Los caracteres simples son: En la representacion de las

Los caracteres simples son:
Χ1 = 81, 1, 1<; MatrixForm@Χ1 D
1
1
1
Χ2 = 81, 1, - 1<; MatrixForm@Χ2 D
1
1
-1
Χ3 = 82, - 1, 0<; MatrixForm@Χ3 D
2
-1
0
En la representacion de las permutaciones como matrices :
M@eD := 881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<; MatrixForm@M@eDD
1 0 0
0 1 0
0 0 1
M@aD := 880, 0, 1<, 81, 0, 0<, 80, 1, 0<<; MatrixForm@M@aDD
0 0 1
1 0 0
0 1 0
M@bD := 880, 1, 0<, 80, 0, 1<, 81, 0, 0<<; MatrixForm@M@bDD
0 1 0
0 0 1
1 0 0
M@ΑD := 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; MatrixForm@M@ΑDD
1 0 0
0 0 1
0 1 0
M@ΒD := 880, 0, 1<, 80, 1, 0<, 81, 0, 0<<; MatrixForm@M@ΒDD
0 0 1
0 1 0
1 0 0
M@ΓD := 880, 1, 0<, 81, 0, 0<, 80, 0, 1<<; MatrixForm@M@ΓDD
0 1 0
1 0 0
0 0 1
ΧM1 = Tr@M@eDD
3
ΧM2 = Tr@M@aDD
0
2
S3.nb
ΧM3 = Tr@M@ΑDD
1
ΧM = 83, 0, 1<; MatrixForm@ΧM D
3
0
1
La tabla de S3:
MatrixForm@Simplify@M@bD.M@aD - M@eDDD
0 0 0
0 0 0
0 0 0
MatrixForm@Simplify@M@bD.M@bD - M@aDDD
0 0 0
0 0 0
0 0 0
MatrixForm@Simplify@M@bD.M@ΑD - M@ΒDDD
0 0 0
0 0 0
0 0 0
MatrixForm@Simplify@M@aD.M@ΒD - M@ΑDDD
0 0 0
0 0 0
0 0 0
MatrixForm@Simplify@M@aD.M@ΓD - M@ΒDDD
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Los ordenes de las clases divididos por el orden del grupo (para tomar el producto de vectores de caracteres):
1
2
3
G := :: , 0, 0>, :0, , 0>, :0, 0, >>; MatrixForm@GD
6
6
6
1
6
0
0 0
1
3
0 0
0
1
2
Las veces que estan contenidas las represenetaciones irredicubles en la representacion considerada:
a1 = Χ1 .G.ΧM
1
S3.nb
a2 = Χ2 .G.ΧM
0
a3 = Χ3 .G.ΧM
1
Para la determinación de subespacios invariantes :
A = Eigenvectors @M@aDD
::- 1 +
J1 - ä
1
2
3 N,
1
2
J- 1 + ä
3 N, 1>, :- 1 +
MatrixForm@AD
-1 +
1
-1 +
1
J1 - ä
2
3 N
J1 + ä
2
J- 1 + ä
1
2
3 N
J- 1 - ä
1
2
1
3 N 1
3 N 1
1
1
AI = Inverse@AD;
MatrixForm@AID
3
ä - -
ä
3
2
ä
2
-
3
-
2
ä
3
2
1
3
ä
3
2
3
-
ä
3
3
3
ä - -
2
ä
2
-
3
3
3
2
1
3
3
3
3
3
1
1
1
3
3
3
MatrixForm@Simplify@AI.M@aD.ADD
1
2
ä Jä +
3 N
0
-
0
1
2
0
ä J- ä +
0
0
3 N 0
1
MatrixForm@Simplify@AI.M@bD.ADD
-
1
2
ä J- ä +
3 N
0
1
0
2
ä Jä +
0
0
0
3 N 0
1
MatrixForm@Simplify@AI.M@ΑD.ADD
-
0
1
2
ä Jä +
0
3 N
1
2
ä J- ä +
3 N 0
0
0
0
1
1
2
J1 + ä
3 N,
1
2
J- 1 - ä
3 N, 1>, 81, 1, 1<>
3
4
S3.nb
MatrixForm@Simplify@AI.M@ΒD.ADD
1
0
-
1
2
ä J- ä +
2
3 N
ä Jä +
0
3 N 0
0
0
0
1
MatrixForm@Simplify@AI.M@ΓD.ADD
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Por lo tanto, aparece una vez la representación trivial, y la representacion bidimensional puede leerse de las anteriores
como
1
2
D3@aD =
ä Jä +
3 N
0
-
0
1
2
ä Jä +
3 N
D3@bD =
1
2
2
2
ä J- ä +
ä J- ä +
1
2
ä J- ä +
2
2
ä Jä +
-
0
2
ä Jä +
1
2
ä Jä +
3 N
1
-
0
2
3 N
1
2
-
1
2
1
2
ä J- ä +
D3@ΓD = K
K
; MatrixForm@D3@bDD
3 N
ä J- ä +
3 N
; MatrixForm@D3@ΑDD
ä J- ä +
3 N
0
1
ä J- ä +
1
0
-
3 N
0
0
D3@ΒD =
ä Jä +
0
1
1
; MatrixForm@D3@aDD
0
1
3 N
0
D3@ΑD =
3 N
3 N
3 N
0
-
ä J- ä +
0
1
-
0
1
3 N
2
3 N
ä Jä +
2
ä Jä +
3 N
; MatrixForm@D3@ΒDD
0
3 N
0
0 1
O; MatrixForm@D3@ΓDD
1 0
0 1
O
1 0
En efecto, por ejemplo
MatrixForm@Simplify@D3@aD D3@bDDD
K
1 0
O
0 1
S3.nb
MatrixForm@FullSimplify @D3@bD.D3@ΒD - D3@ΓDDD
K
0 0
O
0 0
MatrixForm@FullSimplify @D3@aD.D3@ΓD - D3@ΒDDD
K
0 0
O
0 0
5