tabla de indeterminaciones

OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITÉSIMOS.
En el cálculo directo de límites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras que
tienden a cero (infinitésimos).
Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado o que no pueda saberse de
forma inmediata y haya que realizar cierto número de operaciones para ello
(INDETERMINACIÓN). Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:
OPERACIÓN
RESULTADO
+

+k

k-
-
-
Indeterminada
𝒌

∞
∞

𝒌
∞

∞

OBSERVACIONES
Tener en cuenta los grados.
Si es preciso “Conjugado”
0
∓∞
Depende del signo de k
Indeterminada
Tener en cuenta los grados

  (- )
-
k   (con k0)

Depende del signo de k
Indeterminada
Operamos hasta convertirla en una del tipo
∞
0
ó

Habrá que hacer límites laterales para saber
si es + ó - 
0
∞
k
0
(con k ≠ 0)
0
k
(con k ≠ 0)
0
0
0
0
Indeterminada
si a > 1  a  = 
a  (con a > 0)
Si a = 1 ⟹ 1∞ → Indeterminada
Del tipo del número “e” 2,718.
Se pueden hacer con la fórmula o tomando
logaritmos
si 0 < a < 1  a  = 0
00
Indeterminada
Se pueden hacer tomando logaritmos
∞0
Indeterminada
Se pueden hacer tomando logaritmos
GRADOS DE INFINITOS.
Resulta muy útil para comparar unos infinitos con otros y despreciar los que son de menor grado
Si suponemos que ( x   ; a>1 , n>0 ) y ordenados de mayor a menor:
x x >> x ! >> a x >> x n >  ln x
INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.
Expresiones que tienden a cero “infinitésimos” se pueden sustituir por otras más sencillas
que permitan simplificar el cálculo y resolución de indeterminaciones.
Para 𝐮 → 𝟎
Para 𝐮 → 𝟏
3
u
+⋯
6
u3
≈ u+ +⋯
3
𝑢3 3𝑢5
≈𝑢+
+
+⋯
6
40
𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢
≈ u−
tan 𝑢 ≈ 𝑢
𝐴𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢
𝐴𝑟𝑐𝑢
𝑢2
𝑐𝑜𝑠 𝑢 ≈ 1 −
2
𝑒𝑢 ≈ 1 + 𝑢
≈1−
𝑢2 𝑢4
+
−⋯
2 24
≈1+𝑢+
𝑢2
+⋯
2
ln 𝑢 ≈ 𝑢 − 1
𝑎𝑢 ≈ 1 + 𝑢 ln 𝑎
Como curiosidad estas equivalencias se obtienen mediante del Desarrollo en Serie de Taylor que
verás en cursos universitarios y que sirve para aproximar una función continua y derivable en un en
un entorno del punto x=a por un polinomio. La aproximación será tanto mejor cuanto más cerca
estemos del punto x=a.
1
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 1! 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +
1
𝑓´´
2!
1
𝑎 (𝑥 − 𝑎)2 + 3! 𝑓´´´ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ . . … …
y=ex , por ejemplo, en el punto a=0.
Si te apetece puedes comprobarlo desarrollando: y= sen x ó
REGLA DE L’HÔPITAL.
Es una regla que permite utilizar las derivadas para calcular algunos límites que estén expresados en
forma de cociente y bajo determinadas condiciones.
lim
lim
Si
f x =0
y
g x =0
o también
x→a
x→a
Si
lim
f x =∞
x→a
Se tiene que:
y
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
lim
g x =∞
x→a
𝐟 𝐱
𝐠 𝐱
=
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
Es decir, se puede utilizar en indeterminaciones de los tipos:
𝐟´(𝐱)
𝐠´(𝐱)
𝟎
𝟎
ó
∞
∞
Ésta regla es válida cuando “a” es un número real, pero también cuando es +∞ ó − ∞