Concavidad y puntos de inflexión

Concavidad y puntos de inflexión
La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el
comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia
arriba en un intervalo A,
, si
es creciente sobre
A. Si
es decreciente sobre A entonces se dice que la
gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada
A.
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el
intervalo
y cóncava hacia abajo en el intervalo
Teorema 5
Si f es una función tal que
cuando
la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre
Demostración:
, entonces
.
Si
y como
, entonces se tiene que
es creciente sobre
por lo que de acuerdo con la
definición de concavidad de una función, se obtiene que f es
cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6
Si f es una función tal que
cuando
, entonces
la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre
.
Demostración:
De la hipótesis:
, y como
, se
obtiene que
es decreciente sobre
por lo que según la
definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f
es cóncava hacia abajo sobre
.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si
entonces
Luego,
si
, y,
y,
Como
, entonces
en ellos
es positiva. Además
es negativa.
si
es creciente en los intervalos
, pues
es decreciente en el intervalo
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo
en el intervalo
.
.
La representación gráfica de la función
es la siguiente:
pues en el
y cóncava hacia abajo
Representación gráfica de la función
Observe que
es creciente en
y
y decreciente en
.
Representación gráfica de la función f:
Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos
abajo en el intervalo
.
y cóncava hacia
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que
es un punto de inflexión de la gráfica
de una función f, si existe un intervalo
tal que
y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre
cóncava hacia abajo sobre
,
,y
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos:
1.
El punto
pues
es un punto de inflexión de la curva con ecuación
es positiva si
hacia arriba para
Gráficamente se tiene:
, y negativa si
, y cóncava hacia abajo para
,
, de donde f es cóncava
.
2.
Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que
por lo que
Resolvamos las desigualdades
Como
si
arriba en esos intervalos.
entonces la gráfica de f es cóncava hacia
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo
pues en él
.
Luego los puntos
y
son puntos en los que cambia la concavidad y
por tanto son puntos de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es
cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo.
En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de
inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra
parte bajo ella.
Teorema 7
Si
es un punto de inflexión de la gráfica de f y si
existe, entonces
Demostración: Al
final del capítulo.
Ejemplo:
Considere la función f con ecuación
.
La segunda derivada de f es
Note que
si
.
, y,
si
Luego, f es cóncava hacia arriba para
Se tiene entonces que
, y cóncava hacia abajo para
es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en
resulta que
verifica lo expresado en el teorema anterior.
con lo que se
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8
Si:
i.
f es una función continua sobre un intervalo I,
ii.
es un punto interior de I tal que
,ó
existe, y
iii.
Si existe un intervalo
que:
1.
cuando
, entonces
gráfica de f.
con
y
,
tal
cuando
es un punto de inflexión de la
2.
cuando
y
, entonces
gráfica de f.
3.
es un punto de inflexión de la
cuando
, o bien,
cuando
y
cuando
cuando
y
cuando
entonces
no es un punto de
inflexión de la gráfica de f.
Demostración: Es
similar a la dada para el Teorema 4,
sustituyendo f por
,y
por
.
Ejemplos:
1. Sea f una función con ecuación
con
. Note que f es
una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La
segunda derivada de f es
, que es igual a cero si y solo si
ó
.
Así
Observemos la solución de las desigualdades
la siguiente tabla:
,y
2. Como
para
y
para
es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.
De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como
y
para
, entonces
por medio de
entonces
para
es un punto de inflexión.
3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
Como se tiene que
Además
nunca se hace cero y que
es mayor que cero para
hacia arriba en su dominio, y por lo tanto
no existe.
, por lo que f siempre es cóncava
no es punto de inflexión.
Subsecciones:

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y
los valores mínimos de una función
Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y
los valores mínimos de una función
Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función,
la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un
valor mínimo.
El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.
Teorema
Sea f una función con dominio D.
Si
está definida para
con
a.
donde
y si
entonces:
es un valor máximo relativo de f si se
cumple que
b.
es un valor mínimo relativo de f si se
cumple que
Demostración: Al
final del capítulo.
Ejemplos:
Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores
mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:
1.
,
Note que la función f no está definida en
La derivada de f está dada por
Los valores críticos de f se obtienen cuando
,ó
.
,
. En este caso,
si y solo si
Ahora, la segunda derivada de f es
Vamos a evaluar
a.
b.
en
; como
relativo de f.
; como
máximo relativo de f.
y en
entonces
entonces
es un valor mínimo
es un valor
Gráficamente se tiene en el intervalo
2.
Se tiene que
La primera derivada de g está dada por
Como
cuando
y cuando
entonces estos son los valores críticos de g.
La segunda derivada de g es
Evaluando
en
se tiene que
que es mayor que cero, por lo que
es un valor mínimo relativo de g.
Observe que no puede evaluarse en
pues hace cero el denominador por lo que
para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.
Analizando
se obtiene que
para
por lo que al no existir cambio de signo resulta que
mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.
Inicio
y
no es ni máximo ni
para