Solución al Examen parcial I, Curso de F´ısica I Universidad

Solución al Examen parcial I, Curso de Fı́sica I
Universidad Nacional Autónoma de México
Grupo 14
27 de octubre de 2006
1.
Un jugador de béisbol golpea la pelota de modo que ésta adquiere una velocidad de 14.5
ms−1 y un ángulo de 30◦ por encima de la horizontal. Un segundo jugador, a 30.5 m
del bateador y en el mismo plano de la trayectoria de la pelota, empieza a correr en el
instante en que la pelota es golpeada. (a)Calcule la velocidad mı́nima del jugador para
atrapar la pelota, si su mano puede llegar a 2.4 m del nivel del suelo y la pelota estaba
a 0.92 m de altura cuando fue golpeada. (b)¿Qué distancia tiene que correr el segundo
jugador?
Respuesta: Podemos calcular el tiempo que tarda la bola en llegar a 2.4m del suelo con
la ecuación
1
y = y0 + Vy0 t + ay t2
2
donde y = 2.4m, y0 = 0.92m, Vy0 = V0 sen30.5ms−1 (la componente de la velocidad
inicial en el eje y) y ay = −9.8ms−2
sustituimos los valores de las variables que conocemos y la ecuación nos queda asi:
1
2.4m = 0.92m + V0 sen30.5ms−1 t − 9.8ms−2 t2
2
haciendo la aritmética y reacomodando tenemos
4.9ms−2 t2 − 7.25ms−1 t + 1.48m = 0
La ecuación anterior es una ecuación cuadrática en la variable tiempo, t, un ejemplo
para resolver esta ecuación es el siguiente:
La escribimos sin unidades, pues el análisis dimensional nos indica que es correcta
1
4.9t2 − 7.25t + 1.48 = 0
dividimos la ecuación entre 4.9
t2 − 1.48t + 0.3 = 0 → at2 + bt + c = 0
La resolvemos por la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
t=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
De aqui obtenemos las raices t1 = 0.24 y t2 = 1.24, que son los dos tiempos para los
cuales la bola alcanza los 2.4m respecto al suelo. Tomamos el tiempo para cuando la bola
esta cayendo t = t2 = 1.24s para calcular el avance en x que tuvo la bola, utilizamos la
siguiente ecuación para un movimiento no acelerado en x
x = x0 + V0x t
donde V0x = V0 cos30 = 12.56ms−1 y x0 = 0, sustituimos en la ecuación estos valores
x = 12.56ms−1 × 1.24s = 15.57m
Y la distancia que el jugador tiene que recorrer si esta a 30.5m del bateador
es 30.5 − 15.57m = 14.92 m.
El jugador tiene que acelerar para realizar una buena atrapada, pues está en reposo y
empieza a correr cuando el bateador le pega a la bola, entonces tiene que recorrer 14.92
metros en 1.24 segundos, partiendo de una velocidad V 0x = 0 ms−1 .
Obtenemos la aceleración con la siguiente ecuación tomando en cuenta que el jugador
puede acelerar de manera constante
1
x = x0 + V0x t + ax t2
2
despejamos la aceleración y tomamos en cuenta que x 0 = 0 y V0x = 0
ax =
2
2x
t2
sustituyendo los valores tenemos que la aceleración del jugador es
ax =
2 × 14.92m
= 19.41ms−2
(1.24s)2
La velocidad del jugador al alcanzar la bola es 1
Vx = ax t = 19.41ms−2 × 1.24s = 24.06ms−1
2.
Dos bloques conectados por un cordel que pasa por una polea pequeña sin fricción
descansan en planos sin fricción(Fig. 1). (a) ¿Hacia donde se moverá el sistema cuando los
bloques se suelten del reposo? (b)¿Qué aceleración tendrán los bloques? (c)¿Qué tensión
hay en el cordel?
100 kg
50 kg
30.0
o
53.1
o
Fig. 1
N
Respuesta: Dibujamos el diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas.
T
y
w
2
x
1
w2
y
w
N
−T
w1
x
w1
w2
masa de 50 kg
masa de 100 kg
las componentes de los pesos en x son.
w1x = w1 sen30
1
w2x = w2 sen53.1
Esta velocidad es la mı́nima, pues el jugador podrı́a haber experimentado un movimiento con aceleración
variable, por ejemplo, acelerar muy poco al principio y súbitamente al final de su trayectoria para alcanzar la
bola.
3
la suma de fuerzas en x para el cuerpo de masa= 100kg
X
F1x = T − w1 sen30 = m1 ax
la suma de fuerzas en x para el cuerpo de masa= 50kg
X
F2x = −T + w2 sen53.1 = m2 ax
si sumamos F1x y F2x tenemos la siguiente ecuación
w2 sen53.1 − w1 sen30 = m1 ax + m2 ax
la anterior ecuación la podemos escribir de la siguiente manera
w2 sen53.1 − w1 sen30 = ax (m1 + m2 )
despejamos la aceleración
ax =
w2 sen53.1 − w1 sen30
m1 + m 2
como w = mg y sustituyendo los valores encontramos la aceleración que sufren
ambos bloques
ax =
490 × 0.8 − 980 × 0.5
= −0.65ms−2
100 + 50
Como la aceleración es negativa el sistema se moverá hacia donde decrece x,
es decir hacia la izquierda.
Para calcular el valor de la tensión de la cuerda la despejamos de una de las ecuaciones que tenemos para la suma de fuerzas en x, por ejemplo: T − w 1 sen30 = m1 ax , y
sustituimos el valor de la aceleración. El valor de la tensión es:
T = w1 sen30 + m1 ax = 490 + 100 × (−0.65) = 425N
3.
¿Es posible mantener un bloque en equilibrio con dos cables fijos a el como se muestra en
la Fig. 2?. Cada cable está fijo a una pared, y el ángulo entre ellos es de 180 ◦ . Fundamente
su respuesta con diagramas de cuerpo libre y con aplicaciones de las leyes de Newton.
4
T2
T1
m
Fig. 2
Respuesta: Para que un cuerpo este en equilibrio se debe de cumplir que la suma de
las fuerzas que experimenta sea igual a cero.
El bloque del problema cumple con la condición para la componente de la suma de
fuerzas en x
X
Fx = T 1 − T 2 = 0 ; T 1 = T 2
Sin embargo, para la componente de la suma de fuerzas en y no se cumple la condición
X
Fy = −w 6= 0
esto es por que al no haber fuerza normal, debido a la inexistencia de una superficie
de contacto, o alguna fuerza en sentido contrario al peso del bloque, no hay manera de
contrarestar a w, y la suma de fuerzas es diferente de cero. Por lo tanto el sistema
no puede estar en equilibrio.
La masa tiende a bajar(esto hace que el ángulo entre las tensiones sea menor que 180 ◦ ),
de esta manera las tensiones tendrán componentes tanto en x como en y, solo ası́ el
sistema podrá estar en equilibrio.
4.
Punto extra. Invariancia de la suma vectorial ante la rotación del sistema de coordenadas. La Fig. 3 muestra dos vectores, ~a y ~b y a dos sistemas de coordenadas que difieren
en el hecho de que sus ejes x y x0 y sus ejes y y y 0 forman un ángulo φ entre ambos.
Demostrar analı́ticamente que ~a + ~b tiene la misma magnitud y dirección sin importar
cual de los dos sistemas se usa para hacer el análisis.
5
y
y’
b
a
φ
x’
x
Fig. 3
Respuesta: El producto punto de dos vectores, ~a y ~b, que tienen un ángulo θ entre ellos
es:
~a · ~b = ||~a||||~b||cosθ
√
La definición de norma de un vector es ||~a|| = ~a · ~a de aqui que ||~a||2 = ~a · ~a
Entonces la norma de la suma de los vectores ~a y ~b es
||~a + ~b|| =
q
(~a + ~b) · (~a + ~b) =
q
~a · ~a + ~b · ~b + 2~a · ~b =
q
||~a||2 + ||~b||2 + 2||~a||||~b||cosθ
Tomamos un ángulo ψ como el ángulo que forma el eje x y el vector ~a y a ρ como el
ángulo que forma el eje x con el vector ~b.
y
y’
b
ρ
a
φ
ψ
φ
Fig. 3
En el sistema x0 , y 0 las componentes de los vectores ~a0 y ~b0 son
~a0x = ||~a||cos(ψ − φ)
6
x’
x
~a0y = ||~a||sen(ψ − φ)
~b0 = ||~b||cos(ψ − φ)
x
~b0 = ||~b||cos(ρ − φ)
y
Y las normas de estos vectores en sus componentes son
||~a0 || = ||~a||(cos2 (ψ − φ) + sen2 (ψ − φ))1/2
||~a0 || = ||~a||
||b~0 || = ||~b||(cos2 (ρ − φ) + sen2 (ρ − φ))1/2
||b~0 || = ||~b||
Para el sistema x0 , y 0 se cumple que la norma de una suma de vectores es:
||~a +~b0 || =
0
q
(~a0
+ ~b0 ) · (~a0 + ~b0 ) =
q
~a0 · ~a0 + ~b0 · ~b0 + 2~a0 · ~b0 =
q
||~a0 ||2 + ||~b0 ||2 + 2||~a0 ||||~b0 ||cosθ
Lo que tenemos que averiguar es si se cumple la siguiente igualdad
q
||~a||2 + ||~b||2 + 2||~a||||~b||cosθ =
q
||~a0 ||2 + ||~b0 ||2 + 2||~a0 ||||~b0 ||cosθ
Para esto en la ecuación sustituimos las ||~a 0 || y ||~b0 || por sus normas expresadas en
términos de sus componentes en x y y para obtener la siguiente ecuación
||~a0 + ~b0 || =
q
||~a||2 + ||~b||2 + 2||~a||||~b||cosθ
Por lo tanto ||~a + ~b|| = ||~a0 + ~b0 || y además ~a · ~b = ~a0 · ~b0
La dirección del vector ~a + ~b respecto al vector ~a esta dada por
η = arccos
(~a + ~b) · ~a
||~a + ~b||||~b||
donde η es el ángulo que forman los vectores (~a + ~b) y ~a. Utilizando las propiedades del
producto punto tenemos que
η=
||~a||2 + ~a · ~b
||~a + ~b||||~b||
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en el sistema coordenado rotado, (x 0 , y 0 ), el ángulo entre dichos vectores es:
η0 =
||~a0 ||2 + ~a0 · ~b0
||~a0 + ~b0 ||||~b0 ||
Utilizando ||~a0 || = ||~a|| y ~a · ~b = ~a0 · ~b0 tenemos que
η0 =
||~a||2 + ~a · ~b
||~a + ~b||||~b||
Entonces η = η 0 , es decir la dirección de la suma de vectores (~a + ~b) respecto
a los vectores ~a y ~b no cambia ante la rotación de coordenadas.
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