PARALELO de TRANSFORMADORES

PARALELO de TRANSFORMADORES
Norberto A. Lemozy
1 INTRODUCCIÓN
De acuerdo a las definiciones usuales dos transformadores están en paralelo cuando están
conectados a la misma red y alimentan a la misma carga, esta situación se muestra
esquemáticamente en la figura 1.
A
B
Fig. 1. Transformadores en paralelo.
La razón más común por la que se conectan transformadores en paralelo es el crecimiento de
la carga; cuando ésta supera la potencia del transformador instalado se suele optar por disponer
otra unidad en paralelo con la existente. El disponer de unidades en paralelo tiene las siguientes
ventajas:
• Frente a la falla de una unidad se puede seguir operando con la otra, aunque sea
suministrando una potencia menor y atendiendo los servicios más importantes. En algunos
servicios esenciales puede ser que, por razones de seguridad, los equipos se encuentren
duplicados y hasta triplicados; ésta es una práctica muy común en aeronaves.
• En general es más económico agregar una unidad a la ya existente que poner una nueva de
mayor tamaño.
• Si la demanda es muy variable y se dispone de varias unidades, se las puede ir agregando a
medida de que la carga lo exige y reducir las pérdidas que resultan de operar una máquina de
gran potencia a baja carga. Si la demanda tiene poca variación, siempre es más eficiente operar
una unidad de gran potencia, que varias de menor potencia.
Por otra parte, y para una dada potencia, siempre la instalación de varias unidades en más
costosa, su operación es más compleja, y ocupa más espacio que una sola unidad. También debe
considerarse que si se dispone de unidades en paralelo y se desea la continuidad del servicio,
parcial o total, ante la falla de una de ellas, es necesario instalar el equipamiento de maniobra y
protección adecuado.
De lo anterior se desprende que la decisión de agregar un transformador en paralelo a uno ya
existente, debe ser estudiada cuidadosamente.
1
2 CONDICIONES PARA LA PUESTA EN PARALELO
Para la conexión en paralelo de dos transformadores, según el esquema de la figura 1, se deben
cumplir condiciones, que, en orden de importancia son:
1º) Las tensiones secundarias deben estar en fase.
2º) Las relaciones de transformación deben ser iguales.
3º) Las tensiones de cortocircuito deben ser iguales.
4º) Las impedancias de cortocircuito deben tener el mismo ángulo de fase.
La primera de las condiciones enunciadas es sine cua non, es decir que si no se cumple, no se
puede hacer el paralelo, porque se produciría un cortocircuito; las demás admiten diferencias: la
segunda muy pequeñas y la cuarta es muy poco importante.
La primera condición tiene que ver con la forma en que se deben conectar los transformadores,
mientras que las restantes determinan el comportamiento de los transformadores ya conectados
en paralelo.
Si bien no es una condición necesaria, las potencias de los transformadores deben ser
próximas entre sí: 2 ó 3 a 1 como máximo, si hay mucha diferencia entre las potencias, salvo
algún caso muy especial, seguramente no resultará económico hacer el paralelo, especialmente si
hay diferencias, aunque leves, entre las tensiones de cortocircuito.
3 COINCIDENCIA DE FASE DE LAS TENSIONES SECUNDARIAS
Como ya se dijo esta es una condición imprescindible, si no se cumple equivale a hacer un
cortocircuito, por lo tanto se debe ser muy cuidadoso en su verificación. Se estudian primero los
transformadores monofásicos y luego se extienden las consideraciones a los transformadores
trifásicos.
3.1 Transformadores Monofásicos
En la figura 2 se muestran dos transformadores monofásicos que para ser conectados en
paralelo se debe cerrar el interruptor S.
A
B
V
U20A
U20B
∆ U20
S
Fig. 2. Verificación de la coincidencia de fase.
Para que al cerrar el interruptor no circule corriente, o que lo haga en una forma no peligrosa,
la diferencia de potencial ∆U20 entre sus contactos debe ser cero o muy pequeña comparada con
la U2.
2
De acuerdo a la polaridad de los transformadores y a la forma en que se hicieron las
conexiones el voltímetro indicará:
∆U 20 = U& 20 A − U& 20 B ≅ 0
(1)
O
∆U 20 = U& 20 A + U& 20 B ≅ 2U 2
(2)
De las dos posibilidades se debe cumplir la primera (1). Si en lugar de restarse las tensiones,
éstas se suman, al cerrar el interruptor de paralelo se produciría un cortocircuito. Para evitar esto
y hacer que las tensiones se resten, simplemente hay que permutar las conexiones de alguno de
los primarios o de alguno de los secundarios de los transformadores.
Lo anterior está relacionado con los bornes homólogos de los transformadores, en la figura 3
se muestran las dos situaciones posibles.
U
U
V
V
Polaridad
Sustractiva
Polaridad
Aditiva
u
v
u
v
Fig. 3. Bornes homólogos y tensiones.
En los transformadores mas que los bornes homólogos, se identifican los terminales con letras
normalizadas y además se indica la polaridad, la que puede ser aditiva o sustractiva. Si ambos
transformadores tienen la misma polaridad, para que resulten bien conectados, se deben unir
entre sí, los terminales designados con las mismas letras, como se muestra en la figura 4.
U
V U
V
A
B
u
v u
v
Fig. 4. Conexión de transformadores de la misma polaridad.
Pero como el riesgo de un error significa hacer un cortocircuito, siempre conviene hacer la
medición del ∆U20 y comprobar que es cero o muy pequeña.
3
3.2 Transformadores Trifásicos
En los transformadores monofásicos, las tensiones secundarias pueden estar en fase o en
oposición, y por eso hay solamente dos posibilidades que las mismas se resten o se sumen; pero
en los transformadores trifásicos el desfase entre las tensiones secundarias de ambos puede ser
cualquier ángulo múltiplo de 30º, dependiendo de las conexiones de los mismos.
Como se verá oportunamente, según sean las conexiones empleadas en el primario y en el
secundario de un transformador trifásico, se obtienen distintos desfases, múltiplos de 30º, entre
las tensiones del mismo. Los transformadores que producen el mismo desfase se dicen que
pertenecen al mismo grupo de conexión y tienen la misma cifra de hora.
Por lo dicho, la verificación de la coincidencia de fase entre las tensiones secundarias de los
transformadores trifásicos, es un tanto más compleja. En la figura 5 se muestran
esquemáticamente dos transformadores trifásicos con sus primarios alimentados de la misma red
y con un puente entre dos terminales secundarios, que se supone deberían corresponderse. Al
hacer el puente anterior, quedan cuatro bornes libres, si entre ellos se encuentran dos tensiones
nulas, esos bornes se pueden unir entre sí y los transformadores quedarán en paralelo.
A
B
Fig. 5. Verificación de la coincidencia de fase en transformadores trifásicos.
Si entre los cuatro terminales libres no se encuentran dos tensiones nulas, se debe cambiar el
puente y unir otros dos terminales, como se indica en la figura 5 con una línea de trazos. Si entre
los nuevos cuatro terminales no se encuentran dos tensiones nulas se debe volver a cambiar el
puente al tercer terminal del segundo transformador y repetir las mediciones.
Si el procedimiento anterior no da resultados satisfactorios de deben permutar dos conexiones
primarias de uno de los transformadores, como se muestra en la figura 6 y repetir todas las
mediciones anteriores.
Si tampoco se tienen dos tensiones nulas entre los bornes libres de los secundarios, se deben
permutar otras dos conexiones de un primario, como se indica con líneas de trazos en la figura 6,
y si esto no da los resultados esperados, se prueba permutando las últimas dos conexiones
primarias y se repiten todas las mediciones.
Si aún esto no da dos tensiones nulas, no se podrán unir los bornes libres debido a que los
transformadores son de grupos incompatibles entre sí y no se pueden conectar en paralelo.
4
A
B
Fig. 6. Verificación de la coincidencia de fase en transformadores trifásicos.
Si los transformadores pertenecen al mismo grupo de conexión, para la conexión en paralelo
se deben unir los terminales designados con las mismas letras, como se muestra en la figura 7,
pero como existe el riesgo de hacer un cortocircuito, siempre conviene verificar la nulidad de la
diferencia de potencial entre los bornes que se van a unir entre sí.
A
U
u
V
v
W
w
U
u
V
v
W
w
B
Fig. 7. Transformadores del mismo grupo de conexión.
Por lo expuesto, para el caso de transformadores trifásicos, esta primera condición de puesta
en paralelo se suele expresar diciendo que los transformadores deben pertenecer al mismo grupo
de conexión o a grupos compatibles entre sí.
5
4 REPARTO DE CARGAS
A continuación se analiza el comportamiento de dos transformadores monofásicos, que
cumplen la primera condición y se encuentran conectados en paralelo. Para facilitar el estudio,
primero se supondrá que los transformadores tienen igual relación de transformación.
Estos razonamientos también son aplicables a transformadores trifásicos que operen con
cargas balanceadas, ya que en ese caso se estudia lo que ocurre en una de las fases, como si se
tratase de transformadores monofásicos. Si las cargas no son balanceadas hay que hacer otros
análisis, que se verán en otra oportunidad.
4.1 Transformadores con Igual Relación de Transformación
En lo que sigue se supone que:
a A = aB = a
(3)
Como se supone que los transformadores operan con una carga importante, se pueden utilizar
circuitos equivalentes aproximados, sin rama en paralelo.
Z& 0 = ∞
z&e = 1 &
ye
(4)
Si se representa cada transformador por su admitancia serie ye se puede calcular en forma
genérica la corriente a través de cada uno de ellos. Sean N transformadores en paralelo, figura 8.
I
I1
I2
I3
Y1
Y2
Y3
IN
YN
∆U
Fig. 8. Circuito equivalente de N transformadores en paralelo.
Llamando Y a la admitancia total:
N
Y& = ∑ Y&k
k =1
(5)
La caída de tensión en el banco de transformadores será:
I&
∆U& =
Y&
(6)
Entonces la corriente en el transformador k será:
Y&
I&k = Y&k ⋅ ∆U& = k ⋅ I&
Y&
6
(7)
En el caso muy frecuente de tener solamente dos transformadores en paralelo, se puede
trabajar directamente con sus impedancias equivalentes serie, obtenidas de los ensayos en
cortocircuito de cada uno de ellos. En este caso, de igual relación de transformación, el circuito
equivalente de los dos transformadores en paralelo, referido al secundario, es el mostrado en la
figura 9.
zA
I 2A
I2
zB
U2
I 2B
U1 /a = U20
Fig. 9. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo
con igual relación de transformación.
Trabajando con las impedancias equivalentes de cada transformador, la expresión (7) queda:
z& B
⋅ I&2
z& A + z& B
z& A
=
⋅ I&2
z& A + z& B
I&2 A =
I&2 B
(8)
Que son expresiones de un divisor de corriente de dos impedancias. La tensión de salida será:
U&
U&
U& 2 = 1 − z& A ⋅ I&2 A = 1 − z& B ⋅ I&2 B
a
a
(9)
Si se hace el cociente de las dos expresiones anteriores se llega al también conocido hecho de
que las corrientes se reparten en función inversa a las impedancias de cada rama:
I&2 A z& B
=
I&2 B z& A
(10)
El diagrama fasorial de estos dos transformadores en paralelo, con una carga de naturaleza
inductiva, es el mostrado en la figura 10, donde se supuso iguales los ángulos de fase ϕcc de cada
transformador, 4ª condición.
ϕccA= ϕccB
0
ϕ2
I 2B
U 20 = U1/a
j x A I 2A = j x B I 2B
U2
rA I 2A = rB I 2B
I 2A
I2
Fig. 10. Diagrama fasorial de dos transformadores en paralelo,
con igual relación de transformación y ϕcc.
7
En el diagrama fasorial de la figura 10, como todos los otros del presente capítulo, los
triángulos de caídas de tensión se muestran más grandes de lo que en realidad son a fin de
clarificar el dibujo.
4.1.1 Transformadores con Igual Relación de Transformación y Distinto ϕcc
Si los ángulos de fase de las impedancias equivalentes de cada transformador son distintos, las
corrientes secundarias de los mismos no estarán en fase, figura 11, lo que significa que la
corriente resultante I2 en la carga será ligeramente menor que si los transformadores aportasen
corrientes en fase, como se mostró en el diagrama fasorial de la figura 10.
j x A I 2A
ϕ ccB
ϕ ccA
0
ϕ2
U2
I 2B
θAB
U 20 = U1/a
j x B I 2B
I 2B
ϕ ccA− ϕ ccB = θAB
rA I 2A
rB I 2B
I 2A
I 2A
I2
Fig. 11. Diagrama fasorial de dos transformadores en paralelo,
con igual relación de transformación y distintos ϕcc.
Como ya se mencionó en el punto 2 la igualdad de ángulos de fase tiene poca influencia en la
corriente de carga resultante lo que se puede mostrar con un ejemplo numérico. Supóngase dos
transformadores con las siguientes relaciones entre las reactancias y resistencias equivalentes.
xA
= 10 → ϕ ccA = 84,29°
rA
x
= B = 3 → ϕ ccB = 71,57°
rB
tgϕ ccA =
tgϕ ccB
(11)
En el diagrama fasorial de la figura 11 se puede observar que el ángulo de desfase entre las
corrientes de los transformadores es la diferencia de los ángulos de cortocircuito, que en este
ejemplo resulta:
θ AB = ϕ ccA − ϕ ccB = 12,72°
(12)
Suponiendo que los dos transformadores aportan la misma corriente, la corriente resultante
vale, figura 12:
θAB / 2
0
I 2B
A
I2
θAB
I 2A
Fig. 12. Corriente resultante con distintos ϕcc.
8
Donde:
θ
I&2 = 2O A = 2 I&2 B ⋅ cos AB = 2 I&2 B ⋅ 0,9938
2
(13)
En cambio, si se cumple la cuarta condición y los ángulos de cortocircuito son iguales, como
se mostró en la figura 10, la corriente resultante sería
I&2 = 2 I&2 B
(14)
Comparando las expresiones (13) y (14) se observa que cuando los ángulos de cortocircuito
son diferentes, la corriente resultante es aproximadamente un 0,62 % menor que cuando son
iguales, a pesar de la gran diferencia entre las resistencias y reactancias equivalentes supuestas en
este ejemplo (11).
Ésta es la razón por la cual a la 4ª condición prácticamente casi nunca se la tiene en cuenta.
Un corolario del razonamiento anterior se puede aplicar al cálculo de las corrientes dadas por
las expresiones (8) en donde se puede trabajar con los módulos de las impedancias sin cometer un
error apreciable y simplificar el cálculo.
z& B
uccB
z& B
≅
=
z& A + z& B
z& A + z& B uccA + uccB
(15)
En la expresión (15) se muestra que los módulos de las impedancias de cortocircuito pueden
reemplazarse por las respectivas tensiones de cortocircuito, cuando están medidas desde el mismo
lado del transformador o referidas a la misma base de tensión, como es lo habitual.
4.1.2 Transformadores con Igual Relación de Transformación y Distinta Ucc
Cuando las tensiones de cortocircuito son distintas, se produce un desaprovechamiento de la
potencia nominal de alguno de los transformadores del paralelo, lo que puede significar una
importante pérdida de potencia del conjunto.
En el circuito equivalente de la figura 9, se observa que las caídas de tensión ∆U en las
impedancias equivalentes de los transformadores en paralelo, deben ser iguales:
∆U& = z& A ⋅ I&2 A = z& B ⋅ I&2 B
(16)
De donde resulta que las corrientes se reparten en forma inversa a las impedancias de cada uno
de los caminos:
z& A I&2 B
=
(17)
z&
I&
B
2A
Relación que también se puede escribir tomando los módulos, y como U2A y U2B son iguales
resulta:
z A I 2 B I 2 B ⋅U 2 B S B
=
=
=
(18)
z B I 2 A I 2 A ⋅U 2 A S A
En realidad, y para maximizar el aprovechamiento de las máquinas, la igualdad de caídas de
tensión dadas en (16) se debe cumplir cuando por ambos transformadores circulan las corrientes
nominales respectivas, es decir:
z A ⋅ I 2 An = z B ⋅ I 2 Bn
9
(19)
Pero los productos de las impedancias equivalentes por las corrientes nominales son las
tensiones de cortocircuito, entonces la expresión (19) equivale a decir que (como indica la
condición 3 del punto 2):
U ccA = U ccB
(20)
Las relaciones (17) a (20) son válidas tanto en valores absolutos, como en °/1 y % y como las
tensiones nominales de los transformadores deben ser iguales, esos valores relativos pueden estar
referidos a las bases de cada uno de los transformadores.
En efecto, considerando la relación (18):
zA
U
S B S An z A S An
⋅
=
⋅
=
S A S Bn z B S Bn
2
2n
S An
zB
U 22n
⇒
S B [01 ] z A [01 ] U ccA [01 ]
=
=
S A [01 ] z B [01 ] U ccB [01 ]
(21)
S Bn
O sea, el transformador que alcanza el mayor nivel de carga es el de menor tensión de
cortocircuito.
A modo de ejemplo se analiza el comportamiento de un banco de dos transformadores
monofásicos en paralelo y de las siguientes características:
SAn = 50 kVA
UccA = 4 %
SBn = 100 kVA
UccB = 5 %
(22)
El transformador A, de menor tensión de cortocircuito, es el de menor impedancia y por lo
tanto el que primero llegará a su potencia nominal. Supóngase que se encuentra suministrando
dicha potencia nominal:
SA = SAn = 50 kVA = 1 °/1
(23)
En esas condiciones, y de acuerdo a la expresión (18), el transformador B estará
suministrando:
SB =
U ccA
0,04
SA =
1 = 0,8 01 = 80 kVA
U ccB
0,05
(24)
Entonces la potencia que se puede obtener de los dos transformadores en paralelo será de
130 kVA en lugar de los esperados 150 kVA. Si se aumenta la carga del banco, el transformador
A resultará sobrecargado.
En este ejemplo se ve cómo una pequeña diferencia en las tensiones de cortocircuito puede dar
lugar a una importante pérdida de potencia disponible. El caso expuesto es particularmente
inconveniente porque el transformador de menor potencia es el de menor tensión de cortocircuito,
lo que en general ocurre a partir de los 5 kVA, y al tomar más carga limita la potencia del
transformador más grande.
Para evitar situaciones desventajosas como la mostrada en este ejemplo, y para mejorar el
reparto de la carga, en algunas oportunidades, se colocan reactancias en serie con el
10
transformador de menor impedancia, pero no deja de ser un paliativo, lo mejor es usar
transformadores con tensiones de cortocircuito iguales o muy próximas entre sí.
4.2 Transformadores con Distinta Relación de Transformación
En este caso:
a A ≠ aB
(25)
Si bien se supone que las relaciones de transformación son diferentes, como se verá enseguida,
las diferencias deben ser muy pequeñas. El circuito equivalente de la figura 9 se debe modificar
para tener en cuenta que lasa tensiones primarias referidas, no son iguales. Una forma de
presentarlo es como se muestra en la figura 13.
zA
I 2A
I2
zB
U1 /a A
I 2B
U1 /a B
U2
Fig. 13. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo
con distinta relación de transformación.
Se trata de un clásico circuito de dos mallas, tres impedancias y una fuente en cada malla, que
para resolverlo y obtener las corrientes en cada transformador, se puede seguir cualquiera de los
métodos estudiados en electrotecnia. Aplicando las ecuaciones de Kirhhoff resulta:
U&
U& 2 = 1 − z& A ⋅ I&2 A
aA
U&
U& 2 = 1 − z& B ⋅ I&2 B
aB
&I = I& + I&
2
2A
2B
(26)
De donde:
z& B
z& A + z& B
z& A
=
z& A + z& B
I&2 A =
I&2 B
∆U& 20 = U& 20 A
∆U& 20
⋅ I&2 +
= I&2* A + I&C 2
z& A + z& B
∆U& 20
⋅ I&2 −
= I&2*B − I&C 2
z& A + z& B
U& U&
− U& 20 B = 1 − 1
a A aB
(27)
Donde ∆U20 es la diferencia entre las tensiones secundarias, es decir la tensión que indicaría el
voltímetro de la figura 2, cuando los transformadores están bien conectados. Observando las
ecuaciones (27) se puede apreciar que las corrientes en los transformadores tienen dos
componentes: la primera I* es consecuencia de la corriente de carga I2 y por ese motivo se la
11
denomina componente de carga; mientras que la segunda IC2, que se debe a la diferencia entre las
relaciones de transformación, se la denomina corriente de circulación, existe aunque no haya
carga y limita la potencia disponible de los transformadores y aumenta las pérdidas.
Planteadas las ecuaciones como están en (27), la corriente de circulación se suma al
transformador de mayor U20 , es decir el de menor relación de transformación y se resta en el
otro.
A fin de mostrar más gráficamente lo dicho más arriba respecto a las ecuaciones (27), en la
figura 14 se muestra el circuito equivalente de la figura 13, dibujado con las fuentes a ambos
lados y cuando los transformadores aún no están conectados en paralelo. En el circuito de la
figura 14 no circula corriente y se puede observar la tensión ∆U20 .
∆ U20= U20A- U 20B
zA
U20A=
zB
U1
aA
U20B =
U1
aB
Fig. 14. Circuito equivalente de dos transformadores sin conectar en paralelo
Si se conectan los transformadores en paralelo, pero no la carga, figura 15, debido a la tensión
diferencia ∆U20 aparece la corriente de circulación IC2 entre ambos transformadores y la tensión a
la salida vale U20 de valor intermedio a las tensiones en vacío U20A y U20B .
I C=
∆ U20
z A+ z B
zA
U20A=
U1
aA
zB
U20
U20B =
U1
aB
Fig. 15. Circuito equivalente de dos transformadores
en paralelo y sin carga.
Como la corriente de circulación recorre el circuito de baja impedancia de los
transformadores, pequeñas diferencias de tensiones pueden causar importantes corrientes.
Cuando al grupo se le pone la carga, aparecen las componentes de carga I*, que se agregan a
la corriente de circulación y se modifica la tensión de salida U2 .
12
I 2A = I *2A+ I C
zA
I 2B = I *2B- I C
zB
I2
U20A=
U1
aA
U2
ZC
U20B =
U1
aB
Fig. 16. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo
con carga y distinta relación de transformación.
De las ecuaciones (27) resulta que la corriente de carga vale:
I&2 = I&2 A + I&2 B = I&2* A + I&2*B
(28)
El ángulo de fase de la corriente de circulación está determinado por las impedancias internas
de los transformadores, las que normalmente son muy reactivas y en consecuencia dicho ángulo
es bastante grande.
tan ϕ C =
x A + xB
rA + rB
(29)
La corriente de circulación de las expresiones (27), es la que circula por los secundarios, la
que también se refleja a los primarios, como se muestra en la figura 17. La relación entre ambas
está dada por las relaciones de transformación. Si no hay carga, la fuente que alimenta a los
primarios es la que aporta las corrientes magnetizantes, las pérdidas en vacío de ambos
transformadores y las pérdidas en el cobre originadas por la corriente de circulación.
U20A> U20B
I C1
A
B
I C2
Fig. 17. Camino de las corrientes de circulación.
Para mostrar lo anterior, y a modo de ejemplo, si se supone una corriente de circulación límite
del 10%, que es un valor bastante elevado, y los transformadores tienen una impedancia de
cortocircuito del 5%, la diferencia de tensiones máxima admisible será:
∆U 20 = (z A + z B ) ⋅ I C 2 = (0,05 + 0,05) ⋅ 0,1 = 0,01 = 1%
13
(30)
Es decir una diferencia de solamente el 1 % de las tensiones nominales. Esta es la razón por la
cual se debe conocer muy exactamente la relación de transformación de los transformadores que
van a operar en paralelo a fin de poder calcular las tensiones secundarias con el menor error
posible. Es interesante destacar que precisamente el error admitido en las normas IRAM, en la
relación de transformación de transformadores de distribución es 0,5%, y en general estos tienen
tensiones de cortocircuito del orden de 4 a 6 %.
Si las relaciones de transformación y las tensiones secundarias se determinan con voltímetros,
con un error relativo del 0,5%, el error en ∆U20 cae dentro del 1% anterior y se pueden producir
corrientes de circulación indeseadas. Por eso para determinar la relación de transformación de
transformadores, que van a operar en paralelo, se utilizan divisores de tensión, denominados
“relaciómetros” que dan errores del 0,1% o menores.
Como ya se dijo, aunque el banco esté en vacío, existe la corriente de circulación que produce
pérdidas en el cobre que se sumarán a las del hierro y limita la capacidad de carga de los
transformadores; y en esas condiciones la tensión de salida U20 toma un valor intermedio entre las
dos tensiones de vacío, en efecto si I2 = 0 resulta:
I&2 A = I&C 2
I&2 B = − I&C 2
(31)
Reemplazando en las ecuaciones (26):
U& 1
= U& 20 + z& A ⋅ I&C 2
aA
U&
= 1 = U& 20 − z& B ⋅ I&C 2
aB
U 20 A =
U 20 B
(32)
El diagrama fasorial en vacío es el de la figura 18, donde se han ampliado los triángulos de
caídas de tensión para mayor claridad del dibujo.
-zB IC
-IC
U 20B = U1/a B
ϕc
U 20A = U1/a A
zA I C
U 20
∆ U20
IC
Fig. 18. Diagrama fasorial en vacío.
Si los ángulos de fase de cortocircuito de ambos transformadores son iguales ϕccA = ϕccB la
tensión U20 quedará en fase con la U1 y si además:
rA = rB
x A = xB
(33)
Los triángulos de caídas serán iguales y la tensión secundaria será la semisuma de las dos
tensiones en vacío, figura 19.
14
-IC
U 20B = U1/a B
ϕc
U 20A = U1/a A
U 20
∆ U20
IC
Fig. 19. Diagrama fasorial en vacío con parámetros iguales.
En el caso general, con carga inductiva, el diagrama fasorial resulta como se muestra en la
figura 20.
∆ U20
-IC
U 20B = U1/a B
I 2B
IC
I *2B
U2 r I
A 2A
ϕ2
r BI 2B
U 20A = U1/a A
jx AI 2A
jx B I 2B
I *2A
I 2A
I2
Fig. 20. Diagrama fasorial con carga inductiva.
Como ya se dijo, y por razones de claridad de dibujo, los triángulos de caídas de tensión se
muestran más grandes de lo que deben ser y por el mismo motivo, en estos últimos diagramas
fasoriales, la corriente de circulación también se la muestra más grande de lo que debería ser.
En el diagrama fasorial de la figura 20 la corriente de circulación IC es constante en módulo y
ángulo, mientras que las corrientes I*2A e I*2B dependen de la corriente I2 en módulo y ángulo; en
efecto si se tiene la misma corriente de carga pero con otro factor de potencia, el paralelogramo
sombreado rotará sin cambiar sus dimensiones, como se muestra en la figura 21 en la que se
supuso una carga capacitiva.
15
I2
I 2B
I *2B
I *2A
∆ U20
I 2A
-IC
U 20B = U1/a B
jx B I 2B
ϕ2
IC
U2 r I
B 2B
U 20A = U1/a A
jx A I 2A
r AI 2A
Fig. 21. Diagrama fasorial con carga capacitiva.
En el diagrama fasorial de la figura 21 la corriente de circulación y los módulos de las
componentes de carga no han cambiado, pero si lo han hecho las corrientes resultantes en cada
uno de los transformadores y la tensión de salida.
Como las impedancias de los transformadores son fundamentalmente reactivas, la corriente de
circulación resulta muy atrasada respecto a U& 1 y ∆U& 20 por lo tanto sus efectos son más notorios
cuando la corriente I& también está muy desfasada de la tensión y menos importantes en el caso
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de cargas resistivas.
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5 APROXIMACIONES
Para facilitar la resolución de casos de transformadores en paralelo, se suelen realizar algunas
simplificaciones; como la ya mencionada relación de impedancias (15) que se puede resolver con
los módulos sin cometer un error apreciable. Los datos necesarios de cada transformador son:
re
Sn
U 1n y U 2 n ó U 1n y a
y xe ó U cc y ϕ cc ó U cc y Pcc
La carga del banco suele darse de distintas formas, lo que puede presentar algunas
indeterminaciones, por ejemplo para aplicar las ecuaciones (8), (9), (26) o (27) se puede tomar al
fasor U& 1 con ángulo cero:
U& 1 = U 1∠0
(34)
Pero el ángulo del fasor I&2 , dado por el factor de potencia de la carga, queda indeterminado
porque no se conoce el ángulo del fasor U& 2 , a partir del cual se debe tomar ϕ2. Pero como la
diferencia de fase entre las tensiones de entrada y salida es muy pequeña, no se comete un error
apreciable al suponer que ambas tensiones coinciden y tomar a la corriente de carga como:
I&2 ≅ I 2 ∠ − ϕ 2
(35)
Otra indeterminación se presenta cuando la carga del banco está dada en forma de potencias
activa y reactiva, o aparente y el ángulo de fase. En el primer caso, el ángulo de fase, se puede
calcular haciendo:
ϕ 2 = arc tan
Q
P
(36)
Pero para calcular la corriente I2 se necesita la tensión de salida U2 y como no se la tiene, se
debe suponer un valor de tensión, por ejemplo para transformadores de igual relación de
transformación y cargas inductivas, se puede tomar 2 ó 3 % menor que la tensión de salida en
vacío, ó 1 ó 2 % superior si la carga es capacitiva, o simplemente tomar la tensión de salida en
vacío. Con ese valor de tensión supuesto se calcula la corriente de carga y se resuelve el circuito.
Si los transformadores tienen distinta relación de transformación, la tensión U2 se puede
aproximar, para cargas inductivas, a la tensión secundaria en vacío del transformador que entrega
la menor tensión (mayor a) y para cargas capacitivas a la del otro transformador.
Una vez resuelto el problema, se debe verificar que la tensión de salida resultante se encuentra
próxima al valor supuesto, en el caso de haber una diferencia apreciable, se debe rehacer el
cálculo con el nuevo valor de tensión, es decir hacer una o más iteraciones hasta que los
resultados sean satisfactorios.
Si se dispone como dato la impedancia de la carga, o ésta se puede calcular fácilmente, en
general es más sencillo resolver el circuito equivalente de los transformadores en paralelo, de la
forma clásica, aplicando mallas, nodos o cualquier otro método de la electrotecnia.
6 BIBLIOGRAFÍA
EE Staff del MIT: “Circuitos Magnéticos y Transformadores” Editorial Reverté, 1943.
Ing. Norberto A. Lemozy
2010
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