¿qué es una función?

¿Qué es una función?
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
G.E. Shílov (*)
La definición general de función, que ahora llamamos “clásica”, se formó en la matemática
no hace mucho, solamente a principios del siglo XIX. Aunque los matemáticos manejaban
funciones concretas casi en cada paso del largo desarrollo de la ciencia, tuvo que ser recorrido
un largo camino de la cristalización paulatina de los conceptos elementales y de sus generalizaciones, hasta que los científicos llegaron a la necesidad de tener una definición general de
función y la hallaron.
Así es el camino general del surgimiento de nuevos conceptos. Recordemos, por ejemplo,
cómo surgió y cómo se desarrollaba el concepto de número (no del número irracional o del
número complejo, sino el concepto del número más sencillo, del número natural). Los historiadores han establecido que los nombres de los números naturales –el uno, el dos, el tres,
etc.– son del origen relativamente tardío. En los tiempos inmemoriables, en todas las lenguas
expresiones tales como “tres dedos” o “tres árboles” se denotaban con palabras totalmente
diferentes (aún ahora en las lenguas de algunas tribus no existen numerales abstractos) (1).
De esta forma el hecho de que entre las expresiones “tres dedos“, “tres árboles”, “tres personas”, etc. haya algo común, fue observado y fijado en la lengua en forma de numerales
abstractos como resultado de un período extenso del desarrollo histórico. Se puede decir que
la formación de los numerales abstractos en la lengua, es la primera abstracción matemática
creada por el hombre.
La siguiente abstracción en esta dirección que apareció ya en un tiempo histórico más
próximo, de dos a tres mil años atrás, estuvo relacionada con la formación del concepto general del número. Resultó ser que se puede pensar y hablar no solo sobre números concretos,
sobre el tres o sobre el cuatro, sino sobre cualquier número natural en general. El enunciado:
“Al intercambiar el orden de los sumandos la suma de dos números no varía”, se refiere no a
unos números concretos, sino a los números en general. Tal enunciado exige una definición
previa de un número. Los antiguos dieron tal definición, pero para la nueva matemática ésta
resultó ser inaceptable y muchas veces se daba de una forma nueva. En general, la definición
definitiva del número natural, con la que estuviesen de acuerdo todos los matemáticos, no
existe incluso en nuestros días (2 ).
Un proceso análogo sucedió con el concepto de una función arbitraria. Los matemáticos de la
antigüedad, así como los matemáticos de la Edad Moderna hasta fines del siglo XVII, cuando
debido a los trabajos de Newton y de Leibniz fue terminada la construcción del cálculo diferencial e integral, no tenían la definición general de la función. En aquel tiempo todavía no
tenían necesidad de tal definición, y algunas funciones concretas representaban un campo
grande de investigación.
(*) Artículo publicado en la revista rusa Matematika v shkole (Matemática en la Escuela Nº1,2003. Traducción del ruso del artículo
por Antonio Aparicio Cortés, Profesor de Enseñanza Secundaria del Instituto de Enseñanza Secundaria de Cruces- Baracaldo
(Vizcaya).
Nota del equipo redactor de la revista Matematika v shkole (Matemática en la escuela): El autor de este artículo Gueorguiy
Evguéniyevich Shílov (1917–1975), Doctor de Estado en Ciencias Físico-Matemáticas, es autor de muchos artículos de teoría de
funciones, análisis funcional, ecuaciones diferenciales, álgebra y otros apartados de las matemáticas. A su pluma pertenecen
aríticulos interesantes de la historia y de la metodología de las matemáticas. Reeditamos uno de estos artículos, que fue publicado
en el primer número de nuestra revista del año 1964. Se le puede llamar, con derecho, una perla de la cultura matemática.
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Si a Newon o a Leibniz le preguntasen qué es “una función en general”, la respuesta, por lo
visto, sería que “una función en general” es el resultado de ciertas operaciones (algebraicas o
transcendentes elementales) con las variables independientes. Semejante definición apareció
por primera vez en un trabajo del alumno y colaborador de Leibniz Johan Bernoulli, en 1718.
En este trabajo la función se definía como una “expresión analítica”.
El primer problema, en el que los matemáticos tuvieron la necesidad de tener una definición
general de función, fue el problema de la cuerda vibrante. A este problema se dedicaban los
más grandes matemáticos de los mediados del siglo XVIII D’Alembert y Euler.
Fig. 1
El problema consiste en lo siguiente: A una cuerda elástica, fijada en dos puntos del eje de
las abscisas x = 0 y x = l, le dan una forma inicial determinada (fig.1) y después la sueltan sin
velocidad inicial. La cuerda empieza a vibrar y se necesita determinar su forma en cualquier
instante de un tiempo posterior.
Como saben los estudiantes universitarios de los cursos 3º y 4º, esta cuestión se reduce a la
búsqueda de una función u(t,x), que satisface la ecuación
2 u (t,x) = 2 u (t,x)
 t2
 x2
con las condiciones iniciales
u (0,x) = u0 (x),
u (0,x) = 0
t
Tanto D’Alembert como Euler (un año más tarde) señalaron la siguiente regla para la resolución de este problema: la función u0(x), que determina la forma inicial de la cuerda, hay
que prolongarla del segmento 0 ≤ x ≤ l al segmento -l ≤ x ≤ 0 como una función impar. A
continuación, la función obtenida, definida ya en el segmento -l ≤ x ≤ -l, hay que prolongarla
a todo el eje x como una función periódica de período 2l. Si la función periódica obtenida
se designa por el mismo símbolo u0(x), entonces la solución buscada u (t,x) se puede obtener
por la fórmula
u (t,x) =
u0 (x + t) + u0 (x - t)
2
(0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0)
(1)
Aunque ambos matemáticos obtuvieron la solución en la misma forma, cada uno de ellos consideraba que su propia solución tiene un carácter más general que la de su colega. Precisamente
la resolución se expresa mediante u0(x), que determina la forma inicial de la cuerda y es una
función arbitraria. Sin embargo cada uno entendía a su manera qué es una función arbitraria.
Para D’Alembert, que era seguidor de la escuela de J. Bernoulli, “una función arbitraria” significaba “una expresión analítica arbitraria”, además desde el mismo comienzo impar y que
posee el período 2l. Para Euler “una función arbitraria” significaba “una curva trazada arbitrariamente”. ¿Qué concepto es más amplio, cuál es más estrecho? La discusión entre D’Alembert
y Euler (que duró varios años) puede ser expresada por el siguiente diálogo:
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Euler. Claro está que una curva trazada arbitrariamente, es un concepto más general que una
expresión analítica arbitraria. En efecto, cualquier expresión analítica se representa mediante
cierta curva; sin embargo, no cualquier curva puede ser representada por una expresión analítica. Por ejemplo, una curva arbitraria se puede tomar con picos, sin embargo la curva que
corresponde a una expresión analítica, nunca tiene picos.
D’Alembert. Esto es sólo la apariencia de la generalidad. No se trata de curvas arbitrarias, sino
de las soluciones de las ecuaciones en las que figuran segundas derivadas. Antes de comprobar si su curva es solución, hay que escribir su expresión analítica, de lo contrario ¿cómo la
va a derivar? Pero una curva con picos, en general, no puede ser solución de una ecuación
en derivadas parciales. Además desde el punto de vista físico, la fuerza de elasticidad en los
picos tendría que ser infinita, lo que es absurdo.
Euler. Mi curva puede estar compuesta por varios arcos, que corresponden a distintas expresiones analíticas.
D’Alembert. Los arcos de las curvas que corresponden a distintas expresiones analíticas de
las que supuestamente puede estar compuesta la solución, no pueden ser unidos nunca de
una forma lisa.
En la discusión tomó parte un joven matemático, Daniel Bernoulli (hijo de Johann Bernoulli). Él
inventó un argumento que, en su opinión, podría apaciguar a los polemizantes. Precisamente,
de la misma manera que las oscilaciones compuestas se componen de las oscilaciones sinusoidales simples, ¿es posible expresar cualquier curva de Euler en forma de la serie
u0 (x) = a1 sen x + a2 sen 2x +... +an sen nx +...
l
l
l
(2)
y así escribirla en forma de una expresión analítica?
Sin embargo los dos maestros, D’Alembert y Euler, rechazaron con indignación la propuesta
de Daniel Bernoulli.
D’Alembert dijo que no cualquier expresión analítica puede ser expresada por la serie (2). La
suma de tal serie tiene que ser continua y tener la curvatura continua, sin embargo una expresión analitica, por ejemplo
, no posee obligatoriamente estas propiedades.
Euler dijo que no cualquier curva puede ser representada mediante la serie (2). La curva que
yo dibujo puede ir arbitrariamente en cada punto, pero la expresión (2), una vez escrita, ya
no admite ninguna arbitrariedad. En particular, desde el principio esta expresión representa
claramente una función impar y periódica. Después, dos curvas pueden coincidir en un intervalo y ser diferentes en otro. Las expresiones analíticas de D. Bernoulli, compuestas para estas
dos curvas, coincidirían en un intervalo y serían diferentes en otro, lo que es absolutamente
imposible para las expresiones analíticas.
Bernoulli señalaba en vano que a su disposición hay un número infinito de coeficientes libres:
a1, a2, ... . Puesto que no sabía calcularlos, su argumentación no fue admitida como válida.
Lagrange escribía más tarde, refiriéndose a Bernoulli: “ Es lástima que una teoría tan ingeniosa
no resulte válida.”
De esta forma la discusión seguía sin ser resuelta. Hay que notar que bajo la influencia de
las argumentaciones de D’Alembert, Euler dio pronto otra definición de función que es más
“matemática” que la anterior en apariencia, pero no en esencia: “Cuando ciertas cantidades
dependen de otras de tal forma que, al variar las últimas, varían también las primeras, entonces las primeras se llaman funciones de las segundas”. Esta nueva definición contiene tanto la
definición de D’Alembert, como la anterior definición “mecánica” del mismo Euler. Al mismo
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tiempo, puesto que en ella no se habla nada sobre la naturaleza permisible de la dependencia
de las primeras cantidades de las segundas, la definición sigue siendo bastante difusa, así que
cada uno de los posteriores matemáticos del siglo XVIII tenía libertad para interpretarla a su
manera. En el gran curso de cálculo diferencial e integral, escrito por La Croix para la Escuela
Politécnica de París (1797), está aceptada de hecho esta misma definición. Adicionalmente
está introducida una indicación para decir que la naturaleza de la dependencia puede no ser
conocida de antemano. Pero el sentido de esta indicación no consiste en la ampliación del
concepto de función, sino simplemente en dar los derechos de ciudadanía a los problemas
donde la incógnita es una función.
¿Qué concepto es más amplio y cuál es el más estrecho: el que utiliza la expresión analítica
o el que utiliza la curva? Esta cuestión seguía sin resolverse hasta el trabajo de Jean Fourier
(1807).
Para asombro de todo el mundo, Fourier señaló la regla de cálculo de los coeficientes en la
serie de Bernoulli; ésta es conocida ahora para cualquier estudiante:
l
an = 1  u0 (x) sen nx dx, n = 1, 2, ...
l -l
(3)
El descubrimiento de Fourier asestó un golpe demoledor a los dogmas del siglo XVIII, con los
que argumentaban en sus discusiones D’Alembert y Euler y que hasta hace poco parecían
indiscutibles. Resultó ser que los valores de la función en unos intervalos pueden no estar
relacionados con sus valores en otros intervalos; que dos expresiones analíticas distintas pueden dar resultados iguales en un intervalo y distintos en otro; que cualquier curva, incluso la
compuesta por partes heterogéneas, puede estar escrita por una expresión analítica única; que
la curva que corresponde a una expresión analítica no está obligada a ser continua y a tener
la curvatura continua.
Es verdad que Fourier no pudo fundamentar, como es debido, la convergencia de la serie (2)
con los coeficientes (3) hacia la función u0(x). Para esto le faltaban las definiciones exactas
de límite y de la continuidad. Estos conceptos fueron formulados con precisión por primera
vez y puestos como base del análisis por Cauchy (en 1821 salió a la luz su famoso “Curso de
análisis algebraico”). Basándose en los resultados de Cauchy, la demostración necesaria de
convergencia la obtuvo sin mayores dificultades Dirichlet en 1837.
Después del trabajo de Fourier quedó claro que en la definición de función cualquier referencia a la naturaleza analítica de la dependencia es solo un freno. La función tiene que ser
definida de alguna forma para cada valor, se exige solamente esto. Lobachevski en su conocida definición de la función (1834) señala la necesidad de la regla (condición), que permite
probar cada valor de x. Dirichlet renuncia incluso a la regla entre los valores de la x y de la y:
”no es importante el método con el que ha sido establecida la correspondencia”.
La definición de función dada por Dirichlet parecía tan clara e impecable, que fue aceptada
por todos los matemáticos sin restricciones. De hecho, todo el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX iba en la dirección del descubrimiento de las posibilidades, dadas en
esta definición. Fueron introducidos diferentes tipos de funciones: continuas, diferenciables,
analíticas. El propio análisis matemático recibió un nuevo nombre: “la teoría de funciones”.
Una base sólida obtuvo la teoría de funciones de variable compleja y la teoría de ecuaciones diferenciales. Los matemáticos del siglo XIX suponían que los límites del desarrollo del
análisis matemático habían sido establecidos por la definición de Dirichlet de una vez y para
siempre.
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Pero a finales del siglo, los matemáticos constataron con sorpresa que la definición de Dirichlet,
que parecía indiscutiblemente clara y precisa, contiene en sí inesperadas dificultades de principio, serias hasta tal punto, que muchos empezaron a negarse a admitir en ella algún sentido. Para aclarar esta cuestión, comparemos la definición de Lobachevski y la definición de
Dirichlet aplicándolas al objeto siguiente. Supongamos que a cada número natural N = 1,2,...
le corresponde el número (N) que es igual a 1, si en el desarrollo decimal del número  hay N
nueves seguidos; y es igual a cero en el caso contrario. ¿Se trata de una función de N o no?
Dirichlet diría: “Está claro que esto es una función. Para cada N, o existen N nueves seguidos
en el desarrollo del número , o no existen; la tercera posibilidad se excluye. Puesto que no
impongo condiciones a la naturaleza de la dependencia, ante mí hay efectivamente una función definida con exactitud”.
Lobachevski diría: “No conozco la regla que da para cada N la posibilidad de saber si en el
desarrollo del número  hay N nueves seguidos. Puede ser que esta regla no exista (3). Por
consiguiente aquí no hay función”.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función de una magnitud variable es una expresión analítica, compuesta por esta magnitud y por constantes.
J. Bernoulli, 1718.
Una función es una curva, dibujada por un movimiento libre de la mano.
L. Euler, 1748.
Cuando unas cantidades dependen de otras de tal forma que al variar las últimas también
varían las primeras, entonces las primeras se llaman funciones de las segundas.
L. Euler, 1755.
Cualquier cantidad, cuyo valor depende de una o de otras varias cantidades, se llama función
de estas últimas, independientemente de si se conocen o no las operaciones que hay que
realizar para pasar de éstas a la primera.
S. La Croix, 1797.
Una función de x es un número que se da a cada x y que varía constantemente con la x. El
valor de la función puede estar dado o por una expresión analítica o por una condición que
da el procedimiento para probar todos los números. La dependencia puede existir y quedarse
desconocida.
L.I. Lobachevski, 1934.
y es función de x, si a cada valor de x le corresponde un valor completamente determinado de
la y; además no es importante el método con el que ha sido establecida la correspondencia
señalada.
P. Dirichlet, 1837
Precisamente este punto –es importante o no es importante el modo por el que se define
la correspondencia entre la x y la y– de nuevo suscitó las pasiones en torno a la definición de función ya a principios del siglo XX. Efectivamente, según el sentido literal de la
definición de Dirichlet, para definir una función hay que definir sus valores para cada x;
además los valores de la función para distintos valores de x no están relacionados entre
sí de ninguna manera. ¿Pero de qué forma se puede definir una función? Los valores del
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argumento x forman un conjunto infinito y se tratará de un conjunto infinito de condiciones
no relacionadas entre sí. ¿Cómo pueden ser formuladas todas? Para la enumeración de un
conjunto infinito de condiciones que definen una única función, no bastaría ni sitio ni tiempo.
(Precisamente en tal situación se encuentran las así llamadas funciones inconmensurables
según Lebesgue, hasta ahora no ha sido señalada ninguna función individual de tal tipo.)
Nadie duda que las funciones definidas por una “regla”, formada por un conjunto finito de
palabras, tienen todos los derechos; sin embago ¿tiene sentido una función sin regla?
Pero ¿puede ser que las funciones “sin regla”, como inútiles, se puedan excluir por completo
del análisis? Fue emprendida especialmente una “revisión” con el fin de comprobar qué papel
juegan las funciones “sin regla” en la construcción del análisis de funciones. Los resultados no
fueron tranquilizantes. En realidad las funciones “sin regla” son tan esenciales en la fundamentación del análisis que excluyéndolas no podríamos reconstruir su base armoniosa.(4)
Los matemáticos se dividieron en dos tendencias: los partidarios de la definición de función
“según Dirichlet”, que no exigían una regla obligatoria; y los partidarios de la definición de
función “según Lobachevski”, que exigían una regla obligatoria, formada por un número finito
de palabras. Los representantes de la segunda corriente, llamados intuicionistas, renunciaban
a la mayor parte de análisis clásico y formaban la matemática intuicionista propia. Los representantes de la primera corriente, que no deseaban renunciar a los logros del análisis clásico,
se resignaron a aceptar la existencia de muchos hechos paradójicos, que resultaban de la
existencia de las funciones sin regla.(5)
Actualmente se puede constatar que el posterior desarrollo de las matemáticas no había
seguido el camino de los intuicionistas y al fin de cuentas los logros del análisis clásico se
quedaron firmes.(6)
Sin embargo algunos resultados concretos de los intuicionistas encontraron en nuestros tiempos una aplicación inesperada en la teoría de las computadoras. El tratamiento informático
solo pueden tener funciones que se definen mediante reglas con una cantidad finita de palabras y además esta cantidad tiene que ser relativamente pequeña.
A finales de los años veinte, sobre la definición de la función se ha cernido otra amenaza,
esta vez por parte de los físicos. Los físicos tienen desde hace mucho tiempo un punto de
vista singular sobre las matemáticas. Desde su punto de vista, la matemática tiene que ser una
herramienta exacta, cómoda y sin fallos, que les permita a ellos, a los fisicos, penetrar más
profundamente en los secretos de la naturaleza. Junto con la matemática tales herramientas
son el experimento y la intuición física. Para los físicos la matemática clásica es una herramienta respetable, pero bastante voluminosa. En la matemática clásica, por ejemplo, antes
de derivar una función hay que convencerse de que esta función posee la derivada, antes
de derivar una serie convergente de funciones hay que aclarar si converge uniformemente la
serie de las derivadas etc. Todas estas precauciones, desde el punto de vista de los físicos, son
innecesarias. Con todo esto el arsenal de la matemática clásica, que comprende los métodos
de resolución de las ecuaciones diferenciales e integrales y un conjunto grande de funciones
especiales etc., es bastante apreciable en su integridad.
Pero en 1930 salió el libro de P. Dirac, Los fundamentos de la mecánica cuántica, donde por
primera vez fue expuesta la teoría de nuevos fenómenos en la física del micromundo que los
físicos descubrieron en los años 20. Este libro ha marcado época en el desarrollo de la nueva
física. Pero la matemática clásica no fue suficiente para Dirac. Introdujo un objeto nuevo y lo
llamó “función delta”. Según la definición de Dirac, la función delta es una función y =(x)
que se anula para todos los x,   < x <  salvo para x = 0; y para x = 0 se convierte en
infinito, además de tal forma que
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
 (x) dx = 1.
-
Desde el punto de vista de un matemático de la corriente clásica, armado de las teorías
más nuevas y que no tiene miedo a los infinitos, tal definición es un cúmulo de despropósitos. Imaginémonos el diálogo que podrían mantener Dirac y uno de los matemáticos más
vanguardistas de nuestros tiempos Henri Lebesgue, cuyos trabajos determinaron en gran
medida el desarrollo de la teoría moderna de funciones de variable real y de otras ramas de
las matemáticas.
Dirac. La función delta se inscribe maravillosamente en el sistema general de las funciones
del análisis matemático. Por ejemplo, para cualquier función “clásica” (x) que es continua
en x=0, es fácil hallar la integral

 (x) (x) dx. (4)
-
Teniendo en cuenta la continuidad, se puede considerar que (x) mantiene su valor (0) en
un entorno pequeño del punto x=0. Fuera de este entorno (x) vale cero, así que se puede
considerar que la integral se extiende solo a este entorno. Sacando (0) fuera del signo de
integral, obtenemos la integral de la propia (x) que según la condición vale 1. De esta forma
la integral (4) vale (0).
Lebesgue. Tanto la definición de la función delta, como el razonamiento expuesto no tienen
ningún sentido. Una función que es igual a cero en todos los puntos salvo en uno, tiene que
tener la integral igual a cero. Esto es la piedra angular de cualquier teoría de la integral.
Dirac. La función delta se puede construir como límite de una sucesión de funciones. Por
ejemplo: Tomemos la sucesión de funciones h1(x), h2(x), ..., que se representan por los triángulos isósceles, cuyas bases están situadas en el eje x y se concentran hacia el punto x = 0 y
cuyas alturas aumentan indefinidamente de tal forma que las áreas siguen siendo iguales a 1
(fig. 2).
Está claro que... lim hn (x) = 0 para x> 0 y para x < 0; y también
n-


-
-
 lim hn (x)d(x) = lim  hn (x) = lim1 =1
Por consiguiente el límite de la sucesión de las funciones hn(x) es precisamente la función
delta.
Fig. 2
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Lebesgue. Estos razonamientos contienen un error: hablando en general no se puede intercambiar los signos del límite y de la integral. Precisamente fue demostrado por mí un teorema
más general, que permite, bajo ciertas condiciones, efectuar esta operación; pero las condiciones de este teorema no se cumplen aquí.
Dirac. Se puede obtener la función delta siguiendo otro camino: Tome la función (x) que vale
0 para x < 0 y que vale 1 para x ≥ 0 y considere su derivada ’(x). Está claro que ’(x) tiene que
ser igual a cero para x < 0 y para x > 0, igual a  para x = 0, y la integral de ’(x), que da el
incremento de su primitiva, o sea, de la propia (x), vale 1. De esta forma la derivada de (x)
es precisamente la función delta.
Lebesgue. Otra vez hay un error en el razonamiento. La derivada de una función puede existir o no existir no en general, sino solamente en cada uno de los puntos. La derivada de (x)
existe efectivamente para x < 0 y para x > 0 y es igual a cero. En esto Vd. tiene razón, pero
para x = 0 la derivada no existe en absoluto. Desde los tiempos de Cauchy se sabe que una
función que tiene derivada en algún punto, tiene que ser continua en este punto. Sin embargo
la función (x) es discontinua en x = 0. El teorema que dice que la integral de la derivada da
el incremento de la primitiva es válido solo para las funciones cuya derivada existe en cada
punto.
Dirac. Sin embargo, la función delta da unos resultados bastante fructíferos en Física. Sin ella
yo no podría resolver el problema más sencillo de la mecánica cuántica, el problema sobre
los niveles de energía del átomo de hidrógeno. Por otra parte la solución teórica hallada por
mí con la ayuda de la función delta ha recibido confirmación experimental.
Lebesgue. Con todo mi respeto hacia la Física no puedo admitir la argumentación de este tipo;
ésta está fuera de la Matemática. En la Matemática no existe la función delta. La Matemática
no puede tomar parte en el desarrollo teórico de las cuestiones en las que participa la función
delta.
Como vemos, la situación empezó a ponerse seria. Surgió el peligro de la pérdida del entendimiento mutuo entre los físicos y los matemáticos. Para prevenirla habría que crear una nueva
definición de función que poseyera las propiedades siguientes:
1. Las funciones ordinarias del análisis clásico también son funciones en el nuevo sentido de
la palabra.
2. La función delta ( y otras funciones “singulares” de los físicos) también pertenecen al conjunto de las nuevas funciones.
3. Todas las funciones nuevas poseen derivadas que a su vez también son funciones en el
nuevo sentido de la palabra.
4. La serie convergente de las nuevas funciones se puede derivar término a término; la serie
compuesta por las derivadas siempre tendrá como suma la derivada de la suma de la
serie inicial.
¡A primera vista las condiciones son irreconciliables!
Tanto mayor es el mérito del matemático soviético S.L. Sóbolev quien inventó una clase de
objetos que satisfacen todas las condiciones citadas; posteriormente éstos fueron llamados
“funciones generalizadas”.
Veamos cómo se construye la definición de la función generalizada. Designemos mediante
K el conjunto de las funciones ordinarias (según Dirichlet), definidas en el eje   < x < 
Estas funciones tienen que ser finitas, o sea, aquellas que se anulan fuera de algun intervalo,
continuas y que poseen derivadas continuas de cualquier orden. Estas funciones ordinarias las
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vamos a llamar funciones de prueba. Teniendo una función clásica f(x), se puede definir para
cada función de prueba (x) el número

 (x) f(x)dx (5)
-
que vamos a denotar mediante (,f) y vamos a llamarlo resutado de la influencia de la función
f(x) sobre la función prueba (x).
Resulta que la función f(x) puede ser restaurada de una forma unívoca, si conocemos solamente los resultados de su influencia sobre cualquier función prueba. En otras palabras, en un
principio una función clásica se puede definir tanto mediante sus valores en algunos puntos
del eje x, como por los resultados de su influencia sobre las funciones prueba.
Ahora se puede dar la definición de la función generalizada. Se dice que está definida una función generalizada f, si a cada función prueba (x) se le pone en correspondencia un número,
denotado por el signo (,f) y llamado resultado de influencia de la función f sobre la función
prueba (x).
No cualquier función generalizada está relacionada con la función clásica mediante una
expresión del tipo (5). Supongamos, por ejemplo, que a cada función prueba (x) se le ha
puesto en corespondencia un número igual a (0), o sea, igual al valor de la función (x)
en el punto x = 0. Se puede demostrar que ninguna función clásica f(x) puede satisfacer la
igualdad

 (x) f(x) dx =  (0)
-
para cualquier función prueba (x).
Recordemos que Dirac “demostraba” la igualdad

 (x) (x) dx =  (0)
-
En otras palabras, la función delta (x), influyendo sobre cualquier función prueba (x), conduce precisamente al resultado (0). El razonamiento de Dirac, claro está, no es una demostración; sin embargo, hace natural la siguiente definición: la función delta es una función
generalizada que aplicada a cualquier función prueba (x) da como resultado (0). De esta
forma la función delta, no siendo una función clásica (en esto Lebesgue tiene razón), pertenece al conjunto de las funciones generalizadas.
Ahora consideremos la cuestión de la derivabilidad de las funciones generalizadas. Si f(x) es
una función ordinaria con una derivada ordinaria f’(x), entonces, integrando por partes, se
puede obtener fácilmente la fórmula:



-
-
-
(,f´) =  f´(x) (x) dx = f(x) (x) | -  f(x) ´(x)dx = – (´,f)
(6)
además el término que está fuera de la integral se anula debido a que la función prueba (x)
es finita.
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La igualdad (6) demostrada para la función ordinaria f(x) con una derivada ordinaria f’(x)
puede servir de definición de la derivada para cualquier función generalizada. Precisamente
la función generalizada f’(x) se llama derivada de la función generalizada f, si para cualquier
función prueba (x) el valor de la función generalizada f’ está dado por la igualdad
(,f’) = -(’, f)
De esta forma, cualquier función generalizada tiene derivada que a su vez también es una
función generalizada. Puesto que la operación de derivación se puede repetir, vemos que las
funciones generalizadas tienen derivadas de cualquier orden.
Por ejemplo: si una función ordinaria f(x) no tiene una derivada ordinaria, entonces desde el
punto de vista de las funciones generalizadas esto significa que la derivada de la función f(x)
ya no es una función ordinaria, sino generalizada.
Demostremos ahora que la serie convergente de las funciones generalizadas se puede derivar
término a término. Según la definición, la serie de las funciones generalizadas f1 + f2 + ... es
convergente y tiene como suma la función generalizada f, si para cualquier función prueba
(x) la serie numérica (, f1) + (, f2) + ... converge y tiene lugar la igualdad
(, f1) + (, f2) + ... = (, f)
De acuerdo con la definición de la derivada de la función generalizada f tenemos
(, f’) = -(’, f) = -(’, f1) - (’, f2) - ... = (,f1’) + (,f2’) + ...,
o sea,
f’ = f1’ + f2’ + ...,
lo que se pedía demostrar.
De esta forma en el campo de las funciones generalizadas se cumplen las cuatro condiciones
que se exigían a la nueva definición de la función que satisface tanto a los matemáticos como
a los físicos.
Desde los tiempos en los que S.L. Sóbolev introdujo las funciones generalizadas (1934-1936),
han pasado muchos años. En todo este tiempo, la teoría de las funciones generalizadas se ha
desarrollado ampliamente y se ha hecho necesaria en muchas cuestiones del análisis matemático y en otras ramas de las matemáticas, y así mismo en una serie de problemas físicos.
Hemos visto cómo se iba perfeccionando la definición de la función a lo largo de los más de
doscientos años. Su última forma no significa el final de su historia. Sin duda en el futuro bajo
la influencia de nuevas exigencias tanto de la propia Matemática como de otras ciencias (de
la Física, posiblemante de la Biología, pede ser de la Sociología), la definición de la función
va a variar, y cada siguiente variación, como antes, va a abrir nuevos horizontes de la ciencia
y va a conducir a nuevos e importantes descubrimientos.
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SIGMA Nº 25 • SIGMA 25 zk.
¿Qué es una función?
NOTAS
(1) Véase Gnedenko B.V. Los primeros pasos en el desarrollo del cálculo. Matematika v shkole.1963. Nº4.
(2) Véase Bourbaki N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas.1963.
(3) Teniendo en cuenta los resultados de los últimos años sobre la existencia de algoritmos para la resolución de ciertos problemas
(A.A. Markov y otros), podemos añadir que la consideración de Lobachevski puede ser que no esté exenta de razón.
(4) Hablando en lenguaje de la teoría de los conjuntos, las funciones definidas por las reglas, compuestas por un número finito de
palabras, forman solamente un conjunto numerable; sin embargo las funciones sin regla, incluso solo las continuas (e incluso
¡sólo las constantes!), forman un conjunto cuya potencia es la del continuo. De esta forma hay muchísimas más funciones sin
regla que funciones con regla. Los teoremas fundamentales del análisis, tales como los teoremas de la existencia del supremo
de un conjunto acotado, nos conducen enseguida a la necesidad de utilización de funciones sin regla.
(5) Está claro que en los tiempos de Lobachevski y de Dirichlet la cuestión "exigir la regla o no exigirla" todavía no podía haber surgido; por consiguiente, solo se puede hablar condicionalmente de que las dos corrientes mencionadas arrancan de Lobachevski
y de Dirichlet.
(6) La escuela intuicionista es recordada en la matemática como una especie de curiosidad histórica (Bourbaki N. Elementos de la
historia de las matemáticas.1963).
Noviembre 2004 • 2004ko Azaroa
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