INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1 INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de
integración
es
una
región
rectangular
de
la
forma
⁄
*(
)
+ o es una región que se encuentra entre
⁄
*(
)
dos funciones definida por
( )
( )+. Ahora,
trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región
circular o sobre una región comprendida entre dos círculos o parte de los
círculos.
Región circular
Se desea encontrar la integral doble ∫ ∫
Región corona circular
(
)
donde R es una región
polar. Lo primero que se debe hacer es encontrar los límites de integración en
el sistema de coordenadas polares, asi por ejemplo. Para la región circular
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 2
los limites de integración en coordenadas rectangulares son
√
√
. al tratar de realizar la integral con estos limites de
integración nos podemos encontrar con integrales las cuales son un poco
complejas para su determinación. Pues la integral es de la forma
√
∫ ∫
(
)
√
Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y
se determinan los límites de integración en ese sistema.
Para ello se tiene en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar el
un segmento de recta en torno al origen del sistema.
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 3
Al determinar la región mediante la rotación del segmento se tiene que la
longitud del segmento varia entre
y el ángulo varia entre
. Como sabemos las expresiones que relacionan las coordenadas rectangulares
y las coordenadas polares son:
Realizando sustituciones la integral queda en la forma:
(
∫ ∫
)
Para poder determinar la integral es necesario encontrar una expresión en
coordenadas polares para el diferencial de área ( dA).
Supóngase que se tiene la región polar y esta se divide en n subregiones
Tomando una de estas subregiones ,
, se tiene que su forma es
aproximadamente una región rectangular en la cual la base es una diferencial
de arco y su altura un diferencial de radio, es decir base =
; altura=
,
pero el arco es igual al producto del radio por el ángulo que determina
,
de donde
, con lo que el diferencial de área es
si el
numero ro de subdivisiones tiende al infinito se llega a
, con lo que
la integral en coordenadas polares es
∫
∫
(
)
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 4
Por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares se debe.
1. Expresar la región en el sistema polar, y determinar los limites de
integración.
2. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su
equivalente en coordenadas polares.
3. Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares
4. Evaluar la integral resultante.
POR EJEMPLO, Evaluar la integral
∫∫
donde R es la región del
primer cuadrante comprendida entre los círculos
1. Dibujamos la región comprendida entre los círculos dados.
Al tratar de evaluar la
integral en coordenadas
rectangulares
esta
se
tiene que dividir en dos
cuyos
limites
de
integración son
1)
√
√
2)
√
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 5
Los límites de integración en coordenadas polares son:
Realizando los cambios en la integral se tiene que:
∫ ∫ (
∫∫
∫∫
)(
)
∫ ∫
∫∫
∫
∫∫
[∫
∫
∫∫
[ ]
∫
∫∫
[
∫∫
]
∫
∫∫
∫∫
]
[
]
[
]
[
]
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 6
∫∫
POR EJEMPLO, Evaluar la integral
donde R es la región
comprendida entre los círculos
La región de integración se presenta en siguiente grafico.
Los límites de integración en coordenadas
rectangulares son
√
√
La región en coordenadas polares se define
como
Luego la integral queda en la forma
∫∫
∫ ∫ (
∫∫
∫ ∫
∫∫
∫
∫∫
∫
,
∫∫
0
)
. /
-
[ ]
.
/1 [
]
INTEGRALES EN REGIONES POLARES 7
,
∫∫
)- ,
(
POR EJEMPLO. Evaluar la integral doble
-
∫∫
donde R es la
región del plano limitada por el eje de
√
las equis y la curva
.
Dibujamos la región de integración
Los
límites
coordenadas
de
integración
rectangulares
en
son
√
Y en coordenadas polares son
Luego la integral
polares es:
en
coordenadas
∫∫
∫ ∫
∫∫
∫ [
∫∫
[
∫∫
]∫
]
∫ [
], -
[
(
)
]
[
]
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ACTIVIDAD. EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.
1) ∫ ∫
√
2) ∫ ∫
√
√
3) ∫ ∫
√
(
)
4) ∫ ∫
√
(
)
5) ∫ ∫
√
6) ∫ ∫
7) ∫ ∫
√
√
√
√
√
(
)