Solución - IES Francisco Ayala

IES Fco Ayala de Granada
Sobrantes 2014 (Modelo 5 ) Soluciones
Germán-Jesús Rubio Luna
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2014 MODELO 5
OPCIÓN A
EJERCICIO 1 (A)
2 1 
 3 -2 
Se consideran las matrices A = 
 y B= 
.
3
-2


1 4 
t
a) (0’5 puntos) Efectúe la operación A·B .
b) (0’75 puntos) Determine la matriz X tal que A + 2·X = B.
6
c) (1’25 puntos) Calcule la matriz Y, sabiendo que B·Y =   .
9
2 1 
Se consideran las matrices A = 
 y B=
 3 -2 
a)
t
Efectúe la operación A·B .
Solución
 3 -2 

.
1 4 
t
 2 1   3 -2 
 2 1   3 1  4 6 
t
A·B = 
·
·
 =
.
 = 
 3 -2   1 4 
 3 -2   -2 4   13 -5 
b)
Determine la matriz X tal que A + 2·X = B.
De A + 2·X = B → 2·X = B - A → X = (1/2)·(B – A) =
 1 -3 
1  1 -3  
1   3 -2   2 1  
=
·
=
−
· 
2 2  .



 

2   1 4   3 -2  
2  -2 6  

 -1 3 
c)
6
Calcule la matriz Y, sabiendo que B·Y =   .
9
3 -2
 3 -2 
-1
t
Como det (B) = det 
= 12 + 2 = 14 ≠ 0, existe la matriz inversa B = (1/|B|)·Adj(B ).
 =
1 4
1 4 
1/7 
 3 1
 4 2
 4 2
 2/7
t
t
-1
t
B = 
 ; Adj(B ) = 
 , luego B = (1/|B|)·Adj(B ) = (1/14)· 
 = 
.
-2
4
-1
3
-1
3
-1/14
3/14








También se podría haber calculado por el método de Gauss
A tiene inversa, si mediante transformaciones elementales por filas de Gauss podemos llegar de (B|I2),
-1
a la expresión (I2|B ).
 3 -2 1 0  Cambio  1 4 0 1 
1 4 0 1 
(B|I2) = 
≈ 
≈
≈



 1 4 0 1  F1 por F2  3 -2 1 0  F2 - 3·F1  0 -14 1 -3  F2 :(-14)
0
1  F1 - 4·F2  1 0 4/14 1/7 
1/7 
1 4
 2/7
-1
≈
≈

 por tanto B = 
.
0
1
-1/14
3/14
0
1
-1/14
3/14
-1/14
3/14






6
-1
Multiplicando la expresión que B·Y =   por la izquierda por la matriz inversa B , tenemos
9
 
1/7   6 
 2/7
 3 
-1
-1  6 
-1  6 
-1  6 
B ·B·Y = B ·   → I2·Y = B ·   → Y = B ·   = 
·  = 

9
9
9
 -1/14 3/14   9 
 3/2 
 3 
La matriz pedida es Y = 
.
 3/2 
EJERCICIO 2 (A)
2
2
4
(2’5 puntos) Sean las funciones f(x) = (2x - 1)3· ln(x )
y
g(x) =
e-2x + x
x2 + 1
Determine el valor de f’(-1) y g’(0).
2
2
4
Sean las funciones f(x) = (2x - 1)3· ln(x )
y
g(x) =
e-2x + x
. Determine el valor de f’(-1) y g’(0).
x2 + 1
Recordamos algunas derivadas y reglas de derivación.
1
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/
 f(x) 
f'(x).g(x) - f(x).g'(x)
( f(x)+g(x) )’ = f’(x)+g’(x); ( f(x)·g(x))’ = f’(x)·g(x)+ f(x)·g’(x); 
;
 =
(g(x))2
 g(x) 
f'(x)
k
k-1
kx
kx
k
k-1
( (f(x) )’ = k.f(x) .f’(x); ( e )’ = k.e ; (x )’ = k.x ; (ln(f(x))’ =
; (k)’ = 0.
f(x)
2
3
4
f(x) = (2x - 1) ·ln(x )
2
2
4
2
3
f’(x) = 3·(2x - 1) ·(4x)·ln(x ) + (2x - 1) ·
2
2
4x 3
x4
4
2
3
f’(-1) = 3·(2(-1) - 1) ·(4(-1))·ln((-1) ) + (2(-1) - 1) ·
4(-1)3
2
3 4(-1)
= 3·(1) ·(-4)·ln(1) + (1) ·
= 0 – 4 = -4.
1
(-1)4
2
e-2x + x
.
x2 + 1
2
2
[e-2x + x ·(-2 + 2x)].(x 2 + 1) - e-2x + x ·2 x
g’(x) =
(x 2 + 1)2
g(x) =
g’(0) =
[e0 ·(-2 )]·(+ 1) - 0
= -2.
(1)2
EJERCICIO 3 (A)
En un Instituto de Educación Secundaria el 40% de los alumnos juegan al fútbol, el 30% juegan al
baloncesto y el 20% practican ambos deportes.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, no practique ninguno de los dos
deportes?
b) (0’75 puntos) Si un alumno, elegido al azar, juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al
baloncesto?
c) (0’75 puntos) ¿Son independientes los sucesos “jugar al fútbol” y “jugar al baloncesto”?
Solución
En un Instituto de Educación Secundaria el 40% de los alumnos juegan al fútbol, el 30% juegan al
baloncesto y el 20% practican ambos deportes.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, no practique ninguno de los dos deportes?
Llamamos A y B a los sucesos “juegan al fútbol” y “juegan al baloncesto”.
Del problema tenemos: p(A) = 40% = 0’4, p(B) = 30% = 0’3 y p(A∩B) = 20% = 0’2.
p ( A ∩ B)
C
Sabemos que p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B); p(A/B) =
; p(B) = 1 - p(B );
p(B)
C
C
C
C
p(A ∩B ) = {Ley de Morgan} = p(A∪B) = {suceso contrario} = 1 - p(A∪B); p(A∩B ) = p(A) - p(A∩B).
Me piden p(no practique ninguno de los dos deportes) = p(noA y noB) = p(A ∩B ) = {Ley de Morgan} =
C
= p(A∪B) = {suceso contrario} = 1 - p(A∪B) **= 1 - 0’5 = 0’5.
**p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0’4 + 0’3 - 0’2 = 0’5
b)
Si un alumno, elegido al azar, juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al baloncesto?
C
C
C
Me piden p(no juegue al baloncesto, sabiendo que juega al futbol) = p(B /A)
p BC ∩ A
p(A) - p (B ∩ A )
C
Luego p(B /A) =
=
= (0’4 - 0’2)/(0’4) = 0’5.
p(A)
p(A)
c)
¿Son independientes los sucesos “jugar al fútbol” y “jugar al baloncesto”?
(
)
A y B son independientes si p(A∩B) = p(A)·p(B).
Como p(A∩B) = 0’2 ≠ p(A)·p(B) = 0’4·0’3 = 0’12, los sucesos A y B no son independientes.
EJERCICIO 4 (A)
Los responsables de tráfico de una ciudad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 65% de sus
habitantes son favorables a la creación de una red de carril-bici en esa ciudad.
2
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Encuestados 950 habitantes, elegidos al azar, 590 están a favor de tal medida
a) (1’5 puntos) Mediante un contraste de hipótesis, (H0 : p ≥ 0’65), con un nivel de significación del
10%, ¿se puede decir que tienen razón los responsables de tráfico de esa ciudad?
b) (1 punto) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?
Solución
Sabemos que la distribución muestral de proporciones sigue también una distribución normal:
p .(1-p0 )
N( p̂ , 0
).
n
Trabajaremos con lo normal N(0,1)
También se puede hacer con la distribución normal muestral y es parecido a los intervalos de confianza.
Nos dice el problema que la hipótesis nula es H0 : p0 ≥ 0’65 (lo dá el problema), con un nivel de significación
de α = 10% = 0,1. Es un contraste unilateral y trabajamos con la normal N(0,1).
También se puede hacer con la normal muestral y es parecido a los intervalos de confianza.
Datos del problema: p0 = 0’65; n = 950; p̂ = 590/950 = 59/95 ≅ 0’621; región crítica = α = 0,1 = 10%.
El problema la dividimos en cinco etapas
Etapa 1: Formulamos la hipótesis nula y la alternativa.
Las hipótesis nula y alternativa son: H0 : p0 ≥ 0’65 y H1 : p0 < 0’65, la cual nos indica la dirección del
contraste, es decir la región crítica está a la izquierda del punto crítico zα = - z1-α .
Etapa 2: Calculamos el punto o puntos críticos, que nos darán las regiones críticas y de aceptación.
Para el nivel de significación es α = 0’1, luego tenemos 1 - α = 0’9.
De p(Z ≤ z1-α) = 1 - α = 1 - 0’1 = 0’9, mirando en las tablas de la N(0,1), vemos que no aparece en las tablas.
El valor más próximo es 0’8997, que corresponde al valor crítico es zα = - z1-α = - 1’28 que separa las
zonas de aceptación y rechazo.
Lo observamos en un dibujo:
Etapas 3 y 4: Ponemos el estadístico del contraste y calculamos el valor observado.
En este caso el estadístico de prueba es Z =
p̂ - p0
p0 .(1-p0 )
n
, que sigue una normal tipificada, N(0,1), y el
valor observado del estadístico de prueba será el número z0 =
p̂ - p0
p0 .(1-p0 )/n
=
59/95 - 0'65
0 '65·0 '35
950
≅ -1’87059.
Etapa 5: Comparamos el valor observado con el punto crítico para tomar la decisión adecuada.
Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = -1’87059 está en la región de rechazo para el
punto crítico zα = - z1-α = - 1’28, pues -1’87059 < -1’28, rechazamos la hipótesis nula H0: H0: p0 ≥ 0’65, y
aceptamos la hipótesis alternativa H1 : p0 < 0’65, con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos
del 10%, afirmamos que menos del 65% no desean el carril bici.
3
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b)
¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%?
Todo es exactamente igual, lo único que varía es el punto crítico que nos delimitará la región de
aceptación de la de rechazo.
Para el nivel de significación es α = 1% = 0’01, luego tenemos 1 - α = 0’99.
De p(Z ≤ z1-α) = 1 - α = 1 - 0’01 = 0’99, mirando en las tablas de la N(0,1), vemos que no aparece en las
tablas. El valor más próximo es 0’9901, que corresponde al valor crítico es zα = - z1-α = - 2’33 que separa
las zonas de aceptación y rechazo.
Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = -1’87059 está en la región de aceptación para el
punto crítico zα = - z1-α = - 2’33, pues -2’33 < -1’87059, aceptamos la hipótesis nula H0: H0: p0 ≥ 0’65,
con lo cual, con una probabilidad de equivocarnos del 1%, afirmamos que mas del 65% desean el
carril bici.
OPCION B
EJERCICIO 1 (B)
t
a) (1’5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A·X = 2·(C – D ), siendo:
 0 1
 0 2
 1 -1
A= 
y D= 
, C= 

.
2
0
-1
2




 2 -1
b) (1 punto) Si A(0, 2), B(2, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en
esa región, el valor mínimo y el valor máximo de la función F(x,y) = 4x – 3y + 8 e indique los puntos
donde se alcanzan.
Solución
a)
t
Resuelva la ecuación matricial A·X = 2·(C - D ), siendo:
 0 1
 0 2
 1 -1
y D= 
A= 
, C= 

.
2 0
 -1 2 
 2 -1
t
Tenemos A·X = 2·(C - D ),
0 1
 0 1
-1
t
Como det (A) = det 
= 0 - 2 = -2 ≠ 0, existe la matriz inversa A = (1/|A|)·Adj(A ).
 =
2 0
2 0
0 2
 0 -1
 0 -1
 0 1/2 
t
t
-1
t
A = 
 ; Adj(A ) = 
 , luego A = (1/|A|)·Adj(A ) = (1/-2)· 
 = 
.
 1 0
 -2 0 
 -2 0 
1 0 
También se podría haber calculado por el método de Gauss
A tiene inversa si mediante transformaciones elementales por filas de Gauss podemos llegar de (A|I2), a
-1
la expresión (I2|B), donde B = A .
 0 1 1 0  Cambio  2 0 0 1  F1 /(2)
 1 0 0 1/2 
 0 1/2 
-1
(A|I2) = 
≈
≈


 por tanto: A = 
.
 2 0 0 1  F1 por F2  0 1 1 0 
0 1 1 0 
1 0 
t
-1
Multiplicando la expresión A·X = 2·(C - D ), por la izquierda por la matriz inversa A , tenemos
t
-1
-1
t
-1
t
-1
t
A·X = 2·(C - D ) → A ·A·X = A ·2·(C - D ) → I2·X = 2·A ·(C - D ) → X = 2·A ·(C - D ).
T
 0 -1   0 2   1 -1 
-1
t

La matriz pedida es X = 2·A ·(C - D ) = 2·(1/-2)· 
·
 
 
  ·=
 -2 0    -1 2   2 -1 
 0 -1   0 2   1 2    0 1   -1 0 
 0 3
= (-1)· 
 · 
·
 = 
.
 - 
 = 
 -2 0    -1 2   -1 -1   2 0   0 3 
 -2 0 
b)
Si A(0, 2), B(2, 0), C(4, 0), D(6, 3) y E(3,6) son los vértices de una región factible, determine, en esa región,
4
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el valor mínimo y el valor máximo de la función
alcanzan.
Germán-Jesús Rubio Luna
F(x,y) = 4x - 3y + 8 e indique los puntos donde se
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que su máximo y mínimo absoluto están en la
región convexa acotada, y que estos extremos deben estar situados en algún vértice del recinto, por lo que
evaluamos F en los puntos anteriores A(0,2), B(2,0), C(4,0), D(6,3) y E(3,6). En el caso de que coincidan
en dos vértices consecutivos la solución es todo el segmento que los une.
F(0,2) = 4(0) - 3(2) + 8 = 2; F(2,0) = 4(2) - 3(0) + 8 = 16; F(4,0) = 4(4) - 3(0) + 8 = 24;
F(6,3) = 4(6) - 3(3) + 8 = 23; F(3,6) = 4(3) - 3(6) + 8 = 2.
Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el mínimo absoluto de la función F en la región es 2 (el
menor valor en los vértices) y se alcanza en los vértices A(0,2) y E(3,6) por tanto se alcanza en todo el
segmento AE, y el máximo absoluto de la función F en la región es 24 (el mayor valor en los vértices)
y se alcanza en C(4,0).
EJERCICIO 2 (B)
3
2
(2’5 puntos) Represente gráficamente la función f(x) = x - 6x + 12x, estudiando previamente su dominio,
puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y
puntos de inflexión.
Solución
3
2
Represente gráficamente la función f(x) = x - 6x + 12x, estudiando previamente su dominio, puntos de
corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de
inflexión.
Como es una función polinómica su dominio es R.
Cortes:
Para x = 0, punto (0,f(0)) = (0,0)
Para f(x) = 0 → x - 6x + 12x = 0 = x·(x - 6x + 12), de donde x = 0 y x =
3
2
2
6 ± 36 - 48 6 ± - 12
=
, que
2
2
no tiene soluciones reales. El punto es (0,0)
Monotonía. Estudio de la primera derivada f’(x).
3
2
2
f(x) = x - 6x + 12x; f’(x) = 3x - 12x + 12.
2
2
2
De f’(x) = 0, tenemos 3x - 12x + 12 = 0 = x - 4x + 4 = (x - 2) , de donde x = 2 (doble) será el posible
extremo relativo de f.
2
Como f’(0) = 3(0) - 12(0) + 12 = 12 > 0, f(x) es estrictamente creciente ( ր ) en (-∞,2).
2
Como f’(3) = 3(3) - 12(3) + 12 = 3 > 0, f(x) es estrictamente creciente ( ր ) en (2,+∞).
Por tanto f es estrictamente creciente en R y no tiene ni máximos ni mínimos relativos
Curvatura. Estudio de la segunda derivada f’’(x).
3
2
2
f(x) = x - 6x + 12x; f’(x) = 3x - 12x + 12; f’’(x) = 6x - 12.
De f’’(x) = 0, tenemos 6x - 12 = 0, de donde x = 2, que será el posible punto de inflexión.
De f’’(0) = 6(0) - 12 = - 12 < 0, tenemos que f(x) es cóncava (∩) en (-∞,2).
De f’’(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0, tenemos que f(x) es convexa (∪) en (2,+∞).
3
2
Por definición en x = 2 hay un punto de inflexión, que vale f(2) = (2) – 6(2) + 12(2) = 8.
Teniendo en cuenta lo anterior y su comportamiento en ± ∞
3
2
3
3
Como limx->-∞( x - 6x + 12x) = limx->-∞( x ) = (-∞) = - ∞, en - ∞, f vale -∞
3
2
3
3
Como limx->+∞( x - 6x + 12x) = limx->+∞( x ) = (+∞) = + ∞, en + ∞, f vale +∞
Un esbozo de la gráfica de f es:
5
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Sobrantes 2014 (Modelo 5 ) Soluciones
Germán-Jesús Rubio Luna
EJERCICIO 3 (B)
El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa
digital y el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad:
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital.
b) (0’75 puntos) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcule la probabilidad de que también las
lea en prensa escrita en papel.
c) (0’75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias exclusivamente en uno de los dos
formatos?
Solución
El 25% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa
digital y el 10% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad:
a)
Calcule la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital.
Llamamos A y B a los sucesos “leen prensa en papel” y “leen prensa digital”.
Del problema tenemos: p(A) = 25% = 0’25, p(B) = 70% = 0’7 y p(A∩B) = 10% = 0’1.
p ( A ∩ B)
C
Sabemos que p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B); p(A/B) =
; p(B) = 1 - p(B );
p(B)
C
C
C
C
p(A ∩B ) = {Ley de Morgan} = p(A∪B) = {suceso contrario} = 1 - p(A∪B); p(A∩B ) = p(A) - p(A∩B).
Me piden p(lean en papel o en digital) = p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0’25 + 0’7 - 0’1 = 0’85.
b)
Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcule la probabilidad de que también las lea en prensa
escrita en papel.
p ( A ∩ B)
= (0’1)/(0’7) = 1/7 ≅ 0’1429.
Me piden p(lea en papel. sabiendo que lee en digital) = p(A/B) =
p(B)
c)
¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias exclusivamente en uno de los dos formatos?
Me piden p( lea en papel y no en digital) o p(lea en digital y no en papel) =
C
C
= p(A y noB) o p(B y noA) = p(A∩B ) + p(B∩A ) = p(A) - p(A∩B) + p(B) - p(A∩B) = 0’25 - 0’1 + 0’7 - 0’1=
= 0’75.
EJERCICIO 4 (B)
Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en un
municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0’31, 0’39), al 94%.
a) (1 punto) ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?
b) (0’5 puntos) Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas,
¿cuántas de ellas deseaban la construcción del centro comercial?
c) (1 punto) Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0’03
y el mismo nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?
Solución
Sabemos que si n ≥ 30 para la proporción muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL ɵ
p sigue
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IES Fco Ayala de Granada
Sobrantes 2014 (Modelo 5 ) Soluciones
Germán-Jesús Rubio Luna
pɵ ⋅ qɵ
) que es la distribución muestral de proporciones, donde ɵ
q = 1- ɵ
p, y
n
pɵ ⋅ qɵ
pɵ ⋅ qɵ
generalmente escribimos p ≈ N( ɵ
p,
) o p → N( ɵ
p,
).
n
n
una normal N( ɵ
p,
Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la proporción p de las muestras es:

ˆ ˆ
ˆ ˆ
p·q
p·q
I.C.(p) =  pˆ - z1−α / 2 .
,pˆ + z1−α / 2 .
 = (a,b)

n
n 

donde z1-α/2 es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z≈N(0,1) que verifica
p(Z ≤ z1-α/2)=1-α/2.
Del intervalo vemos que p̂ = (a + b)/2
El error cometido es E < z1−α / 2 .
ˆ ˆ
ˆ − p)
ˆ
(z )2 .p.q
p(1
= (b-a)/2, de donde el tamaño de la muestra es n > 1-α/2 2
.
n
E
Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en un
municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0’31, 0’39), al 94%.
a)
¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?
El valor de la proporción muestral es: p̂ = (0’31 + 0’39)/2 = 0’35.
b)
Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas
deseaban la construcción del centro comercial?
Personas desean la construcción = total personas de la muestra x proporción de la muestra =
= 500·0’35 = 175 personas.
c)
Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0’03 y el mismo
nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?
Datos del problema: Error = E < 0’03, ɵ
p = 0’35, ɵ
q = 1 - 0’35 = 0’65, nivel de confianza 1 – α = 94% = 0’94,
de donde α= 0’06= = 6% = 0’06, como nivel de significación.
De α = 0’06 tenemos α/2 = 0’03
De la igualdad p(Z ≤ z1-α/2 ) = 1 - α/2 = 1 - 0’03 = 0’97, que se mira en la tabla de la distribución Normal
N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z1 - α/2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor
0’97 no viene en la tabla y el valor más próximo es 0’9699, que corresponde a z1-α/2 = 1’88 (Interpolando
z1-α/2 = 1’88143).
ˆ ˆ (1‘88)2 ·0‘35·0‘65
ˆ − p)
ˆ
(z )2 .p.q
p(1
, tenemos tamaño de la muestra n > 1-α/2 2
=
≅ 893’4178, por
n
E
(0‘03)2
tanto el tamaño mínimo de la muestra es n = 894 personas.
De E < z1−α / 2 .
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