desconoce el valor
de a, para determinarlo, debes considerar todos los
factores de dicho valor, esto significa que tienes que
buscar todos aquellos números que multiplicados
resulten ese término, por lo que esos valores serán
positivos y negativos.
Para factorizar este polinomio, representas la división
sintética, anotando los coeficientes de la variable x, así
como el término independiente. Si después de ordenar
el polinomio en forma descendente, no hay uno o varios
términos de x, en su lugar ubicas cero.
1 −4 +1 +6
En este caso, para determinar el valor de a, debes
considerar los factores del término independiente 6,
que son:
+ 1, –1, + 2, –2, + 3, –3, +6, –6;
Ahora, debes probar con cada uno de estos factores,
hasta obtener un residuo cero.
Inicia entonces:
Prueba con + 1:
1 −4 +1 +6
1 −3 −2
1 −3 −2
4
No se obtuvo residuo.
Prueba con − 1:
1
1 −4 +1 +6
−1 +5 −6
1 −5 +6
−1
0
Se obtuvo residuo cero.
68 Matemática - Octavo Grado
x – (– 1) = x + 1
El cociente de dividir x3 – 4x2 + x + 6 entre x + 1 será de
segundo grado y sus coeficientes son: 1, –5, +6.
Entonces: x3– 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x2 – 5x + 6)
La expresión x2 – 5x + 6 puedes factorizarla por
cualquiera de los métodos ya estudiados que sea
aplicable o siempre por división sintética:
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Luego:
x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x – 2) (x – 3)
UNIDAD 3
Ejemplo 7
Factoriza: x3 – 12x + 16
Solución:
Es un polinomio incompleto, esto indica que tienes que completar el polinomio con
cero en el término que haga falta, así:
x3 + 0x2 − 12x + 16, ahora los factores del término independiente 16 son
+ 1, –1, + 2, –2, + 4, –4, + 8, –8, + 16, –16
Procedes como en el caso anterior, prueba con algunos factores:
Prueba con − 2:
1
0 −12 +16
−2
1 −2
+ 4 +16
−8
Prueba con − 4:
1
−2 + 32
Su residuo no es cero.
− 12
+ 16
−4 +16
− 16
0
1 −4
+4
−4
0
Su residuo es cero.
La división es exacta para a = –4, entonces el polinomio es divisible entre x + 4
El cociente de dividir entre x + 4 será de segundo grado y sus coeficientes son:
1, –4, + 4, resultando x2 – 4x + 4
Entonces: x3 – 12x + 16 = (x + 4) (x2 – 4x + 4)
La expresión x2 – 4x + 4 puedes factorizarla por cualquiera de los métodos ya
estudiados que sea aplicable o siempre por división sintética.
x2 – 4x + 4 = (x − 2) (x − 2) = (x − 2)2
Es decir: x2 – 12x + 16 =(x + 4) (x − 2) (x − 2) = (x + 4) (x − 2)2
Octavo Grado - Matemática 69
UNIDAD 3
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Factoriza: x3 – 2x2 + 4x – 8
Factoriza: x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4
Solución:
Solución:
Lo primero que tienes que hacer es encontrar los
factores de –8 por ser el término independiente:
Recuerda que lo primero es encontrar los factores de − 4
por ser el término independiente Los factores de – 4 son
±1 , ± 2 , ± 4
–8 = –1, + 1, –2, + 2, –4, + 4, –8, + 8
Luego aplicas división sintética, separas los coeficientes
del polinomio.
Elijes uno de los divisores del término independiente y
comienzas a operar, en este caso puedes iniciar con 2.
1
1
−2
+4
−8
+2
0
+8
0
+4
0
+2 Obtuviste
residuo cero
El cociente de dividir entre x – 2 será de segundo grado
y sus coeficientes son: 1, 0, + 4, significa que no habrá
término en x, pues su coeficiente es cero.
Entonces x – 2x + 4x – 8 = (x – 2) (x + 4)
2
1 −4
+3 +4 −4
−1
−1 +5 −8 +4
1 −5
+8 −4
0
Es cociente exacto, el primer factor es (x + 1)
La división es exacta para a = 2, entonces el polinomio es
divisible entre x – 2 .
3
Luego aplicas división sintética, recuerda que puedes
operar con cualquiera de los factores del término
independiente del polinomio.
2
La expresión (x2 + 4) no puede ser factorizada, por ser
una suma de cuadrados.
x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1)(x3 – 5x2 + 8x − 4 )
Sigues aplicando la regla a: x3 – 5x2 + 8x −4
Ahora los divisores de −4 son ±1 , ±2 , ±4 y pruebas
para 1
1
−5
+8
−4
+1 − 4 + 4
1
−4
+4
1
0
Es cociente exacto por lo que obtienes otro factor:
(x – 1)
Ahora tienes: x3 – 5x2 + 8x −4 = (x – 1) (x2 – 4x + 4); es
decir que el polinomio original queda así:
x4 − 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1)(x – 1)(x2 – 4x + 4)
Observa que x2 – 4x + 4 es un trinomio cuadrado
perfecto igual a (x − 2)2
Por lo tanto:
x4 – 4x3 + 3x2 + 4x – 4 = (x + 1) (x – 1) (x – 2)2
70 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 3
Ejemplo 10
Factoriza: x3 +12x2 + 44x + 48
Solución:
Recuerda que los valores que debes considerar son los factores del término
independiente, que en este caso para 48 son ±1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 8 , ± 16 , ± 24 , ± 48.
Separa los coeficientes del polinomio x3 +12x2 + 44x + 48
+ 12
+ 44
+ 48
+1
+ 13
+ 57
+ 13
+ 57
105
Prueba con −2:
1 + 12 + 44
+ 48
1
1
1
−2
− 20
− 48
+ 10
+ 24
0
+1
En este caso inicia con 1.
Con el factor 1 no da cociente exacto.
−22
En esta división con el factor −2 si obtienes un
cociente exacto, es decir de residuo cero.
Luego x3 +12x2 + 44x + 48 = (x + 2) (x2 + 10x + 24).
Para factorizar el trinomio puedes hacerlo por el caso de factoreo que tú decidas.
x2 + 10x + 24 es un trinomio de la forma x2 + bx +c
Entonces al factorar tienes: x2 + 10x + 24 = (x + 6) (x + 4)
Luego el resultado es: x3 +12x2 + 44x + 48 = (x + 2) (x + 6) (x + 4)
2
Actividad
Factoriza los siguientes polinomios:
a) a3 +a2 – 13a – 28
c) x3 − x2 – 14x +24
e) x3 + 6x2 – x – 6
b) x3 − 2x2 − 5x +6
d) x3 + 2x2 – 23x – 60
f) y3 + y2 – 34y +56
Resumen
En esta lección estudiaste otros casos de factorización:
Para determinar si un polinomio es factorizable por la combinación del trinomio cuadrado perfecto
con la diferencia de cuadrados, primero agrupas, luego compruebas si el trinomio es cuadrado
perfecto, luego expresas el polinomio como una diferencia de cuadrados y lo factorizas como tal.
Cuando factorizas aplicando la división sintética, tienes que determinar el valor de a, del divisor (x – a)
para lo cual debes considerar los factores del término independiente, los cuales deben probarse hasta
obtener un residuo igual a cero; con el que se formará el primer factor, luego continuas buscando los
otros factores.
Octavo Grado - Matemática 71
UNIDAD 3
Autocomprobación
3
4
(m – 2x + 5n) (m – 2x + 5n)
b) (m – 2x + 5n) (m – 2x – 5n)
c) (m – 2x − 5n) (m + 2x – 5n)
d) (m + 2x – 5n) (m – 2x – 5n)
a)
9x2 – (a2 + 4am– 4m2)
b) 9x2 + (a2 + 4am – 4m2)
c) 9x2 + (a2 − 4am – 4m2)
d) 9x2 − (a2 − 4am + 4m2)
a)
2
El polinomio 15x4 + 94x3 – 5x2 – 164x + 60 de forma
factorizada se expresa:
(x +1) (x −6) (3x – 5) (5x +2)
b) (x −1) (x + 6) (3x + 5) (5x − 2)
c) (x +1) (x + 6) (3x + 5)(5x − 2)
d) (x −1) (x + 6) (3x + 5) (5x + 2)
a)
Al factorizar m2 – 10mn + 25n2 – 4x2 resulta:
Cuando factorizas 36a2 – 4x2 – 49y2 – 28xy obtienes:
(6a – 2x – 7y) (6a + 2x + 7y)
b) (6a – 2x + 7y) (6a + 2x + 7y)
c) (6a + 2x – 7y) (6a + 2x + 7y)
d) (6a – 2x – 7y) (6a – 2x – 7y)
a)
1. d.
El polinomio 9x2 – a2 – 4m2 + 4am, para ser
factorizado debe estar ordenado así:
Soluciones
1
2. b.
3 d.
4. a.
RUFFINI Y LA DIVISIÓN SINTÉTICA
Paolo Ruffini (1765 – 1822) matemático, médico
y filósofo italiano. Ideó un procedimiento
esquemático para hallar el cociente y el resto de
la división de un polinomio cualquiera por otro
de la forma x – a
TM08P118
pablo ruffini
Este procedimiento que tiene una disposición
práctica muy simple, se conoce con el nombre de
Regla de Ruffini.
Además, Investigó sobre la teoría de las
ecuaciones algebraicas y sobre el cálculo de
probabilidades.
Paolo Ruffini
72 Matemática - Octavo Grado
Lección 3
Tercera Unidad
Áreas de regiones planas
Motivación
Para la inauguración de los intramuros de un centro
escolar, los estudiantes de 8.º grado deciden llevar un
banderín de forma triangular. Si las dimensiones son
0.9 m de base y 1.6 m de altura, ¿puedes ayudarles a los
estudiantes a calcular la cantidad de tela que necesitan
para la elaboración de cada banderín?
Indicadores de logro:
Calcularás con interés áreas de regiones planas.
Identificarás y explicarás con seguridad los elementos de
figuras geométricas.
Deducirás y utilizarás con precisión las fórmulas para calcular
áreas de cuerpos geométricos.
Resolverás con esmero problemas utilizando las fórmulas de
áreas en figuras geométricas.
Área de un rectángulo
Área de un rectángulo y romboide.
Área de un rectángulo.
En general, el lado sobre el cual descansa un rectángulo
se le llama base y al otro lado se le llama altura.
Altura
Base
Punto de apoyo
Rectángulo es un paralelogramo que tiene sus lados
opuestos iguales dos a dos y sus ángulos son rectos.
La figura de la derecha tiene cuadriculado un rectángulo
cuya base mide 4 cm y la altura es de 2 cm.
D
C
B
A
Si cuentas el número de cuadros, notarás que son 8, esto
significa que el área ocupada por el rectángulo mide:
4 cm × 2 cm = 8 cm2
Este resultado lo puedes generalizar de la manera
siguiente:
El área que mide un rectángulo es igual al producto de la
longitud de la base por la longitud de la altura, es decir:
A = base × altura; o también se dice largo × ancho:
A=bh
Octavo Grado - Matemática 73
UNIDAD 3
Ejemplo 1
Ejemplo 3
Observa la figura. ¿Cuál es el área de ese rectángulo?
Observa la figura:
1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2 1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2 1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2
1 cm2 1 cm2
1 cm2
B
Solución:
3 cm
6 cm
Solución:
Puedes encontrar su área contando los cuadrados, que
en este caso corresponde a 18 cm2 . También puedes
aplicar la fórmula A = bh = (6 cm)(3 cm) = 18 cm2
hh
A
b
D
El romboide se puede arreglar como un rectángulo, en
este caso, la superficie del romboide está formada por un
rectángulo de 4 cm de base y 2 cm de altura.
Dicha superficie mide 4 × 2 = 8 cm2, más dos triángulos
iguales. Estos forman un rectángulo de base 1 cm y de
altura 2 cm, por lo que la superficie de este rectángulo es
1 × 2 = 2 cm2 .
2 cm
5 cm
El área del rectángulo es 18 cm2 .
Ejemplo 2
Calcula el área del
rectángulo de la figura.
5 cm
4 cm
Solución:
C
Base = 4 cm; altura = 5cm
A = bh, A = (4 cm) (5 cm) = 20 cm2
R: Su área es de 20 cm2 .
Ejercita en tu entorno encontrando el área de las figuras
geométricas de forma rectangular como: puertas,
ventanas, balcones y otras.
Área de un romboide
El romboide es un paralelogramo que se define como un
cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales dos a
dos, pero sus ángulos no son rectos.
En total, tienes que la superficie del romboide
es 8 cm2 + 2 cm2 = 10 cm2 .
Esto indica que su área se obtendrá como la de un
rectángulo, es decir que el área de un romboide está
dada por A = bh.
Ejemplo 4
Encuentra el área del
romboide de la figura:
Solución:
B
C
h = 4cm
A
b = 6 cm
A = bh
A = (6 cm) (4 cm) = 24 cm2
R: El área del romboide es 24 cm2
Ejemplo 5
Un pedazo de madera tiene la forma de un romboide,
y las dimensiones son 40 cm de base y 22 cm de altura.
¿Qué cantidad de papel se necesitará para cubrir
su superficie?
Solución:
Necesitas encontrar el área, es decir que aplicarás
A = bh, sustituye los datos que ya conoces y tienes:
A = (40 cm) (22 cm) = 880 cm2 .
2 cm
5 cm
74 Matemática - Octavo Grado
D
R: La cantidad de papel que se necesitará es 880 cm 2 .
UNIDAD 3
1
Actividad
a) Una mesa rectangular se quiere cubrir con fórmica. Si sus
dimensiones son 1.6 m por 1.2 m ¿Qué cantidad de fórmica se
necesitará?
b) ¿Qué superficie se cubre con un azulejo que tiene forma de
romboide, si su base mide 30 cm y su altura 25 cm?
c) ¿Qué cantidad de madera se necesita para construir una puerta
de 0.9 m de ancho y 2 m de altura?
d) ¿Qué cantidad de tapiz se necesita para cubrir una pared con
medidas de 2.5 m de ancho por 3m de altura?
Área de un triángulo
D
C
Ejemplo 6
Un banderín tiene forma triangular cuya base mide
24 cm y su altura 42 cm. ¿Qué cantidad de tela se utilizó
para su elaboración?
Solución:
bh
Como la fórmula a utilizar es A =
2
entonces al sustituir los datos conocidos, tienes:
bh 24 cm X 42 cm 1 ,008 cm 2
=
=
= 504 cm2
A=
2
2
2
R: Se utilizó 504 cm2 de tela.
Ejemplo 7
Encuentra el área de
la parte sombreada de
la figura:
3 cm
6 cm
Solución:
3 cm
A
4 cm
B
En este rectángulo, la diagonal divide al rectángulo
ABCD en dos triángulos iguales. El área del rectángulo
es 12 cm2 lo que resulta de multiplicar 4 cm × 3 cm, es
decir, base × altura.
En consecuencia, el área del triángulo sombreado, solo
es la mitad, es decir, (4 cm × 3 cm) ÷ 2 = 6 cm2 . De aquí
puedes observar que:
El área de un triángulo viene dada por:
base X altura
A=
2
Esto significa que para encontrar el área de un triángulo
debes multiplicar la medida de la base por la altura
dividido entre 2:
bh
A=
2
Como la parte sombreada corresponde a un triángulo,
entonces utilizarás la fórmula:
bh
A
= al sustituir los datos que aparecen en la figura,
2
tienes:
A=
( 6 m )( 3 m ) 18 m 2
2
=
2
= 9 m2.
El área de la figura sombreada es A = 9 m2
Ejemplo 8
Encuentra el área
del triángulo de la
siguiente figura:
Solución:
h = 10 cm
8 cm
En este triángulo tienes que la altura h = 10 cm y la base
b = 8 cm.
Sustituye los datos en la fórmula:
( 8 cm )(10 cm ) 80 cm 2
A = bh =
=
= 40 cm 2
2
2
2
El área del triángulo es de 40 cm2
Octavo Grado - Matemática 75
UNIDAD 3
Área de un cuadrado
2
Construye un cuadrado que mida 3 cm por lado.
D
C
Actividad
a) Doris tiene un espejo cuadrado que mide de lado 0.45 m y lo
coloca en la pared de su cuarto. ¿Qué superficie cubre?
3 cm
b) Si el piso de un auditórium tiene forma cuadrada y un lado
A
mide 18 m. ¿Cuántas losetas son necesarias para cubrirlo si
cada loseta mide 1 m2?
B
Cuadricula el cuadrado para ver el número de cm 2 que
mide su superficie.
c) A Silvia le dejaron una tarea; llevar una cantidad de papel de
color rosado para cubrir un triángulo que tiene de base 144 cm
y de altura 80 cm. ¿Qué cantidad de papel llevará Silvia?
Observa que el área del cuadrado mide:
Área de un rombo
3 cm × 3 cm = 9 cm2
D
C
A
B
En el rombo ABCD, tienes que la diagonal menor mide
2.6 cm y la diagonal mayor mide 4 cm. Este rombo se ha
arreglado como un rectángulo con la mitad del rombo
más dos triángulos que forman la otra mitad, cuya base
es la diagonal 2.6 cm y la altura solo es la mitad de la
diagonal mayor: 2 cm.
C
De este resultado puedes concluir que:
El área de un cuadrado cualquiera, cuyo lado mide 
unidades de longitud, es igual a:
4 cm A
B
 ×  =  2 Es decir: A =  2
2 cm
D
2.6 cm
Ejemplo 9
¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden
de 9 cm?
9 cm
Solución:
A = (9 cm)(9 cm) = 81 cm2
R: El área es de 81 cm2
76 Matemática - Octavo Grado
2.6 cm
El área del rombo es 2.6 cm × 2 cm = 5.2 cm2, es decir,
tomando los valores originales:
(4 cm) (2.6 cm) = 10.4 cm2 y para obtener el resultado
anterior tienes que dividir por 2.
Así:
10.4 cm 2
= 5.2 cm2
2
A partir de lo anterior tienes que la fórmula para
encontrar el área del rombo es:
A=
D xd
: donde D es diagonal mayor y d es
2
diagonal menor.
UNIDAD 3
Ejemplo 10
D
Un centro de mesa tiene forma de rombo cuyas
diagonales miden 52 cm y 34 cm.
¿Qué superficie de la mesa cubrirá?
Solución:
A=
D Xd
Sustituye los datos en la fórmula:
2
A=
52 cm X 34 cm
2
=
C
f
e
A g
1 cm
4 cm
2 cm
4 cm
h
B
La superficie del trapecio está formada por un cuadrado
de 4 cm por lado y por dos triángulos con alturas de
4 cm y bases de 1 cm y de 2 cm. Por lo tanto el área total
de dicha figura es:
1768 cm 2
= 884 cm2
2
1 cm X 4 cm
2 cm X 4 cm
+
2
2
La superficie que cubrirá es de 884 cm2 .
(4 cm × 4 cm) +
Ejemplo 11
A = 16 cm2 + 2 cm2 + 4 cm2 = 22 cm2
Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden
6 cm y 3.2 cm.
Puedes encontrar el área en forma directa procediendo
de la siguiente manera: tomas como base única el
promedio de las bases, es decir, la base mayor (B) de 7
cm más la base menor (b) de 4 cm, dividida entre 2, que
en este caso resulta 5.5 cm; multiplica este resultado por
la altura 4 cm, es decir:
B +b
altura
A=
2
7 cm + 4 cm
× 4 cm
Al sustituir los datos, tienes: A =
Solución:
A=
D Xd
al sustituir los datos tienes:
2
A=
6 cm X 3.2 cm
= 9.6 cm2 .
2
2
Área de un trapecio
A = 5.5 cm × 4 cm = 22 cm2 .
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene uno y solo
un par de lados paralelos, dichos lados son la base
del trapecio.
Según la figura, AB representa la base mayor, DC la
base menor y a la altura.
b
D
Encuentra el área del trapecio que aparece en la figura:
6 cm
a = 3 cm
C
9 cm
Solución:
a
A
Ejemplo 12
La fórmula a utilizar es A =
c
B
B +b
× altura
2
Ahora, sustituye los datos:
B +b
9 cm + 6 cm
(15 cm )
× altura =
A=
× 3 cm =
X3 cm
2
2
2
A = (7.5 cm) (3 cm) = 22.5cm2
Octavo Grado - Matemática 77
UNIDAD 3
3
Actividad
a) La superficie de un escritorio tiene forma de trapecio y sus
dimensiones son: Base mayor, 1.2 m: Base menor, 0.7 m y
ancho 0.75 m. Si se quiere cubrir con vidrio, ¿qué medida
debe tener?
Rosa teje un tapete que tiene la forma de rombo y sus medidas
son: diagonal mayor 60 cm y diagonal menor, 40 cm.
b) ¿Qué superficie de la mesa cubrirá?
c) ¿Cuál es la nueva superficie si cada dimensión aumenta 5 cm?
Como un polígono regular está formado por “n”
triángulos, entonces su área será igual a:
n X lado X apotema
como n x l representa el perímetro,
2
entonces:
El área de un polígono regular es:
A=
perímetro X apotema
2
Ejemplo 13
Encuentra el área de un polígono regular de 7 lados. Si la
medida de cada lado es 4 cm y su apotema 3.5 cm.
Solución:
Área de un polígono regular
Un polígono es la porción de plano limitada por
segmentos de rectas, y se clasifican por el número de
lados que poseen.
Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y
ángulos iguales.
a
x
Y a la vez pueden descomponerse en triángulos isósceles
congruentes.
El área de cualquier polígono regular es una aplicación
del área de triángulos.
La base de cada triángulo es un lado del polígono y su
altura es la apotema.
De donde el área de cada triángulo es:
lado X apotema
2
78 Matemática - Octavo Grado
Recuerda que el perímetro lo encuentras multiplicando
el número de lados del polígono por la longitud de sus
lados en este caso un heptágono tiene 7 lados de 4 cm de
longitud, el perímetro será P = (7)(4 cm) = 28 cm
Entonces:
Pa 28 cm X 3.5 cm 98 cm 2
=
=
= 49 cm2
A=
2
2
2
UNIDAD 3
Área de un círculo
Solución:
El aumento de números de lados en un polígono se
aproxima a una circunferencia.
La fórmula a utilizar es: A = π r2
C
0
Los elementos para encontrar el área de un círculo son el
radio y la constante π, en este caso tienes diámetro, que
al dividirlo entre dos se obtiene el radio.
r
r=
Luego lo sustituyes en la fórmula.
Si consideras que una circunferencia es un polígono de
infinito número de lados. El área se encuentra similar a
la de un polígono regular.
Área =
D 20 cm
=
= 10 cm.
2
2
A = π r2 = 3.1416 × 102
= 3.1416 × 100
= 314.16
R: Área del plato es 314.16 cm2
perímetro × radio
2
El perímetro o longitud de una circunferencia es 2r π
luego sustituyes y tienes:
A = 2r π r = π r 2
2
Actividad
4
a) Calcula el área de la tapadera de un vaso de forma circular que
mide diámetro 6 cm.
b) Un polígono regular tiene de perímetro 72 cm y una apotema de
El área del círculo se encuentra utilizando: A = π r2
7 cm. Calcula su área.
c) Antonio dibuja un círculo de 2 cm de radio. ¿Cuál es el área?
Ejemplo 14
d) Un polígono regular tiene una apotema de 6 cm. Y su perímetro
Encuentra el área de un plato circular cuyo diámetro es
igual a 20 cm.
es 13 veces la apotema. Calcula su área.
Resumen
Las fórmulas de áreas estudiadas en esta lección son:
Figura
Fórmula
Rectángulo A = bh
Romboide
Triángulo
A = bh
A=
bh
2
Figura
Cuadrado
Rombo
Trapecio
Fórmula
A=I
2
A=
D Xd
2
A=
B +b
× altura
2
Figura
Polígono
regular
Fórmula
A=
Círculo
A = π r2
Pa
2
Octavo Grado - Matemática 79
UNIDAD 3
Autocomprobación
Rosa elaboró un mantel que tiene forma de
romboide y mide de base 0.7 m y de altura 0.6 m, la
superficie que cubrirá la mesa es:
3
1.3 m2
b) 0.65 m2
c) 0.21 m2
d) 0.42 m2
a)
201.06 cm2
b) 3,217 cm2
c) 804.22 cm2
d) 100.53 cm2
a)
Don Roberto quiere comprar una finca de forma
rectangular y necesita saber cuál es su área, si mide
185 m de largo y 460 m de ancho:
a)
85,100 m
b) 42,550 m2
c) 4,225 m2
d) 322.5 m2
2
4
¿Cúal es el área de una moneda si su diámetro es
de 2.3 cm?
a)
7.23 cm2
b) 4.15 cm2
c) 7.20 cm2
d) 4.30 cm2
2. a.
2
Berta tiene que cubrir con papel, la parte superior
de una tabla de forma circular cuyo diámetro mide
32 cm, la cantidad de papel a utilizar es:
1. d.
Soluciones
1
3. c.
4. b.
ORIGEN DE LA GEOMETRÍA
Es razonable pensar que los primeros orígenes
de la geometría se encuentran en los orígenes
de la humanidad, pues seguramente el
hombre primitivo clasificaba (aún de manera
inconsciente) los objetos que le rodeaban según
su forma. En la abstracción de estas formas
comienza el primer acercamiento−informal e
intuitivo- a la geometría. Así lo parecen confirmar
la ornamentación esquemática abstracta de
vasos, cerámica y ciertos utensilios.
Posteriormente el hombre la aplicó a actividades
de caza y pesca, mediante la construcción de
lanzas y flechas.
80 Matemática - Octavo Grado
Tercera Unidad
Lección 4
FÓRMULAS DEL ÁREA DE UN PÓLIGONO REGULAR
Y CIRCUNFERENCIa
Motivación
A ndrea es una empleada de un almacén de galletas,
y le piden que encuentre la cantidad de cartón que se
necesita para hacer las bases que tienen formas como
las que aparecen en la figura, cada lado mide 2 cm.
Indicadores de logro:
Identificarás y explicarás con interés los elementos de los
polígonos regulares.
Resolverás con perseverancia problemas utilizando las
fórmulas para calcular áreas de polígonos regulares.
Determinarás, explicarás y usarás con seguridad la fórmula
para el cálculo del área de un sector circular.
Graficarás y describirás con precisión y aseo un sector
una corona circular como el área comprendida entre dos
circunferencias concéntricas.
Resolverás con perseverancia problemas aplicando la fórmula
para encontrar el área de una corona o sector circular.
Elementos de un polígono
Los polígonos son figuras limitadas por segmentos de
recta denominados lados, además debe cumplir con la
siguiente condición:
Un polígono regular es un polígono en el que todos
los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos
interiores son de la misma medida.
Los polígonos regulares se pueden construir inscritos en
una circunferencia. A medida que aumenta el número
de lados, su apariencia se asemeja cada vez más a la de
la circunferencia.
En un polígono regular podemos distinguir los
siguientes elementos:
Lado L: Es cada uno de los segmentos que forman
el polígono.
Vértice V: El punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro C: El punto central equidistante de todos los
vértices.
Radio r: El segmento que une el centro del polígono con
uno de sus vértices.
Apotema a: Segmento perpendicular a un lado, hasta el
centro del polígono.
Diagonal d: Segmento
que une dos vértices no
contiguos.
Perímetro P: Es la suma
de todos sus lados.
V
d
L
a
C
r
Octavo Grado - Matemática 81
UNIDAD 3
En un polígono regular todos sus lados son congruentes,
entonces el perímetro es igual a la medida del lado (  )
por el número de lados (n), es decir P = n 
Los polígonos reciben nombres específicos de acuerdo
al número de lados que lo forman.
Se te presentan algunos con su respectivo nombre de
acuerdo al número de lados y la fórmula para calcular el
área respectiva.
Triángulo equilátero:
bh
A=
2
3 lados y es el menor de
los polígonos.
Punto de apoyo
El triángulo equilátero y el cuadrado son
polígonos regulares, aunque se estudian en forma
independiente.
Cuadrado: A = l 2
4 lados.
Pentágono:
5X lado X apotema
A=
2
5 lados.
Hexágono:
Heptágono:
A = 7X lado X apotema
2
7 lados.
Octógono:
Eneágono:
9X lado X apotema
A=
2
9 lados.
Endecágono:
11 X lado X apotema
A=
2
11 lados.
82 Matemática - Octavo Grado
A = 6 X lado X apotema
6 lados.
A=
2
8 X lado X apotema
2
8 lados.
Decágono:
A=
10 X lado X apotema
2
10 lados.
Dodecágono:
A=
12 X lado X apotema
2
12 lados.
UNIDAD 3
En general el área del polígono se calcula utilizando la fórmula: A =
Pa
2
Ejemplo 1
Solución:
Encuentra el área de un eneágono cuyos lados miden
7 cm y su apotema 4 cm.
En este caso conoces el área y la apotema, lo que no
conoces es la longitud de cada lado para ello tienes que
aplicar el despeje a partir de la fórmula para calcular
el área:
Solución:
Como un eneágono es un polígono de 9 lados, entonces
utilizarás la fórmula siguiente:
9 X lado X apotema
; al sustituir los datos tienes
2
252 cm 2
9 X 7 cm X 4 cm
=
= 126 cm2
A=
2
2
A=
A=
120 cm2 =
=
El área del eneágono es 126 cm2 .
Ejemplo 2
Un ladrillo tiene la forma de un dodecágono, si cada
lado mide 8 cm y su apotema 6 cm, ¿cuál es el área
del ladrillo?
5 X lado X apotema
2
al sustituir los datos tienes:
5 X lado X 6 cm
2
30 cm × lado
= 15 cm × lado
2
120 cm2 = 15 cm × lado; como 15 cm está
multiplicando, para encontrar el valor de cada lado,
efectúas 120 cm2 ÷ 15 cm = 8 cm; que es la longitud de
cada lado del pentágono.
Solución:
El ladrillo está formado por 12 lados, entonces para
encontrar el área, sustituyes los datos en:
A=
12 X lado X apotema
2
luego realizas el cálculo:
A = 12 X 8 cm X 6 cm
2
=
576 cm
2
Actividad
a) Calcula el área de un decágono regular con apotema de
61.55 cm y la longitud de sus lados es 40 cm.
b) La apotema de un pentágono es igual a 6 m y su perímetro
es de 40 m, encuentra su área.
2
= 288 cm2
R: El área del ladrillo es 288 cm2.
Ejemplo 3
Un lienzo de papel tiene la forma de un pentágono
regular cuya apotema mide 6 cm. Si cubre un área
de 120 cm2, ¿cuánto mide cada lado del pentágono?
1
c) Encuentra el área de un hexágono regular de 12 cm de lado y
apotema 10.4 cm.
d) Si el área de un polígono regular es igual a 320 cm2 y su
apotema 4 cm, ¿cuál es su perímetro?
Recordando el problema dela motivación encuentra la
cantidad de cartón, que se necesita para las bases, ¿puedes tú
ayudarle a Andrea en esta situación?
Octavo Grado - Matemática 83
UNIDAD 3
Área de un sector circular
Marco y Alejandra quieren pintar una mesa que tiene
forma circular, Marco la quiere café y Alejandra blanca.
Como no se ponen de acuerdo, deciden pintarla mitad
de cada color. ¿Puedes calcular el área para cada color
sabiendo que la mesa tiene un diámetro de 1 m?
Para resolver esta situación, tienes que tomar en cuenta
que la mesa es circular y la mitad es un sector de ella.
Entonces, un sector circular es la parte del círculo
limitada por dos radios y su arco correspondiente.
Para encontrar el área de un sector circular, tienes que
conocer la longitud del radio y el ángulo central
en grados.
Además, para calcular el área de este sector conoces el
diámetro pero lo que necesitas es el radio, entonces para
calcularlo efectúas:
n°
πr2no
A = ____
360°
1m
= 0.5 m, luego sabes que el ángulo formado es la
2
mitad de 360o es decir:
360º
= 180º.
2
Con estos datos utilizas la siguiente fórmula:
π r 2n º
Donde π = 3.1416, r = radio
A=
360º
nº = número de grados y 360o son las partes en que se
divide el círculo.
Ejemplo 4
Rosa está decorando una página de papel y quiere
utilizar un sector circular que mida de radio 4 cm y un
ángulo de 35º. ¿Qué área cubrirá?
Punto de apoyo
nº
Es la porción del círculo.
360º
Sustituye los datos:
A=
π r 2 n º 3.1416( 0.5m )2 (180º ) 141.372m 2
=
=
= 0.3927m2
360º
360
360º
El área del sector de la mesa para cada pintura es
0.3927m2 .
Punto de apoyo
Una circunferencia se define como la línea
curva plana y encerrada, la cual todos los puntos
equidistan de un punto fijo interior llamado centro.
El círculo es la superficie plana limitada por la
circunferencia.
84 Matemática - Octavo Grado
Solución:
Los datos que te proporcionan son: r = 4 cm, nº = 35º
π r 2n º
Utilizas la fórmula A =
luego sustituyes los datos:
360º
2
2
π r n º 3.1416( 4cm ) ( 35º ) 1759.296cm 2
=
= 4.89 cm2
=
A=
360
º
360
360º
R: El área a cubrir es 4.89cm2
UNIDAD 3
Ejemplo 5
Calcula el área del sector circular que corresponde a la quinta parte del círculo y cuyo
diámetro mide 9 cm.
Solución:
360º
= 72º.
5
Luego tienes que encontrar el valor del radio, para ello divide la medida del diámetro
entre 2, así:
Para encontrar cuánto es la quinta parte del círculo, divide
9 cm
= 4.5 cm2
2
Ahora, aplica la fórmula: A =
π r 2n º
360º
Sustituyes los datos y tienes: A =
R: El área es 12.72 cm2
π r 2 n º 3.1416( 4.5cm )2 ( 72º ) 4580.4528cm 2
=
=12.72 cm2
=
360º
360
360º
2
Actividad
a) Halla el área del sector circular; se mide 4 cm el radio de la circunferencia, con una abertura de 28.º
b) Encuentra el área de un sector circular de 87º limitado por una circunferencia de 6 cm de diámetro.
c) Calcula el área del sector circular que corresponde a la sexta parte del círculo y cuyo radio mide 5 cm.
d) Calcula el área del sector circular que corresponde a la cuarta parte del círculo y cuyo diámetro
mide 12 cm.
Octavo Grado - Matemática 85
UNIDAD 3
Área de una corona circular
El dueño de una panadería quiere elaborar donas, para
eso necesita moldes circulares que en el centro tengan
un hueco, como la siguiente figura:
Ejemplo 6
Encuentra el área de una corona circular, cuyo diámetro
de la circunferencia mayor es de 23 cm y el radio de la
circunferencia menor es de 10 cm.
Solución:
Aplicando la fórmula tienes:
¿Cómo hará para encontrar la superficie que tendrá que
llenar con la masa preparada para ello?
La figura mostrada representa una corona circular.
Entonces, corona circular también llamada anillo, es la
región entre dos círculos concéntricos.
Para determinar la superficie de una corona circular
tenemos que encontrar la diferencia entre las áreas de
los dos círculos concéntricos: El mayor con radio R y el
menor con radio r.
A = π (529 cm 2 − 100 cm 2 ) = 3.1416( 429 cm 2 )
A = 1 ,343.75 cm 2
R: El área de la corona circular es de 1 ,343.75 cm 2
Ejemplo 7
Encuentra el área de una corona circular, cuyo diámetro
de la circunferencia mayor es 16 cm y el radio de la
circunferencia menor es la mitad del radio mayor.
Solución:
πR2
πr2
A = π ((23 cm)2 − (10 cm)2 )
R
r
El diámetro mayor es igual a 16cm, lo que implica que su
radio es:
16 cm
= 8 cm,
2
Y el radio menor 8 cm = 4 cm
2
Luego sustituyes en la ecuación:
Observa
A = π [(8 cm)2 − (4 cm)2]
Área de la corona circular:
π R 2− π r2
= π (64 – 16) cm2 = (3.1416) 48 cm2 = 150.796 cm2
A = π (R 2 – r2)
86 Matemática - Octavo Grado
R: El área es aproximadamente 150.80 cm 2 .
UNIDAD 3
3
Actividad
a) Lilian construyó una corona circular con diferentes flores y la coloca sobre una mesa.
¿Qué superficie cubre si el diámetro de la circunferencia mayor es 0.75 m y el diámetro de la
circunferencia menor es .040 m?
b) Pedro trabaja confeccionando materiales de lámina y le han encargado una que tiene forma de
anillo circular con dimensiones de sus radios de 22 cm y 10 cm respectivamente. ¿Qué superficie
se cubrirá con dicha corona circular?
c) Se tienen dos círculos concéntricos, uno de área 1,963.5 cm 2 y el otro de 314.16 cm2, calcula el área
de la corona circular que se forma.
Resumen
Nombre de la figura
Polígono regular
Fórmula
En general:
nla Pa
=
A=
2
2
Sector circular
π r 2n º
A=
360º
Corona circular
A = π R 2 − π r2 = π ( R 2 – r2)
Octavo Grado - Matemática 87
UNIDAD 3
Autocomprobación
La superficie que cubre una corona circular que mide
de diámetro mayor 60 cm y radio menor 5 cm es:
3
a)
2,807.8 cm2
b) 157.08 cm2
c) 10,993.44 cm2
d) 2,748.9 cm2
Área del círculo
b) Área del sector circular
c) Longitud de arco
d) Área de la corona circular
a)
Un lienzo de papel tiene la forma de un heptágono que
mide de lado 15 cm y de apotema 10 cm, la superficie
que cubre es:
a)
525 cm2
b) 1,050 cm2
c) 450 cm2
d) 900 cm2
4
El área de un endecágono que mide de lado 8 cm y
de apotema 6 cm es:
528 cm2
b) 480 cm2
c) 264cm2
d) 240 cm2
a)
2. a.
2
π r 2n º
La ecuación A =
es la que nos sirve para
360
encontrar:
1. d.
Soluciones
1
3. b.
4. c.
EL CÍRCULO Y LA GEOMETRÍA SAGRADA
Diseños religiosos
88 Matemática - Octavo Grado
Se denomina Geometría sagrada, a aquella que
involucra diseños que se vinculan con el culto
religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas
las épocas, los templos, los edificios funerarios, los
espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas
destinadas al culto dan muestra de los numerosos
exponentes de la misma, y de la relevancia que el
hombre les ha otorgado.
Entre las formas de la Geometría sagrada se
encuentra el círculo, uno de los primeros símbolos
dibujados por el hombre. Es una forma visible en
la Naturaleza, simboliza la totalidad y la eternidad,
y representa al Universo. En las construcciones
antiguas aparece en los círculos neolíticos británicos,
el stupa hindú, entre otras.
Lección 5
Tercera Unidad
Área Total
Motivación
E
n un almacén se contratarán empleadas para el sector de regalos. Una de las
pruebas es forrar una caja que tiene forma cúbica y encontrar la cantidad de papel a
utilizar. Cada lado de la base mide 15 cm.
¿Cuál será el procedimiento para encontrar la cantidad de papel a utilizar?
Indicadores de logro:
Calcularás con seguridad el área de un cubo.
Deducirás, explicarás y usarás con seguridad la fórmula para
el área lateral y total del ortoedro y del paralelepípedo.
Resolverás problemas aplicando las fórmulas del área lateral
y total del ortoedro, con seguridad y confianza.
Resolverás problemas aplicando las fórmulas del área de las
figuras planas para el cálculo del área de figuras compuestas.
Área total de un cubo
Recuerda que el cubo está formado por 6 caras
cuadradas congruentes, que posee 8 vértices y 12 aristas.
Como sus lados son cuadrados, sabes que a un cuadrado
le puedes calcular su área, entonces a un cubo también le
puedes calcular el área.
Arista
Arista
Cara
Arista
Área lateral de un cubo
Como un cubo posee cuatro caras laterales cuadradas
congruentes, entonces para conocer el área lateral tienes
que sumar dichas áreas.
Ya conoces que el área de un cuadrado es: A =  2
Si extiendes las caras laterales tienes:
A1
A2
A3
A4
El área de esta región será la suma de las áreas
de los 4 cuadrados:
A lateral = A1 + A 2 + A 3 + A4
A lateral =  2 +  2 +  2 +  2
A lateral = 4  2
Si el lado de cada cuadrado es la arista del cubo,
entonces para calcular el área lateral necesitas conocer la
longitud de la arista. En este caso “  ” representa
la arista.
Octavo Grado - Matemática 89
UNIDAD 3
Ejemplo 1
Área total del cubo
Antonio pintará las paredes de una pila cuadrada cuyos
lados miden 0.75 m. ¿Qué superficie pintará?
Si despliegas un cubo, obtienes una figura como la
siguiente:
Solución:
Te das cuenta que el área a pintar son únicamente las
cuatro paredes que la forman.
Significa que debes calcular el área lateral, utilizando
la fórmula:
Es decir, el área total de un cubo es igual a:
A lateral = 4  2
Como cada lado mide 0.75 m, entonces sustituyes en
la fórmula:
A lateral = 4  2 = 4(0.75 m)2
Observa la figura y notarás que para encontrar el área
total tendrás que sumar las áreas de cada uno de
los lados.
= 4(0.5625 m2) = 2.25 m2
R: Entonces la superficie que Antonio pintará es 2.25 m 2
Ejemplo 2
Julia quiere cubrir con papel lustre, las caras laterales (no
sus bases) de una caja cúbica que mide de lado 35 cm.
¿qué cantidad de papel utilizará?
Solución:
Tienes que Julia sólo quiere cubrir cuatro caras de la
caja, es decir que debes calcular el área lateral,
entonces utilizas:
A lateral = 4  2 Al sustituir los datos que se te
proporcionan, tienes:
A lateral = 4  2 = 4 (35 cm)2 = 4(1,225 cm2) = 4,900 cm2
R: La cantidad de papel que utilizará es 4,900 cm 2 .
90 Matemática - Octavo Grado
 2 +  2 +  2 +  2 +  2 +  2 o simplemente es el
producto de una de sus áreas por 6.
Entonces: Atotal = 6  2
Ejemplo 3
Rosa es empleada de un almacén en el sector de regalos,
quiere calcular la cantidad de papel a utilizar para forrar
un regalo de forma cúbica, que mide de arista 22 cm.
Solución:
Para encontrar la cantidad de papel que utilizará, tienes
que aplicar la fórmula:
Atotal = 6  2 Al sustituir los datos tienes
Atotal = 6  2 = 6(22 cm)2 = 6 (484 cm2) = 2,904 cm2 .
R: La cantidad de papel a utilizar es 2,904 cm 2 .
UNIDAD 3
Ejemplo 4
Solución:
Encuentra el área total de un cubo que tiene sus aristas
igual a 6 cm.
Las dimensiones del tanque son  = 5 m. y tiene forma
cúbica, por tal razón utilizamos el área de un cubo:
A = A = 6 2
Solución:
Utilizamos la fórmula A = 6  2 ,  = 6 cm
Por lo tanto:
A = 6 (6 cm)2
A = 6 (36 cm2)
A = 216 cm2
El área es 216 cm2 .
Pero en este caso no pintará la parte superior del tanque,
es decir que sólo pintará 5 lados, por lo tanto la fórmula a
utilizar será 5  2 .
Aplicando A = 5  2 tienes que A = 5(5 m)2 = 125 m2
que es el área pintada, pero como cobra $ 0.75 por m 2,
entonces efectúas 125 m2 × 0.75 = $ 93.75.
R: Por lo tanto concluyes que Don Manuel cobrará
$ 93.75 por pintar 125 m2 del tanque.
Ejemplo 5
Don Manuel es un pintor que cobra $ 0.75 el metro
cuadrado, y se le contrata para pintar un tanque de
captación de agua de forma cúbica con dimensiones de
5 m de lado.
¿Cuál es el total de dólares que cobrará don Manuel por
pintar todas las áreas del tanque a excepción de la
parte superior?
Actividad
1
a) Una caja de galletas tiene forma cúbica y la longitud de cada
lado es 13 cm. Calcula el área total de la caja sin su tapadera.
b) Juana tiene un recipiente de forma cúbica para guardar sus
aretes y collares. Halla el área total del recipiente si sus aristas
miden 12.5 cm.
c) Encuentra las medidas de las aristas de un cubo cuya área es
igual a 384 cm2 .
d) Encuentra la cantidad de papel para forrar el regalo de forma
cúbica planteado al inicio de esta lección.
Octavo Grado - Matemática 91
UNIDAD 3
Área total y lateral de un ortoedro
Un ortoedro es un prisma en el que todas sus caras son
rectángulos y perpendiculares entre sí.
(prisma rectángular)
Ejemplo 6
¿Qué cantidad de papel se necesita para envolver una
caja de zapatos cuyas dimensiones son 25 cm por 18 cm
de base y 15 cm de altura?
Solución:
Para resolver este problema aplicas la fórmula anterior:
AT = 2ab + 2bc + 2ac
Existen en el entorno objetos que tienen esta forma, por
ejemplo, los ladrillos que utilizan para levantar paredes,
cajas de zapatos y otros.
Sustituyes en la fórmula las dimensiones dadas es decir:
Observa la figura tiene 6 caras rectangulares:
b = 18 cm y c = 15 cm
A= 2(25 cm) (18 cm) +2(18 cm) (15 cm) +2(25 cm)(15 cm)
a·b
a ·c
b ·c
c
a
a ·c
b
b ·c
a·b
Recuerda que el área de un rectángulo se obtiene así:
A= bh
Tomando la simbología utilizada en la figura, tienes que
la base se representa por “a”, el ancho por “b” y la altura
por “c”.
Entonces puedes calcular las áreas laterales de la
siguiente manera:
A1= (ab + ab) = 2ab A 2 = (bc + bc) = 2bc
A 3 = (ac + ac) = 2ac
Es decir: A1= 2ab, A 2= 2bc, A 3 = 2ac
De esto puedes concluir que:
El área total del ortoedro es la suma de las
áreas laterales:
a = 25 cm
AT = 2ab + 2bc + 2ac
92 Matemática - Octavo Grado
A= 900 cm2 + 540 cm2 + 750 cm2
A = 2,190 cm2
R: luego se necesitan 2,190 cm2 de papel.
Ejemplo 7
Encuentra el área total de un ortoedro que tiene como
base 30 cm de largo por 20 cm de ancho y 12 cm
de altura.
Solución:
a = 30 cm b= 20 cm y c= 12 cm
Luego sustituyes en la fórmula:
AT = 2ab+2bc + 2ac
AT = 2(30 cm × 20 cm) +2(20 cm × 12 cm) + 2(30 cm × 12 cm)
AT = 2(600 cm2) + 2(240 cm2) + 2(360 cm2)
AT = 1,200 cm2 + 480 cm2 + 720 cm2
AT = 2,400 cm2
UNIDAD 3
Actividad
2
a) ¿Cuál es el área lateral de una caja con forma de ortoedro con
dimensiones de 15 cm, 12 cm y 8 cm?
b) Para guardar sus lapiceros Rocío utiliza una caja cuyas
dimensiones son 14 cm, 11 cm y 8 cm Encuentra el área total
de la caja de Rocío.
Al sustituir los datos tienes:
(8 m)(2 m) 16 m 2
=
= 8 m2
2
2
Área del rectángulo = bh = (8 m) (4 m) = 32 m2
R: Luego el área de toda la fachada es:
8 m2 + 32 m2 = 40 m2 .
Ejemplo 8
Encuentra el área sombreada del televisor, si tiene las
siguientes dimensiones: la pantalla es 10 cm menos que
las dimensiones del televisor tanto en lo ancho como
en altura.
Solución:
c) En una tienda para guardar el pan utilizan una caja
transparente. Calcula el área total, si sus dimensiones son:
55 cm, 36 cm y 28 cm.
Primero observas que las figuras a las que se refiere el
ejercicio son rectángulos, cuyas áreas se encuentran así:
A = bh; base por altura.
Áreas de figuras compuestas
Juan pintará la fachada de su Iglesia, incluyendo la
puerta, quiere saber cuál es el área a pintar.
El rectángulo exterior tiene dimensiones de 70 cm por
40 cm, si a esto le restas el área del rectángulo interior
que forma la pantalla cuyas dimensiones según el
problema son (70 − 10) cm y (40 − 10) cm.
Al observar tiene que se forman dos figuras diferentes:
un triángulo cuyas medidas son 8 m de base y 2 m
de alto, y un rectángulo de 8 m de base y 4 m de alto,
entonces para calcular el área tienes que hacerlo para
cada figura y luego sumar esos resultados así:
bh
Área del triángulo =
2
Entonces tienes que la dimensiones serán igual a 60 cm
por 30 cm, luego con estos datos encuentras el área que
te piden del televisor.
As = (70 cm × 40 cm) – (60 cm × 30 cm)
As = 2,800 cm2 – 1,800 cm2 = 1,000
R: El área sombreada es: (A) = 1,000 cm2
Octavo Grado - Matemática 93
UNIDAD 3
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Encuentra el área total del rectángulo, tomando las
dimensiones de la siguiente figura.
Encuentra el área sombreada de la siguiente figura:
B
A
5 cm
E
5 cm
Solución:
En este caso tienes dos tipos de figuras: rectángulo y
triángulos. Luego lo que te piden es encontrar el área de
tres triángulos a partir de sus dimensiones.
Como es la suma del área de los tres triángulos:
b × h (b × h )
At =
+2
2
2
Observa que hay dos triángulos rectángulos y un
triángulo acutángulo.
Encuentras primero el área del triangulo acutángulo, su
base es igual a 10 cm y su altura 5 cm por lo tanto su área
es igual:
(10 cm)(5 cm)
A= 25 cm2
A=
2
Luego los triángulos rectángulos externos, si observas
sus dimensiones, te darás cuenta que en ambos
triángulos las alturas miden 5 cm y las bases 5 cm.
(5 cm)(5 cm)
A=
2
pero como son dos triángulos iguales a los que tienes
que encontrar el área basta que multipliques por 2 la
operación anterior,
 (5 cm)(5 cm) 
A = 2

2

A = (5 cm) (5 cm) = 25 cm2
Ahora que ya tienes las tres áreas concluimos que:
b × h (b × h )
At =
+2
2
2
At = 25 cm2 + 25 cm2 = 50 cm2
94 Matemática - Octavo Grado
C
10 cm
D
Si A, B, C, y D son los vértices del cuadrado y E el punto
medio de un lado.
Solución:
En este caso se trata del área de un cuadrado menos el
área de la mitad de un círculo.
Las dimensiones del cuadrado son de 10 cm por lado, y
el círculo tiene 10 cm de diámetro, pero para el área del
círculo necesitas el radio que es el cociente del diámetro
entre dos, en este caso 10 entre 2 igual a 5 cm.
Ahora tienes:
πr 2
π ( 5 cm )2
As =  2 −
= (10 cm)2 −
2
2
luego:
25(3.1416) cm 2
=100 cm −
2
2
As = 100 cm2 − 12.5 (3.1416) cm2 =
100 cm2 − 39.27 cm2 = 60.73 cm2
R: El área sombreada es 60.7 cm2
UNIDAD 3
Ejemplo 11
Solución:
Don Manuel debe encontrar el área de lámina que
ocupará para hacer la base de una cocina ecológica con
3 quemadores de 22 cm de diámetro cada uno, sobre
una base rectangular.
En este caso es el área de un rectángulo menos el área de
los tres círculos.
¿Cuál es la medida del área de la base de la cocina?
Si cada círculo mide de diámetro 22 cm, la altura del
rectángulo mide igual (22 cm) y son tres los que cubren
el rectángulo, significa entonces que su base mide 66 cm.
Entonces el área de la región sombreada es:
As= bh − 3 π r2 Al sustituir datos tienes:
As = (66 cm) (22 cm) − 3 × 3.1416 (11 cm )2
As= 1,452 cm2 − 1,140.4 cm2= 3.116
R: As= 311.6 cm2
3
Actividad
a) Encuentra el área total de la siguiente figura geométrica:
10 cm
8 cm
5 cm
6 cm
8 cm
c)
6 cm
14 cm
d) Encuentra la superficie cubierta por la figura. La base del
triángulo mide de 5 cm y la altura 4 cm.
Encuentra el área de la región sombreada en b y c:
b) diámetro = 5 cm y base del rectángulo 13 cm .
Resumen
En esta lección estudiaste un poco más sobre área lateral y total del cubo y ortoedro, además de figuras compuestas.
Para el cubo tienes: A lateral = 4  2 y Atotal = 6  2 Para el ortoedro AT = 2ab + 2bc + 2ac
Octavo Grado - Matemática 95
UNIDAD 3
Autocomprobación
1
3
El área de la parte sombreada es:
a)
37.93 cm2
b) 16.72 cm2
c) 35.58 cm2
d) 26.15 cm2
5 cm
d =3 cm
El área total de un ortoedro se calcula utilizando:
a)
2ab + 2bc + 2ac
2
b) 6 
c) ab + bc + ac
2
d) 4 
9 cm
La suma de las áreas laterales de un cubo con aristas de
7 cm es:
294 cm2
b) 245 cm2
c) 196 cm2
d) 490 cm2
El área total de un cubo con aristas de 12 cm es:
a)
576 cm2
b) 864 cm2
c) 144 cm2
d) 3456 cm2
2. c.
a)
4
1. a.
Soluciones
2
3. a.
4. b.
EL CUBO DE RUBIK
El cubo de Rubik (o cubo mágico, como se lo
conoce en algunos países) es un rompecabezas
mecánico inventado por el escultor y profesor de
arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974 Se trata
de un conocido rompecabezas cuyas caras están
divididas en cuadros de un mismo color sólido cada
una, los cuales se pueden mover. El objetivo del
juego consiste en desarmar la configuración inicial
en orden y volverla a armar.
Se ha estimado que más de 100 millones de cubos
de Rubik o imitaciones han sido resueltos a lo largo
del mundo entero. Su mecanismo sencillo sorprende
por la complejidad de las combinaciones que se
consiguen al girar sus caras.
96 Matemática - Octavo Grado
Solucionario
Lección 1
Actividad 1
a) (6 m – 4) (6m + 4)
e) (7nm2 – p4) (7nm2 + p4)
b) (10 – y2) (10 + y2)
f)
 2 x 5   2 x 5   −   + 
3 4
3 4
d) (7xy – 2z) (7xy + 2z)
h) (a + 2b + 3) (a + 2b – 3)
c)
1
1

 10 −   10 + 
x
x
g) (x + 1 − 4y) (x + 1 + 4y)
Actividad 2
a) (5n + 1) (25n2 – 5n + 1)
d) (7y + 3z) (49y2 – 21yz + 9z2)
b) (2x + 5) (4x2 – 10x +25)
e) (9a + 4b) (81a2 – 36ab + 16b2)
c) (10m + 6) (100m2 – 60m + 36)
f) (8x + 3y) (64x2 – 24xy + 9y2)
Actividad 3
a) (5m2 – 3n3) (25m4 + 15m2n3 + 9m6)
d) (2y – 9z)(4y2 + 18yz + 81z2)
b) (10 – x)( 100 + 10x + x2)
e) (3c3 – 1) (9c6 + 3c + 1)
c) (6a – 7b) (36a2 + 42ab + 49b2)
e) (9x2 + 4y) (81x2 – 36x2b + 16y2)
Lección 2
Actividad 1
a) (x + y + n) (x + y – n)
d) (1 – 8mn + p2) (1 – 8mn – p2)
b) (x – 2 – 3b) (x – 2+ 3b)
e) (a + b + c) (a – b – c)
c) (2x +5y – 6) (2x + 5y +6)
f) (5 + x − 4y) (5 − x + 4y)
Actividad 2
a) (a – 4) (a2 + 5a + 7)
d) (x – 4) (x + 5) (x + 3)
b) (x − 3) (x + 2)(x − 1)
e) (x + 1) (x +6) (x − 1)
c) (x − 2) (x – 3) (x + 4)
f) (y − 2) (y – 4) (y + 7)
Octavo Grado - Matemática 97
Solucionario
Lección 3
Actividad 1
a) 1.92 m2
b) 750 cm2
c) 1.8 m2
d) 7.5 m2
b) 324
c)5760 cm2
b) 1,200 cm2
c) 1462.50 cm2
b) 252 cm2
c) 12.5664 cm2 d) 234 cm2
b) 120 m2
c) 374.4 cm
d) 160 cm
b) 6.83 cm2
c) 13.09 cm 2
d) 28.27 cm2
Actividad 2
a) 0.2025 m2
Actividad 3
a) 0.7125 m2
Actividad 4
a) 28.27 cm2
Lección 4
Actividad 1
a) 12310 cm2
Actividad 2
a) 3.91 cm2
Actividad 3
a) 0.3338 m2
b) 1206.37 cm2 c) 1649.34 cm2
Lección 5
Actividad 1
a) 845 cm2
b) 937.5 cm2
c) 8 cm
b) 708 cm2
c) 9056 cm
b) 74.82cm2
c) 52 cm2
d) 1,350 cm3
Actividad 2
a) 812 cm2
Actividad 3
a) 68 cm2
98 Matemática - Octavo Grado
d) 65 cm2
Proyecto
Un arquitecto ha diseñado una casa cuyo frente es como la figura.
Necesita conocer el área total que se pintará de esta parte (frente) y la entrada de la
casa, pero sin las partes que corresponde a la puerta, las ventanas y una entrada de
luz en la parte superior
Los valores son:
Para la puerta son: 0.90 m por 2 m.
Ventana cuadrada mide de lado 1.2 m.
Ventana pentagonal, mide de lado 1.4 m y la apotema 0.6 m.
El diámetro del círculo 0.6 m.
El frente mide 8 m y la altura de la casa es 3 m.
La base de la figura que se forma en la entrada 10 m y su ancho es 3 m.
La altura del triángulo en 2 m.
Realiza tú los cálculos y da a conocer el área a pintar.
Octavo Grado - Matemática 99
Recursos
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA,
San Salvador, El Salvador, 2007, 219p
Ángel Álgebra elemental . Editorial Prentice Hall, 4ª Edición, México 1997,
600p.
Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial
Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra,
Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición.
México 1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado