PROBLEMA 1 Considere el siguiente problema de programación

PROBLEMA 1
Considere el siguiente problema de programación lineal:
Sean h1 y h2 las variables de holgura correspondientes a la primera y segunda
restricción, respectivamente, de manera que al aplicar el algoritmo del simplex se
obtiene la siguiente tabla correspondiente a la solución óptima:
Ahora deberá realizar un análisis de sensibilidad para investigar cada una de las
siguientes modificaciones independientes en el modelo original. Para cada cambio,
aplique el procedimiento adecuado que le permita analizar las posibles variaciones de
la solución actual y, en su caso, obtenga las nuevas soluciones:
a) Cambios en el vector inicial de disponibilidades, que pasa a ser:
b) Cambios en los parámetros de la variable x3:
c) Introducción de una nueva variable x4:
d) Cambio en la función objetivo,
PROBLEMA 2
Con los datos originales del problema anterior, suponga que se le pide realizar un
análisis de programación paramétrica en el que el término independiente de cada una
de las restricciones viene expresado en función del parámetro q. Concretamente:
Una vez obtenida la solución del problema de programación paramétrica, plantee el
problema dual y determine su solución.
PROBLEMA 3
Considere el siguiente problema de programación lineal:
Siendo h1, h2, h3 las variables de holgura para las respectivas restricciones, la
siguiente tabla presenta la solución óptima tras aplicar el símplex:
Ahora debe realizar un análisis de sensibilidad para investigar cada uno de los cinco
cambios independientes en el modelo original. Compruebe la factibilidad y optimalidad
de la solución en cada uno de las modificaciones propuestas y, en su caso, realice los
ajustes necesarios para obtener la solución óptima. Dichas modificaciones son las
siguientes:
a) Cambio en el término independiente de las restricciones:
b) Cambios en el rendimiento directo del proceso x1:
c) Cambios en el rendimiento directo del proceso x3:
d) Introduzca una nueva restricción:
e) Introduzca un nuevo proceso x4, cuyo vector es:
PROBLEMA 4
Utilice la metodología de la programación lineal paramétrica para obtener la solución
del siguiente problema lineal:
A continuación formule el problema dual y determine su solución a través de las
relaciones con la solución del problema primal.
PROBLEMA 5
Resuelva el siguiente problema de programación lineal:
Una vez resuelto, plantee el problema dual correspondiente y determine sus valores
óptimos.
PROBLEMA 6
Una empresa fabrica tres productos A, B y C necesitando para ello determinadas
cantidades de materia prima y de mano de obra. El objetivo de la empresa es maximizar
el beneficio total procedente de esta producción, para lo cual formula y resuelve el
siguiente problema de programación lineal:
Donde la primera ecuación hace referencia a la mano de obra y la segunda al factor
limitado materia prima. Para este programa lineal, la empresa ha obtenido la siguiente
solución:
a) ¿Puede la empresa formular un plan de producción alternativo a éste, que le
permita seguir obteniendo este nivel de beneficios? Comente su respuesta
b) Encuentre el rango de variación del beneficio unitario del producto A, de
manera que el plan óptimo de producción siga siendo óptimo
c)
Suponga un incremento adicional de 15 unidades de materia prima que
puede obtenerse a un coste de 10 unidades monetarias. ¿Sería rentable dicho
incremento de este recurso productivo?
d)
Encuentre la solución óptima cuando la cantidad de materia prima
disponible es de 60 unidades
e)
Debido a una mejora tecnológica las necesidades de material para el
producto B se reducen a 2 unidades. ¿Cómo afectaría esta mejora a la solución
óptima?
f)
Suponga que se consideran las necesidades energéticas para este proceso
productivo. La empresa dispone de un total de 20 unidades de energía para la
fabricación de sus productos. La fabricación de una unidad de producto A o B
requiere una unidad energética, mientras que para fabricar una unidad de
producto C se necesitan tres unidades de energía. ¿Cómo afecta esta
información al plan óptimo de producción?
PROBLEMA 7
Resuelva el siguiente problema de programación lineal paramétrica
A continuación plantee el problema dual y obtenga su solución a partir de la solución
del problema primal.
PROBLEMA 8
Sea el siguiente problema de programación lineal junto con su correspondiente tabla
óptima:
Se pide determinar la solución óptima del problema en los siguientes supuestos:
a) Cambios en el rendimiento directo de la variable x3.
b) Cambio en el término independiente de la primera restricción, el cual pasa a
ser –2.
c) Introducción de una nueva restricción: 2x1 + 5x2 + x3 £ 7.
d) En el caso de que el vector de disponibilidades iniciales P0 venga expresado
en función del parámetro q:
PROBLEMA 9
Suponga el siguiente problema de programación lineal:
Plantee el programa dual correspondiente, resuélvalo y derive, a partir de esta solución,
la solución del problema primal.
PROBLEMA 10
Considere el siguiente problema:
a) Demuestre gráficamente que este problema tiene una función objetivo no acotada.
b) Formule el problema dual
c) Demuestre gráficamente que el problema dual no tiene soluciones factibles
PROBLEMA 11
Resuelva el siguiente problema de programación lineal:
PROBLEMA 12
Considere el siguiente problema de programación lineal paramétrica:
a) Obtenga la solución de este problema en función del parámetro q para q³0
b) Construya el dual de este problema y determine su solución óptima
PROBLEMA 13
Dado el siguiente problema y su correspondiente tabla óptima, se pide:
a) Resolverlo gráficamente
b) ¿Es única la solución óptima? Si no es así, proporcione todas las soluciones.
c) Plantear el problema dual.
d) Compruebe las relaciones Primal-Dual.
e)
Obtenga la nueva solución óptima, sin resolver de nuevo todo el problema, si se
modifica el término independiente de la primera restricción y éste pasa a ser 4.
f)
Obtenga la nueva solución óptima, sin resolver de nuevo todo el problema, si se
añade la siguiente restricción al problema 5x + 3y < 15.
g) Suponga que se relacionan los coeficientes de la función objetivo con un parámetro
J>0, obteniendo la siguiente expresión de la misma:
Z = (4+J)x + (2+2J)y . Determine la nueva solución que se alcanzaría.
PROBLEMA 14
Suponga el siguiente problema de programación lineal:
Plantee el correspondiente problema dual, resuélvalo y establezca las relaciones
oportunas con la solución del problema primal planteado.
PROBLEMA 15
Considere el siguiente problema de programación lineal paramétrica y la tabla final del
simplex para 2=0:
Se pide:
a) Determine la solución de este problema para cada uno de los valores del parámetro
2.
b) Señale cómo afectaría a la solución óptima alcanzada la disminución de la cantidad
disponible del recurso 1 (término independiente de la 1ª restricción) en una unidad, y
un incremento simultáneo en la cantidad disponible del recurso 2 también en una
unidad.
c) Formule el problema dual y obtenga la solución del mismo a través de las relaciones
que se establecen con el problema primal.