La Electrodinámica

Electrodinámica de un
superconductor
Jesús Alberto Cázares Montes
Centro de Investigación y Estudios Avanzados – IPN
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 1
Plan de exposición
Introducción
Modelo de London
Ecuaciones de London
Ecuaciones para los campos eléctrico y
magnético
Campos eléctrico y magnético en un
superconductor
Efecto Meissner
Número de superelectrones
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 2
Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz London
desarrollan la electrodinámica para un
superconductor con la idea de describir el efecto
Meissner:
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz London
desarrollan la electrodinámica para un
superconductor con la idea de describir el efecto
Meissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz London
desarrollan la electrodinámica para un
superconductor con la idea de describir el efecto
Meissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
Las leyes de Maxwell son siempre válidas!
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 3
Introducción
1933 Se descubre el efecto Meissner.
1934 Los hermanos Fritz y Heinz London
desarrollan la electrodinámica para un
superconductor con la idea de describir el efecto
Meissner:
Hay que cambiar las leyes de la electrodinámica...
Las leyes de Maxwell son siempre válidas!
Hay que modificar la ley de Ohm.
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Modelo de London
Hay dos tipos de electrones n = nn + ns
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Modelo de London
Hay dos tipos de electrones n = nn + ns
Electrones "normales" nn
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Modelo de London
Hay dos tipos de electrones n = nn + ns
Electrones "normales" nn
Electrones "superconductores" ns
no contribuyen a la resistividad...
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 4
Modelo de London
Hay dos tipos de electrones n = nn + ns
Electrones "normales" nn
Electrones "superconductores" ns
no contribuyen a la resistividad...
pueden acelerarse !!!!
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 4
Ecuaciones de London
mv̇ s = eE
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 5
Ecuaciones de London
mv̇ s = eE
y como
J s = ens v s
=⇒
Js
vs =
ens
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 5
Ecuaciones de London
mv̇ s = eE
y como
J s = ens v s
=⇒
se tendrá entonces
∂
E=
∂t
m
Js
2
e ns
Js
vs =
ens
∂
= (∆J s )
∂t
m
siendo ∆ = 2 .
e ns
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 5
La ley de Faraday dice
1 ∂B
∇×E =−
c ∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 6
La ley de Faraday dice
1 ∂B
∇×E =−
c ∂t
∂
así, usando E = (∆J s ) tendremos
∂t
∂
∂
1 ∂B
∇×
(∆J s ) =
(∇ × (∆J s )) = −
∂t
∂t
c ∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 6
La ley de Faraday dice
1 ∂B
∇×E =−
c ∂t
∂
así, usando E = (∆J s ) tendremos
∂t
∂
∂
1 ∂B
∇×
(∆J s ) =
(∇ × (∆J s )) = −
∂t
∂t
c ∂t
de donde
B
∇ × (∆J s ) = −
c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 6
Ecuaciones para los campos eléctrico
y magnético
La densidad total de corriente es J = J s + J n donde
J n = σE, así las ecuaciones de London
∂
E = (∆J s )
∂t
B
− = ∇ × (∆J s )
c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7
Ecuaciones para los campos eléctrico
y magnético
La densidad total de corriente es J = J s + J n donde
J n = σE, así las ecuaciones de London
∂
E = (∆J s )
∂t
B
− = ∇ × (∆J s )
c
tomarán la forma
∂
E = (∆J −∆J n )
∂t
⇒
∂
∂E
(∆J ) = E +∆σ
∂t
∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7
Ecuaciones para los campos eléctrico
y magnético
La densidad total de corriente es J = J s + J n donde
J n = σE, así las ecuaciones de London
∂
E = (∆J s )
∂t
B
− = ∇ × (∆J s )
c
tomarán la forma
∂
E = (∆J −∆J n )
∂t
⇒
∂
∂E
(∆J ) = E +∆σ
∂t
∂t
B
∂B
B
⇒ ∇×J =−
+σ
∇ × (J − σE) = −
c∆
c∆
∂t
donde se ha usado la ley de Faraday.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 7
De la ley de Ampère–Maxwell
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J
c ∂t
c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 8
De la ley de Ampère–Maxwell
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J
c ∂t
c
se tiene
4π
1∂
∇×E =
∇×J
∇ × (∇ × B) −
c ∂t
c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 8
De la ley de Ampère–Maxwell
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J
c ∂t
c
se tiene
4π
1∂
∇×E =
∇×J
∇ × (∇ × B) −
c ∂t
c
o bien, usando la ley de Faraday
1 ∂ 2 B 4π
∇ × (∇ × B) = − 2 2 + ∇ × J
c ∂t
c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 8
así obtenemos
2
1 ∂ B 4π
B
∂B
∇ × (∇ × B) = − 2 2 +
−
+σ
c ∂t
c
c∆
∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 9
así obtenemos
2
1 ∂ B 4π
B
∂B
∇ × (∇ × B) = − 2 2 +
−
+σ
c ∂t
c
c∆
∂t
es decir
2
∂B
∂
B
4π
2
+ 2 =0
c ∇ × (∇ × B) + B + 4πσ
∆
∂t
∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 9
de forma similar, se puede obtener
2
∂E
∂
E
4π
2
+ 2 = 0
c ∇ × (∇ × E) + E + 4πσ
∆
∂t
∂t
2
4π
∂J
∂
J
2
c ∇ × (∇ × J ) + J + 4πσ
+ 2 = 0
∆
∂t
∂t
4π
ρ + 4πσ ρ̇ + ρ̈ = 0
∆
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 10
La solución para una EDO de segundo orden se propone
ρ ∼ e−γt , así, de la ecuación de segundo orden para ρ
tendremos
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 11
La solución para una EDO de segundo orden se propone
ρ ∼ e−γt , así, de la ecuación de segundo orden para ρ
tendremos
4π
2
γ − 4πσγ +
=0
∆
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 11
La solución para una EDO de segundo orden se propone
ρ ∼ e−γt , así, de la ecuación de segundo orden para ρ
tendremos
4π
2
γ − 4πσγ +
=0
∆
de donde
q
4πσ ± 16π 2 σ 2 − 16π
∆
γ1,2 =
2
!
r
1
= 2πσ 1 ± 1 −
∆πσ 2
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 11
como
r
1
1
≈1−
1−
2
∆πσ
2
1
∆πσ 2
+ ···
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
como
r
1
1
≈1−
1−
2
∆πσ
2
1
∆πσ 2
+ ···
se tendrá
γ1,2 = 2πσ 1 ±
r
1
1−
∆πσ 2
!
1 1
≈ 2πσ 1 ± 1 −
2 ∆πσ 2
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
como
r
1
1
≈1−
1−
2
∆πσ
2
1
∆πσ 2
+ ···
se tendrá
γ1,2 = 2πσ 1 ±
r
1
1−
∆πσ 2
!

19
−1
4πσ
≃
10
seg

1 1
=
≈ 2πσ 1 ± 1 −
2

2 ∆πσ
1
∆σ
≃ 1012 seg−1
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 12
El tiempo de relajación τ se define por la más pequeña
de las exponenciales
1
≃ ∆σ ≃ 10−12 seg
τ=
γ2
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 13
El tiempo de relajación τ se define por la más pequeña
de las exponenciales
1
≃ ∆σ ≃ 10−12 seg
τ=
γ2
por lo que, cualquier carga que llegue a un
superconductor deberá desaparecer en un tiempo de ese
orden.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 13
Campos eléctrico y magnético en un
superconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0
=⇒
∇ · J = −ρ̇ = 0
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
Campos eléctrico y magnético en un
superconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0
=⇒
∇ · J = −ρ̇ = 0
ahora, recordando la identidad
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
tendremos que si A es E, B ó J
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
Campos eléctrico y magnético en un
superconductor
Para un conductor
∇ · E = 4πρ = 0
=⇒
∇ · J = −ρ̇ = 0
ahora, recordando la identidad
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
tendremos que si A es E, B ó J
∇ × (∇ × A) = −∇2 A
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 14
así, las ecuaciones (utilizamos A para denotar E, B ó J )
2
∂A
∂
A
4π
2
+ 2 =0
c ∇ × (∇ × A) + A + 4πσ
∆
∂t
∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
así, las ecuaciones (utilizamos A para denotar E, B ó J )
2
∂A
∂
A
4π
2
+ 2 =0
c ∇ × (∇ × A) + A + 4πσ
∆
∂t
∂t
tomarán la forma
2
4π
∂A
∂
A
2 2
c ∇ A=
A + 4πσ
+ 2
∆
∂t
∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
así, las ecuaciones (utilizamos A para denotar E, B ó J )
2
∂A
∂
A
4π
2
+ 2 =0
c ∇ × (∇ × A) + A + 4πσ
∆
∂t
∂t
tomarán la forma
2
4π
∂A
∂
A
2 2
c ∇ A=
A + 4πσ
+ 2
∆
∂t
∂t
por otro lado, si los campos son cuasi–estacionarios,
entonces se tendrá
4π
∇ × (∇ × A) +
A=0
2
∆c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 15
si consideramos la ecuación para un campo eléctrico
estacionario, la ecuación anterior corresponde a
4π
E =0
∇ × (∇ × E) +
2
∆c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
si consideramos la ecuación para un campo eléctrico
estacionario, la ecuación anterior corresponde a
4π
E =0
∇ × (∇ × E) +
2
∆c
pero, de la ley de Faraday
1 ∂B
∇×E =−
c ∂t
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
si consideramos la ecuación para un campo eléctrico
estacionario, la ecuación anterior corresponde a
4π
E =0
∇ × (∇ × E) +
2
∆c
pero, de la ley de Faraday
1 ∂B
∇×E =−
=0
c ∂t
=⇒
E =0
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
si consideramos la ecuación para un campo eléctrico
estacionario, la ecuación anterior corresponde a
4π
E =0
∇ × (∇ × E) +
2
∆c
pero, de la ley de Faraday
1 ∂B
∇×E =−
=0
c ∂t
=⇒
E =0
es decir, en un superconductor no existen campos
eléctricos
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
si consideramos la ecuación para un campo eléctrico
estacionario, la ecuación anterior corresponde a
4π
E =0
∇ × (∇ × E) +
2
∆c
pero, de la ley de Faraday
1 ∂B
∇×E =−
=0
c ∂t
=⇒
E =0
es decir, en un superconductor no existen campos
eléctricos (esto, no implica que no exista corriente
eléctrica).
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 16
como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
4π
A = 0
∇ × (∇ × A) +
2
∆c
∇ × (∇ × A) = −∇2 A
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 17
como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
4π
A = 0
∇ × (∇ × A) +
2
∆c
∇ × (∇ × A) = −∇2 A
así se obtendrán ecuaciones de la forma
4π
∇ A=
A
2
∆c
2
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 17
como ya se vió, para campos cuasi–estacionarios
4π
A = 0
∇ × (∇ × A) +
2
∆c
∇ × (∇ × A) = −∇2 A
así se obtendrán ecuaciones de la forma
4π
∇ A=
A
2
∆c
2
cuya solución es del tipo
s
−
e
4π
x
2
∆c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 17
Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
4π
∇B=
B
2
∆c
2
s
−
con solución
e
4π
x
2
∆c
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
4π
∇B=
B
2
∆c
2
s
−
con solución
e
4π
x
2
∆c
la longitud de penetración λL del material es
r
∆
λL = c
∼ 10−6 cm
4π
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
4π
∇B=
B
2
∆c
2
s
−
con solución
e
4π
x
2
∆c
la longitud de penetración λL del material es
r
∆
λL = c
∼ 10−6 cm
4π
es decir el campo magnético desaparece continuamente
en la superficie del superconductor
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
Efecto Meissner
Analicemos dicha ecuación para el campo magnético
4π
∇B=
B
2
∆c
2
s
−
con solución
e
4π
x
2
∆c
la longitud de penetración λL del material es
r
∆
λL = c
∼ 10−6 cm
4π
es decir el campo magnético desaparece continuamente
en la superficie del superconductor (efecto Meissner).
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 18
Número de superelectrones
De las ecuaciones de London, encontramos que
m
, por lo que
∆=
2
ns e
r
r
∆
m
c
=
λL = c
4π
e 4πns
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 19
Número de superelectrones
De las ecuaciones de London, encontramos que
m
, por lo que
∆=
2
ns e
r
r
∆
m
c
=
λL = c
4π
e 4πns
o bien
mc2
ns =
4πe2 λ2L
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 19
Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente
(1947) que la longitud de penetración λ depende de la
temperatura como
"
4 #−1/2
T
λ(T ) = λo 1 −
Tc
siendo λo una constante que depende del material,
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 20
Laurman y Schoenberg encontraron experimentalmente
(1947) que la longitud de penetración λ depende de la
temperatura como
"
4 #−1/2
T
λ(T ) = λo 1 −
Tc
siendo λo una constante que depende del material, así
"
2 4 #−1 λ(T )
no
T
=
=
1−
Tc
λo
ns
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 20
o bien
"
ns = no 1 −
T
Tc
4 #
es decir, el número de superelectrones tiende a cero si
T → Tc y tiende a un valor constante si T → 0
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 21
o bien
"
ns = no 1 −
T
Tc
4 #
es decir, el número de superelectrones tiende a cero si
T → Tc y tiende a un valor constante si T → 0
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
x
4
5
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 21
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)
que no contribuyen a la resistividad.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)
que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, que
relaciona la densidad de corriente de los
superelectrones con los campos eléctrico y
magnético, estableciéndose las ecuaciones para la
electrodinámica de los campos eléctrico y
magnético.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)
que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, que
relaciona la densidad de corriente de los
superelectrones con los campos eléctrico y
magnético, estableciéndose las ecuaciones para la
electrodinámica de los campos eléctrico y
magnético.
Se calcularon los campos eléctrico y magnético en
un superconductor, explicándose así, el efecto
Meissner.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
Conclusiones
Se estableció un tipo de electrones (superelectrones)
que no contribuyen a la resistividad.
Se encontraron las ecuaciones de London, que
relaciona la densidad de corriente de los
superelectrones con los campos eléctrico y
magnético, estableciéndose las ecuaciones para la
electrodinámica de los campos eléctrico y
magnético.
Se calcularon los campos eléctrico y magnético en
un superconductor, explicándose así, el efecto
Meissner.
Se determinó el número de superelectrones en
función de la temperatura.
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 22
Por su atención...
GRACIAS !!
México D.F. 6 de mayo del 2008– p. 23