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Matemáticas
Opción A
EDUCACIÓN SECUNDARIA 2
SOLUCIONES
Evaluación:
Fecha:
Ejercicio nº 1.Realiza las siguientes operaciones con polinomios:
(
) (
b) (2 x − 2 x + 4 x − 2 ) − (x
c) (x + 5 ) ⋅ (x + 2 x − 3 )
a) 3 x 2 + 5 x − 6 + 2 x 4 − 2 x 3 + 4 x − 2
4
3
2
3
)
+ 5x 2 − 2x − 3
)
3
Solución:
(
) (
)
a) 3 x 2 + 5 x − 6 + 2 x 4 − 2 x 3 + 4 x − 2 = 2 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 + 9 x − 8
(
) (
)
b) 2 x 4 − 2 x 3 + 4 x − 2 − x 3 + 5 x 2 − 2 x − 3 = 2 x 4 − 3 x 3 − 5 x 2 + 6 x + 1
(
)(
)
c) x 2 + 5 ⋅ x 3 + 2 x − 3 = x 5 + 7 x 3 − 3 x 2 + 10 x − 15
Ejercicio nº 2.Calcula aplicando los productos notables en a)) y extrae factor común en b)):
a)) (x + 2y))
2
b)) 6x + 12x y − 18 xy
3
2
2
Solución:
a) (x + 2y) = x + 4xy + 4y
2
2
2
b) 6x +12x y −18 xy = 6x (x + 2xy − 3y )
3
2
2
2
2
Ejercicio nº 3.Simplifica las siguientes fracciones:
a)
x 2 + 6x + 9
x +3
b)
x3 − x
x2 − 1
Solución:
a)
x 2 + 6x + 9 ( x + 3) ⋅ ( x + 3)
=
= x +3
x +3
x +3
b)
2
x3 − x x x − 1
=
=x
x2 − 1
x2 − 1
(
)
Ejercicio nº 4.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)) x + 3 = −5
b)) −2(−
−15 − 2x) + 4x = 3x − 5x + 3x
Solución:
a) x = −8
b) 30 + 4 x + 4 x = x
→
7 x = −30
→
Ejercicio nº 5.Resuelve las siguientes ecuaciones:
x=−
30
7
a)
3x
+ 20 = x + 25
2
b)
x
3x
+ 3 = 2x −
4
2
Solución:
a)
3x
+ 20 = x + 25
2
→
3 x + 40 = 2 x + 50
b)
x
3x
+ 3 = 2x −
4
2
→
x + 12 = 4 x − 6 x
→
→
x = 10
3 x = −12
→
x = −4
Ejercicio nº 6.Resuelve:
a) x 2 − 6 x − 7 = 0
b) 9 x 2 − 9 = 0
Solución:
a) x =
6±
36 + 28
2
→
x = 7
 x = −1

x = 1
b) x 2 = 1 → 
 x = −1
Ejercicio nº 7.Resuelve, por el método que consideres más oportuno, estos sistemas:
5 x + 4 y = 3
a) 
 x + 2y = 3
x = 5 − y
b) 
2 x + y = 7
Solución:
5 x + 4y = 3
5 x + 4 y = 3
→
a) 
− 5 x − 10 y = −15
 x + 2y = 3
− 6 y = −12 → y = 2
x + 2 y = 3 → x + 4 = 3 → x = −1
 x = 5 − y
b) 
2 x + y = 7 → 2 ( 5 − y ) + y = 7 → 10 − 2y + y − 7 = 0 → 3 − y = 0 → y = 3
x = 5−y → x = 5−3 → x = 2
Ejercicio nº 8.La diagonal de un rectángulo mide 160 cm y la base 120 cm. ¿Cuánto mide la altura?
Solución:
a2 = b2 + c 2
b 2 = a2 − c 2
b 2 = 1602 − 1202
b = 11200
b = 105,8 cm
Ejercicio nº 9.-
Mide sobre el plano AB, BC y AC y averigua cuáles son las verdaderas distancias entre
estos tres pueblos.
Solución:
• Distancias en el plano :
AB = 5 cm;
BC = 2 cm;
AC = 4 cm
• Distancias reales :
AB = 400 000 ⋅ 5 cm = 20 km
BC = 400 000 ⋅ 2 cm = 8 km
AC = 400 000 ⋅ 4 cm = 16 km
Ejercicio nº 10.Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a
cada uno de ellos:
Solución:
20 15
120
=
→ x=
= 6 cm
8
x
20
20 y
140
= → y=
= 17,5 cm
8
7
8
Ejercicio nº 11.Las bases de un prisma recto son pentágonos regulares de 8 cm de lado y 5,5 cm de
apotema. La altura del prisma es de 15 cm. Dibuja su desarrollo y calcula el área total.
Solución:
SBASE =
8 ⋅ 5,5
⋅ 5 = 110 cm2
2
SLATERAL = (8 · 5) · 15 = 600 cm
2
STOTAL = 2 · SBASE + SLATERAL = 2 · 110 + 600 = 820 cm
2
Ejercicio nº 12.Calcula el área lateral y el área total de un cilindro de 2 metros de radio y 2,5 metros de
altura. Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos
necesarios.
Solución:
ABASE = π · r = 3,14 · 4 = 12,56 m
2
ALAT = 2 · π · r · h = 6,28 · 2 · 2,5 = 31,4 m
2
ATOTAL = 2ABASE + ALAT = 25,12 + 31,4 = 56,52 m
2
2
Ejercicio nº 13.En una esfera de 20 cm de radio, se pinta de rojo un casquete esférico de 8 cm de altura
y de amarillo una zona esférica de la misma altura. ¿Qué porción de superficie es mayor,
la roja o la amarilla?
Solución:
SCASQUETE ESFÉRICO = SZONA ESFÉRICA = 2 · π · R · h = 2 · π · 20 · 8 = 6,28 · 20 · 8 = 1 004,8 cm
2
Ejercicio nº 14.Expresa en distintas unidades (en forma compleja) o en una sola (en forma incompleja),
según corresponda:
a)) 259 348 650 245 dm
3
b)) 305 km 20 hm 32 m 275 dm
3
3
3
3
Solución:
a) 259 348 650 245 dm = 259 hm
3
3
348 dam
3
650 m
3
245 dm
b) 305 km 20 hm 32 m 275 dm = 305 020 000 032 275 dm
3
3
3
3
Ejercicio nº 15.Calcula el volumen de estos cuerpos:
3
3
Solución:
ABASE ⋅ h
=
3
2
3,14 ⋅ 10 ⋅ 17
=
=
3
= 1 779, 3 cm 3
ABASE ⋅ h
=
3
2
12 ⋅ 20
=
=
3
= 960 cm 3
V =
V =
V = ABASE ⋅ h =
48 ⋅ 6, 9
⋅ 15 =
2
= 2 484 cm 3
=
Ejercicio nº 16.La suma de dos números consecutivos es 49. ¿Cuáles son esos números?
Solución:
Número
Siguiente
→
→
x
x +1
x + x + 1 = 49 → 2 x + 1 = 49 → x =
48
→ x = 24
2
x + 1 = 25
Los números son 24 y 25.
Ejercicio nº 17.El producto de dos números pares consecutivos es 80. ¿Cuáles son esos números?
Solución:
Par
→ x
Anterior → x – 2
x ⋅ ( x − 2 ) = 80 → x 2 − 2 x − 80 = 0 → x =
2±
2 + 18

 x = 2 = 10
4 + 320
→ 
2
 x = 2 − 18 = −8

2
Los números son 8 y 10 ó −8 y −10.
Ejercicio nº 18.Calcula dos números de forma que su diferencia sea 5 y la suma del primero con el
doble del segundo sea 35.
Solución:
− x + y = −5
x−y =5

 →
x + 2y = 35 
x + 2y = 35
3 y = 30 → y = 10
x − y = 5 → x − 10 = 5 → x = 15
Ejercicio nº 19.Se desea tender un cable uniendo los extremos de dos torres metálicas de 25 m y 35 m
de altura, respectivamente. Si los pies de ambas torres están separadas 24 m, ¿cuántos
metros de cable se necesitan?
Solución:
a2 = b2 + c 2
x 2 = 24 2 + 10 2
x 2 = 576 + 100 = 676
x = 676 = 26
Se necesitan 26 m de cable.
Ejercicio nº 20.Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros en el momento en que
una estaca de 2 m proyecta una sombra de 0,5 metros.
Solución:
2
x
=
0, 5 4
→
x=
8
= 16
0, 5
→
x = 16 cm
Ejercicio nº 21.Observa el dibujo y calcula la superficie del casquete esférico y la superficie lateral de la
porción de cilindro sombreadas.
Solución:
SCASQUETE ESFÉRICO = SPORCIÓN CILINDRO = 2 · π · R · h = 2 · 3,14 · 10 · 8 = 502,4 cm
2
Ejercicio nº 22.Calcula el volumen de hormigón necesario para construir esta chimenea:
Solución:
VCE = AB ⋅ h = 3,14 ⋅ 82 ⋅ 15 = 3 014,4 m3
VCI = AB ⋅ h = 3,14 ⋅ 52 ⋅ 15 = 1177,5 m3
VHORMIGÓN = 3 014,4 − 1177,5 = 1836,9 m3