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Variable Compleja I
Curso 2007-2008
3o de Matemáticas
Lista 3
Más sobre series de potencias
1) Desarróllense en series de potencias (centradas en el origen) las funciones
z3
,
1 − z3
e−z
,
1+z
(cos z)/(1 − z 2 ) ,
(1 − z) cos z ,
indicando en cada caso el radio de convergencia. Hágase lo mismo para la función sen 2z =
2 sen z cos z de dos maneras distintas. (Si no resulta fácil encontrar una fórmula general para
los coecientes, basta con escribir los 5 primeros términos de cada serie.)
2) (Teorema del binomio para exponentes reales) Sea α un número real con α ∈/ N y sea
µ ¶
µ ¶
µ ¶
α
α(α − 1) · · · (α − j + 1)
α
α
=
= 1,
= α,
si j > 1
j
1
0
j!
a) Demostrar que el radio de convergencia de la serie F (z) =
∞ ¡ ¢
P
α
k=0
k
z k es 1.
b) Comprobar que (1 + z)F 0 (z) = αF (z).
c) Concluir que F (z) = (1 + z)α , es decir,
(1 + z)α =
k=0
(Aquí se toma la rama principal de wα .)
3) ∗ Sea f (z) =
∞
P
n=0
∞ ¡ ¢
P
α k
z
k
si |z| < 1.
cn z n , donde los cn son los números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, . . . , denidos
mediante cn = cn−1 + cn−2 para n = 2, 3, . . . y c0 = c1 = 1.
a) Demostrar que f (z)(1 − z − z 2 ) = 1 para z en el disco de convergencia de la serie.
b) Obtener una fórmula para los coecientes cn , desarrollando 1/(1 − z − z 2 ) en fracciones
simples.
c) Encontrar la fórmula para los números dn denidos por dn = αdn−1 + βdn−2 para n ≥ 2 y
con d0 = d1 = 1.
Funciones elementales
4) ¾Para qué valores z ∈ C se cumple que eiz = eiz̄ ?
Nota: En los siguientes problemas Log, Arg,... denotan las ramas principales de las funciones
correspondientes (es decir, aquellas en las que el argumento de z se toma en el intervalo (−π, π]).
5) Demostrar que:
a) sen2 z + cos2 z = 1, b) cos(2z) = cos2 z − sen2 z .
6) Resolver las ecuaciones:
a) cos z = 2
b) sen z = 34 − 4i
1
7) Escribir explícitamente la función cuya serie de potencias es f (z) =
vale
∞
P
n=0
P∞
z 4n
n=0 (4n)! .
¾Cuánto
1
?
(4n)!
Ayuda: Evaluar la función exponencial en los puntos ±z y ±iz .
8) ∗∗ Sean ω1 , . . . , ωn las n raíces n-ésimas de la unidad, es decir ωj = e2πi(j/n) , j = 1, . . . , n.
a) Probar que si m es un número natural
n
1X
(ωj )m =
n j=1
(
si m no es múltiplo de n
si m es múltiplo de n
0,
1,
b) Probar que si P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n + an+1 z n+1 + . . . es un polinomio cualquiera cuyo
grado es, a lo sumo, 2n − 1 entonces
n
1X
P (ωj ) = a0 + an .
n j=1
c) ¾Cuánto vale
n ¡ ¢
P
n
m=0
3m
? Recordar que
Ayuda: Utilizar la fórmula (1 + z)n =
¡n¢
k
= 0 si k > n.
n ¡ ¢
P
n k
z .
k
k=0
9) Calcular los siguientes valores:
a) e , e
i π4
5 πi
4
,e
−7 πi
3
· ³ ´¸
4
√
, exp π 1+i
, cos(2 + 3i), sen(1 + i)
2
√
b) (1 − i)i , 2−1+i , i 2 , tomando la rama principal del logaritmo.
√
c) i−i , log 3, log( 3 + i) , (1 + i)1+i , 2πi (calcular todos los posibles valores) .
10) ∗ Denotemos por {arg z} el conjunto de todos©losªvalores posibles de arg z, por {log z} el
conjunto de todos los valores posibles de log z y por z b el conjunto
los valores posibles
© b ª de todos
b
b{log z}
de z , con el signicado evidente {log z} = log |z| + i {arg z} , z = e
. Comprobar que:
a) {log(zw)} = {log z} + {log w} ( aquí A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} )
©
ª © ª © ª
b) (zw)b = z b · wb ( aquí A · B = {ab : a ∈ A, b ∈ B} )
S
c) {log(z α )} = k∈Z (α{log z} + 2kπi)
i+z
d) {arctan z} = 2i {log i−z
}, donde {arctan z} = {w ∈ C : tan w = z}.
11) ∗ Resolución trigonométrica de la ecuación cúbica: Se considera la ecuación cúbica z 3 +
az 2 + bz + c = 0 con a, b, c ∈ C.
a) Aplicar un cambio de variable z = w + h para obtener una ecuación equivalente de la forma
w3 + βw + γ = 0.
b) Hacer ahora un cambio w = gu que nos dé una ecuación de la forma 4u3 − 3u + δ = 0.
c) Sea v ∈ C tal que sen(3v) = δ. Demostrar que α = sen v es raíz de la ecuación que aparece
en (ii).
d) Aplicar este procedimiento a la ecuación z 3 + 3z 2 − 1 = 0.
2
12) ∗ Demostrar que existe un único polinomio Pn de grado n tal que
µ
¶
1
1
.
z + n = Pn z +
z
z
n
1 n
1
n
Ayuda: Puede
¡n¢ hacerse
¡ n ¢ por inducción. El caso n = 1 es obvio. Conviene escribir z + zn −(z+ z )
y usar que
=
k
n−k
con la hipótesis de inducción.
13) ∗
a) Demostrar que si z1 , . . . , zn son números complejos entonces el polígono convexo más pequeño
que los contiene (posiblemente degenerado) viene dado por
{z = m1 z1 + · · · + mn zn : m1 , m2 , . . . , mn ≥ 0 y m1 + · · · + mn = 1}
b) Demostrar que el polígono del apartado anterior es la intersección de todos los semiplanos
que contienen a z1 , z2 , . . . , zn .
c) Demostrar que si P (z) es un polinomio, su derivada P 0 (z) no puede tener ceros fuera del
polígono convexo más pequeño que contiene a las raíces de P (z). (Este resultado es conocido
como el teorema de Gauss-Lucas.)
P 0 (z)
Ayuda: Escribir P (z) = an (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ) y considerar
para expresar los
P (z)
ceros de P 0 (z) en la forma m1 z1 + · · · + mn zn o usar el apartado b).
Integración compleja: propiedades básicas.
14) Calcular
R
|z|zdz, donde γ es el camino cerrado compuesto por la semicircunferencia
superior de |z| = 1 y el segmento −1 ≤ x ≤ 1 ; y = 0, con orientación positiva.
γ
15) Demostrar que si |a| < R, entonces
Z
|z|=R
|dz|
2πR
< 2
.
|z − a||z + a|
R − |a|2
16) Sea γ el cuadrado en C con vértices ±1 ± i. Acotar el valor absoluto de las siguientes
integrales:
Z
(i)
|z|=1
Z
dz
,
2 − z3
(ii)
|z|=1
Z
ez
dz
z2
(iii)
(cos z)2 dz
γ
17) Sea γ el arco del círculo |z| = 2 comprendido en el primer cuadrante. Vericar que
¯Z
¯
¯
dz ¯¯ π
¯
¯ z2 + 1 ¯ ≤ 3 .
γ
18) Sea γ la circunferencia unidad orientada positivamente. Calcular:
Z
(i)
Z
2
γ
z sen z dz
(ii)
γ
1 − cos z
dz
z2
Z
(iii)
γ
3
sen z
dz
z
Z
(iv)
γ
ez
dz
z2
Z
(v)
γ
2
dz .
1 − 4z 2
19) ∗ Sea P (z) un polinomio y sea γ el círculo {z ∈ C : |z| = R} orientado positivamente.
Probar que:
Z
P (z)dz = 2πiR2 P 0 (0).
γ
20) ∗ Sea γ un camino simple y cerrado que encierra un área S. Demostrar que
1
S=
i
Z
Z
1
xdz = − ydz =
2i
γ
γ
4
Z
z̄dz.
γ