IES PEÑAS NEGRAS. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PEÑAS NEGRAS. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. FUNCIONES.
FUNCIONES
I.- Definición de función
Una función f es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y de forma que a
cada valor de x le corresponde un único valor de y.
x es la variable independiente e y la variable dependiente, que es la imagen que asociamos a x.
Escribimos
. A esta igualdad se le llama ecuación o expresión algebraica de la función.
II.- Definición de dominio y recorrido de una función.
El dominio de una función f es el conjunto de valores que puede tomar x, es decir, los x de
para los que
existe
. Se designa por
Se escribe así:
.
El recorrido de una función f es el conjunto de valores que puede tomar y, es decir los y que son imagen de
un x del dominio. Se designa por
.
III.- PROPIEDADES O CARACTERÍSTICAS GLOBALES de una FUNCIÓN.
1.- Dominio de una función.
Cálculo de los dominios de algunas funciones:
1) Funciones polinómicas:
2) Funciones racionales de la forma :
con
y
polinomios
.
3) Funciones definidas a partir de una raíz:
Si n es par:
con
un polinomio y
.
Si n es impar:
.
4) Funciones exponenciales (variable en el exponente):
con
y
.
5) Funciones logarítmicas (variable sometida a la acción de un logaritmo):
y
con
.
2.- Recorrido o imagen de una función.
Se designa por Im (f).
3.- Puntos de corte con los ejes.


Puntos de corte con el eje X. Son de la forma (a, 0).
Se obtienen resolviendo la ecuación f(x) =0.
Si la función viene dada mediante su gráfica son los puntos donde la gráfica corta al eje X.
Puntos de corte con el eje Y. Son de la forma (0, b).
Se obtienen calculando el valor f(0). b= f(0).
Si la función viene dada mediante su gráfica, es el punto donde la gráfica corta al eje Y.
Una función tiene, como mucho, un punto de corte con el eje Y.
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4.- Crecimiento y decrecimiento. (Monotonía). Estudio.
La monotonía de la función se estudia para intervalos abiertos del dominio.

Una función es estrictamente creciente en un intervalo abierto de extremos a y b, si para cada par
de valores cualesquiera y
con
tales que
se cumple que
.
(Intuitivamente, al aumentar las xs, aumentan también las ys)

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo abierto de extremos a y b, si para cada
par de valores cualesquiera
y
con
tales que
se cumple que
. (Intuitivamente, al aumentar las xs, disminuyen las ys).

Una función es constante en un intervalo abierto de extremos a y b, si para cada par de valores
cualesquiera
y
con
tales que
se cumple que
.
(Intuitivamente, al aumentar las xs, no varían las ys).
5.- Extremos.
5. 1.- EXTREMOS RELATIVOS. Máximo y mínimo relativos.


Una función tiene un máximo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno de de x0, E(x,x0)
tal que para cualquier punto en el entorno, excepto el propio x0, se verifica que f(x) < f(x0).
Una función tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno de de x0, E(x, x0)
tal que para cualquier punto en el entorno, excepto el propio x0, se verifica que f(x) > f(x0).
Máximo relativo en x = 2.
(2, 5)
Mínimo relativo en x = 2.
(2, 2)
SI LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN ENTORNO DEL PUNTO, las definiciones se “simplifican” y nos resulta
más fácil identificar los extremos relativos.
 Una función tiene un máximo relativo en el punto de abscisa
, cuando en las proximidades de
a, la función pasa de ser estrictamente creciente a ser estrictamente decreciente. El punto máximo
relativo es
.
 Una función tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa
, cuando en las proximidades de
a, la función pasa de ser estrictamente decreciente a ser estrictamente creciente. El punto mínimo
relativo es
.
Esta función:
Tiene un máximo relativo en x = -1.5 (-1.5, 0.6)
(Pasa de ser creciente a decreciente).
Tiene un mínimo relativo en x = 1.2 (1.2, -2.1)
(Pasa de ser decreciente a creciente).
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Si consideramos todo lo visto hasta ahora:
Esta función:
Tiene un máximo relativo en x = -1.5 (-1.5, 0.6)
(Pasa de ser creciente a decreciente).
Tiene un máximo relativo en x = 2.5 (2.5, 4.4)
T¡ene un mínimo relativo en x = 1.2 (1.2, -2.1)
(Pasa de ser decreciente a creciente).
5.2.- Extremos absolutos. Acotación.
ACOTACIÓN.

Una función f está acotada superiormente por un número real K si todos los valores que toma la
función son menores o iguales que K, es decir:
.
K se llama cota superior de la función f. Si M es tal que

Una función f está acotada inferiormente por un número real P si todos los valores que toma la
función son mayores o iguales que P, es decir:
.
P se llama cota inferior de la función f. Si N es tal que

también es cota superior de f.
también es cota inferior de f.
Una función f está ACOTADA si lo está superior e inferiormente. Se cumple :
.
EXTREMOS ABSOLUTOS. MÁXIMO y MÍNIMO ABSOLUTOS.
Tiene sentido estudiar los extremos absolutos si la función está acotada superior y/o inferiormente.

Se llama supremo de una función f acotada superiormente a la menor de sus cotas superiores.
Cuando el supremo es un valor alcanzado por la función recibe el nombre de máximo absoluto.

Se llama ínfimo de una función f acotada inferiormente a la mayor de sus cotas inferiores.
Cuando el ínfimo es un valor alcanzado por la función recibe el nombre de mínimo absoluto.
6.- Simetrías.

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x de su dominio se
cumple que
. Se dice también que la función presenta una simetría PAR.

Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas cuando para todo x de su dominio
se cumple que
. Se dice también que la función presenta una simetría IMPAR.
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7.- Periodicidad
Una función f es periódica de período T si se cumple que
, siempre que x y
a su dominio.
Ejemplo: la función f(x) = sen (x) es periódica. Su periodo es 2π.
pertenezcan
8.- Continuidad
Intuitivamente decimos que una función f es continua cuando su gráfica se puede trazar con un lápiz sin
levantarlo del papel. En caso contrario, la función f no es continua y decimos que es discontinua.
En general, cuando la función no es continua, se indican los puntos donde no lo es. Ejemplo:
Esta función es discontinua en x=2.
9.- Tendencias
En las gráficas de las funciones estudiaremos cuál es el comportamiento de y para un determinado
comportamiento de x:
 Cuál es el comportamiento de y cuando x se hace muy grande (se escribe
y se lee x tiende
a más infinito).
 Cuál es el comportamiento de y cuando x se hace muy pequeño (se escribe
y se lee x
tiende a menos infinito).
 Cuál es el comportamiento de y cuando x se aproxima hacia un determinado valor, bien por su
izquierda (
o bien por su derecha (
.
10.- Asíntotas
Son rectas hacia las cuales se aproxima la gráfica de la función f ante un determinado comportamiento de
x. Estudiaremos algunas funciones que tienen asíntotas y escribiremos sus ecuaciones.
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