TEMA 3. Realización de los ejercicios 4,6 i 11 del tema 3 del libro

TEMA 3. Realización de los ejercicios 4,6 i 11 del tema 3 del libro
“Fonaments Físics de la Informàtica”
En este texto vamos a trabajar con el concepto de intensidad de corriente. Cabe señalar que
la teoría de circuitos es independiente de que por un conductor circulen cargas negativas
o positivas. De hecho esta parte de la física se desarrolló a lo largo del siglo XIX cuando se
desconocía la existencia del electrón y se ignoraba el signo de la carga que circula por un
conductor. De hecho, cuando representamos el sentido de la intensidad en un circuito lo
hacemos considerando que son las cargas positivas las que circulan por el mismo. Tras el
descubrimiento del electrón no hizo falta cambiar el criterio de signos, ni ajustar las leyes,
dado que estas se seguían cumpliendo.
La intensidad de corriente es una magnitud que nos dice la cantidad de carga por unidad de
tiempo que atraviesa una superficie. Su valor dependerá por lo tanto del número de cargas
que circulan y de la velocidad con que se desplazan. Así por ejemplo en el conductor de
cobre del ejemplo 3-1 del libro los electrones se desplazan a 0,13 mm/s. La velocidad es
pequeña, pero los 1,8 1023 e/cm3 dan una intensidad considerable. Entonces, si conocemos
las cargas que se mueven en un sistema cualquiera, conocer la intensidad que atraviesa
una superficie no es más que conocer la carga que la atraviesa en un instante de tiempo
determinado:
∆Q dQ
=
i( t ) = lim ∆t →o
∆t
dt
Esta expresión nos da la intensidad instantánea. Si el flujo de carga que atraviesa la
superficie no varía con el tiempo, para el cálculo de la intensidad bastará calcular la
relación:
i( t ) =
∆Q
∆t
dado que en este caso la relación entre incrementos es independiente del valor del tiempo
considerado.
Realizamos en primer lugar el Ejercicio 4
4. Un disco de radio R, cargado con una densidad superficial de carga σ, gira con una
velocidad angular ω alrededor de su eje. Calcula la intensidad de corriente.
Sol: I = σωR2/2
De la misma forma en que la física utiliza de las matemáticas como herramienta
fundamental a la hora de conocer e interpretar el comportamiento de los sistemas físicos,
cada parte de la física necesita de conceptos asociados tradicionalmente a otras áreas.
Conceptos básicos procedentes de la mecánica, como son la fuerza, el momento de una
fuerza, la velocidad o la aceleración aparecen de forma recurrente en la electrostática,
electricidad, electromagnetismo, etc. Es por ello que, al igual que sucede con las
matemáticas, existe un nivel básico de conocimientos en mecánica que debemos poseer,
tanto a un nivel conceptual como aplicado. En este ejercicio, no encontramos con la
magnitud velocidad angular que debe ser conocida por el alumno.
Para poder determinar la intensidad debemos conocer la
superficie a través de la cual hemos de calcular el flujo. En
nuestro caso, lo coherente es considerar que la superficie sería
aquella que contiene un radio del círculo —superficie A en la
figura. La intensidad calculada se correspondería al flujo de
carga que da vueltas en torno al eje, representado en la figura
por la intensidad I.
Si consideramos un tiempo dt, en este intervalo habrá atravesado
la superficie A un tramo de círculo ds que se corresponde con el
ángulo dα girado.
Hay que recordar que la velocidad angular es el ángulo girado
por unidad de tiempo:
dα
ω=
dt
ω
A
I
σ
dα A
R
ds
σ
La intensidad es la carga por unidad de tiempo que atraviesa la sección A, esto es, la carga
que tenemos en el fragmento de círculo ds. Dado que la densidad de carga es conocida,
también lo es la carga en ds, que tiene como valor: dq=σds. Luego la intensidad buscada
será:
dq σds
I=
=
dt
dt
Para dar un problema por resuelto debemos poner la solución en función de los datos del
mismo, esto es, de aquellos valores que son conocidos; en caso contrario el problema
permanece irresuelto. En nuestro caso, los datos conocidos son los valores de R, σ y ω.
Podemos relacionar el valor de la superficie ds con el radio y el ángulo dα sin más que
tener en cuenta que su valor es la parte proporcional de la superficie del círculo, πR2, que se
corresponde con el ángulo dα:
πR 2 R 2 dα
=
ds = dα
2π
2
Con lo cual, la intensidad:
I=
dq σds σR 2 dα σR 2
=
=
=
ω
dt
dt
2dt
2
Con lo que la expresión de la intensidad ya viene dada en función de valores conocidos.
6. La carga que pasa por la sección de un hilo metálico está definida por Q(t) = 6,5 t2 + 3,5
C, para t desde 0,0 s a 8,0 s.
a) ¿Qué expresión tiene la corriente I(t) en este intervalo de tiempo?
b) ¿Cuánto vale la corriente en t = 3 s?
Sol: a) I = 13t
b) 39 A
En este caso el ejercicio se resuelve sin más que aplicar de forma directa expresiones
conocidas a un caso particular. No entraña un análisis profundo del problema, ni la
interpretación de un sistema físico: basta con saber aplicar las expresiones matemáticas y
resolverlas.
En nuestro caso sabemos la cantidad de carga que pasa por una sección del conductor en
función del tiempo: Q(t) = 6,5 t2 + 3,5 C
Y que el valor de la intensidad es precisamente lo que varía la carga que pasa por una
sección del conductor en un instante de tiempo. Con lo que conoceremos el valor de la
intensidad sin más que derivar la expresión anterior:
i( t ) =
(
)
dQ(t) d
=
6,5 t 2 + 3,5 = 13t A
dt
dt
con lo que queda resuelto el apartado a).
Para conocer la intensidad a los 3 segundos aplicaremos la expresión anterior dado que es
valida hasta los 8 segundos:
i(3) = 13.3 = 39 A
con lo que queda resuelto el problema.
A continuación vamos a realizar algunas consideraciones en torno a otra magnitud:
La densidad de corriente.
La intensidad de corriente es una magnitud macroscópica. Esto quiere decir que la
información que nos da no nos sirve para conocer lo que pasa en cada punto del espacio,
sino que es un valor promedio de lo que sucede en una región del espacio: si la magnitud es
la intensidad, ésta nos da el valor promedio de las cargas que atraviesan una sección. Si
queremos conocer lo que sucede en un punto del espacio debemos acudir a una
magnitud microscópica: en nuestro caso, la densidad de corriente.
A diferencia de la intensidad, la densidad de corriente es una magnitud vectorial, lo que
nos obliga a introducir su dirección, sentido y módulo en su definición. Entonces, la
densidad de corriente en un punto es una magnitud vectorial que tiene por dirección la del
movimiento de las cargas que pasan por ese punto; por sentido, el del movimiento de las
cargas positivas —si la carga fuese negativa tendría sentido contrario al de su
movimiento—; y por módulo la carga por unidad de tiempo —la intensidad— que atraviesa
una sección diferencial perpendicular a la dirección del movimiento y que contiene el punto
en cuestión.
Nos hemos de fijar que dentro de la definición de la densidad de corriente aparece la
intensidad a través de una sección diferencial. Indudablemente ambas magnitudes están
relacionadas. Ahora bien, podemos preguntarnos porqué se ha tenido que definir la
densidad de corriente en vez de quedarnos con una intensidad a nivel diferencial, lo que
parece más sencillo. Indudablemente, si queremos conocer lo que sucede a nivel
microscópico debemos conocer la dirección y sentido del movimiento de las cargas, cosa
que no sucede con la intensidad; y si queremos relacionar los fenómenos microscópicos con
los macroscópicos, es necesario tener en cuenta estas direcciones y sentidos a la hora de
calcular valores promedio, dado que trabajando sólo con valores escalares le resultado sería
erróneo. Como consecuencia se puede decir la relación entre densidad de corriente e
intensidad de corriente a través de una superficie S como:
r v
I = ∫ J ⋅ ds
S
O lo que es lo mismo, la intensidad es el flujo de la densidad de corriente a través de una
sección dada.
Un ejemplo de cálculo de intensidad de corriente lo encontramos en el ejercicio 9:
7. La densidad de corriente en un conductor de sección transversal circular de radio R, varía
de acuerdo con la distancia al eje r según la expresión J = J0r/R. Calcula la intensidad de
corriente en el conductor.
Sol: I = 2π J0R2/3
La base conceptual para realizar este ejercicio es muy sencilla. Conocida la densidad de
corriente en los puntos de la sección de un conductor, hemos de hallar la intensidad que
atraviesa ese conductor, para lo cual debemos saber resolver la ecuación que nos relaciona
densidad de corriente e intensidad:
r v
I = ∫ J ⋅ ds
S
Antes de tratar de resolver la ecuación, debemos entender es sistema que estamos
estudiando, reconocer cada una de las magnitudes implicadas y de esta forma podremos
aplicar correctamente la ecuación anterior.
El problema nos da como únicos datos que la sección transversal del conductor es circular
de radio R y que la variación del módulo de la densidad de corriente. La sección del
conductor es constante y la expresión de la densidad de corriente se mantiene en las
diferentes secciones, luego las cargas que desplazan por el conductor lo harán paralelas al
eje del conductor o, lo que es lo mismo, de forma perpendicular a la sección recta: por lo
tanto el vector densidad de corriente es perpendicular a la sección recta, lo que facilita la
integración:
r v
J
J
I = ∫ J ⋅ d s = ∫ Jds = ∫ 0 rds = 0 ∫ rds
R S
R
S
S
S
donde hemos sacado los valores constantes de la integral. No queda, por fin, una integral
con dos variables r y s. Para poder integral necesitamos dejar la integral en función de una
única variable de integración o, lo que es lo mismo, encontrar un valor de ds que haga que
sea la r la variable de integración.
En el momento de integrar podemos elegir, en principio, cualquier
elemento ds (un cuadrado, un círculo, un triángulo, etc.), de forma
R
que su valor sea infinitesimal y que la suma de todos los ds ―la
r
dr
integral― de lugar a la superficie total que estamos considerando.
Pero lo que buscamos es un valor de ds que sólo dependa de r y dr,
de forma que al sustituir en la ecuación tengamos una única
variable dentro de la integral. En este caso, el elemento diferencial
de superficie que cumple esta condición es un anillo de radio r y
espesor dr, de forma que el valor de ds es el producto de la longitud del anillo, 2πr, por el
espesor: ds = 2πrdr.
Sustituyendo en la integral:
R
R
R
 2
J
2πJ 0 2
2πJ 0  r 3 
2πJ 0  R 3
J

I = 0 ∫ rds = 0 ∫ r 2πrdr =
r
dr
=
=
− 0  = πJ 0 R 2


∫
RS
R 0
R 0
R  3 0
R  3
 3
donde al realizar el cambio de variables, se han ajustado los límites de integración a la
nueva variable seleccionada ― r varia desde 0 hasta R.
11. ¿A qué temperatura será la resistencia de un conductor de cobre el 10% mayor que
cuando está a 20 ºC?
Sol: 45,6 ºC.
La capacidad de conducir la corriente eléctrica de un conductor disminuye al aumentar la
temperatura. Esto es debido a incremento de la agitación térmica de los átomos del
conductor y su mayor interacción con las cargas en movimiento. La magnitud que mide
esta capacidad de conducción es la conductividad, σ, o su inversa la resistividad, ρ. En una
primera aproximación, el valor de la resistividad de un conductor varia con la temperatura
según la relación:
ρ = ρ 0 (1 + α(T − T0 ))
siendo ρ0 la resistividad del conductor a la temperatura T0 y α el coeficiente de variación de
la resistividad con la temperatura, medido a la temperatura T0. Si buscamos en las tablas
(pág. 5-12, del libro) vemos que el coeficiente α del cobre a 20ºC es 3,9. 10-3 K-1, siendo la
resistividad del cobre de 1,67. 10-8 Ω.m
Pero el ejercicio no habla de resistividad sino de resistencia ¿En qué medida la expresión
anterior nos sirve en vez de resistividades hablamos de resistencias? La resistencia de un
cuerpo depende de la resistividad del material y de su geometría. Si el material es
homogéneo la resistividad —que ha salido fuera de la integral en el momento del cálculo—
aparece como un factor que multiplica a una expresión que únicamente depende de la
geometría del conductor. Si realizamos la suposición de que al aumentar la temperatura las
variaciones de la geometría son despreciables —hay que recordar que los cuerpos se dilatan
al aumentar la temperatura—, sólo en este caso, la resistencia del conductor seguirá la
misma relación que la que hemos visto para la resistividad:
R = R 0 (1 + α(T − T0 ))
Para resolver el ejercicio, dado que desconocemos la geometría del conductor y los
coeficientes de dilatación del cobre, debemos realizar la suposición de que su geometría no
varia o sufre una variación despreciable en el rango de temperaturas contemplado en el
problema.
En estas condiciones, si la resistencia del conductor es un 10% mayor que cuando está a
20ºC: R=1,1R20. Introduciendo este dato en la ecuación anterior y sustituyendo los valores
conocidos:
1,1R 0 = R 0 1 + 3,9.10 −3 (T − 20)
(
)
de donde fácilmente se deduce que T=45,6ºC.
Nota: Podemos fijarnos que las unidades del coeficiente α están en Kelvin, mientras que
nosotros hemos introducido valores de temperatura en grados Celsius. En este caso, no
hay ningún problema en este hecho, dado que lo que realmente estamos calculando es un
incremento de temperatura, ∆T=(T-T0), y su valor es el mismo tanto si trabajamos en
Kelvin como si trabajamos en grados Celsius —la diferencia entre ambos sistemas de
medida es simplemente la suma de un valor constante. Si alguien desea resolverlo en
Kelvin, no tiene más que recordar que la temperatura en Kelvin es igual a la temperatura en
Celsius más 273.