E-004 - Universidad Nacional del Nordeste

Resumen: E-004
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006
Aplicación de ICA con conceptos de estabilidad
para separar señales.
Alvarez Picaza, Carlos - Monzón, Jorge E. - Veglia, Jorge E.
Departamento de Ingeniería, Facultad de Ciencias Exactas, UNNE
9 de Julio 1449 - (3400) Corrientes - Argentina
Tel. (03783)-423126, Fax (03783)-473930, Email: cpicaza@exa.unne.edu.ar
Antecedentes
A menudo se ha utilizado el siguiente ejemplo: “supón que conversamos frente a un par de micrófonos. Salvo que
hablemos por turnos, los micrófonos recogerán la superposición de nuestras voces. Pues bien, tomemos las grabaciones
y tratemos de separar tu voz de la mía”. Esto es, a grandes rasgos, lo que se conoce como problema de “Separación
Ciega de Fuentes”.
Figura 1
Como muestra la Figura 1, el problema se plantea en los siguientes términos: un determinado proceso combina,
superpone o, genéricamente, “mezcla” señales a las que se conoce como “fuentes”. Las señales mezcladas reciben el
nombre de “observaciones”.
El adjetivo “ciega” enfatiza el hecho de que, por hipótesis, tanto las fuentes como el proceso de mezcla son, en cada
situación particular, desconocidos. En estas condiciones, se desea diseñar un sistema capaz de invertir todo el proceso
de la mezcla y recuperar las fuentes.
Las fuentes serán representadas por la letra s (del inglés ‘source’). Dadas M fuentes distintas, las distinguiremos
nombrándolas como s1(t), ..., sM(t). Para manejarlas con comodidad, se agruparán en el vector s(t) que se define como
s(t) = [ s1(t), ..., sM(t) ]T.
Las observaciones serán representadas por la letra x. Dadas N observaciones, generalmente la salida de N sensores, se
denotarán como x1(t), ..., xN(t) y serán agrupadas en el vector x(t) = [ x1(t), ..., xN(t) ]T.
El sistema de separación nos devolverá M señales de salida y1(t), ..., yM(t) que deben reproducir fielmente a las fuentes.
En una aplicación real, cabe esperar que el número de fuentes sea desconocido y, lo que es aún peor, varíe con el
tiempo. No obstante, estos problemas serán tratados sólo de forma marginal.
Finalmente, una pequeña precisión: es difícil distinguir entre fuente y ruido. En general, se considera que fuente es toda
señal deseada que aparece en el registro de, al menos, dos sensores.
Se considera que la mezcla es el proceso que transforma unas señales, las fuentes, en otras, las observaciones.
Materiales y Métodos
Sea el vector s(t) = [ s1(t), ..., sM(t) ]T que contiene a las M señales fuente, el vector x(t) = [ x1(t), ...,xN(t) ]T, con las N
observaciones e y(t) = [ y1(t), ..., yM(t) ]T el vector que contiene las M salidas. Se dice que la mezcla es lineal e
instantánea si:
x(t) = A s(t)
(1)
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donde A es una matriz NxM que recibe el nombre de matriz de mezcla. Nótese que la transformación es lineal e
invariante en el tiempo. Como se dijo antes, identificaremos
N= Nº. de sensores .
M= Nº. de fuentes .
Por hipótesis, tanto A como s(t) son desconocidos y sólo se cuenta con las observaciones.
Las salidas se determinan como
y(t) = B x(t)
(2)
siendo B una matriz MxN, que recibe el nombre de matriz de separación. La relación que liga fuentes y salidas es, por
lo tanto,
y(t) = B x(t) =
= B A s(t) = G s(t)
(3)
donde G es una matriz MxM a la que se llama matriz global de transferencia.
La Figura 2 muestra la relación entre las distintas señales.
Figura 2
Hay un par de indeterminaciones en este problema:
- Si M = N y A es invertible, está claro que siempre podemos separar las fuentes: basta con que B sea la matriz inversa
de A.
- Si N > M, es decir, hay más sensores que fuentes y el rango de A es justamente M, reducimos este caso al anterior sin
más que desechar la información de N − M de los sensores.
- Si N < M, es decir, hay más fuentes que sensores o bien el rango de A es menor que el número de fuentes, no es
posible encontrar una matriz B que consiga que la separación sea completa.
Estabilidad
Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana. Es de uso común decir: el franco suizo
es estable, el peso mexicano es inestable, el estado de salud de fulano es estable, etc. Incluso, en muchas áreas del
conocimiento, se maneja dicho concepto de manera intuitiva, es común oír a un ingeniero decir que una estructura es
estable o no lo es, un químico dice que una reacción se ha estabilizado, un economista suele decir que el precio de
determinado producto es estable, un físico diría que el movimiento de una partícula es estable, etc. Pero un concepto
que aparece frecuentemente en todas las ciencias, merece ser definido en términos precisos.
No fue sino hasta 1892 cuando Aleksandr Lyapunov (1.857–1.918), matemático e ingeniero ruso que estableció las
bases de la teoría que hoy lleva su nombre, formuló de manera precisa el concepto de estabilidad. Y ese ha sido el punto
de partida para establecer otras variantes de tan importante concepto.
Se debe ser capaz de predecir el comportamiento dinámico del sistema a partir del conocimiento de sus componentes.
La característica más importante el comportamiento dinámico de un sistema es la estabilidad, es decir, si el sistema es
estable o inestable.
Un sistema está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo
estado. Un sistema lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio
cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial.
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Considerando al corazón (sistema cardíaco) como un sistema biológico estable, utilizamos la Ecuación de Lyapunov:
A M+MB=C
El criterio de estabilidad se basa en encontrar M de esta ecuación, eligiendo previamente C.
A(NxN) y B(MxM) son matrices constantes.
Las matrices C y la incógnita M son NxM.
(4)
La ecuación (LYAP) es lineal en M y puede escribirse como sistemas de ecuaciones algebraicas en la forma estandar:
(5)
c=Gs
Veamoslo para N= 3 y M= 2:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
m11 m12
m21 m22
m31 m32
+
m11 m12
m21 m22
m31 m32
b11 b12
b21 b22
c11 c12
c21 c22
c31 c32
=
Haciendo las cuentas y expresando M y C como vectores apilando sus columnas, llegamos a:
a11+b11
a21
a31
b12
0
0
a12
a22+b11
a32
0
b12
0
a13
a23
a33+b11
0
0
b12
b21
0
0
a11+b22
a21
a31
0
b21
0
a12
a22+b22
a32
0
0
b21
a13
a23
a33+b22
m11
m21
m31
m12
m22
m32
=
c11
c21
c31
c12
c22
c32
Es decir, /A\ m = c, donde A es la matriz (NxM) x (NxM) de la ecuación anterior, y m y c son las matrices M y C
convertidas a vectores (NxM) x 1.
Como /A\ es cuadrada, esta ecuación tiene solución única si la matriz /A\ es invertible, es decir, si no tiene ningún
autovalor nulo.
Discusión de Resultados
Aplicación
Después de todo lo expresado, consideraremos un sistema estable, donde el número de señales coincide con el número
de fuentes. Hallaremos la matriz incógnita M, la cual nos da una idea de cómo están mezcladas las señales.
Nuestro Análisis de Componentes Independientes comprenderá descubrir las fuentes, separando las señales.
Se utilizará la Ecuación de Lyapunov en donde:
A M+MB=C
C=
c11 c12 c13 .......... c1500
c21 c22 c23 ...........c2500
es una matriz la cual contiene dos señales, las cuales se encuentran mezcladas.
A=
a11 a12
a21 a22
es una matriz de mezcla (random o Pascal)
B=
b11 b12 b13 ..........b1500
b21 b22 b23 ..........b2500
.
.
.
.
.
.
b5001 b5002 ..........b500500
es una matriz de mezcla (random o Pascal)
Utilizando el programa MATLAB, introducimos dos señales y dos mezclas.
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Figura 3
La figura 3 nos muestra una señal mezclada con dos fuentes (500 muestra), antes y después de la separación.
Figura 4
La Figura 4 nos presenta ambas fuentes en forma individual, una señal senoidal y una diente de sierra.
Conclusiones
Nuestra matriz resultado M2x500 tiene dimensión 2x500. Por lo tanto no es inversible. Está compuesta por las mezclas
impuestas por A y B.
Para solucionar este inconveniente, aplicamos a esta matriz PCA (Análisis de Componentes Principales), obteniendo
una matriz G, la cual contiene aproximadamente más del 98 % de información de la matriz M (original). G es una
matriz cuadrada e inversible. En estas condiciones, las señales mezcladas pueden ser separadas.
Entónces:
S = G-1 C
(6)
Bibliografía
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processing IV, pp. 643-646, Grenoble, France, 1988.
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Puntonet, CG: Procedimientos y Aplicaciones en Separación de Señales. España 2.004.
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