Srinivasa Ramanujan - UAM-I

Srinivasa R amanujan
Ja m e s R . N e wm a n
Srinivasa Ramanujan Alyangar, seg¶
un su bi¶
ografo
Seshu Aiyar, era miembro de una familia brahm¶
an,
de humilde condici¶on, del distrito de Tanjore de la
presidencia de Madr¶as. Su padre era contable de
un mercader de pa~
nos en Kumbakonam, mientras
que su madre, mujer de \gran sentido com¶
un", era
hija de un modesto o¯cial brahm¶an del Tribunal en
Erode de Munsi® (o del juez legal). Desp¶es de alg¶
un
tiempo de matrimonio ella no ten¶³a hijos, \pero su
padre pidi¶
o a la famosa diosa. Namagiri, de la vecina
ciudad de Namakkal, que otorgara descendencia a
su hija". Poco despu¶es, el 22 de diciembre de 1887,
naci¶
o su primer hijo, el matem¶atico Ramanujan. . . "
Pas¶
o el examen de matr¶³cula para el Government College de Kumbakonam alos 16 a~
nos y obtuvo la \Junior Subrahmanyan Scholarship". A causa de su poco dominio del ingl¶es, ya que s¶
olo pensaba en las matem¶
aticas, malogr¶
o el examen siguiente y dej¶o su beca. Entonces abandon¶
o Kumbakonam, primero por
Vizagapatam y despu¶es por Madr¶
as, donde se present¶
o para el \First Examination in Arts"en diciembre de 1906, pero fracas¶
o y jam¶
as volvi¶
o a intentarlo. Continu¶
o unos a~
nos m¶
as su trabajo independiente en matem¶
aticas. En 1909 se cas¶
o y necesit¶
o encontrar un empleo permanente. Cuando estaba buscando trabajo, le dieron una carta de recomendaci¶on para un aut¶entico amante de las matem¶
aticas, Diwan
Bahadur R. Ramachandra Rao, que era entonces recaudador en Nelore, peque~
na ciudad de 129 km al
norte de Madr¶
as. Ramachandra Rao ya hab¶³a visto uno de los dos voluminosos libros de notas llevados por Ramanujan, en los que amontonaba sus maravillosas ideas. La primera entrevista con Ramanujan est¶
a perfectamente descrita con sus propias
palabras.
Fue por primera vez a la escuela a los cinco a~
nos y antes de los siete le llevaron a la \Town High School"de
Kumbakonam, donde consigui¶o una beca. Parece
que sus extraordinarias facultades fueron advertidas
casi inmediatamente. Era reposado, re°exivo y pose¶³a una memoria asombrosa. Se divert¶³a entreteniendo a sus amigos con teoremas y f¶ormulas, recitando las listas completas de las ra¶³ces s¶anscritas y
repitiendo los valores de pi y de la ra¶³z cuadrada de
dos hasta cualquier n¶
umero de cifras decimales.
\Hace algunos a~
nos, un sobrino m¶³o, ignorante por completo de todo conocimiento matem¶
atico me dijo: \T¶³o, tengo un visitante que habla de matem¶
aticas y no lo
comprendo; >podr¶³a mirar si hay algo de inter¶es en su charla?" Y en la plenitud de mi
sabidur¶³a matem¶
atica, condescend¶³ a que
Ramanujan hablara en mi presencia. Una
peque~
na ¯gura r¶
ustica, vigorosa, sin afeitar, desali~
nada, con un rostro conspicuo {
los ojos brillantes{ entr¶
o con un gastado
libro de notas bajo el brazo. Era extremadamente pobre. Hab¶³a ido desde Kumbakonam a Madr¶
as a ¯n de conseguir medios para proseguir sus estudios. Jam¶
as pidi¶
o ninguna distinci¶
on. Necesitaba desahogo; en otras palabras, que se le suministrara el m¶³nimo vital sin esfuerzo de su parte y que se le permitiera so~
nar.
Cuando ten¶³a 15 a~
nos y estaba en la sexta clase de
la escuela, un amigo suyo le consigui¶o el pr¶estamo
de Slynopsis of Pure Mathematics de Carr, pertenecientre a la biblioteca del Government College local. Ramanujan penetr¶o gozosamente en el nuevo
mundo que de ese modo se abr¶³a ante ¶el. Fue este libro lo que despert¶o su genio. Se puso a demostrar sus f¶ormulas inmediatamente. Cada soluci¶
on era para ¶el objeto de investigaci¶on radical, ya
que carec¶³a de la ayuda de otros libros. Primeramente imagin¶o m¶etodos para construir cuadrados
m¶
agicos. Despu¶es se dedic¶o a la geometr¶³a, donde trat¶
o la cuadratura del c¶³rculo y lleg¶o incluso a establecer un valor del c¶³rculo ecuatorial de la tierra,
que difer¶³a del verdadero s¶olo en muy pocos pies. Dirigi¶
o su atenci¶on al ¶algebra porque encontraba limitado el campo de la geometr¶³a. Ramanujan sol¶³a decir que la diosa de Namakkal le inspiraba f¶
ormulas
en sue~
nos. Es notable el hecho de que, al levantarse de la cama, escrib¶³a resultados y los comprobaba, aunque no siempre era capaz de dar una demostraci¶
on rigurosa. Este proceso se repiti¶o durante toda su vida.
\Abri¶
o el libro y empez¶
o a explicar algunos de sus descubrimientos. Al punto vi
claramente que era algo fuera de lo conocido; pero mis conocimientos no me permitieron juzgar si hablaba con sentido o sin ¶el.
Suspendiendo todo juicio le ped¶³ que vinie11
12
ContactoS 32, 11{16 (1999)
ra de nuevo y as¶³ lo hizo. Apreci¶o debidamente mi ignorancia y me demostr¶o al¶
gunos de sus hallazgos m¶as simples. Estos
iban m¶
as all¶a de los libros existentes y ya
no tuve duda de que era un hombre notable. Despu¶es, paso a paso, me inici¶o en
las integrales el¶³pticas y en las series hipergeom¶etricas; ¯nalmente su teor¶³a de las series divergentes, no divulgada todav¶³a, me
convirti¶
o. Le pregunt¶e qu¶e era lo que deseaba. Dijo que ¶el quer¶³a una peque~
na pensi¶
on para vivir y as¶³ proseguir sus estudios".
Ramachamandra Rao se comprometi¶o a pagar los
gastos de Ramanujan por un tiempo. Algo m¶
as tarde, despu¶es de haber fallado otros intentos para conseguir los resultados de las ecuaciones de las ¯guras
1 y 2; una beca, al no querer Ramanujan ser mantenido por otra persona por mucho tiempo, acept¶
o
un peque~
no cargo en el despacho del Port Trust de
Madr¶
as.
Pero nunca renunci¶o a sus estudios de matem¶
aticas.
Sus primeros trabajos fueron publicados en el Journal of the Indian Mathematical Society en 1911,
cuando Ramanujan ten¶³a 23 a~
nos. Su primer art¶³culo
largo fue sobre \Some Properties of Bernoulli's Numbers" y fue publicado el mismo a~
no. En 1912 colabor¶
o en la misma revista con dos notas y algunos problemas.
Por aquel tiempo Ramachandra Rao hab¶³a persuadido a Mr. Gri±th del Madr¶as Egineering College para que se interesara por Ramanujan; Gri±th habl¶
o
a Sir Francis Spring, presidente del Port Trust de
Madr¶
as, donde estaba empleado Ramanujan. A partir de entonces, su trabajo fue reconocido debidamente. Aconsejado por Seshu Aiyar y otros, Ramanujan empez¶
o a cartearse con G.H. Hardy, fecha 16
de enero de 1913, que sus amigos le ayudaron a redactar en ingl¶es:
Apreciable se~
nor:
Me permito presentarme a usted como un
contable del Accounts Department del Port
Trust O±ce de Madr¶as, con un salario de
20 $ anuales solamente. Tengo cerca de 23
a~
nos de edad [ten¶³a realmente 25 { Ed.].
No he recibido educaci¶on universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tiempo libre de que dispon¶³a en
estudiar matem¶aticas. No he pasado por
el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy
siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que
he llegado son cali¯cados como \sorprendentes"por los matem¶
aticos locales. . .
Yo quer¶³a pedirle que repasara los trabajos aqu¶³ incluidos. Si usted se convence
de que hay alguna cosa de valor, me gustar¶³a publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No se me han dado a conocer las investigaciones actuales ni las expresiones que
he adoptado, pero he indicado el proceso
que sigo. Debido a mi poca experiencia,
tendr¶³a en gran estima cualquier advertencia que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias que le ocasiono.
Quedo, apreciado se~
nor, a su entera disposici¶
on.
S. Ramanujan.
Hab¶³a alrededor de 120 teoremas adjuntos a la carta; de ¶estos, los 15 aqu¶³ transcritos forman parte de
un grupo seleccionado por Hardy como \claramente representativo". Hardy los coment¶
o como \claramente representativo". Hardy los coment¶
o as¶³:
\Quisiera que intentaran imaginarse la reacci¶
on inmediata de un matem¶
atico profesional corriente que recibe una carta como ¶esta, de un contable hind¶
u desconocido.
\El primer problema era el de saber si
podr¶³a siquiera reconocer alguna cosa. Yo
hab¶³a demostrado algo semejante a (7) y la
(8) me parec¶³a vagamente conocida. Realmente la (8) es cl¶
asica; es la f¶
ormula de Laplace aprobada por primera vez con rigor
por Jacobi y la (9) se encuentra en un trabajo publicado por Rogers en 1907. Pens¶e
que, como experto en integrales de¯nidas,
podr¶³a seguramente comprobar (5) y (6) y
as¶³ lo hice, aunque con mucha m¶
as di¯cultad de lo que hab¶³a supuesto. . .
\Encontr¶e francamente intrigantes las
f¶
ormulas de series (1) - (4) y pronto me convenc¶³ de que Ramanujan
deb¶³a poseer teoremas mucho m¶
as generales y se hab¶³a guardado la mayor parte en la manga.
La segunda es f¶
ormula de Bauer bien conocida en la teor¶³a de series de Legendre, pero las otras son m¶
as complicadas de lo que parecen. . .
Srinivasa Rmanujan. James R. Newman.
13
µ
¶µ
¶
3!
6!
x
x2
x
x2
2
4
1¡
x +
x ¡ ::: = 1 +
+
+ :::
1¡
+
¡ :::
(1! £ 2!)3
(2! £ 4!)3
(1!)3
(2!)3
(1!)3 (2!)3
µ ¶3
µ
¶3
µ
¶
2
1
1£3
1£3£5
1¡5
+9
¡ 13
+ ::: =
2
2£4
2£4£6
¼
µ ¶4
µ
¶4
µ
¶4
3
22
1
1£5
1£5£9
1+9
+ 17
+ 25
+ : : : = 1 £ ¡ ¢¤2
4
4£8
4 £ 8 £ 12
¼ 2 ¡ 43
µ ¶5
µ
¶5
µ
¶5
2
1
1£3
1£3£5
1¡5
+9
¡ 13
+ : : : = £ ¡ ¢¤4
2
2£4
2£4£6
¡ 34
´2
´2
³
³
x
Z 1 1+ x
1
+
b+ 1
b+ 2
1 1 ¡(a + 12 )¡(b + 1)¡(b ¡ a + 12 )
³
¡ x ¢2
´2 : : : dx = ¼ 2
2
¡(a)¡(b + 12 )¡(b ¡ a + 1)
0
1+
1+ x
a
Z
0
dx
1
®¡ 4
x2 )(1
r2 x2 )(1
+
Ã
1 + 4®
Z
0
Z
a
0
4
(2)
(3)
(4)
(5)
a+ 1
1
(1 +
(1)
Z
0
a
1
=
+ r4 x2 ) : : :
2(1 + r
+ r3
Si ®¯ = ¼ 2 ; entonces
!
Ã
x2
xe¡®
dx
e2¼x¡1
1
= ¯¡ 4
¼
+ r6 + r10 + : : :)
(6)
(7)
1 + 4¯
Z
1
0
x2
!
xe¡¯
dx
e2¼x ¡ 1
2
2
1 1 e¡a 1 2 3 4
x¡x dx = ¼ 2 ¡
:::
2
2a+ a+ 2a+ a+ 2a
(8)
1 12 12 22 22 32 32
xe¡sqrt5
dx =
:::
cosh x
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+
(9)
1
Si u =
x x5 x10 x15
x 6 x x2 x3
:::;v =
:::
1+ 1+ 1+ 1+
1+ 1+ 1+ 1+
entonces
1 ¡ 2u + 4u2 ¡ 3u3 + u4
1 + 3u + 4u2 + 2u3 + u4
8v
9
uÃ
p ! p
<
2¼ ¡4¼
u
1 e e
5+ 5
5 + 1= 2¼
::: = t
¡
e5
:
1+ 1+ 1+
2
2 ;
(10)
v5 = u
2
p
p
6
1 e¡2 ¼ 5 e¡4 ¼ 5
::: = 6
4
1+ 1+
1+
1+
r
5
5
p
3
4
F ig ura 1 .
³p
5
5¡1
2
´ 52
¡1
¡
p
(11)
3
2¼
5 + 17
7 e p5
2 5
(12)
14
ContactoS 32, 11{16 (1999)
µ
¶2
µ ¶2
p
1£3
1
k+
k2 + : : : y f (1 ¡ k) = 210 F (k)
Si F (k) = 1 +
2
2£4
(13)
entonces
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
k = ( 2 ¡ 1)4 (2 ¡ 3)2 ( 7 ¡ 6)4 (8 ¡ 3 7)2 ( 10 ¡ 3)4 (4 ¡ 15)4 ( 15 ¡ 14)2 (6 ¡ 35)2
El coe¯ciente de xn en (1 ¡ 2x + 2x4 ¡ 2x9 + : : :)¡1 es el n¶
umero entero m¶
as pr¶
oximo a
(14)
µ
p ¶
p
1
sinh ¼ n
p
cosh ¼ n ¡
4n
¼ n
El n¶
umero de n¶
umeros entre A y x que son o cuadrados o suma de dos cuadrados es
K
Z
x
A
p
(15)
dt
+ µ(x):
log t
donde K = 0:764 : : : y µ(x) es muy peque~
na comparado con la integral.
F ig ura 2 .
\Las f¶
ormulas (10) - (13) son de un nivel
distinto y, desde luego, tan dif¶³cil como profundo. Un experto en funciones el¶³pticas
puede ver inmediatamente que (13) se deriva de alguna manera, de la teor¶³a de \multiplicaci¶
on compleja"; pero (10) | (12) me
desconciertan por completo. Nunca, antes de ahora, hab¶³a vista nada siquiera parecido a ellas. Una ojeada es su¯ciente para comprender que solamente pod¶³an ser escritas por en matem¶atico de la m¶as alta categor¶³a. Deben ser ciertas, porque si no lo
fueran, nadie habr¶³a tenido su¯ciente imaginaci¶
on para inventarlas. Por u
¶ltimo. . . el
autor debe ser enteramente honesto, ya que
tan incre¶³ble destreza es m¶as frecuente en
los matem¶
aticos eminentes que no en los ladrones y embaucadores. . .
\A pesar de que Ramanujan tuvo numerosos y brillantes ¶exitos, sus trabajos sobre los n¶
umeros primos y todos los problemas relacionados con esta teor¶³a estaban ciertamente equivocados. Puede decirse que ¶este fue su gran error. Pero todav¶³a no estoy convencido de que, en cierto modo, su equivocaci¶on no fuera m¶as maravillosa que cualquiera de sus ¶exitos. . . "
Hardy escrib¶³a que la notaci¶on de t¶erminos matem¶
aticos de Ramanujan en este campo,
\Fue obtenida primeramente por Landau
en 1908. Ramanujan no ten¶³a a su disposici¶
on las herramientas de Landau; nunca
hab¶³a visto un libro franc¶es o alem¶
an; incluso su conocimiento de ingl¶es no era su¯ciente para cali¯carlo en un examen. Es ya
bastante maravilloso que tan s¶
olo so~
nara en
problema como ¶estos; problemas que han
requerido cien a~
nos para ser resueltos por
los m¶
as sutiles matem¶
aticos europeos y cuya soluci¶
on no est¶
a completa todav¶³a. . . "
Finalmente, en mayo de 1913, debido a la ayuda de
muchos amigos, Ramanujan fue relevado de su cargo de empleado en el Port Trust de Madr¶
as y le dieron una beca especial. Hardy se hab¶³a esforzado desde el principio para llevar a Ramanujan a Cambridge. Parec¶³a que el camino estaba expedito, pero al
principio Ramanujan renunci¶
o a ir debido a un prejuicio de casta y a la falta de permiso de su madre.
Escrib¶³a Hardy:
\Al ¯n el consentimiento lleg¶
o, f¶
acilmente,
de una manera inesperada. Una ma~
nana,
su madre declar¶
o que la noche anterior
hab¶³a tenido un sue~
no, en el que hab¶³a visto a su hijo, en una gran sala, rodeado de
un grupo de europeos y que la diosa Namagiri le hab¶³a ordenado que no se interpusiera en el camino de su hijo y que colaborara al objeto de su vida."
Srinivasa Rmanujan. James R. Newman.
Cuando Ramanujan lleg¶o al ¯n a Cambridge, ten¶³a
una beca de 250 $ de Madr¶as, 50 de las cuales estaban destinadas al sustento de su familia en la India y una asignaci¶on de 60 $ del Trinity.
Hardy comentaba de Ramanujan:
\Hab¶³a una gran inc¶ognita. >Qu¶e m¶etodo
deb¶³a seguirse para ense~
narle matem¶
aticas
modernas? Las lagunas de su conocimiento eran tan asombrosas como su profundidad. Era un hombre que pod¶³a trabajar con ecuaciones modulares y teoremas de
multiplicaci¶on compleja, con medios desconocidos; su dominio de las fracciones continuas era, por lo menos en el aspecto formal, superior al de cualquier matem¶
atico
del mundo; hab¶³a encontrado por s¶³ solo la
ecuaci¶
on funcional de la funci¶on Zeta y el
tecnicismo usual de los m¶as famosos problemas de la teor¶³a del an¶alisis num¶erico.
Pero nunca hab¶³a o¶³do hablar de una funci¶
on doblemente peri¶odica o del teorema de
Cauchy; no ten¶³a ni la m¶as remota idea de
lo que era una funci¶on de variable compleja.
Describ¶³a nebulosamente su concepto acerca de lo que constitu¶³a una demostraci¶
on
matem¶
atica. Hab¶³a obtenido todos los resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por un proceso de prueba mixta. Intuici¶
on e inducci¶on, de la cual era completamente incapaz de dar cualquier raz¶on coherente.
\Era imposible pedir a este hombre que se
sometiera a una instrucci¶on sistem¶atica para intentar aprender de nuevo matem¶
aticas
desde el principio. Tem¶³a adem¶as que, si
yo insist¶³a indebidamente en materias que
Ramanujan consideraba tediosa, pod¶³a destrozar su con¯anza o romper el encanto de
su inspiraci¶on. Por otra parte, hab¶³a cosas que era necesario que aprendiera. Algunos de sus resultados eran equivocados,
en particular lo que concern¶³a a la distribuci¶
on de n¶
umeros primos, a los que daba
la mayor importancia. Era imposible permitirle ir por el mundo suponiendo que todos los ceros de la funci¶on Zeta eran reales. As¶³, yo intentaba ense~
narle y en cierto modo tuve ¶exito, aunque, obviamente,
yo aprend¶³ de ¶el mucho m¶as de lo que ¶el
aprendi¶
o de m¶³. . .
\Debo a~
nadir unas palabras sobre las a¯ciones de Ramanujan aparte de las matem¶
aticas. Al igual que sus matem¶aticas,
mostraban los m¶as extra~
nos contrastes. Yo
15
dir¶³a que le interesaba muy poco la literatura como tal, y tampoco el arte; pero pod¶³a
distinguir la buena literatura de la mala.
Por otra parte era un ¯l¶
osofo sutil, pero
de una modalidad que pareci¶
o muy nebulosa a los compa~
neros de la moderna escuela
de Cambridge y un ardiente pol¶³tico, paci¯sta y ultrarradical. Se ajustaba a las prescripciones religiosas de su casta con una severidad muy poco corriente en los indios residentes en Inglaterra; pero su religi¶
on era
materia de rito, no convicci¶
on intelectual;
recuerdo bien su con¯dencia (que me sorprendi¶
o mucho) de que todas las religiones
le parec¶³an por igual m¶
as o menos verdaderas. Tanto en literatura, como en ¯losof¶³a
y matem¶
aticas, ten¶³a verdadera pasi¶
on por
lo inesperado, extra~
no y estramb¶
otico; pose¶³a casi una peque~
na librer¶³a de obras sobre la cuadratura del c¶³rculo y otras curiosidades. . . Era vegetariano en el sentido m¶as
estricto |esto provoc¶
o m¶
as tarde, cuando estuvo enfermo, una gran di¯cultad| y
durante el tiempo que estuvo en Cambridge coci¶
o todos sus alimentos ¶el mismo; nunca lo hizo sin antes ponerse en pijama.
\Fue en la primavera de 1917 cuando empez¶
o a manifestarse la enfermedad de Ramanujan. Se traslad¶
o a un sanatorio de
Cambridge a principios de verano y otra
vez guard¶
o cama durante alg¶
un tiempo.
Estuvo en sanatorios de Wells, Matlock y
Londres y no mostr¶
o s¶³ntomas claros de mejor¶³a hasta oto~
no de 1918. Entonces reanudo el trabajo activo, estimulado quiz¶as
por su elecci¶
on en el Royal Society y algunos de sus mejores teoremas fueron descubiertos por esta ¶epoca. Su elecci¶
on en la
Trinity Fellowship fue un acicate m¶
as. Cada una de estas famosas sociedades puede congratularse de haber reconocido sus
m¶eritos antes de que fuera demasiado tarde."
A principios de 1919 Ramanujan fue a su India natal
donde muri¶
o al a~
no siguiente.
Para una evaluaci¶
on del m¶etodo y trabajo de Ramanujan en matem¶
aticas debemos citar de nuevo a
Hardy.
\Me he preguntado a menudo si Ramanujan ten¶³a alg¶
un secreto especial, si sus
m¶etodos eran mejores que los del resto de
16
ContactoS 32, 11{16 (1999)
los matem¶
aticos o si hab¶³a alguna cosa realmente extraordinaria en su modo de pensar. No puedo contestar a estas preguntas con seguridad y convicci¶on; pero no
lo creo. Mi opini¶on es que todos los matem¶
aticos piensan, en el fondo, con el mismo m¶etodo y que Ramanujan no era la excepci¶
on. Ten¶³a, por descontado, una memoria extraordinaria. Pod¶³a recordar la
naturaleza de los n¶
umeros de una manera casi pavorosa. Creo que fue Mr. Littlewood quien se~
nal¶o \cada entero positivo
era uno de sus amigos personales". Recuerdo una vez que fui a verle cuando yac¶³a enfermo en Putney. Yo hab¶³a viajado en el taxi n¶
umero 1.729 y observ¶e que el n¶
umero
me parec¶³a m¶as bien ins¶³pido y esperaba
que no le fuera de mal agÄ
uero. \No |
replic¶
o| es un n¶
umero muy interesante;
es el n¶
umero m¶as peque~
no expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes". Le pregunt¶e, naturalmente , si conoc¶³a la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y ¶el replic¶
o,
despu¶es de un momento de re°exi¶on, que el
ejemplo no era obvio y que el primero de tales n¶
umeros deb¶³a ser muy grande. Su memoria y su facilidad de c¶alculo estaban fuera de lo corriente, pero no pod¶³an llamarse
propiamente \antinaturales". Si ten¶³a que
multiplicar dos n¶
umeros grandes lo hac¶³a de
la manera usual; pod¶³a efectuar la multiplicaci¶
on con extraordinaria rapidez y seguridad, pero no m¶as r¶apidamente y con m¶as
seguridad que cualquier matem¶atico que
sea naturalmente r¶apido y tenga el h¶abito
de calcular.
\Lo m¶
as asombroso era su perspicacia en
f¶
ormulas alg¶ebricas, transformaciones de
series in¯nitas y dem¶as. En este aspecto, ciertamente, no he encontrado nada parecido y s¶
olo puedo compararlo con Euler
o Jacobi. Trabaj¶o por inducci¶on de ejemplos num¶ericos mucho m¶as que la mayor¶³a
de matem¶
aticos modernos; todas sus propiedades de congruencia de particiones, por
ejemplo, fueron descubiertas de esta manera. Pero a~
nadi¶o a su memoria, a su paciencia y a su facilidad de c¶alculo, un poder de generalizaci¶on, una percepci¶on del
m¶etodo y una capacidad de r¶apida modi¯caci¶
on de sus hip¶otesis realmente sorprendentes y que le sit¶
uan, en su tiempo, en el
lugar m¶
as destacado.
\Generalmente se dice que ahora es mucho
m¶
as dif¶³cil que un matem¶
atico sea original
que no lo era en los d¶³as ¶epicos en que se establec¶³an los fundamentos del an¶
alisis moderno; sin duda es verdad en cierto modo.
Puede haber opiniones diferentes acerca de
la importancia del trabajo de Ramanujan,
la medida con la que deber¶³a juzg¶
arsele y la
in°uencia que probablemente tenga en las
futuras matem¶
aticas. No tiene la simplicidad y la inevitabilidad de las m¶
as grandes obras; podr¶³a ser m¶
as importante si en
¶el no hubiera excentricidades. Pero tiene
un don que no puede neg¶
arsele: una profunda e insuperable originalidad. Probablemente hubiera sido mejor matem¶
atico si
lo hubieran descubierto y educado un poco en su juventud; habr¶³a hallado m¶
as cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por otra parte habr¶³a sido menos parecido a Ramanujan y m¶
as semejante a un
profesor europeo; en este caso la p¶erdida
podr¶³a haber sido mayor que la ganancia".
cs