MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. Descripción física y

MOVIMIENTO ONDULATORIO
1.
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6.
Descripción física y clasificación de los fenómenos ondulatorios.
Ondas monodimensionales armónicas.
Ecuación del movimiento ondulatorio.
Intensidad de una onda.
Fenómenos ondulatorios: Absorción, interferencias , reflexión, refracción, difracción y polarización.
Ondas electromagnéticas. Descripción. Espectro electromagnético.
El movimiento ondulatorio puede considerarse como el transporte de energía y cantidad de movimiento sin
transporte de materia.
Las ondas pueden propagarse en medios materiales, gracias a la elasticidad del medio de propagación: ondas
mecánicas, o en el vacío, debido a la propagación de un campo electromagnético: son las ondas
electromagnéticas.
Cuando la dirección de la propagación y la dirección de la vibración son perpendiculares se trata de ondas
transversales. Si la dirección es la misma, se trata de ondas longitudinales.
l
l
l
l
l
Periodo T es el tiempo que dura un ciclo completo.
La longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de vibración.
La velocidad de propagación v es la distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Si
consideramos el lapso de tiempo de un pulso, el tiempo será T y la distancia recorrida λ :
La frecuencia f es el número de pulsos por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el hertzio (Hz)
Pulsación ω vale 2π f.
Ondas armónicas.
Ondas que pueden ser descritas utilizando funciones seno o coseno.
Si consideramos una perturbación en un punto según la ecuación del movimiento armónico simple Y(t) = A
sen ω t; donde A es la amplitud y ω = 2π f, que se propaga en una dirección, transcurrido un tiempo t' se
habrá propagado una distancia x = v t', donde v es la velocidad de propagación.
Y(x,t) = A sen ω ( t - t') = A sen ω ( t -
)=
=
llamando número de onda a k =
Y(x,t) = A sen (ω t - k x)
que es la ecuación del movimiento ondulatorio.
Conviene subrayar que la función Y(x,t) puede representar cualquier propiedad que se propague, ya sea una
altura (ondas de agua), presión del aire (sonido), o campo eléctrico (ondas electromagnéticas).
Al término ω t - k x se le llama fase. En el instante t = 0 y en el origen x = 0, la elongación Y no tiene porque
ser cero; hay que introducir un valor, la fase inicial ϕ 0, de modo que la ecuación general queda así:
Y(0,0) = Asenϕ 0
Y(x,t) = A sen (ω
ω t - k x + ϕ 0)
Se dice que dos puntos están en fase si su diferencia de fase ∆ ϕ = 2π , o un número par por π . Si su
diferencia de fase es π o un número impar por π , se dice que están en oposición de fase.
∆ ϕ = 2nπ en fase ∆ ϕ = (2 n + 1)π oposición de fase
Energía del movimiento ondulatorio. Intensidad de una onda
La energía total de una partícula m vibrando será la suma de la energía cinética y potencial:
E = ½ mv2 + ½ ky2 = ½ mv2 + ½ mω 2y2 ya que k = m ω2
Para la máxima elongación v = 0 e y = A E = ½ m ω2A2 = 2 m π 2 f2 A2
Es decir la energía de una partícula vibrante depende de la amplitud al cuadrado y la frecuencia al cuadrado.
La intensidad de una onda en un punto es la energía que atraviesa la unidad de superficie por unidad de
tiempo en ese punto. Se mide en W/m2.
Si un foco puntual emite una potencia P0 en todas direcciones, la potencia a una distancia r del foco se tendrá
que repartir en una superficie esférica 4π r2 , por lo que la intensidad a una distancia r valdrá:
es decir I disminuye con el cuadrado de la distancia.
Un ejemplo: el sonido. Nivel de intensidad
Por ejemplo, para el oído humano el umbral de audición es para una frecuencia de 10.000 Hz, 10-12 W/m2, y
el umbral de dolor es de aproximadamente 1 W/m2.
Debido al enorme margen de intensidades audibles y a que la sensación sonora varía con la intensidad no de
modo lineal sino casi de modo logarítmico, se usa la escala logarítmica para describir el nivel de intensidad
sonora. El nivel de intensidad β se mide en decibelios (dB) y se define: β = 10 log
; donde I es la
intensidad e I0 es un nivel arbitrario de referencia que se considera como el umbral de audición. I0 = 10-12
W/m2.
Nivel de intensidad de algunos sonidos comunes
β (dB)
β (dB)
Umbral de audición
0
Tráfico pesado
70
Respiración normal
10
Fábrica
80
Rumor de hojas
20
Camión pesado
90
Murmullo a 5 m
30
Tren suburbano
100
Biblioteca
40
Ruido de construcción
110
Oficina tranquila
50
Concierto de rock
120 (umbral de
dolor)
Conversación normal
60
Martillo neumático
130
Absorción
Experimentalmente se observa que la disminución -dI de intensidad de una onda al atravesar un medio de
espesor dx es directamente proporcional a la propia intensidad, al espesor y a las propiedades intrínsecas del
medio representadas por un coeficiente de absorción β :
es decir la intensidad disminuye exponencialmente con la distancia.
La distancia para que la intensidad se reduzca a la mitad valdrá:
PROPIEDADES DE LAS ONDAS
Principio de Huygens
Huygens en 1690 ideó un mecanismo para
explicar el avance de un frente de ondas,
conociendo dicho frente un instante anterior.
Todo punto de un medio
alcanzado por una onda, se
convierte en foco emisor de ondas
secundarias.
Interferencias
Este es uno de los fenómenos mas llamativos de las ondas, la posibilidad de interferir y producir interferencias
constructivas y destructivas. El fenómeno fue experimentado con ondas luminosas antes de saber que la luz
poseía tal carácter en una célebre experiencia realizada por Young con dos rendijas muy finas separadas por
una distancia menor que 1 mm.
El fenómeno es fácil de visualizar en una cubeta de ondas,
un modelo para estudiar el comportamiento de las ondas
usando las ondas que se propagan en el agua. Si hacemos
que una onda pase por dos rendijas muy próximas, las dos
ondas formadas se reunirán de nuevo en distintos puntos.
Cuando la diferencia de distancias recorridas por ambas
ondas ∆ d sea un múltiplo entero de longitudes de onda,
éstas llegarán en fase, produciéndose interferencia
constructiva. Cuando la diferencia de distancias recorridas
por ambas ondas ∆ d sea un múltiplo impar de
semilongitudes de onda, éstas llegarán en oposición de
fase, produciéndose interferencia destructiva.
∆d=
∆d=0
∆d=
Se
observarán alternativamente por tanto, direcciones de propagación con interferencia constructiva e
interferencia destructiva.
Ondas estacionarias
Consideremos dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario, como por
ejemplo el resultado de el encuentro de una onda con su reflejada:
Y1 = Asen(ω t - kx) Y2 = Asen(ω t + kx)
La superposición de las dos ondas dará lugar
a otra onda, que tendrá por función:
Y = Y1 + Y2 = 2Asen kx cos ω t = A cosω t
Tal onda no se desplaza, existiendo unos
puntos llamados nodos donde la amplitud es
siempre cero.
Un caso interesante es el de una cuerda fija
por sus dos extremos; se forma una onda
estacionaria que no puede tener cualquier
longitud de onda, sino únicamente aquella
que cumpla que
L=n
siendo L la distancia entre los extremos de la
cuerda. Para n = 1 tenemos la frecuencia fundamental de vibración f0.
Difracción
Si hacemos llegar un frente de ondas (por ejemplo ondas de agua) sobre una rendija, el resultado varía según
el tamaño de la rendija. Solo si la longitud de onda es mayor que el tamaño de la rendija, se observa que el
orificio se convierte en foco emisor de ondas dando lugar al fenómeno de la difracción.
En el modelo de la figura, en el primer caso, el punto P no se ve alcanzado por las ondas, mientras que en el
segundo si.
Por ejemplo, usando ondas luminosas (λ ≈ 10-7 m), aparecerá difracción para orificios u obstáculos de esa
envergadura.
Reflexión y refracción
Cuando un frente de ondas choca con una superficie tenemos el fenómeno de la reflexión (inversión de una
velocidad), o refracción (continua cambiando de dirección).
En la reflexión, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i = r.
En la refracción, ángulo de incidencia y de refracción se relacionan con la ley de Snell:
la constante n recibe el nombre de índice de refracción y es la velocidad de la onda en el vacío dividido por la
velocidad en el medio.
Hay un ángulo límite que hace que desaparezca la refracción (cuando r
= 90º), entonces sen iL = n, y todo el rayo sale reflejado (reflexión
total).
Polarización
En las ondas transversales, existen multitud de planos posibles de vibración. Si mediante algún mecanismo
obligamos que la onda vibre en un solo plano, tenemos una onda polarizada.
Así para la luz, que es la propagación de un campo eléctrico y magnético perpendiculares a la dirección de
propagación, si interponemos un filtro especial, solamente se deja pasar aquellas vibraciones que tengan una
dirección determinada, obteniéndose luz polarizada.
Existen distintos mecanismos para polarizar la luz aunque
principalmente son dos por absorción y por reflexión. La
polarización por absorción consiste en que ciertas sustancias
absorben luz en cualquier plano posible de vibración menos en
uno.
La polarización por reflexión se produce cuando la luz al pasar de
un medio a otro (produciéndose reflexión y refracción) lo hace
con un ángulo tal que el rayo reflejado y el refractado forman 90º.
Entonces el rayo reflejado sale totalmente polarizado;
cumpliéndose:
(ley de Brewster)
1. La ecuación de cierta onda es Y = 10 sen 2π (2x - 100t), donde x se mide en metros y t en segundos.
Hallar:
a.
b.
c.
d.
e.
La amplitud.
la longitud de onda.
La frecuencia.
La velocidad de propagación.
Representar gráficamente la onda para t = 0 y t = 2.4 ms.
Comparando con la ecuación general: Y = Asen (kx - ω t):
A = 10 m; k = π m-1; ω = π s-1
k = 2π /λ ; λ = 0.5 m; ω = 2π f; f = 100 Hz
= λ f = 50 m/s
2. Obtener la longitud de onda y la frecuencia del campo eléctrico definido por:
E(x,t) = 10-3 cos(200x - 5⋅ 1010t), x(m), t(s). ¿Cuál es el índice de refracción del medio?
La fase del movimiento ondulatorio kx - ω t, nos permite identificar:
ω = 5⋅ 1010 s-1 = 2π f; f = 5⋅ 1010/2π = 7.96 GHz.
k = 200 m-1 = 2π /λ ; λ = 31.42 mm
v = λ f = 2.5⋅ 108 m/s. Por tanto el índice de refracción n =
= 1.2
3. Dos ondas transversales polarizadas en el mismo plano de polarización, se propagan en una cuerda en
la misma dirección, tienen la misma frecuencia (100 Hz), longitud de onda (2 m) y amplitud (2 cm), pero
están desfasadas 60º. Calcular:
a. La velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda.
b. La amplitud de la onda resultante y su ecuación de onda.
c. La velocidad máxima de un punto cualquiera de la onda.
a) v = λ f = 200 m/s.
b) Se trata de sumar dos ondas:
Y = Y1 + Y2 = Asen (kx - ω t + ϕ 1) + Asen (kx - ω t + ϕ 2) = 2Acos
Por tanto, la amplitud de la onda resultante A = 2Acos
Y = 0.02
= 0.02
sen (kx - ω t + ϕ medio)
m.
sen (π x - 200π t + π /6)
c) V=
= -Aω sen (kx - ω t + ϕ medio), por lo que vmax = Aω = 0.02
2π 100 = 4π
m/s
4. Una onda de frecuencia 5000 Hz tiene una velocidad de fase de 200 m/s.
a. ¿Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 45º?
b. ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que estén separados por un
intervalo de 0.1 ms?
a) La longitud de onda λ vale λ = v/f = 200/5000 = 0.04 m.
k=
= 50π m-1
y el ángulo de fase ϕ = kx - ω t, luego la diferencia de fase
entre dos puntos de la onda en el mismo instante será:
∆ ϕ = ϕ 2 - ϕ 1 = k(x2 - x1).
π /4 = 50π ∆ x; ∆ x = 0.005 m.
b) La diferencia de fase será ahora:
∆ ϕ = ϕ 2 - ϕ 1 = ω (t2 - t1).
ω = 2π f = 10000π s-1;
∆ ϕ = 104π10-4 = π rad.
Es decir, las dos elongaciones del mismo punto se hallan en
oposición de fase.
5. Si una onda sonora atraviesa un espesor de pared de 10 cm, su intensidad se reduce de 12 a 2
pW/cm2. Hallar el coeficiente de absorción.
Aplicando la ley de la absorción I = Ioe-β x; β =
= 10 ln6 = 17.9 m-1
6. Un foco emite ondas esféricas con una potencia de 100 W. ¿Cuál es la intensidad de la onda a 10 m
del foco?
= 79.6 mW/m2
7. La intensidad de un sonido se reduce a la mitad cuando ha atravesado 1 cm de cierto material. ¿En
qué proporción se reducirá cuando haya recorrido 5 cm? ¿Cuánto vale el coeficiente de absorción del
material?
Aplicando la ley de la absorción I = Ioe-β x;
β = ln 2 = 0.693 cm-1
8. La intensidad del sonido a 20 m de una explosión es de 2 W/m2. ¿A qué distancia hay que alejarse
para que sea de 1 µW/m2?
La intensidad decrece con el cuadrado de la distancia:
= 20
103 =28.3 km
9. Una onda elástica longitudinal, plana y armónica, se propaga a lo largo del eje x con una velocidad de
2.4 km/s, siendo su longitud de onda 18 cm. En el punto x=0 la elongación es máxima en el instante t = 24 µs
y vale 0.1 mm. Hallar:
a. La ecuación que describe la onda.
b. La elongación y la velocidad en el punto de coordenadas x = 1 m en el instante t = 0.1 s.
a) El periodo T = λ /v = 7.5⋅ 10-5 s
y = Acos (kx - ω t + ϕ ) = 0.1cos(
= 0.1cos2π (5.55x - 13333t + θ ) mm
para obtener la fase θ tendremos en cuenta que y(x,t) = y(0 , 24 µs) = 0.1:
13333⋅ 24⋅ 10-6 = θ = 0.32 rad
b) y(1m , 0.1s) = 0.1cos2π (5.55 - 1333.3 + 0.32) mm = -0.097 mm
v=
= 26666π ⋅ 0.1sen2π (5.55x - 13333t + 0.32) mm/s = 2.67π sen2π (5.55x - 13333t + 0.32) m/s
v(1,0.1) = 2.67π sen2π (5.55 - 1333 + 0.32) = -0.53 m/s