Ondas I

Ondas I
Física 2 aula 10
2o semestre, 2012
Ondas mecânicas
Ondas são oscilações que se deslocam em
um meio, mas que não carregam matéria.
As ondas podem percorrer grandes distâncias,
mas o meio tem um movimento apenas limitado.
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html
Ondas longitudinais e transversais
Ondas tipo P
Ondas tipo S
Ondas na superfície de líquidos:
longitudinais + transversais
Parâmetros da Onda
1
f 
T
Transporte de energia
Velocidade de propagação da onda
  vT
v  f
A velocidade de propagação da onda depende apenas do meio em que a onda
se propaga e não da amplitude, frequência ou comprimento de onda
Forma de onda
v
“ondas contínuas” são
infinitas em ambas direções
“pulsos” causados por um
breve distúrbio do meio
v
v
“trens de pulsos” são situações
intermediárias.
Descrição Matemática
y
 Supor
que temos alguma
função y = f(x):
x
0
y
f(x-a) tem a mesma forma, só que deslocada
uma distância a à direita:
0
x
x=a
y
Seja a=vt então f(x-vt) será
descrita pela mesma forma, se
movendo à direita com
velocidade v.
v
0
x=vt
x
Pulso para a direita
t 0s
2
yx, t   2
x 1
t 1s
yx, t  
t2s
yx, t  
2
x  3
2
1
2
x  6
2
1
yx, t  
2
x  3t 
2
1
Onda harmônica
y


Considere uma onda harmônica
A
em x com comprimento de onda .
Se a amplitude for máxima em
x=0 essa onda tem a forma:
x
 2 
y  x   A cos 
x
  
Mas, se ela está se movendo
para a direita com velocidade
v ela será descrita por:
 2
y  x, t   A cos 
 x  vt  
 

y
v
x
Onda harmônica...
Desse modo, vimos que uma simples onda
harmônica se movendo com velocidade
v na direção x é descrita pela equação:
Usando


v 
T 2
 2
y  x, t   A cos 
 x  vt  
 

vista anteriormente, e definindo
Podemos escrever a equação como:
k
y  x, t   A cos  kx  t 
(e como descrever uma onda se movendo na direção -x ?)
2

Resumo: onda progressiva
A formula y  x, t   A cos  kx  t 
descreve uma onda harmônica de
amplitude A se movendo na
direção +x.
Cada ponto na onda oscila na direção y com
movimento harmônico simples de frequência
angular .
O comprimento de onda é:
A velocidade da onda é:


v
k
2
k
A quantidade k é chamada “número de onda”.
y

A
x
A equação de onda
yx, t   A coskx  t 
Considere a onda
Velocidade transversal
dy
vy 
dt
x c
y

 Asenkx  t 
t
Aceleração transversal
ay 
dv y
dt

x c
v y
t
  A coskx  t 
2
A equação de onda
Derivando com
relação a x
dy
dx
t c
yx, t   A coskx  t 
y

 kAsenkx  t 
x
e
2
d y
dx 2
 y
2
 2  k A coskx  t 
x
2
t c
A equação de onda
Note que
yx, t   A coskx  t 
1  y
 2
 A coskx  t 
2
k x
2
1 2 y
 2
 A coskx  t 
2
 t
 y
1  y
 2
2
x
v t 2
2
A equação de onda em 1D
 y k  y
 2
2
x
 t 2
2
2
2
2
1
k2
 2
2
v

A equação de onda
A equação de onda em 1D foi mostrada para uma onda em
particular
1  y  y
 2 0
2
2
v t
x
2
2
De fato ela é válida para qualquer tipo de onda
1
k2
 2
2
v

Equação de onda (c. geral)
Seja
yx, t   f x  vt
&
 2 yx, t 
ay 
2
t
yx, t 
vy 
t
y df x'
df

 v
t
dx' t
dx'
x'  x  vt
onde
x'

x  vt  v

t
t
 y

 v
2
t
t
2
 df 
d  df  x'

  v


dx'  dx'  t
 dx' 
2
2 y
d
f
2
v
2
t
dx' 2
como
x'

x  vt  1

x x
2 y d 2 f

2
2
x
dx'
1 2 y 2 y
 2 0
2
2
v t
x
Equação de onda em 1D
Ondas em uma corda
O
que determina a velocidade de
uma onda ?

Consideremos um pulso viajando em
uma corda:
v

Como podemos fazer
o pulso ir mais
rápido?
Ondas em cordas...
Hipóteses:

A tensão na corda é F

A massa por unidade de comprimento é m (kg/m) –
densidade linear de massa

A forma da corda no máximo do pulso é
circular, e tem raio R
F
m
R
Ondas em cordas...

Considere um referencial movendo-se junto com o pulso

Aplique F = ma à pequena porção da corda no “topo” do pulso.
v
y
x
Ondas em cordas...

A força resultante FR é a soma da tensão F em
cada pedaço final do segmento de corda.

A força resultante é então no sentido -y.
q
q
F
F
FTOT = 2F q
y
x
(como q é pequeno, sen q ~ q)
Ondas em cordas...

A massa m do segmento é seu comprimento
(R x 2q) vezes a densidade linear de massa m.
m = R 2q m
q
q
2q
y
x
R
Ondas em cordas...

A aceleração a do segmento é v 2/ R
no sentido -y.
v
a
R
y
x
(centrípeta!)
Ondas em cordas...

Assim, para FR = ma temos:
F  m v
2
v2
2 Fq  R 2qm 
R
FR
m
a
v
F
m
v
Tensão F
Massa por unidade
de comprimento m
Ondas em cordas...

Portanto temos:
v
F
m
v
tensão F
Densidade linear
de massa m

Aumentando a tensão, aumenta-se a velocidade.

Aumentando o peso da corda, diminui-se a velocidade.

Estes fatos dependem apenas da natureza do meio, e não
da amplitude, freqüência, etc da onda.
Pausa para experimento virtual
http://phet.colorado.edu/en/simulation/wave-on-a-string
Expressões para interpretar o experimento virtual
v
T
m
v  f
Observe a corda com as pontas fixa e solta, tema para a próxima aula
Velocidades de ondas longitudinais

A velocidade de
ondas longitudinais
tem uma forma
similar ao caso de
uma onda transversal
fator elastico
v
fator de inercia
v
E

Ondas em
sólidos
ou v 
B

Ondas em
gases ou
líquidos
E é o módulo elástico do material; ρ é a
densidade; B é o módulo de
compressão volumétrico
p
B
V V
Potência e intensidade
q
F
A força
vy
A potência
y
Px, t   Fy v  Fy
t
A potência média é ...
y
Fy   F
x
y y
P  x, t    F
x t
Potência e intensidade
y y
P  x, t    F
x t
yx, t   A coskx  t 
y
 Asen kx  t 
t
y
 kAsenkx  t 
x
Px, t   FkA sen kx  t 
2
F  m v

1
P  mv2 A 2
2
v
Potência média
2
k
2
Potência e intensidade
A potência média é
A intensidade da onda
1
P  mv2 A 2
2
P
I
Area
Ondas esféricas tem sua intensidade caindo com 1/r2!! Onde r
é a distância da fonte.
P
P
I

Area 4r 2
Ondas sísmicas
San Pablo (Espanha)
Terremotos são instrutivos
Ondas P (primárias, longitudinais)
Ondas S (secundárias, transversais)
http://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/waves_and_interior.html
A separação entre P (que chega antes) e S aumenta com a distância do
epicentro e a estação sismológica.
http://www.oregonshakes.com/Seismographs/WebcorderBasics.html
Estrutura da terra
Ondas S não se propagam na
parte líquida. (POR QUE?)Isto
causa regiões de sombra que
permitem inferir o tamanho de
cada região formando as
camadas da terra.
Lembram da aula sobre
gravimetria??
A terra tem um núcleo líquido
entre os raios 1.2x103 km e
3.5x103 km.
Mais ondas sísmicas:
como elas aparecem e se manifestam de fato
As ondas P e S propagam-se pelo corpo da Terra.
As ondas superficiais são chmadas de Love e Rayleigh