Lógica: Lenguaje formal

III. LÓGICA: LENGUAJE FORMAL
3.1 _ Lenguaje natural, lenguaje artificial y lenguaje formal
El lenguaje natural son las distintas lenguas utilizadas por las distintas comunidades de hablantes en sus
procesos de comunicación. Se designan así porque son productos elaborados por los seres humanos a lo largo
de un gran período histórico y porque después se le añadirán nuevas formas, que las transforman en lenguajes
artificiales. En el lenguaje natural cada forma de nombrar las cosas es convencional (está establecido de una
manera determinada). Si la lengua fuera algo natural en el ser humano, todos tendríamos el mismo lenguaje.
Nos servimos del lenguaje para las cosas más diversas: expresar deseos, preguntar, suplicar... También lo
utilizamos para hacer afirmaciones sobre lo que ocurre o para describir objetos y situaciones. Es este último
uso el único que interesa a la ciencia, ya que se expone un conocimiento de algo (uso referencial).
El lenguaje natural es el vehículo de comunicación con el que conseguimos una enorme expresividad y
riqueza comunicativa. A la hora de expresar conocimientos tiene deficiencias, ya que pueden darse las
paradojas. Es ambiguo, no es exacto. Es muy poco operativo, pero es el sistema con mayor capacidad
expresiva, que nos permite conocer más cosas.
Un lenguaje artificial surge para resolver los problemas que plantea el lenguaje natural. Es el creado de una
manera absolutamente consciente y voluntaria, a diferencia de la espontaneidad y lentitud que caracteriza a los
lenguajes naturales. Han sido creados para responder a necesidades concretas y determinadas:
• Necesidad de conocimiento: por ejemplo los lenguajes técnicos, que nos permiten concretar y que no
haya ambigüedades.
• Necesidad de comunicación rápida: por ejemplo el código de circulación, que es intuitivo, se basa en
imágenes y es universal. Evita tener que traducir a diferentes lenguas.
• Necesidad de comunicación universal: por ejemplo el Esperanto (lenguaje creado hace un siglo
aproximadamente, pretendiendo que fuera universal para así evitar problemas de entendimiento).
• Necesidad de comunicación a larga distancia: por ejemplo el Código Morse.
• Necesidad de operatividad rápida: por ejemplo el lenguaje matemático, al que recurrimos para
encontrar una respuesta más fácilmente. Nos olvidamos del lenguaje natural y utilizamos otros signos,
que se organizan de acuerdo a otras reglas.
El lenguaje formal es un tipo de lenguaje artificial. Realmente no debería considerarse un lenguaje, ya que es
más un cálculo, una estructura, un sistema de relaciones. Para ello, se utilizan unos signos peculiares y unas
reglas que modifican la relación entre ellos.
3.2 _ El cálculo
Un cálculo es un conjunto de signos sin contenido y se compone de:
a) Un conjunto de elementos primitivos (símbolos elementales): constituyen el vocabulario. Ej.: en el álgebra
x, y, z. Su vocabulario es mucho más reducido que el lenguaje natural y carece de significado.
b) Un conjunto de operadores (símbolos de enlace): relacionan entre sí los símbolos que forman el
vocabulario. Ej.: x + y = 20 (+ y = son los operadores)
c) Reglas de formación de fórmulas: Una fórmula es una frase bien construida. Estas reglas nos dicen qué
frases están bien construidas y cuáles no.
1
d) Reglas de transformación de fórmulas: Nos permiten pasar de una fórmula a otra. Ej.: x + y = 20 x = 20 − y
La característica esencial del cálculo es que no hace referencia al mundo exterior (es un lenguaje vacío de
contenido). Una vez organizado el cálculo, le damos un contenido a sus símbolos.
3.3 _ La lógica
La lógica es un lenguaje formal. Es un conjunto de cálculos, no pretende decirnos nada del mundo real.
Las leyes del razonamiento correcto son el objeto de la lógica. Estudian cuándo nuestros razonamientos son
correctos, no si son verdaderos o falsos.
Razonamiento proceso mental por el que, de una proposición o varias pasamos a otra, es decir: establecida
una proposición en la que se expresa un conocimiento pasamos a otro conocimiento, sin que intervenga para
nada la experiencia. Dadas las circunstancias podemos saber lo que va a ocurrir sin utilizar para nada la
experiencia.
Todos razonamos continuamente, aunque no siempre correctamente.
Ejemplo: si te saltas un semáforo en rojo 30 € de multa
Te lo has saltado CONCLUSIÓN te ponen la multa
Ejemplo: si te saltas un semáforo en rojo 30 € de multa
Te han puesto una multa CONCLUSIÓN te has saltado un semáforo.
Como podemos ver, la primera es correcta, mientras que la segunda no.
La lógica tiene 3 cálculos:
• La lógica proposicional
• La lógica de clases
• La lógica de predicados
La lógica proposicional
Estudia los razonamientos tomando las proposiciones sin analizar, las toma como una unidad.
Proposición oración representativa o referencial, es decir, oración en que se afirma o se niega algo de un
sujeto y, por lo tanto, puede ser verdadera o falsa.
Verdadera (V − 1)
Cualquier proposición sólo puede tener dos valores
Falsa (F − 0)
Las proposiciones pueden ser atómicas o moleculares:
• Atómica: proposición simple que no puede descomponerse
• Molecular: proposición compuesta que puede descomponerse
2
Ejemplo: en la oración La Tierra es un planeta, encontramos un sujeto y un predicado. Pero también podemos
analizar la oración como un todo, sin analizar, por lo que la representaríamos con un símbolo.
La Tierra es un planeta y Saturno otro
pq
Elementos de la lógica proposicional:
• Se utilizan letras minúsculas del abecedario a partir de la p, para simbolizar cada proposición simple.
Estas letras se denominan variables proposicionales.
• Los símbolos de enlace, que nos permiten unir las proposiciones, se llaman conectores o conectivas.
Nos permiten formar proposiciones compuestas, uniendo proposiciones simples. Hay 5 tipos de
conectores:
• Negador: Realmente no es una conectiva, ya que no une proposiciones simples para formar proposiciones
compuestas.
Se simboliza con un guión delante de la proposición o arriba o con un ángulo recto. Se lee no.
Convierte una proposición verdadera en falsa y viceversa.
−p;p;p
• Conjunción: Es una conectiva que da lugar a una proposición compleja, que es verdadera sólo en el caso en
el que todas las proposiciones que la integren sean verdaderas.
Se simboliza con y se lee y. ( p q )
• Disyunción: Hay 2 tipos:
♦ Disyunción inclusiva: uno de los elementos no niega al otro. Puede ser uno, otro o los 2 a la
vez.
♦ Disyunción exclusiva: uno de los elementos excluye al otro. Es uno u otro, pero nunca los 2 a
la vez.
En lógica sólo se utiliza la inclusiva, que es falsa sólo cuando todas las proposiciones son
falsas.
Se simboliza con y se lee o. ( p q )
♦ Condicional: Es una conectiva que forma una proposición compleja que sólo es falsa en el
caso de que sea verdad la condición y falso lo condicionado.
Se simboliza con y se lee si p, entonces q. ( p q )
♦ Bicondicional: Es una conectiva que forma una proposición compleja que sólo es verdadera
cuando las 2 variables que la componen son o las 2 verdaderas o las 2 falsas.
Se simboliza con y se lee sí y sólo si p, entonces q
(pq)
3
¿Cuántos valores de verdad tiene una proposición?
Será 2 elevado al número de variables que tenga esa proposición.
Ejemplo:
Todo razonamiento es una fórmula condicional, en la que el antecedente está formado por la
conjunción de las premisas y el consecuente por la conclusión.
Premisa: en un razonamiento, son las proposiciones de las que partimos.
Conclusión: proposición a la que llegamos.
Con los resultados de verdad de una condicional, podemos encontrar 3 tipos de resultados:
⋅ CONTRADICCIÓN: Fórmula siempre falsa con independencia de los
valores de verdad que correspondan a las variables.
⋅ TAUTOLOGÍA: Fórmula siempre verdadera con independencia de los
valores de verdad que correspondan a las variables.
⋅ INDETERMINACIÓN: Fórmula verdadera o falsa en función de los valores
de verdad que correspondan a las variables.
Si queremos saber la validez de una razonamiento podemos hacerlo mediante las tablas de
verdad. Siempre que las premisas y la conclusión sean verdaderas, entonces el razonamiento
es válido.
REGLAS DE TRANSFORMACIÓN: Me permiten pasar de una fórmula correcta a otra y
son:
⋅ Doble negación (DN)
⋅ Conjunción:
* Simplificación (Si)
* Conjunción (Con)
⋅ Disyunción:
* Silogismo disyuntivo (SD)
* Adición (Ad)
⋅ Condicional:
* Modo ponens (MP)
* Modo tollens (MT)
* Transitividad (Tr)
⋅ Bicondicional:
− Dilema (Di)
− Leyes de Morgan (DM)
− Conmutativa (Co)
4
− Asociativa (As)
− Distributiva (Dis)
La lógica de clases
Analiza las proposiciones sin analizar (suj + pred)
Ejemplo:
La Tierra es un planeta X A
SUJ PRED X pertenece a la clase A
(X) (A)
Clase: Conjunto común de individuos o cosas que tienen una característica común.
En la lógica de clases, cada una de las partes de una proposición se simboliza con una letra
del abecedario en mayúsculas. Ejemplo:
Los animales son seres vivos
AB
− Juan es asturiano (Relación de pertenencia)
XA
− Juan no es asturiano.
XA
− Los profesores son aburridos
AB
− Los profesores no son aburridos
AB
− Algún profesor es aburrido
En función del SUJETO, se distinguen 3 tipos de proposiciones:
◊ Singular: un solo individuo de esa clase.
◊ Particular: parte de los individuos de esa clase.
◊ Universal: todos los individuos de esa clase.
En lógica no se contemplan las proposiciones singulares, porque el sujeto es toda la clase.
El predicado es universal en toda proposición negativa:
5
y es particular si es una proposición afirmativa:
◊ Inclusión
◊ No inclusión
◊ Igualdad
◊ No igualdad
◊ Unión
⋅ Suma lógica:
Si A y B son dos clases, A B es una nueva clase formada por todos los individuos que
pertenecen a la clase A, a la clase B o a ambas.
Ejemplo: en un café hay 7 jugadores de mus y 5 de julepe. Hay 2 que juegan al mus y al
julepe.
AB
7 5 5 + 3 + 2 = 10
22
◊ Producto lógico o intersección:
Si A y B son dos clases, A B es una nueva clase formada por todos los individuos que
pertenecen a ambas.
◊ Diferencia: −
Si A y B son dos clases, A − B será una nueva clase de los individuos que pertenecen a la
clase A y no de B.
◊ Complemento:
Si A es una clase, será una nueva clase que no pertenece a A.
◊ Clase universal
◊ Clase vacía o nula
Hemos dicho que por la extensión del sujeto, las proposiciones pueden ser particulares o
universales. Ejemplos:
Part. Algunos hombres son feos
Univ. El hombre es un animal
Por la cualidad, las proposiciones pueden ser afirmativas o negativas. Ejemplos:
Afirm. Algunos hombres son feos
Negat. Algunos hombres no son feos
Por tanto:
Si una proposición es UNIVERSAL y AFIRMATIVA, se representa con A
Si una proposición es UNIVERSAL y NEGATIVA, se representa con E
6
Si una proposición es PARTICULAR y AFIRMATIVA, se representa con I
Si una proposición es PARTICULAR y NEGATIVA, se representa con O
Ejemplos:
− Todos los elefantes tienen trompa A
− Ningún elefante tiene trompa E
− Algunos elefantes tienen trompa I
− Algunos elefantes no tienen trompa O
Pred. / Suj. A E Pred. / Suj.
part. univ. univ. / univ.
+−
part. / part. I O univ. / part.
SILOGISMO:
Es un razonamiento que consta sólo de dos premisas y una conclusión. En ellas se combinan
tres términos. Ejemplo:
Todos los monos son sentimentales A
Algunos mamíferos son monos I
Algunos mamíferos son sentimentales I
El término mayor (T o Pr) es el predicado de la conclusión.
El término menor (t o S) es el sujeto de la conclusión.
El término medio (M) hace de enlace.
REGLAS DE LOS SILOGISMOS:
mayor
◊ Sólo puede haber 3 términos: menor
medio
◊ Reglas de extensión de los términos:
⋅ El término medio ha de ser universal en, al menos, una premisa.
⋅ El término medio no puede aparecer en la conclusión.
⋅ Los términos mayor y menor no pueden tener más extensión en la conclusión
que en las premisas.
◊ Reglas de las premisas:
7
⋅ De dos premisas afirmativas, la conclusión siempre será afirmativa.
⋅ De dos premisas, una afirmativa y otra negativa, la conclusión será negativa.
⋅ De dos premisas negativas, no hay ninguna conclusión.
⋅ De dos premisas, una universal y otra particular, la conclusión será particular.
⋅ De dos premisas particulares, no hay ninguna conclusión.
⋅
8