Dame tres restos y te diré el número

Premios del Departamento de Matemáticas
de la Universidad Autónoma de Madrid
para Estudiantes de Secundaria
Primera Edición, 2006/2007
TRABAJO: Dame tres restos y te daré el
número
GANADOR EN LA CATEGORÍA DE E.S.O.
AUTORES:
o Diana Barrio Luquero
o Héctor Rosa Álvarez
o Adrián Tamayo Domínguez
TUTORES:
o David Miguel del Río
o Ángel Corral Cedeña
CENTRO: IES Europa (Móstoles, Madrid)
Índice
Página
1. Introducción y antecedentes ................................................................................ 3
2. Objetivos .............................................................................................................. 3
3. Desarrollo ............................................................................................................ 3
3.1 Ecuaciones diofánticas ................................................................................... 5
3.2 Solucionando ecuaciones diofánticas ............................................................ 7
3.3 Comprobando la solución en casos más sencillos ........................................ 11
3.4 Volviendo a nuestro problema ...................................................................... 12
4. Resultados ........................................................................................................... 15
5. Conclusiones ....................................................................................................... 17
6. Bibliografía ......................................................................................................... 17
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
2
1. Introducción y antecedentes
Nos planteamos el siguiente problema:
“Si nos facilitan los restos entre 7, 11 y 13 de un número desconocido comprendido entre 1
y 1000. ¿Podremos determinar ese número desconocido?“
Estamos acostumbrados a utilizar la división como herramienta en las múltiples áreas en las
que se nos está formando, sin embargo de ella únicamente valoramos el cociente como transmisor
de la información que buscamos. De hecho en muy raras ocasiones utilizamos el resto y en muchas
menos hacemos lo que se conoce como división entera.
2. Objetivos
El principal objetivo del presente trabajo es el de aprender a desarrollar estrategias que
permitan abordar problemas cuya solución no sea, en principio, fácil.
Para ello utilizaremos el método científico, la observación y la generalización de aquellas
regularidades que encontremos.
Otro objetivo es el de aprender a obtener información del resto de la división entera,
dándonos cuenta de que, en este problema, el cociente ni es conocido, ni es necesario para resolver
el problema.
3. Desarrollo
Desde el principio comenzamos estudiando un problema que el profesor nos propuso en
clase, el cual, consistía en hacer unas divisiones entre los números 7, 11 y 13; de esas divisiones
teníamos que fijarnos en el resto y así averiguar el dividendo.
En seguida, nos dimos cuenta de que el mínimo común múltiplo (en adelante m.c.m.) de 7,
11 y 13 es 1001. Así, averiguamos que el problema se nos planteaba entre 1 y 1000, porque a partir
de 1001 se repetían las series de restos que están representadas en las tablas. Este caso también se
aplica a cualquier conjunto de divisores.
Para ello empezamos elaborando una serie de tablas en las que nosotros hicimos pruebas,
poniendo los dividendos y haciendo las divisiones para saber los restos. Además cogimos divisores
más pequeños de 7, 11 y 13 para hacer que el trabajo fuera más fácil, por ejemplo:
RESTOS ENTRE 2
RESTOS ENTRE 3
1
1
1
2
0
2
3
1
0
4
0
1
5
1
2
6
0
0
7
1
1
8
0
2
9
1
0
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
3
RESTOS ENTRE 4 RESTOS ENTRE 6 RESTOS ENTRE 8
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
0
4
4
5
1
5
5
6
2
0
6
7
3
1
7
8
0
2
0
9
1
3
1
10
2
4
2
11
3
5
3
12
0
0
4
13
1
1
5
14
2
2
6
15
3
3
7
16
0
4
0
17
1
5
1
18
2
0
2
19
3
1
3
20
0
2
4
21
1
3
5
22
2
4
6
23
3
5
7
24
0
0
0
25
1
1
1
26
2
2
2
27
3
3
3
28
0
4
4
29
1
5
5
30
2
0
6
Como conclusión a estas tablas pudimos determinar que los números de los restos formaban
un ciclo hasta el número anterior del m.c.m. de los divisores ya que, después de ese número, la serie
se repite.
También, observando estas tablas, conjeturamos que si dos de los tres restos que se nos
daban eran ceros, el dividendo era igual al m. c. m. del resto entero y los divisores que tenían ese
resto cero, por ejemplo:
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
4
RESTOS DE 4 RESTOS DE 6 RESTOS DE 8
0
12
0
4
(El m.c.m. de 4, 6 y 4 es 12)
Más tarde nos dimos cuenta de que no era cierto ya que no se cumplía en otros casos, por ejemplo:
18
RESTOS DE 2
0
RESTOS DE 3
0
RESTOS DE 7
4
(El m.c.m. de 2, 3 y 4 no es 18 sino 12)
Nos ayudó un problema de investigación del libro de texto, que consistía en averiguar un
dividendo común desconocido que al operarlo con cada uno de los divisores que te daba (2, 3, 4, 5 y
6) obtenías un resto que equivalía al consecutivo anterior de cada uno de los divisores. Vamos a
mostrar el ejercicio en cuestión:
Si mido un rollo de cuerda de dos en dos metros me sobra uno. Si lo mido de tres en tres me
sobran dos, si lo mido de cuatro en cuatro me sobran tres, si lo hago de cinco en cinco me sobran
cuatro y si lo hago de seis en seis me sobran cinco.
Sabiendo que tiene menos de cien metros, ¿podrías decirme su longitud?
De esta manera averiguamos que el número que teníamos que hallar era igual al m.c.m. de
los divisores menos uno, ya que, la relación entre los restos y sus divisores era la misma.
m.c.m(2,3,4,5,6) -1= 59
60
Resto de 2
1
0
Resto de 3
2
0
Resto de 4
3
0
Resto de 5
4
0
Resto de 6
5
0
Así, aplicado al problema del concurso, obtendríamos una pista para averiguar el número
mil ya que:
m.c.m(7,11,13) -1= 1000
1001
Restos de 7
6
0
Restos de 11
10
0
Restos de 13
12
0
3.1 Ecuaciones diofánticas
Una vez que teníamos una serie de restos de operaciones ya realizadas descubrimos cómo
ponerlos en forma de ecuación diofántica. Simplemente consistía en poner la prueba de la división.
De esta manera despejábamos el dividendo, el cual, era la incógnita que queríamos descubrir.
La prueba de la división consiste en que el dividendo (D) se puede expresar como el
cociente (C) por el divisor (d) más el resto (R):
D = C·d + R
Por lo tanto:
X – Cd·d = Rd donde: X es el dividendo
d es el divisor
Cd es el cociente de X entre el divisor d
Rd es el resto de X entre el divisor d
Más tarde buscamos y encontramos en Internet una definición clara de lo que eran las
ecuaciones diofánticas, así como ejemplos de las mismas. Así, aquellas ecuaciones cuyas soluciones
se exige que tomen valores enteros son conocidas como ecuaciones diofánticas, en honor a
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
5
Diofanto, matemático griego que entorno al año 275 las estudió extensivamente y dio soluciones a
algunas de ellas. La teoría de las ecuaciones diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre
las más bellas y difíciles áreas de las matemáticas. Los valores de las soluciones pueden estar entre
todos los números enteros, pudiendo además tener infinitas soluciones. Estas soluciones pueden ser
valores que se obtengan sin cálculo alguno, es decir, pueden obtenerse por tanteo. Aparte de
encontrar esta definición en una página de Internet, encontramos algunas condiciones que tienen
que cumplir estas ecuaciones diofánticas para tener solución. Estas condiciones venían expresadas
de una manera que nos costó entender dando la ecuación diofántica de la forma:
ax + by = c
Explicaba que sólo existiría una solución de x e y siempre y cuando se pudiera realizar
c/ MCD (a, b) y resultara un número entero. En esta expresión MCD(a,b) es el máximo común
divisor de los números a y b.
Por ejemplo:
Si tenemos: 2x + 4y = 8
Aplicando ese criterio diríamos que el MCD (2, 4) = 2; por lo que 8/ MCD (2, 4) = 8/2 = 4.
Al resultarnos un número entero damos por hecho que la ecuación diofántica se puede
resolver. Así, una solución sería x = 2 e y = 1. Aunque el proceso que acabamos de explicar no es
válido para conseguir una solución a nuestro problema, es un dato que tenemos que tener en cuenta,
ya que, aplicado a nuestro problema las ecuaciones que obtengamos siempre van a tener solución,
debido a lo siguiente:
7Cx + Rx = x
x – 7Cx = Rx
1x – 7y = 8
Aplicando el criterio anterior: c/ MCD (a, b) = 8/ MCD (1, 7) = 8/1 = 8;
Por lo tanto, al ser siempre el MCD = 1 en las ecuaciones diofánticas que estamos
manejando, podemos concluir que van a tener solución, ya que, al dividir c entre 1, el resultado es
exacto.
Ejemplos de ecuaciones diofánticas con soluciones:
3x + 14y = 20
Una de las soluciones es:
x = 2; y = 1
Aparte de esta solución existen infinitas. Por ejemplo, otra solución puede ser:
x = -12; y = 4
Otro ejemplo:
13x – y = -2
Una de las soluciones es:
x = 1; y = 15;
Aparte de esta solución podemos aportar otra:
x = 0; y = 2;
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
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Otra forma de averiguar las soluciones es de forma gráfica, con un programa de geometría
en el cual se puedan representar funciones. En nuestro caso hemos utilizado un programa llamado
Geogebra, de Markus Hohenwarter. Para ello representamos la recta que obtenemos a partir de la
ecuación diofántica:
Como se puede observar, la recta coincide con la cuadrícula en todas las soluciones de X e
Y enteras. En este caso, en el que la ecuación es 3x + 14y = 20; entre los infinitos valores existentes
podemos observar en la gráfica los siguientes:
Punto A: x = 2; y = -1.
Punto B: x = 16; y = 2.
Punto C: x = -12; y = -4.
Al observar que esta forma no era la más, decidimos dejarlo y buscar otra forma. De este
modo nuestro profesor nos habló del algoritmo de Euclides.
3.2 Solucionando ecuaciones diofánticas
Nosotros nos informamos en Internet sobre ello y encontramos que podíamos encontrar la
solución correcta de la ecuación diofántica utilizando el algoritmo de Euclides. El algoritmo de
Euclides es un método eficaz para calcular el MCD entre dos números enteros.
El algoritmo consiste en varias divisiones enteras sucesivas. En la primera división, se toma
como dividendo el mayor de los números y como divisor el otro (se ahorra así un paso). Luego, el
divisor y el resto sirven respectivamente de dividendo y divisor de la siguiente división. El proceso
termina cuando se obtiene un resto nulo. El MCD es entonces el penúltimo resto del algoritmo.
Ejemplo:
42x + 32y = 2 (MCD (42, 32))
42 | 32
10 1
32 | 10
2 3
10 | 2 → MCD (42, 32)
0 5
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
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Este es un ejemplo que podemos aportar para explicar en qué consiste el algoritmo de
Euclides. Para encontrar las soluciones de X e Y se nos ocurrió que podíamos utilizar las dos
primeras divisiones realizadas usando la prueba de la división:
Así:
42 | 32
10
→
42 = 32·1 + 10
1
Para ponerlas en común decidimos sumarlas y operar con
ellas hasta conseguir una estructura similar a la ecuación
original: 42x + 32y = 2.
42 = 32·1 + 10
32 | 10 → 32 = 10·3 + 2
2 3
+ 32 = 10·3 + 2
El resultado que tenemos que conseguir es:
42_ + 32_ = 2 siendo los subrayados los
resultados de X e Y.
Para conseguir este resultado seguimos el siguiente procedimiento:
1º.- En la suma citada anteriormente, los únicos números que no aparecen en la ecuación
original son 10 y 10·3. Entonces para eliminarlos al realizar la suma podemos efectuar esta
operación:
-3 (42 = 32·1 + 10)
+
32 = 10·3 + 2
→ 42· (-3) = 32· (-3) + 10· (-3) → 42· (-3) + 32· 3 = 10· (-3)
+
32 = 10·3 + 2
+
32·1 = 10·3 + 2
De esta manera, el 10 del primer sumando queda multiplicado por -3; entonces al sumar
10· (-3) + 10·3 = 10·0 = 0; por lo tanto hemos conseguido el objetivo de eliminar los sumandos que
en la ecuación original no aparecían, quedando como resultado:
42· (-3) + 32· 3 = 10· (-3)
+
32·1 = 10·3 + 2
42· (-3) + 32·4 = 2
42x + 32y = 2
→
Así conseguimos que el resultado de la suma tenga una
estructura similar a la ecuación diofántica original siendo X e
Y valores ya conocidos.
Vimos que con esta técnica tardábamos demasiado en encontrar los resultados de X e Y y
que además no tenían porqué ser el dividendo y el cociente, respectivamente, de nuestra división.
Antes de darnos cuenta de que esta técnica no servía para averiguar las soluciones, la
aplicamos a nuestro problema sobre los divisores 7, 11 y 13:
x |11
5 z
x|7
2 y
x | 13
9 w
→ x = 2 + 7y.
x – 11z = 5 → x = 5 + 11z.
x – 13w = 9 → x = 9 + 13w.
x – 7y = 2
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
8
Para realizar lo siguiente vamos a agrupar las distintas ecuaciones en tres grupos:
1º.- 7 y 11.
2º.- 7 y 13.
3º.- 11 y 13.
1º.- Los números 7 y 11, igualaremos sus ecuaciones hasta conseguir una sola, después
operaremos con esa ecuación de la misma manera que operamos con el ejemplo explicado con
anterioridad.
x = 7y + 2
→
7y + 2 = 11z + 5
→
7y – 11z = 3
x = 11z + 5
11 | 7
4 1
7|4
3 1
→ 11 – 7·1 = 4.→ 11=7·1 + 1
→
7 – 4·1 = 3.
11 = 7·1 + 4
+ 7 = 4·1 + 3
7_+ 11_ = 3
→ 7 = 4·1 + 3
En los sumandos el único número que aparece que no está en la
ecuación que debemos conseguir es el 4, por tanto debemos tratar de
eliminarlo. Para ello realizamos lo siguiente:
Como los cuatros de ambos sumandos están multiplicados por 1, lo único tenemos que hacer
es multiplicar uno de ellos por -1; de esta manera, al sumar 4·1+ 4· (-1) el resultado es 0, alcanzando
así nuestro objetivo:
-1 (11 = 7·1 + 4)
+ 7 = 4·1 + 3
7_+ 11_ = 3
→
11·(-1) = 7·(-1) + 4·(-1)
+ 7 = 4·1 + 3
7_+ 11_ = 3
→ 7·1 - 11·1= 4·(-1)
+ 7 = 4·1 + 3
7·2 – 11·1= 3
Así obtenemos que los cocientes obtenidos de dividir x entre 7 y 11 son:
y (cociente de 7) = 2 ; z (cociente de 11) = 1
Según esto, al sustituir y y z en la ecuación inicial por los cocientes correspondientes,
obtenemos el valor de x:
x = 7y + 2
→ x = 7·2 + 2 = 16.
x = 11z + 5
→ x = 11·1 + 5 = 16.
2º.- Ahora operaremos con los números 7 y 13 de la misma manera que hemos operado
antes.
x = 7y + 2
→
7y + 2 = 9 + 13w
→ 7y – 13w = 7
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
9
x = 9 + 13w.
13 | 7
6 1
7|6
1 1
→ 13 – 7·1 = 6.→ 13=7·1 + 6.
→
7 – 6·1 = 1.
13 = 7·1 + 6
+ 7 = 6·1 + 1
7_ -13_ = 7
→ 7 = 6·1 + 1.
En los sumandos el único número que aparece que no está en la
ecuación que debemos conseguir es el 6, por tanto debemos tratar de
eliminarlo. Para ello realizamos lo siguiente:
Como los seises de ambos sumandos están multiplicados por 1, lo único tenemos que hacer
es multiplicar uno de ellos por -1; de esta manera, al sumar 6·1+ 6· (-1) el resultado es 0, alcanzando
así nuestro objetivo:
-1 (13 = 7·1 + 6)
+ 7 = 6·1 + 1
7_ - 13_ = 7
→
13·(-1) = 7·(-1) + 6·(-1)
+ 7 = 6·1 + 1
7_ - 13_ = 7
→ 7·1 - 13·1= 6·(-1)
+ 7 = 6·1 + 1
7·2 – 13·1= 1
La siguiente operación hay que realizarla para que el resultado a la derecha del igual sea
siete y no uno
7·2 – 13·1= 1
→ 7(7·2 – 13·1= 1)
Por lo tanto el resultado final sería:
7·14 – 13·7 = 7
Así obtenemos que los cocientes obtenidos de dividir x entre 7 y 13 son:
y (cociente de 7) = 14 ; w (cociente de 13) = 7
Según esto, al sustituir y y w en la ecuación inicial por los cocientes correspondientes,
obtenemos el valor de x:
x = 7y + 2
→ x = 7·14 + 2 = 100.
x = 13w + 9
→ x = 13·7 + 9= 100.
Al hacer estos dos procedimientos, sin necesidad de hacer el tercero, observamos que el
resultado de la incógnita no coincidía. Por ello decidimos buscar otra manera de resolver nuestro
problema.
Al no encontrar ninguna por nosotros mismos recurrimos a nuestro profesor y él nos
recomendó otra forma para resolver el problema que aprovechaba las ecuaciones sacadas en los
sistemas anteriores. Él nos la explicó con un ejemplo más fácil, es decir, con números diferentes a
los nuestros y que luego por nuestra parte debíamos aplicar a los números 7, 11 y 13.
Dicha forma consistía en conseguir que las incógnitas (cocientes de las divisiones) de las
ecuaciones obtenidas desapareciesen, sustituyéndolas por un parámetro (u) que se puede sustituir
por cualquier número entero. De esta manera hayamos una ecuación con una sola incógnita, X
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
10
(dividendo de las operaciones), junto a los restos (valores conocidos).
Nuestro profesor nos lo explicó con un ejemplo que tuviera números más fáciles (2 y 5),
aplicando de esta manera el procedimiento de una forma clara.
Sustitución
x − 5C 5 = R5 ⎫ x = 5C 5 + R5 ⎫
⎬
⎬
x − 2C 2 = R2 ⎭ x − 2C 2 = R2 ⎭
u = 2C5 – C2
C2 = 2C5 - u
(5C5 + R5 ) − 2C 2 = R2
5C5 – 2C2 = R2 – R5
2 (2C5 – C2) + C5 = R2 – R5
2u + C5 = R2 – R5
C5 = R2 – R5 – 2u
Sustitución
C 2 = 2C 5 − u
⎫
⎬ C2 = 2 (R2 – R5 – 2u) – u
C 5 = R2 − R5 − 2u ⎭
C2 = 2R2 – 2R5 – 4u – u
C2 = 2R2 – 2R5 – 5u
Sustituimos C2 y C5 en las ecuaciones originales:
x = 5C5 + R5
x = 2C2 + R2
→ x = 5 (R – R – 2u) + R → x = 5R – 5R -10u + R → x = 5R – 4R -10u
→ x = 2 (2R – 2R – 5u) +R → x = 4R – 4R -10u + R → x = 5R – 4R -10u
2
5
2
5
5
2
2
5
2
5
5
2
2
5
2
5
Podemos observar que x en ambas ecuaciones tiene la misma solución.
3.3 Comprobando la solución en casos más sencillos
Ahora vamos a mostrar un ejemplo para comprobar que con la fórmula obtenemos la
solución correcta:
Como dijimos anteriormente las series de restos no se repiten hasta que el dividendo es el
m.c.m. de los divisores (en este caso dos y cinco), por tanto, en el siguiente ejemplo vamos a
utilizar como dividendo un número comprendido entre el m.c.m(2,5)=10.
7|2
1 3
7|5
2 1
Aplicamos la fórmula: x = 5R2 – 4R5 – 10u (siendo u un número
cualquiera con el que obtengamos como solución un número
comprendido entre 0 y el m.c.m. de los divisores)
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula: R2 = 1; R5 = 2
x = 5·1 – 4·2 – 10u
→ x = 5 – 8 – 10·0
u = 0 (vamos sustituyendo u por
x = -3 NO VÁLIDO números distintos hasta que hallemos un
número comprendido entre 0 y el m.c.m
de 2 y 5).
x = 5 – 8 – 10· (-1) u = -1 en este caso sólo obtenemos
x = 7 VÁLIDO
un valor válido si u = -1, ya que con
otros valores de u ocurre lo siguiente:
x = 5 – 8 – 10·1
u=1
x = -13 NO VÁLIDO
x = 5 – 8 – 10· (-2) u = -2
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
11
x = 17 NO VÁLIDO
Así, cuanto más se aleje el valor de u del valor con el que obtenemos un resultado válido de
x, más se alejará el valor obtenido de x de su valor correcto.
3.4 Volviendo a nuestro problema
Al observar que el resultado obtenido era el correcto aplicamos ese ejemplo a nuestro caso
de tal manera, que tuvimos que hacer tres sistemas relacionando uno por uno los tres términos, es
decir, haciendo un sistema con 7 y 11, otro con 11 y 13 y un último con 7 y 13. Por lo tanto, nos
quedó algo como esto:
7 y 11
Sustitución
x − 7C 7 = R 7 ⎫
⎬
x − 11C11 = R11 ⎭
x = 7C 7 + R 7 ⎫
⎬ (7C 7 + R7 ) − 11C11 = R11
x − 11C11 = R11 ⎭
7C7 – 11C11 = R11 – R7
2 (7C7 – 11C11 = R11 – R7)
14C7 – 22C11 = 2R11 – 2R7
→ Extraemos un C
14C7 – 21C11 – C11 = 2R11 – 2R7
7(2C7 – 3C11) – C11 = 2R11 – 2R7
u = 2C7 – 3C11
u + 3C11
C7 =
2
11
para
despejarlo más tarde
7u – C11 = 2R11 – 2R7
C11 = 7u -2R11 + 2R7
u + 3(7u − 2 R11 + 2 R7 )
C7 =
2
→ Sustituimos C
11
por su
valor en la ecuación anterior.
C7 =
22u − 6 R11 + 6 R7
= 11u − 3R11 + 3R7
2
Sustituimos los valores de C7 y C11 en la ecuación resultante del sistema anterior:
→ x = 7(11u – 3R + 3R ) + R → x = 77u – 21R + 22R
+ R → x = 11(7u – 2R + 2R ) + R → x = 77u – 21R + 22R
x = 7C7 + R7
x = 11C11
11
11
7
11
7
7
11
11
7
11
7
Comprobación:
El dividendo del ejemplo que usemos debe encontrarse entre los números 0 y 77, ya que, 77
es el m.c.m. de 7 y 11 (los divisores).
23 | 7
2 3
23 | 11
1 2
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula: R7 = 2; R11 = 1
x =77u – 21·1 + 22·2
→ x = 77·0 - 21 + 44
u=0
x = 23 VÁLIDO
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
12
11 y 13
x − 13C13 = R13 ⎫
⎬
x − 11C11 = R11 ⎭
x = 13C13 + R13 ⎫
⎬ (13C13 + R13 ) − 11C11 = R11
x − 11C11 = R11 ⎭
13C13 – 11C11 = R11 – R13
6 (13C13 – 11C11 = R11 – R13)
78C13 – 66C11 = 6R11 – 6R13
→ Extraemos un C
u = 7C13 – 6C11
7C − u
C11 = 13
6
77C13 – 66C11 + C13 = 6R11 – 6R13
11(7C13 – 6C11) + C13 = 6R11 – 6R13
13
para
despejarlo más tarde
11u + C13 = 6R11 – 6R13
C13 = 6R11 – 6R13 – 11u
C11 =
7(6 R11 − 6 R13 − 11u )
6
→ Sustituimos C
13
por su
valor en la ecuación anterior.
C11 =
42 R11 − 42 R13 − 78u
= 7 R11 − 7 R13 − 13u
6
Sustituimos los valores de C13 y C11 en la ecuación resultante del sistema anterior:
x = 13C13 + R13
x = 11C11 + R11
→ x = 13(6R
→ x = 11(7R
11
– 6R13 – 11u) + R13
11
– 7R13 – 13u) + R11
→ x = 78R
→ x = 78R
11
- 77R13 – 143u
11
- 77R13 – 143u
Comprobación:
El dividendo del ejemplo que usemos debe encontrarse entre los números 0 y 143, ya que,
143 es el m.c.m. de 13 y 11 (los divisores).
23 | 13
10 1
23 | 11
1 2
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula: R13 = 10; R11 = 1
x = 78·1 – 77·10 – 143u
→ x = 78 - 770 – 143·0
x = -692
x = 78·1 – 77·10 – 143u
→ x = 78 - 770 – 143·1
x = -835
x = 78·1 – 77·10 – 143u
x = 78·1 – 77·10 – 143u
u = -2
NO VÁLIDO
→ x = 78 - 770 – 143· (-5)
x = 23
u=1
NO VÁLIDO
→ x = 78 - 770 – 143· (-2)
x = -406
u=0
NO VÁLIDO
u = -5
VÁLIDO
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
13
7 y 13
x − 7C 7 = R 7 ⎫
⎬
x − 13C13 = R13 ⎭
x = 7C 7 + R7 ⎫
⎬ (7C 7 + R7 ) − 13C13 = R13
x − 13C13 = R13 ⎭
7C7 – 13C13 = R13 – R7
-C13 + (7C7 – 13C13 = R7 – R13)
7C7 – 14C13 = R7 – R13 – C13
u = C7 – 2C13
7(C7 – 2C13) = R7 – R13 – C13
7u + C13 = R13 – R7
C13 = R13 – R7 – 7u
C 7 = u + 2C13
→ Extraemos un C
13
despejarlo más tarde
→ Sustituimos C
C 7 = u + 2( R13 − R7 − 7u )
para
7
por su
valor en la ecuación anterior.
C 7 = u + 2 R13 − 2 R7 − 14u = 2 R13 − 2 R7 − 13u
Sustituimos los valores de C13 y C7 en la ecuación resultante del sistema anterior:
→ x = 13(R – R – 7u) + R → x = 14R - 13R – 91u
→ x = 7(2R – 2R – 13u) + R → x = 14R - 13R – 91u
x = 13C13 + R13
x = 7C7 + R7
13
13
7
13
7
7
13
13
7
7
Comprobación:
El dividendo del ejemplo que usemos debe encontrarse entre los números 0 y 91, ya que, 91
es el m.c.m. de 13 y 7 (los divisores).
23 | 13
10 1
23 | 7
2 3
Sustituimos los datos conocidos en la fórmula: R13 = 10; R7 = 2
x = 14·10 – 13·2 – 91u
→ x = 140 - 26 – 91·0
x = 114
x = 14·10 – 13·2 – 91u
NO VÁLIDO
→ x =140 - 26 – 91·1
x = 23
u=0
u=1
VÁLIDO
Una vez teníamos los resultados de x de forma independiente, intentamos unirlos para dar
con la solución al problema que se nos plantea. A continuación vamos a mostrar los procesos
seguidos en la búsqueda de la fórmula final:
Primero se nos ocurrió que quizás podríamos encontrar una solución uniendo todos los
resultados de x obtenidos en una sola ecuación, para después despejar x.
Para ello pensamos en unirlos mediante la suma de las x obteniendo al final del proceso una
sola ecuación con una incógnita, los tres parámetros y los tres restos.
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
14
A continuación, explicaremos este proceso que más tarde descubriríamos que debido a que
los parámetros no eran divisibles entre tres (número de veces que está presente x) y que además
eran valores distintos, no era válido, pues el resultado de x podía no ser exacto, y nosotros
buscamos valores exactos.
x=
14R13 - 13R7 – 91u
x = 78R11 - 77R13
– 143z
+ x = – 21R11
+ 22R7 +77w
3x = 57R11 – 63R13 + 9R7 – 91u – 143z + 77w
− 91u − 143 z + 77 w
x = 19R11 – 21R13 + 3R7 +
Debido a esta situación el valor de x
3
podría no ser entero haciendo también que el proceso de obtención de los parámetros adecuados se
prolongara demasiado.
→
Por lo tanto, nos pusimos a pensar y recurrimos a las sucesiones aritméticas, comenzando a
investigar sobre cómo podrían estar relacionadas con nuestro problema. Antes de nada, decir, que
nos acordamos de ellas debido a que los resultados obtenidos individualmente de cada una de las
fórmulas anteriores eran los primeros de las sucesiones de dividendos que tienen en común los dos
restos con los que se ha efectuado la operación. Por ejemplo:
Resultados de x:
x = 40;
40
131
222
313
404
495
586
x = 47;
x = 14.
47
124
201
278
355
509
586
14
157
300
443
586
Como podemos observar llega un momento en el que sucesiones coinciden en un número
que ha de estar entre 1 y 1001 (m.c.m de 7, 11 y 13). Intentamos establecer una relación entre las
tres sucesiones para encontrar el número pedido, en el que convergen las tres.
4. Resultados
Al ver que era un proceso fiable, intentamos conseguir una fórmula con la que pudiéramos
calcular los términos de la sucesión con rapidez hasta encontrar el término que buscábamos.
Ya terminado, nuestra solución, junto con las fórmulas que permiten llegar hasta ésta, sería:
Para calcular los términos de la sucesión de los dividendos cuyos divisores son 7, 11 y 13,
las fórmulas serían:
7 y 11:
Si = x1 + 77i
11 y 13:
Sj = x2 + 143j
7 y 13:
Sk = x3 + 91k
*Siendo S el número buscado, x
cada una de las ecuaciones
anteriores correspondientes y
siendo i, j y k variables que van
aumentando una unidad hasta
hallar los términos coincidentes.
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
15
Para demostrarlo aportamos este ejemplo:
x1 | 7
1 C7
x2 | 11
5 C11
→ x = 14·9 – 13·1 – 91·1 → 22.
= 78R - 77R – 143u → x = 78·5 – 77·9 – 143· (-3) → 126.
= 77u – 21R + 22R → x = 77·2 – 21·5 + 22·1 → 71.
x1 = 14R13 - 13R7 – 91u
x2
x3
x3 | 13
9 C13
11
1
13
11
2
7
3
7 y 13: Si = x1 + 91i
11 y 13:
→ 22
S = 22 + 91·1 → 113
S = 22 + 91·2 → 204
S = 22 + 91·3 → 295
S = 22 + 91·4 → 386
S = 22 + 91·5 → 477
S = 22 + 91·6 → 568
S = 22 + 91·7 → 659
S = 22 + 91·8 → 750
S = 22 + 91·9 → 841
S = 22 + 91·10 → 932
→ 126
S = 126 + 143·1 → 269
S = 126 + 143·2 → 412
S = 126 + 143·3 → 555
S = 126 + 143·4 → 698
S = 126 + 143·5 → 841
S = 126 + 143·6 → 984
Si = 22 + 91·0
i
i
i
i
i
i
Sj = x2 + 143j
Sj = 126 + 143·0
7 y 11: Sk = x3 + 77k
→ 77
= 71 + 77·1 → 148
= 71 + 77·2 → 225
= 71 + 77·3 → 302
= 71 + 77·4 → 379
= 71 + 77·5 → 456
= 71 + 77·6 → 533
= 71 + 77·7 → 610
= 71 + 77·8 → 687
= 71 + 77·9 → 764
= 71 + 77·11 → 841
= 71 + 77·12 → 918
= 71 + 77·13 → 995
Sk = 71 + 77·0
j
Sk
j
Sk
j
Sk
j
Sk
j
Sk
j
Sk
i
Sk
i
Sk
i
Sk
i
Sk
Sk
Sk
COMPROBACIÓN:
841 | 7
1 120
841 | 11
5 76
120·7 + 1 = 841
76·11 + 5 = 841
841 | 13
9 64
64·13 + 9 = 841
Por lo tanto, llegamos a obtener un resultado rápido y sencillo con el que podríamos de una
manera original resolver nuestro problema, haciendo que parezca un juego de magia.
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
16
5. Conclusiones
1ª. – Hemos aprendido a valorar la división entera y el significado del resto de una división.
(el desfase de un ciclo).
2ª. – Por igual, valoramos el obtener información de datos que aparentemente no tienen
utilidad.
3ª. – El método científico, que inicialmente nos han enseñado para Ciencias Aplicadas
(Física, Química, Biología, etc.) se puede aplicar también en Matemáticas. Así como la
experimentación, sobre la que hemos aprendido a hacer conjeturas, a veces acertadas y a veces
erróneas.
4ª. – Existe una solución parcial del problema, en la que si los restos difieren en uno de los
divisores la solución era el m.c.m de los divisores menos uno.
5ª. – La conclusión más importante es que es posible solucionar este problema utilizando las
tres series de términos que deben coincidir en el dividendo desconocido.
6. Bibliografía
http://www.arrakis.es/~mcj/diofanto.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto
http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/divisibilidad/mcd_mcm.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides
http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/Aritmeticamodular/divisibilidad.html
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/MateMagia/Chino/chino.html
“Dame tres restos y te diré el número” – Los magos de las matemáticas
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