Comentario final: Una noción de reducción más general

Comentario final: Una noción de reducción más general
Los problemas en las transparencias anteriores son completos bajo
la noción de reducción ≤pm
!
IIC3810
–
Una propiedad fundamental de esta noción de reducción: si
L1 ≤pm L2 y L2 ∈ PTIME, entonces L1 ∈ PTIME
La Jerarquı́a Polinomial
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Comentario final: Una noción de reducción más general
Los problemas en las transparencias anteriores son completos bajo
la noción de reducción ≤pm
!
Una propiedad fundamental de esta noción de reducción: si
L1 ≤pm L2 y L2 ∈ PTIME, entonces L1 ∈ PTIME
Podemos generalizar ≤pm manteniendo esta propiedad fundamental:
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Comentario final: Una noción de reducción más general
Los problemas en las transparencias anteriores son completos bajo
la noción de reducción ≤pm
!
Una propiedad fundamental de esta noción de reducción: si
L1 ≤pm L2 y L2 ∈ PTIME, entonces L1 ∈ PTIME
Podemos generalizar ≤pm manteniendo esta propiedad fundamental:
L1 ≤pT L2 si y sólo si L1 ∈ PTIMEL2
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Comentario final: Una noción de reducción más general
≤pT es llamada reducción de Turing de tiempo polinomial
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Comentario final: Una noción de reducción más general
≤pT es llamada reducción de Turing de tiempo polinomial
Teorema
IIC3810
–
!
Si L1 ≤pm L2 , entonces L1 ≤pT L2
!
Existen lenguajes L1 y L2 tales que L1 ≤pT L2 y L1 ̸≤pm L2
La Jerarquı́a Polinomial
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Demostración del teorema
La primera parte del teorema es fácil de demostrar, sólo vamos a
demostrar la segunda parte.
!
IIC3810
–
Vamos a considerar los lenguajes sobre el alfabeto {0, 1}
La Jerarquı́a Polinomial
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Demostración del teorema
La primera parte del teorema es fácil de demostrar, sólo vamos a
demostrar la segunda parte.
!
Vamos a considerar los lenguajes sobre el alfabeto {0, 1}
Recuerde la definición de las siguientes clases de complejidad:
R
RE
IIC3810
–
= {L ⊆ {0, 1}∗ | L es un lenguaje decidible}
= {L ⊆ {0, 1}∗ | L es un lenguaje recursivamente enumerable}
La Jerarquı́a Polinomial
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Las clases R, RE y co-RE
Problemas de decisión
co-RE
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
R = RE ∩ co-RE
RE
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Un lenguaje que separa RE de co-RE
Recuerde la definición del problema de la parada de la máquina de
Turing:
U = {(M, w ) | M es una MT, w ∈ {0, 1}∗ y
M se detiene con entrada w }
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Un lenguaje que separa RE de co-RE
Recuerde la definición del problema de la parada de la máquina de
Turing:
U = {(M, w ) | M es una MT, w ∈ {0, 1}∗ y
M se detiene con entrada w }
Sabemos que U ̸∈ R y U ∈ RE
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
23 / 25
Un lenguaje que separa RE de co-RE
Recuerde la definición del problema de la parada de la máquina de
Turing:
U = {(M, w ) | M es una MT, w ∈ {0, 1}∗ y
M se detiene con entrada w }
Sabemos que U ̸∈ R y U ∈ RE
!
IIC3810
–
Concluimos que U ̸∈ co-RE
La Jerarquı́a Polinomial
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Un lenguaje que separa RE de co-RE
Recuerde la definición del problema de la parada de la máquina de
Turing:
U = {(M, w ) | M es una MT, w ∈ {0, 1}∗ y
M se detiene con entrada w }
Sabemos que U ̸∈ R y U ∈ RE
IIC3810
–
!
Concluimos que U ̸∈ co-RE
!
Entonces tenemos que U ∈ co-RE y U ̸∈ RE
La Jerarquı́a Polinomial
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U y U en la figura
Problemas de decisión
U
co-RE
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
U
R = RE ∩ co-RE
RE
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Parte final de la demostración
Sabemos que si L ≤pm U, entonces L ∈ RE
!
IIC3810
–
¿Cómo se demuestra esto?
La Jerarquı́a Polinomial
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Parte final de la demostración
Sabemos que si L ≤pm U, entonces L ∈ RE
!
¿Cómo se demuestra esto?
Tenemos entonces que U ̸≤pm U
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Parte final de la demostración
Sabemos que si L ≤pm U, entonces L ∈ RE
!
¿Cómo se demuestra esto?
Tenemos entonces que U ̸≤pm U
Esto concluye la demostración puesto que U ≤pT U
IIC3810
–
La Jerarquı́a Polinomial
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Parte final de la demostración
Sabemos que si L ≤pm U, entonces L ∈ RE
!
¿Cómo se demuestra esto?
Tenemos entonces que U ̸≤pm U
Esto concluye la demostración puesto que U ≤pT U
!
IIC3810
–
De hecho, para cada lenguaje L se tiene que L ≤pT L
La Jerarquı́a Polinomial
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