en otra ventana

Capı́tulo 1
Dinámica Clásica No-Conmutativa
En una mecánica cuántica no-conmutativa los operadores de posición xk se caracterizan por satisfacer una relación de no-conmutatividad, [10,11]:
[x̂i , x̂j ] = ih̄Θij 1̂.
(1.1)
Esto ha generado que los fı́sicos se empezacen a cuestionar sobre los espacios fase
clásicos no-conmutativos.
En este capı́tulo se revisarán las modificaciones que surgen en la mecánica clásica
como consecuencia de usar un álgebra no-conmutativa generada por las coordenadas
xk , (ver [8,9]).
Para esta sección el punto de partida es una mecánica cuántica no conmutativa y
para obtener una estructura simpléctica consistente con las relaciones de conmutación
se utiliza el lı́mite clásico h̄ → ∞ dado por:
1 ˆ
[f , ĝ] → {f, g}P .
ih̄
(1.2)
en donde {f, g}P son los paréntesis de Poisson de f y g.
1.1.
Estructura Simpléctica de Espacios No-Conmutativos
Partamos de un sistema de N grados de libertad. El correspondiente espacio fase
estará formado por xi y pi con i = 1, ..., N .
5
Dado que en los espacios fase las coordenadas y sus respectivos momentos canónicos
congujados adquiren la misma jerarquı́a, podemos utilizar la notación ζα con α =
1, . . . , 2N (la cual será muy conveniente para los análisis del capı́tulo 3). Esta notación
se debe de entender de la siguiente forma: ζ1 = x1 , ..., ζN = xN , ζN +1 = p1 , ..., ζ2N = pN
o puesto en notación matricial queda como:

ζ1
ζ2
..
.

x1


x 


 2 


 . 


 .. 







 ζN  = 
x

N 






 p1 
 ζN +1 


 . 
 .. 
 . 


.
 . 


pN
ζ2N
mejor conocida como notación simpléctica.
En términos de las variables del espacio fase ζα los paréntesis de Poisson adquieren
la forma:
{F, G}P = ωαβ
∂F ∂G
,
∂ζα ∂ζβ
(1.3)
donde ωαβ = {ζα , ζβ }P se conoce como estructura o forma simpléctica. Se entiende que
estamos utilizando la convención de suma de Einstein. La forma en que utilizaremos
(1.3) es la siguiente:
{F, G}P = {xi , xj }P
∂F ∂G
∂F ∂G
∂F ∂G
∂F ∂G
+ {xi , pj }P
+ {pi , xj }P
+ {pi , pj }P
,
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
∂pi ∂xj
∂pi ∂pj
(1.4)
donde F = F (xi , pj ) y G = G(xi , pj ).
La estructura simpléctica ωαβ se puede representar por una matriz anti-simétrica,
no-singular y no-degenerada 2N × 2N en términos de xi y pi como
{xi , xj }P
{pi , xj }P
{xi , pj }P
{pi , pj }P
.
(1.5)
Esta notación permite visualizar fácilmente el procedimiento para la generalización a
los espacios no conmutativos y más aún al caso de fermiones (como se verá en los
capı́tulos 2, 3 y 4). La definición (1.3) tiene la ventaja de permitir, de forma clara y
sencilla, la generalización de la definición de los paréntesis de Poisson para el caso de
un álgebra no-conmutativa.
6
Por ejemplo, para el caso utilizado en los libros como el Goldstein, las generadores
de la estructura simpléctica son:
{xi , xj }P = 0,
{xi , pj }P = δij ,
{pi , pj }P = 0,
(1.6)
que al sustituir en (1.4.) nos da
{F, G}P = δij
∂F ∂G
∂F ∂G
− δij
.
∂xi ∂pj
∂pi ∂xj
Lo cual corresponde precisamente a la definición del paréntesis de Poisson:
{F, G}P =
∂F ∂G ∂F ∂G
−
.
∂xi ∂pi ∂pi ∂xi
Esto corresponderı́a a un espacio fase conmutativo y su estructura simpléctica
queda como
0
−δij
δij
0
.
(1.7)
Para un espacio fase no-conmutativo sólo en las coordenadas, los generadores de la
estructura simpléctica serı́an,[8,9]:
{xi , xj }P = Θij ,
{xi , pj }P = δij ,
{pi , pj }P = 0,
donde Θij es antisimétrico y tiene unidades de área. La estructura simpléctica queda
con la forma
Θij
−δij
δij
0
,
(1.8)
o más general, para una estructura en la que también los momentos no conmuten serı́a
{xi , xj }P = Θij ,
{xi , pj }P = δij ,
{pi , pj }P = βij .
(1.9)
Lo cual nos genera la siguiente estructura
Θij
−δij
δij
βij
.
(1.10)
Visto de esta forma, parecerı́a que la no-conmutatividad es una mera curiosidad
matemática y que podemos dar vuelo a la imaginación para proponer diferentes estructuras simplécticas; sin embargo esto no es ası́. La justificación formal de los espacios
no-conmutativos proviene de la mecánica cuántica.
7
En cuántica no-conmutativa se encuentran relaciones de conmutación como la siguiente:
[x̂i , x̂j ] = ih̄Θij 1̂,
[x̂i , p̂j ] = ih̄δij 1̂,
[p̂i , p̂j ] = ih̄βij 1̂,
(1.11)
donde xi y pj son los operadores cuánticos de posición y momento respectivamente y
que de acuerdo con la cuantización a la Dirac, el lı́mite clásico
1
[ , ] → { , }P
ih̄
corresponde precisamente a (1.9).
Más aún, siendo más formales, ahora se sabe que la cuantización a la Dirac es
equivalente a una deformación h̄-estrella del álgebra del espacio fase conmutativo A0
de tal forma que el álgebra de los operadores de Heisenberg es reemplazada por el
álgebra de Moyal Ah̄ [12]:
{xi , xj }h̄ = 0,
{xi , pj }h̄ = ih̄δij ,
{pi , pj }h̄ = 0,
donde xi y pi son las mismas observables clásicas pero ahora obedecen un producto de
Moyal
i
(2)
(f ?h̄ g)(u) = exp[ h̄ωab ∂a(1) ∂b ]f (u1 )g(u2 )|u1 =u2 =u
2
(1.12)
{f, g}h̄ = f ?h̄ g − g ?h̄ f.
(1.13)
y
Ası́ vemos que en realidad, la estructura simpléctica (1.9) surge de buscar que sea
consistente con las relaciones de no-conmutatividad (1.11).
Sin embargo, gracias a (1.3) todos los cálculos a realizar en esta tesis se quedan a un
nivel meramente del álgebra de Poisson, por lo que no es realmente necesario utilizar
explı́citamente tanto la definición (1.12) como la deformación (1.13) del paréntesis.
1.2.
Ecuaciones de Movimiento en Espacios No-Conmutativos
Como bien sabemos, en la formulacı́ón Hamiltoniana de la mecánica clásica, las
ecuaciones de movimiento se calculan a través de:
ζ̇ = {ζ, H}P ,
8
(1.14)
donde H = H(ζ) es el Hamiltoniano. En particular tomemos
p2i
H=
+ V (xi ).
2m
(1.15)
Primero calculemos las ecuaciones de movimiento para la estructura simpléctica
(1.8). Para este caso, es evidente que (1.3) queda definido como
{F, G}P = Θij
∂F ∂G ∂F ∂G
∂F ∂G
+(
−
)
∂xi ∂xj
∂xi ∂pi ∂pi ∂xi
(1.16)
Ası́, calculando (1.14) utilizando (1.16) y (1.15) tenemos:
p2
ẋi = {xi , H}P = {xi , 2mj + V (xj )}P
(1.17)
=
p2
{xi , 2mj }P
+ {xi , V (xj )}P
calculando por separado cada término tenemos que para el primero:
p2
p2
p2
p2
∂xi ∂ j
∂xi ∂ j
∂xi ∂ 2mj
{xi , j }P = Θkl
+ k 2mk − k 2mk
2m
∂xk ∂xl
∂x ∂p
∂p ∂x
llegando ası́ a
{xi ,
p2j
pi
}P = .
2m
m
(1.18)
Para el segundo término
{xi , V (xj )}P = Θkl
∂xi ∂V (xj ) ∂xi ∂V (xj ) ∂xi ∂V (x)
−
+ k
∂xk ∂xl
∂x ∂pk
∂pk ∂xk
lo cual nos arroja el resultado
{xi , V (xj )}P = Θil
∂V (xj )
,
∂xl
(1.19)
que sustituyendo todo junto nos da la ecuación de movimiento:
∂V (xj )
pi
+ Θil
.
m
∂xl
(1.20)
∂V (xj )
∂pi ∂V (xj ) ∂pi ∂V (xj )
−
=−
∂xk ∂pk
∂pk ∂xk
∂xi
(1.21)
ẋi = {xi , H}P =
Por otra parte para los momentos:
ṗi = {pi , H}P =
Que finalmente se puede reescribir como [8]:
9
mẍi = −
∂ 2 V (xj )
∂V (xj )
+ mΘil
ẋk .
∂xi
∂xl ∂xk
(1.22)
Estas resultan ser la nuevas ecuaciones de la segunda ley de Newton para la estructura
(1.8).
Ahora, calculemos las ecuaciones de movimiento para la estructura simpléctica
(1.10). Usando el Hamiltoniano ya definido en (1.15), se obtienen las ecuaciones de
movimiento:
k ∂H
k ∂H
ẋk = {xk , H}P = +{xi , xj }P ∂x
+ {xi , pj }P ∂x
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
k ∂H
k ∂H
−{xi , pj }P ∂x
+ {pi , pj }P ∂x
∂pj ∂xi
∂pi ∂pj
(1.23)
∂H
∂H
= Θij δki ∂x
+ δij δki ∂p
j
j
=
pk
m
+ Θkj ∂V∂x(x)
j
k ∂H
k ∂H
+ {xi , pj }P ∂p
ṗk = {pk , H}P = +{xi , xj }P ∂p
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
k ∂H
k ∂H
−{xi , pj }P ∂p
+ {pi , pj }P ∂p
∂pj ∂xi
∂pi ∂pj
∂H
∂H
+ βij δki ∂p
= −δij δkj ∂x
i
j
(1.24)
∂V
= −δik ∂x
+ βkj pmj
i
+
ṗk = {pk , H}P = − ∂V∂x(x)
k
1
β p
m kj j
Y finalmente se encuentran las ecuaciones de movimiento [9]:
2
(x)
mẍk = − ∂V∂x(x)
+ mΘkj ∂∂xVl ∂x
ẋl
j
k
+βkj ẋ
j
10
(1.25)