PARTE 1

PARTE 1
PROBLEMAS PROPUESTOS
FACTORIAL
2. 31 Calcular:
i.
ii.
iii.
9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880
10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800
11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800
2. 32 Calcular.
i.
ii.
iii.
iv.
16!
14!
14!
11!
8!
10!
10!
13!
,
,
,
16 15 (14)!
= (16) (15) =240
14 !
14 13 12 (11)!
= 14 13 12 = 2184
11 !
8 )!
= 10 9 =90
10 9 8 !
(10)!
= 13 12 11 =1716
13 12 11 (10)!
2.33 Simplificar.
i.
ii.
iii.
iv.
𝑛+1 !
𝑛 +1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1
𝑛+1 𝑛 !
=
=
=n+
𝑛!
𝑛 𝑛−1 𝑛−2 …1
𝑛!
𝑛!
𝑛 𝑛− 𝑛−2 !
=
= n (n-1) = n2-n
𝑛−2 !
𝑛−2 !
𝑛−1 !
𝑛−1 !
1
=
=
𝑛+2 !
𝑛+2 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 !
𝑛 𝑛+1 𝑛+2
𝑛−𝑟+1 !
𝑛−𝑟+1 𝑛−𝑟 𝑛−𝑟−1 !
=
= (n-r) (n-r+1)
𝑛−𝑟−1 !
𝑛−𝑟−1 !
1
PERMUTACIONES
2.34
i.
¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de letras diferentes
seguidas de 3 dígitos diferentes? R =26x25x10xx9x8= 468000
Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. R = 26x25x9x8x7= 327600
ii.
2.35
De A a B hay 6 caminos y de B a C 4.
i.
¿De cuantas maneras se puede ir de A a C pasando por B? R = 6x4= 24
ii.
¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando
por B? r = 4x24=576
iii.
¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el
mismo camino más de una vez? R = 24x3x5=360
2.36 Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie
trineo) si uno de tres debe manejar.
1 persona. 5x4x3x2x1=120
1 persona. 5x4x3x2x1=120
1 persona. 5x4x3x2x1=120
R = 3x5x4x3x2x1=360.
2.37
i.
Hallar el numero de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila.
5!=5x4x3x2x1=120 formas de sentarse.
ii.
¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de
otra?
2!x3! = 48 maneras
2.40 ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si
4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?
8!
R = 4!2!2! =
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4!
4!𝑥2!𝑥2!
=
8𝑥7𝑥6𝑥5
2!2!
=
8𝑥7𝑥6𝑥5
4
= 420
2.42
i.
ii.
iii.
Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los
hombres y las mujeres deben quedar alternados.
H = niños y M= niñas
4Hx4Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 576
4Mx4Hx3Mx3Hx2Mx2Hx1Mx1H = 576
576 + 576 = 1152
Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente y uno de los niños se sientan
siempre junto a una niña determinada.
7C1 =7
1H 7Hx3Mx3Hx2MX2HX1MX1H = 252
1M 7Mx3Hx3Mx2Hx2Mx1Hx1M = 252
252 + 252 = 504
Hallar el número de maneras si se sientan alternadamente pero los dos niños
mencionados no quedan en sillas adyacentes.
R = 1152-504 = 648
2.44 Una urna contiene diez bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas.
i.
De tamaño tres con sustituciones
10X10X10=1000 Formas de tomar tres pelotas
ii.
De tamaño tres sin sustituciones
10x9x8=720.
iii.
De tamaño cuatro con sustitución
10X10X10X10=10000 Formas de tomar una pelota.
iv.
De tamaño cinco sin sustitución
10x9x8x7x6=30240 formas de tomar cinco pelotas.
2.45 hallar el numero de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4
medianos y 3 pequeño de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.
5!x4!x3!x3!=103,680 formas de colocar los libros.
2.55 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.
i.
¿de cantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4?
12C4=495 formas de escoger un comité.
ii.
¿Cuántos comités contaran con una niña por lo menos?
12C4=495
9C4=126
12C4-9C4=495-126=369.
iii.
¿Cuántos tendrán una niña exactamente?
3x9C3=252.
2.56 Una señora tiene 11 amigos de confianza.
i.
¿de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer?
11C5=462 maneras.
ii.
¿de cuantas maneras si dos son casados y no asiste uno sin el otro?
9C3+9C5=210 formas.
iii.
¿de cuantas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten juntos?
9C5+2x9C4=378 formas.
2.57 hay 10 puntos A,B… en un plano, en una misma línea no hay 3:
i.
¿Cuántas líneas forman los puntos?
10C2=45 formas.
ii.
¿Cuántas líneas no pasan por A o B?
8C2=28 formas.
iii.
¿Cuántos triángulos determinan los puntos?
10C3=120 formas.
iv.
¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A?
9C2=36 formas.
v.
¿Cuántos triángulos contiene el lado AB? R=8
i.
ii.
iii.
iv.
v.
2.58 Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen.
¿Cuántas maneras de escoger tiene?
13C10=286
¿Cuántas, si las dos primeras son obligatorias?
11C8=165 maneras.
¿Cuántas, si una de las dos primeras es obligatoria?
2x11C9=110 formas.
¿Cuántas, si tiene que contestar exactamente 3 de las 5 primeras?
5C3=10
8C7=8
5C3x8C7=80 formas.
¿Cuántas, si tiene que contestar por lo menos tres de las 5 primeras?
5C3x8C7+5C4x8C6+5C5X8C5=276 formas.
2.59 A una persona se le reparte una mano de “póker” (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De
cuantas maneras puede recibir.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Una escalera flor?
4x10=40 formas.
Un “póker”?
13x43=559 formas.
Una escalera?
10x 45-40=10200 formas
Un par de ases?
4C2x12C3x43=84480 formas.
Un par cualquiera (dos cartas iguales)?
13x4C2x12C3x43=1098240
2.60 El alfabeto inglés tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
¿Cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes, se pueden formar?
21C3x5C2x5!=1596000
¿Cuántas de estas contienen la letra b?
20C2x5C2x5!=228000 formas.
¿Cuántas contienen la b y contienen c?
19C1x5C2x5!=22800 formas.
¿Cuántas empiezan por b y contienen c?
19C1x5C2x4!=4560 formas.
¿Cuántas empiezan por b y terminan por c?
19x5C2x3!=1140 formas.
¿Cuántas contienen las letras a y b?
4C1x20C2x5!=91200 formas.
PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS
2.61 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños?
9!
=1680
3!3!3!
2.62 ¿De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos?
1680/3!=280.
2.63 ¿De cuántas maneras se puede dividir 10 estudiantes en tres equipos?
10C4x5C2=2100.
2.64 ¿Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro
veces sucesivamente, todas sin sustitución?
12!
=
3!3!3!3!
369600.
2.65 ¿De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de5, 4 y 3
miembros respectivamente?
12!
=27720.
5!4!3!
2.66 ¿De Cuántas maneras se pueden repartir n estudiantes en dos equipos que contengan un
estudiante por lo menos?
2n-1-1
2.67 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 14 hombres en 6 comités en los que dos sean de 3
hombres y los otros de 2?
14!
1
x =3153150.
3!3!2!2!2!2! 2!4!
DIAGRAMAS DE ARBOL
2.68 Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de |a, b, c, d|.
2.70 Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto. El primer equipo que gane dos juegos
seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede
suceder el juego.
4P2= 12+(juegos ganados seguidos)=14 formas.
2.71 U n hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha.
Se tiene después de 5 pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para
descubrir todas las trayectorias posibles que puede seguir.
Existen 20 maneras de cómo puede suceder el juego, como se muestra en el diagrama.
PARTE 2
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
3.25Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:
A
B
i. Suceda A o no B
(A u BC)
ii. Ni A ni B sucedan
(A u B)C
3.26 Sean A, B y C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que:
A
B
C
i. Sucede exactamente uno de los tres eventos
A n (B u C) C
ii. Suceden por lo menos dos de los eventos
(A u B) u C
iii. Ninguno de los eventos sucede
(A u B u C)C
iv. Sucede A o B pero no C
(A u B) u CC
3.27 Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de 10 y un dado.
i. Escribir el espacio muestral apropiado
S={AA1,AA2,AA3,AA4,AA5,AA6,AS1,AS2,AS3,AS4,AS5,AS6,SA1,SA2,SA3,
SA4, SA5, SA6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6,}
ii. Expresar explícitamente los eventos siguientes:
A= {que aparezcan dos caras y un numero primo}. B= {que aparezca un dos}, C= {que
aparezca exactamente una cara o un numero primo}.
a) Primos: 1, 2, 3,5 A= {SS1, SS2, SS3, SS5}
b) B= {AA2, AS2, SA2, SS2}
c) C= {AS1, AS2, AS3, AS5, SA1, SA2, SA3, SA5}
iii. Exprese explícitamente el evento en que (a) A y B sucedan, (b) suceda solamente B, (c)
suceda B o C.
a) A n B= {SS2}
b) B-(A U C)= {AA2}
c) B u C= {SS2, AA2, AS2, SA2, AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}
ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD
3.28 ¿Cuáles funsiones definen un espacio de probabilidad de S= {a1, a2, a3}?
i.
ii.
iii.
iv.
P(a1)=1/4, P(a2)=1/3, P(a3)=1/2 NO VALIDO
P(a1)=2/3, P(a2)=-1/3, P(a3)=2/3 NO VALIDO
P(a1)=1/6, P(a2)=1/8, P(a3)=1/2 SI VALIDO
P(a1)=0, P(a2)=1/8, P(a3)=2/8 SI VALIDO
3.29 Sea P una función de probabilidad de S= {a1, a2, a3}. Hallar P (a1) si
i.
ii.
iii.
iv.
P(a2)=1/3 y P(a3)=1/4
P(a1)=2 P(a2) y P(a3)=1/4
P({a2,a3})=2 P(a1)
P(a3) =2 P(a2) y P(a2)=3 P(a1)
P(a1)=5/12
P(a1)=1/2
P(a1)=1/8
P(a1)=1/10
3.30 Se carga una moneda de manera que la posición de salir cara sea tres veces la de salir sello.
Hallar P (H) y P (T).
P (H)= 3/4
P (T)=1/4
3.31 Tres estudiantes A, B y C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma
probabilidad de ganar y el doble de la de C. hallar la probabilidad de que gane B o C.
P(A u B)= 3/5
3.34 En una carrera de natación la ventaja de que gane A es dos a tres y la ventaja de que B gane
es de uno a cuatro. Hallar la probabilidad p y la ventaja de que A o B ganen la carrera.
P(A u B)= 3/5 La ventaja es 3 a 2
ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE
3.37 De las 10 niñas de una clase. 3 tienen ojos azules, si se escogen dos niñas al azar ¿Cuál es la
probabilidad de que:
S=10C2=45
i. Las dos tengan ojos azules?
3C2= 3 parejas
P(Ñ=2)=3C2/10C2=1/15=6.66%
ii. Ninguna tenga ojos azules?
7C2=21
P(A=0)= 7C2 / 10C2 = 7/15 = 46.6%
iii. Una por lo menos tenga los ojos azules?
P(A>=1)= 7/15+1/15 = 8/15
3.40 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, hallar la
probabilidad de:
i. Seleccionar tres niños.
10C3=120
P(O=3)10C3/16C3=120/560=6/28=3/14
ii. Seleccionar exactamente dos niños
10C2*6C1=270
(PO=2)=10C2*6C1/16C3=270/560=27/56
iii. Seleccionar por lo menos un niño
P(O>=1)=27/56+3/14+15/56=27/28
iv. Seleccionar exactamente 2 niñas
6C2*10C1=150
P(A=2)=6C2*10C1/16C3=150/560=15/56
3.42 De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y
español. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante:
i. Estudie francés y español
F n E = {20}
p (F n E) = 20/120 = 10/60 = 5/30 = 1/6
ii. No estudie francés ni español
(F u E)C = {30}
P (F u E) C = 1-P 8 (F u E) = 1-3/4=1/4
3.43 3 niños y 3 niñas se sientan en una fila. Hallar la probabilidad de que
i. Las tres niñas se sienten juntas
1/5
ii. Los niños y las niñas se sienten alternados
1/10
PARTE 3
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
3.36 sean a y b eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento
donde:
a) Ocurra a o no b.
(AUB)C
b) Ni a ni b sucedan.
(AUB)C
3.37 sean a, b y c eventos. Encuentre una expresión y dibuje el diagrama de ven para el evento:
a) Ocurra a o c, pero no ocurra b.
(A u B) u CC
b) Ocurra exactamente uno de los tres eventos.
A ∩ (B u C) C
c) Ninguno de los eventos ocurra.
(A u B u C) C
d) Al menos dos de los eventos ocurran.
(A u B) u C
3.38. Se lanza una moneda de un centavo, una de diez y un dado. Describa el espacio muestral
S apropiado y encuentre n(s).
S {AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,
AS1, AS2, AS3, AS4, AS5, AS6,
SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6,
SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6}.
n(S)=24.
3.39 para el espacio S en el problema 3.38 exprese explícitamente los eventos siguientes.
A. {aparecen dos caras y un número par}.
B. A= {AA2, AA4, AA6}. ]
C. {que aparezca un numero dos}.
B = {AA2, AS2, SA2, SS2}.
D. {exactamente una cara y un número impar}.
C = {AS1, AS3, AS5, SA1, SA3, SA5}.
3.40 para los eventos a, b, c en el problema 3.39exprese explícitamente el evento:
a) A y B.
(A ∩ B) = {SS2}.
b) Solamente B
B - (A ∩ C) = {AA2}.
c) B y C.
(B ∩ C)= AS2, SA2}.
d) A pero no B.
(A u BC) = {AA4, AA6}.
Espacios equiprobables finitos.
3.41 determine la probabilidad de cada evento:
a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar.
A=
3 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
6 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
b) Que al lanzar cuatro monedas equilibradas aparezcan 1 cara o mas.
4 * 4= 16
15
16
formas
c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos números excedan de cuatro.
6*6=36
4
36
formas
d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados.
𝟏𝟎
= 𝟑𝟔 formas
e) Que aparezca una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente
de un naipe de 52 cartas.
𝟑𝟐
𝟓𝟐
3.44 hay tres tornillos y tres tuercas en una caja. Se escogen dos partes al azar. Encuentre la
probabilidad de que uno sea tornillo y la otra tuerca.
𝟑
𝟓
Formas, porque ambos tienen la misma probabilidad, ya que son la misma cantidad de 3, en la
caja y suman 6, pero se descuenta 1, debido a que es el que se puede sacar al azar.
3.45 una caja contiene dos medias blancas, dos medias azules, y dos medias rojas. Se sacan 2
medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color).
2+2+2= 6
6C2=15
𝟑
𝟏𝟓
𝟏
=𝟓
3.46 de 120 estudiantes, 60 están estudiando francés, 50 están estudiando español y 20 están
estudiando francés y español. Se elige un estudiante al azar. Encuentre la probabilidad de que el
estudiante este estudiando:
a) Francés y español.
F ∩ E= {20}
20
10 1
P (F ∩ E)= 120 = 60 =6
b) Francés o español.
F u E = {90}
c) Ni francés ni español.
1
4
(F u E) c = {30}=
1
P (F u E)’=1 – P (F u E) = 1- =4
d) Solamente español.
1
3
F – (F ∩ E)= F- E= {40}=
e) Exactamente uno de los dos idiomas.
3.47 de diez niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Dos de las niñas se escogen al azar.
Encuentre la probabilidad de que:
a) Ambas tengan ojos azules.
3C2 =3 pareas.
b) Ninguna tenga ojos azules.
7C2= 21 parejas.
7𝐶2
21
7
P (A=0)=10𝐶2 =45 = 15 = 0.466 = 46.6%.
c) Al menos una tenga ojos azules.
7
1 8
P (P ≥ 1)= 15 =5=15 = = 0.533 = 53.3 %
d) Exactamente una tenga ojos azules.
3C2 * 7= 21 pareas.
P (A=1)=
3𝐶2 7𝐶2 21 7
= = =
10𝐶2 47 15
0.466=46.6%
3.48 hay 10 estudiantes en una clase. Selecciona un comité de tres de la clase. Encuentre la
probabilidad de que:
a) A pertenezca al comité.
𝟑
𝟏𝟎
b) B pertenezca al comité.
𝟑
𝟏𝟎
c) A y b pertenezca al comité.
A+B= 2
d) A o B pertenezca al comité.
𝟖
𝟏𝟓
ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS
3.49 ¿Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S = {a1, a2, a3} en un espacio de
probabilidad?
(a) P (a1) =0.3 P (a2) = 0.4, P (a3) = 0.5
(b) P (a1) = 0.7 P (a2) = -0.2, P (a3) = 0.5
(c) P (a1) = 0.3 P (a2) = 0.2 P (a3) = 0.5
(d) P (a1) = 0.3, P (a2) = 0, P (a3) = 0.7
3.50 Se ha alterado el peso de una moneda de manera que la probabilidad de que salga cara es
tres veces mayor que la probabilidad de que salga sello. Encuentre P (H) y P (T).
𝟒
𝟒
3
P (H)=4
3.51 Suponga que A y B son eventos con P (A) = 0.7 P (B) = 0.5, y P (A n B) = 0.4. Encuentre la
probabilidad de que:
(a) no ocurra A.
P (A)’ = 1 – P (A) = 1-0.7= 0.3.
(b) ocurra A o B.
P (A u B)= P (A)+ P (B)- P (A∩B).
= 0.7+ 0.5 - 0.4.
= 0.8
(C) ocurra A pero no ocurra B.
P (A) – P (A∩B)= 0.7- 0.4 = 0.3.
(d) no ocurra A ni B.
P (A u B)’= 1- P (A u B) =1- 0.8 = 0.2
3.52 Considere la siguiente distribución de probabilidad:
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝟏
𝑷𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝟎. 𝟏
𝟐
𝟎. 𝟑
𝟑
𝟎. 𝟏
𝟒
𝟎. 𝟐
𝟓
𝟎. 𝟐
𝟔
𝟎. 𝟏
Considere los siguientes eventos:
A = {número par, B = {2, 3, 4, 5} C = {1, 2}
Encuentre: (a) P (A),
(b) P (B),
(c) P (C),
(d) P (Ø),
(e) P (B n C c)
3.54 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle:
(a) P (A n B),
(b) P (A u C),
(c) P (B n C),
(d) P (Ac),
(e) P (B n Cc).
3.54 Hay tres estudiantes A, B, C en una competencia de natación, A y B tienen la misma
probabilidad de ganar y cada uno tiene el doble de probabilidad de ganar que C. Encuentre la
probabilidad de que
(a) B gane
𝟐
𝟓
(b) C gane
𝟏
𝟓
(c) B o C gane
𝟑
𝟓
3.55 Sea P una función de probabilidad en S = {a1, a2, a3}. Encuentre P (a1) si
(a) P (a1) = 0.3, P (a3) = 0.5;
(b) P (a1) = 2 P (a2) y P (a3) = 0.7;
(c) P ({a2, a3}) = 2P (a1);
(d) P (a3) = 2P (a2) = 3P (a1)
MIGUEL ANGEL RUIZ RAMIREZ
2° A
ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES