Proyecto: Problemas de dos cuerpos

Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de Fı́sica
Astronomı́a - AST0111
Profesor: Nelson Padilla
Proyecto: Problemas de dos cuerpos
Fecha de entrega:
Dı́a 02 de Junio de 2016
Reglas de la tarea: La entrega se realizará durante ayudantı́a. Debe incluir el código que usó como base (no es necesario incluir
los códigos usados para cada pregunta). Puede trabajar con más personas pero la redacción y entrega del proyecto es personal.
El problema de dos cuerpos en la mecánica clásica es el determinar el movimiento de dos cuerpos que sólo interaccionan entre
sı́ (no existen fuerzas externas). Dentro de este proyecto estudiaremos este problema considerando solo interacción gravitacional
entre ambos cuerpos.
Este está regido de forma general por las siguientes dos ecuaciones vectoriales (cantidades vectoriales expresadas en negrita):
d2 r1
dt2
d2 r2
F21 = m2 2
(2)
dt
Donde F12 es el vector de fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre 1, F21 es la que ejerce 1 sobre 2, m1 y m2 son las masas de 1 y
2, y r1 y r2 los vectores de posición de ambos. Aprovechamos de definir el vector que une a ambos puntos como r12 = r1 − r2 ,
como se ve en la Figura 1.
(1)
F12 = m1
Figura 1. Diagrama general de un problema de dos cuerpos
GM m
En este caso sabemos que de forma general F =
, con M y m las masas de los dos cuerpos y r2 la distancia entre
r2
ambos. Para este proyecto podemos utilizar un par de métodos y suposiciones que van a simplificar el problema.
Primero es obvio que por la 3ra ley de Newton que F12 = −F21 . Con esto en mente podemos a (1) sumar o restarle (2), con
lo que obtenemos:
d2 r2
d2 r1
+ m2 2
2
dt
dt
d2 r1
d2 r2
(4)
2F12 = m1 2 − m2 2
dt
dt
m1 r1 + m2 r2
La definición de centro de masa para dos cuerpos es rcm =
, con las reglas de derivación correspondientes, [como
m1 + m2
2
d rcm
1
d2 r 1
d2 r2
la masa no depende del tiempo en este caso] podemos ver que
=
m
+
m
. Con esto se puede
1
2
dt2
m1 + m2
dt2
dt2
re-expresar 3 como:
(3)
0 = m1
d2 rcm
dt2
Esto es, la ecuación 3 es la que contiene el movimiento del centro de masa del sistema. Por ende, ubicando el sistema de
referencia en el centro de masa, como se ve en la Figura 2, podemos obviar esta ecuación y solo trabajar con 4.
0 = (m1 + m2 )
2
Figura 2. Diagrama general de un problema de dos cuerpos, centrado en el CM
Con esto vamos a hacer una primera suposición, y es que ambos cuerpos siguen órbitas circulares en torno al CM. Esto implica
que los cuerpos giran con la misma velocidad angular, y esto a su vez que el valor de r = r1 − r2 es constante. Con esto 4 se
puede convertir en la siguiente ecuación escalar:
Gm1 m2
= m1 a1 − m2 a2
r2
d2 r1 d2 r2
Donde a1 y a2 son los valores de los vectores
y
respectivamente. Notar que ambas son una aceleración centrı́peta,
dt2
dt2
por ende se puede encontrar la velocidad angular del sistema utilizando que ai = ω 2 ri .
2
Preguntas a responder:
Muestre sus cálculos para encontrar la velocidad angular del sistema, y obtenga el perı́odo orbital para el modelo. ¿Qué
tan cercano es al valor medido para Júpiter?, ¿qué le dice esto respecto a la aproximación?, ¿hasta dónde cree que es
válida?
Escriba un código de Python que simule mediante el método de diferencias finitas (tanto forward como central) las órbitas
de dos cuerpos, y debe graficar la trayectoria de ambos cuerpos en el plano XY y el error en la distancia entre los cuerpos
(comparado con la distancia inicial) en función del número de iteración. Ambos métodos serán debidamente explicados
en ayudantı́a.
Simplificando el Sistema Solar al Sol y Júpiter, utilice su código para realizar una simulación en la que fije la posición
del Sol como estática en el origen1. Su código debe considerar el tiempo para que Júpiter cumpla [aproximadamente] 10
T
, vaya en decrementos de x10 hasta que el error de distancia
órbitas alrededor del Sol. Partiendo de un valor de ∆t = 10
no exhiba una valor mayor al 3 % en toda la simulación. ¿Qué observa en sus resultados a medida que disminuye ∆t?,
¿cuál de los dos métodos entrega mejores resultados?
Ahora utilice su código con el mejor valor de ∆t y método para realizar las siguientes simulaciones:
• Fije la posición y velocidad inicial del Sol a que sean 0, pero permita que estos varı́en producto de la fuerza de
gravedad de Júpiter.
• Fije el origen en el CM del sistema Sol-Júpiter y ası́gnele al Sol la velocidad que le corresponde de acuerdo a la
velocidad angular calculada.
Compare los resultados y errores de las tres simulaciones. ¿Qué observa y qué conclusiones puede sacar?
Realice la misma comparación de métodos usando el código del CM pero ahora con un sistema binario de estrellas, una
de 1,441 M y otra de 1,387 M , a una distancia de 1,304 · 10−2 AU . Este es una aproximación bastante .ordinaria”del
sistema binario Hulse–Taylor, ¿por qué motivos? Para este caso considere un rango de variación no mayor a 10 % en la
distancia. ¿Qué observa?
Hint: No es necesario graficar todos los puntos calculados.
1Esto transforma el problema de dos cuerpos en un problema de fuerzas centrales con un solo cuerpo (Júpiter). Un problema de fuerza central es
la descripción del movimiento de un cuerpo al que se le aplica una fuerza externa, que solo depende de la distancia del cuerpo a un cierto punto.