Tipos de representación en la recta real y visualización de errores

Resumen: D-019
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006
Tipos de representación en la recta real y visualización de errores frecuentes
de alumnos ingresantes a FACENA.
Ramírez Arballo, María G. - Porcel, Eduardo A.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura (UNNE) -Argentina.
E-mail: mgradelc@exa.unne.edu.ar - eporcel@exa.unne.edu.ar
Palabras claves: ingresantes representación recta real
ANTECEDENTES
Dado que uno de los factores que inciden en el bajo rendimiento es la falta de los conocimientos matemáticos
necesarios para cursar las materias de la carrera seleccionada, especialmente las de primer cuatrimestre de primer año,
momento de mayor desgranamiento en todas las carreras de la Facultad, en el proyecto “Análisis de factores que inciden
en el rendimiento académico y desgranamiento de alumnos de FACENA” (Secyt-Unne PI 727) se estudian en
profundidad las deficiencias en los conocimientos matemáticos de los alumnos. Con ese objetivo, en 2001 se tomó a los
ingresantes una prueba de diagnóstico con ejercicios sobre diversos contenidos; entre ellos, uno sobre los conjuntos
numéricos, N, Z, Q, I y R, que incluía la representación de números en la recta real por parte de los alumnos. En este
trabajo continuaremos el análisis de los resultados obtenidos, que nos permitirá conocer las deficiencias de
conocimientos y errores frecuentes de los ingresantes al representar números en la recta real.
FUNDAMENTACION
La realización de esta tarea de la prueba de diagnóstico, implicó la ejecución por parte de los alumnos del proceso
cognitivo de graficar que R. Delgado Rubí [1995], incluye entre las habilidades traductoras, o sea aquellas que
permiten pasar de un dominio a otro, en el sistema básico de habilidades generales matemáticas que este autor considera
imprescindibles para el quehacer matemático, en tanto "permite comunicar información de manera visual y suscinta y
representar objetiva y materializadamente objetos mentales". Desde este punto de vista resulta pertinente conocer la
capacidad de los alumnos de representar números de los distintos conjuntos numéricos en la recta real, planteándola
incluso a partir de diversas expresiones simbólicas: fraccionaria, decimal, radical, que se introducen ya en la EGB y en
el Polimodal, por cuanto resulta un conocimiento indispensable para la comunicación matemática y configura un
insumo del aprendizaje, en particular, en los primeros cursos de Algebra, de Geometría y de Cálculo Diferencial e
Integral en los que se lo utiliza, por ejemplo, para el estudio de funciones y cónicas. Resulta por tanto una cuestión de
interés en el marco de este proyecto de investigación por su posible vinculación con el rendimiento académico de los
ingresantes. De ahí que este trabajo, se orienta a responder las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los tipos de representación más frecuentes de los números dados en la población en estudio?
¿Cuál es su distribución respecto de estos tipos de representación?
¿ Cuáles son los errores que comenten los alumnos ingresantes al representar números en la recta real a partir
de distintas expresiones simbólicas (fraccionaria, decimal, radical) ?
La representación en la recta real presupone considerar dos aspectos: uno referido al signo del número en base al cual el
alumno decidirá si corresponde ubicarlo a la derecha de 0, cuando el número sea positivo, o a la izquierda de 0 cuando
el número sea negativo. Debe decidir también a qué distancia de lugar en que está marcado el 0 lo representará, con lo
cual estará aludiendo al valor absoluto del número.
En cuanto al error de invertir la representación de un número respecto del 0, es decir, representar a la izquierda de 0 a
un número positivo, o bien, representar a la derecha de 0 a un número negativo, caben dos posibilidades:
Que el alumno haya invertido la representación todos los números que representó.
Que haya invertido la representación de algún/algunos número/s pero no de todos los que representó.
En los errores del primero de estos tipos, que hemos denominado “espejo total”, el alumno desconoce que los números
positivos se representan a la derecha del 0 en la recta real y los negativos a la izquierda de 0, una convención
matemática universalmente válida que los alumnos deben aprender ya en el Nivel Medio.
En los errores del segundo tipo que denominamos “espejo parcial”, asumimos que el alumno puede conocer la
orientación de la recta real a la que nos habíamos referido en el item anterior porque ha representado por lo menos un
número positivo a la derecha de 0 o por lo menos alguno de los números negativos a la izquierda de 0, pero, al haber
invertido respecto de 0 la representación de por lo menos un número, se infiere que denota confusión en la utilización
de este recurso matemático.
MATERIALES Y METODOS
En la prueba de diagnóstico de conocimientos previos de alumnos ingresantes 2001 de FACENA- (U.N.N.E.) (pretest)
se incluyó el siguiente ejercicio:
Representa en la recta real los números: -2, 3/2, -3/4 y 2 .
0
Se trabajó con una muestra de 776 alumnos. Para sistematizar el análisis de los errores cometidos en la representación
gráfica se definieron las variables:
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Ubicación: la ubicación de los números en estudio se codificó considerando a la recta real subdividida en
segmentos.
Representación en espejo: variable dicotómica definida para analizar el error en la representación de un número
que consiste en invertir la ubicación de un número positivo representándolo a la izquierda del 0, o bien, la de un
número negativo representándolo a la derecha del 0.
A partir de estas dos variables, se consideró que la representación era correcta (“Bien”) cuando no se cometían los
errores anteriormente mencionados, e incorrecta (“Mal”) en caso contrario o si no se hubiera representado ese número.
A los fines de la determinación de los tipos de representación más frecuentes de los números dados, se definieron los
siguientes tipos:
Tabla 1. Tipos de representación considerados
Tipo
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
B
B
B
B
B
B
B
B
M
-2
M
B
B
B
M
B
M
M
B/M
3/2
M
B
B
M
B
M
M
B
B/M
-3/4
M
B
M
M
M
B
B
B
B/M
2
En el análisis estadístico de los resultados se utilizaron técnicas de estadística descriptiva, el test Chi Cuadrado en tablas
de contingencia y el coeficiente C de contingencia con un nivel de significación α = 0,05.
DISCUSION DE RESULTADOS
Retomando los resultados del análisis de los datos obtenidos que ya iniciáramos en un trabajo anterior, resulta que el
9,3% de los alumnos no representó ninguno de los números, o sea que no completó este item del diagnóstico.
Como errores frecuentes en la representación de –2, se registra confusión con el –1, es decir, bien en cuanto al signo
pero mal en cuanto al valor del módulo (2,6%) y confusión con el 2 (2,6%), o sea, bien en relación con el módulo pero
mal en relación a la ubicación que le corresponde de acuerdo al signo.
En la representación de los dos números fraccionarios, son equiparables los porcentajes de alumnos que señalan
erróneamente a 3/2 “cerca” del 3: “mayor que 3”, “en 3” o “en el intervalo (2 , 3)” (en total 19,5%) con los que
representan a –3/4 en ubicaciones próximas a –3: “menor que –3”, “en –3” o “en el intervalo (-3,-2)” (en total
21,3%), tratándose de intervalos simétricos donde además se invierte la orientación respecto del 0. De este modo se
configura un tipo de error en la representación de números fraccionarios que parecería consistir en vincular el
numerador del número fraccionario a representar con el valor que determina la distancia al “0” del punto con que se lo
habrá de representar en la recta. Hecho el análisis en tablas de contingencia entre estos tipos de error en las
representaciones de 3/2 y –3/4, resulta que ambos errores están asociados ( χ 2 =426,318; p=0,000 ). Por otra parte, el
10,8 % de esta población representa a 3/2 en el intervalo (0, 1], siendo 3/2 un número mayor2 que 1.
Considerando los errores frecuentes en la representación de 2 , el 15 % de los alumnos lo marcan en el 1 y en el 2, es
decir, confunden su ubicación con la de dos n2úmeros enteros, y un 7,7% de la población lo señala en el intervalo (0,
1/2), error que tal vez podría deberse a que al realizar la representación sólo se considera la parte fraccionaria del
desarrollo decimal de 2 , es decir, 0,4142...
En cuanto al tipo de error que hemos denominado “representación en espejo” lo presentan un total de 48 alumnos, es
decir, el 6,8% de la población en estudiado, correspondiendo el 4% a espejos parciales y el 2,8% a espejos totales.
Respecto de los tipos de representación en la recta real que aparecen y de acuerdo con la tipologia definida (Tabla 1), se
infiere surge que los tipos I al III son los más frecuentes e incluyen, en total, al 67,7% de los alumnos que completaron
este ítem, en tanto que el 32,3% de esa población corresponde a los demás tipos, IV al IX, todos ellos con porcentajes
inferiores al 10%. Notar que sólo el 20,5% de los alumnos representaron bien los cuatro números (Tipo II). (Gráfico 1).
Gráfico 1 : Alumnos clasificados por tipo de representación – Cifras porcentuales.
Alumnos clasificados por tipo de representación
30
25
28
20,5
19,2
20
15
10
5
7,8
7,2
3,1
4,3
6,8
3,1
0
I.
II:
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
BMMM BBBB BBBM BBMM BMBM BBMB BMMB BMBB
IX. M
(B/M)
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Ilustraremos a continuación los distintos tipos
de representación y comentaremos sus
características, para identificar, por medio de
la visualización, cuáles son los errores
frecuentes en que incurren los alumnos
ingresantes al representar los números dados
en la recta real.
Del Tipo I, BMMM, que es el más frecuente, integrado por el 28% de la población, incluimos tres casos que pertenecen
además al grupo de alumnos que comete el tipo de error hallado que consiste en representar los números fraccionarios
“cerca” del valor del numerador; concretamente en nuestro caso, representan a 3/2 “cerca” de 3 (19,5% de la población)
y a -3/4 “cerca” de -3 (21,3%), en sus distintas posibilidades, como menor o como mayor que esos números.
3/4 representado mayor que -3
3/2 representado mayor que 3
-3/4 representado menor que -3 (y sin marca)
3/2 representado mayor que 3 (también sin marca)
Notar además en el próximo el error de “espejo parcial” (4% de la población), por cuanto el alumno ha reflejado
respecto del 0 la ubicación de 2 , representándolo entre los números negativos.
En el próximo caso que también corresponde al Tipo I, obsérvese un conflicto diferente al anterior con la representación
de los fraccionarios, -3/4 representado en -1/4 y 3/2 en 2/3, así como la representación de 2 como mayor que 3.
En el caso siguiente, también del primer tipo, si bien se ubica a 3/2 como mayor que 3, hay desconocimiento acerca de
la representación del -3/4 que no fue señalado y se ubica a 2 en 1, que es entero (15% de la población).
El tipo II, es el segundo más frecuente (20,5%) y corresponde a la respuesta correcta.
Dos casos para ilustrar el tipo III, BBBM (19,2%). En el primero, se da nuevamente un "espejo parcial" al ubicar a 2
en -1 y corresponde también al 15% de la población que lo ubica en puntos de la recta que corresponden a los enteros.
En el segundo caso también del tipo III, se representa a
ubica a 2 en el intervalo (0,1/2).
2 en 1/4 y por tanto corresponde al 7,7% de la población que
Los tipos subsiguientes de representación son los de menor incidencia (porcentajes inferiores al 10%).
Ilustra el tipo IV, BBMM (7,8%) el siguiente caso en el que a la vez se presentan los errores de representar a -3/4
"cerca" del -3 (21,3%) y de no representar 2 , como el 35,8% de la población.
El siguiente caso corresponde al tipo V, BMBM (7,2%). El alumno ha representado correctamente el entero y
aproximadamente el fraccionario negativo y de módulo menor que 1, pero tiene problemas con la representación de 2
y de 3/2 marcando 2 aproximadamente en 0,4 que es la parte decimal de 2 , (7,7% ) y señala a 3/2 en 1/2 (10,8% ).
El tipo VI, BBMB (3,1%) se caracteriza por dificultades en la representación de -3/4. En este caso no se lo representa.
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El grupo de alumnos del tipo VII, BMMB (4,3%) pueden representar correctamente -2 y 2 , pero tienen confusión con
la ubicación de los fraccionarios, como en este ejemplo que también corresponde al grupo que representa a -3/4 "cerca"
de -3 y a 3/2 "cerca" de 3, en este caso, exactamente en -3 y 3, respectivamente.
Para los alumnos que pertenecen al tipo VIII, BMBB (3,1%) la dificultad está en representar 3/2 y, por ejemplo en este
caso, el alumno lo marca entre 0 y 1, como un 10,8% de la población.
Los siguientes tres casos ilustran el Tipo IX, MMMM, tipo que también integran todos los casos en que se ha
representado mal a -2 y sus combinaciones con representar bien o mal cualquiera de los otros números y que totalizan el
6,8% de la población. Notar que el primero de ellos corresponde a un espejo total (1,6%) en el que, de no ser por la
inversión de la orientación de la recta, se ha señalado bien sólo el -2 y que los otros tres números que no son enteros se
señalan en las marcas de números enteros. Si bien el segundo y el tercer caso también son espejos totales, en los dos,
salvo que en el segundo 2 no fue representado, de no ser por la inversión de la orientación de la recta real, los
alumnos en ambos tienen perfecta noción del punto que corresponde en la recta a cada número por su valor absoluto.
CONCLUSIONES
Los errores en la representación en la recta real de la población denotan deficiencias y en muchos casos, ausencia de
conocimientos acerca de la representación de números reales, en particular, de números fraccionarios y radicales.
El tipo de error hallado en la representación de los fraccionarios de vincular el numerador con el valor que determina la
distancia al “0” del punto con que se lo habrá de representar en la recta, indica la existencia de conflictos que podrían
devenir de las representaciones semióticas de los números, en coincidencia con los resultados de Socas Robayna, M.
(2001) y Pinto, M. & Tall, D. (1996) que señalan la confusión objeto/representación y representación/definición.
El error que hemos denominado “representación en espejo”, si bien es de baja incidencia, resulta llamativa la inversión,
incluso total de la orientación de la recta real, que distorsiona la comunicación matemática al no respetar las
convenciones que posibilitan la comunicación precisa de ideas.
Las deficiencias detectadas en los conocimientos privan a los alumnos ingresantes de conocimientos previos necesarios
para el aprendizaje de contenidos de los primeros cursos de Algebra, Geometría y Cálculo diferencial e integral.
Los tipos de error identificados configuran fuertes obstáculos para la utilización de este recurso matemático, por lo cual
deberían ser tenidos en cuenta al impartir la enseñanza, principalmente en los primeros cursos, a fin de contribuir a
lograr una mejor articulación Nivel Medio/ Nivel Superior, como así también atender al manejo de la notación decimal
sin la cual la representación en la recta sería casi imposible, coincidiendo en esto con Coriat & Scaglia (2000).
Agradecimiento
Agradecemos a la Prof. Graciela Borda su participación y aportes en las primeras discusiones de análisis acerca de los
errores frecuentes y su colaboración en la codificación de las pruebas.
BIBLIOGRAFIA
Coriat, Moisés y Scaglia, Sara (2000), “Representación de los números reales en la recta”, Revista de Enseñanza
de las Ciencias, 18 (1), 25-34. On Line: www.bib.uab.es/pub/ensenanzadelasciencias/02124521v18n1p25.
Delgado, Juan Carlos (1995) “Un sistema de habilidades para la enseñanza de la Matemática” –Memorias de la IX
Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa,
La Habana, Cuba
Pinto, Marcia y David Tall (1996) “Student Teachers’ Conceptions of the Rational Numbers”- Procedimientos de
PME 20, Valencia, vol. 4, pp. 139–146.
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Porcel, Eduardo; Ramírez Arballo, María Gloria (2003), “Determinación y análisis de las principales deficiencias
en la identificación de números pertenecientes a los distintos conjuntos numéricos: N, Z, Q, I o R, en alumnos
ingresantes a FACENA en 2001”. Memorias del V Simposio de Educacion Matematica (Chivilcoy, 5 al 9 de
Mayo, 2003) - ISBN Nº 987-20239-1-3, 1ª. Edición, Edumat.
Scaglia, Sara, “Estudio previo al diseño de un cuestionario”, Cap. 13. En Gómez, P. y Rico, L. (Eds.) “Iniciación a
la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro”. Granada, Editorial
Universidad de Granada.
Socas Robayna, Martín (2001) “Problemas didácticos entre el objeto matemático y su representación semiótica.
Estudio con números decimales”, En Revista “Formación del Profesorado e investigación en Educación
Matemática”, Univ. de La Laguna, Tenerife, España, Vol. III, pp. 298-318.
Ramírez Arballo, María G. y Porcel, Eduardo A. (2006) “Errores en la representación de números en la recta real
en alumnos ingresantes a FACENA en 2001”, VI Encuentro Reg. de Doc. de Mat., FACENA (UNNE).