números aleatorios

LOS NÚMEROS ALEATORIOS SE PUEDEN OBTENER A
TRAVÉS DE UNA CALCULADORA CIENTÍFICA
( PARTE ESTADÍSTICA ) , O BIÉN EN UN ORDENADOR.
SEGURAMENTE HAS VISTO ALGUNA VEZ EL SORTEO
DE LA LOTERIA O DEL KINO U OTROS TANTOS
JUEGOS DE AZAR. EN UN GRAN ROMBO HAY
MUCHAS BOLAS NUMERADAS , ENTRE LAS CUALES ,
DESPUÉS DE REMOVIDAS , SE SACA UNA
CUALQUIERA.
CON ESTE PROCEDIMIENTO , TODOS LOS NÚMEROS
TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR
ELEGIDOS. AÚN HAY PERSONAS QUE PREFIEREN ,
SIN NINGÚN FUNDAMENTO RAZONABLE , JUGAR
SIEMPRE A UN NUMERO PARTICULAR , PENSANDO
QUE LES TRAE SUERTE.
SI OBERVAS LA LISTA DE NÚMEROS QUE SE
MUESTRAN A CONTINUACIÓN Y SEGÚN LO QUE SE
ACABA DE ESTABLECER :
¿CREES QUE ES UNA LISTA DE NÚMEROS
ALEATORIOS?
EVIDENTEMENTE QUE NO PORQUE LA
APARICION DE ESTOS ES
ABSOLUTAMENTE ORDENADA Y NO ESTA
SUJETA A LAS REGLAS DE AZAR.
PROBABILIDADES CALCULADAS BAJO HIPÓTESIS DE
EQUIPROBABILIDAD .
UNA PRUEBA DE ALEATORIEDAD LA PROPORCIONA
CONSISTE
EN AGRUPAR LA SUCESION DE DIGITOS
DE LA TABLA ALEATORIA EN NÚMEROS
DE 5 CIFRAS . EN TOTAL APARECEN
100.000 NÚMEROS POSIBLES , CON UNA
PROBABILIDAD DE 1001.000 = 0,00001
EL
LUEGO SE CLASIFICAN ESTOS NÚMEROS DE 5
Y SE
COMPARAN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS
DE ÉSTOS CON LA PROBABILIDAD TEÓRICA .
CIFRAS EN
LAS SITE CLASES DIFERENTES SE MUESTRAN EN LA
SIGUIENTE TABLA ;
TODOS LOS ORDENADORES TIENEN
INSTRUCCIONES QUE PERMITEN GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS SI ESTÁN BIEN
CONSTRUIDOS LOS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO
CORRESPONDIENTES
EJECUTANDO EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO ,
ESCRITO EN LENGUAJE BASIC , SE HAN OBTENIDO
LOS 250 DÍGITOS ( ENTRE 0 y 9) DE LA TABLA QUE A
CONTINUACIÓN SE INDICA :
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIO
PARA COMPROBAR SI EL ORDENADOR GENERÓ
UNA BUENA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIO
VAMOS A PLICAR UN TEST DE PRUEBA DE
ALEATORRIEDAD.
LA PROBABILIDAD DE OBTENER CADA CIFRA ES 0.1
( 1 DE LAS 10 CIFRAS ) . CON LO CUAL CADA CIFRA
DEBE APARECER CON UNA FRECUENCIA RELATIVA
MUY PROXIMA A 0.1
ESTAS FRECUENCIAS SE PRESENTAN EN LA TABLA
SIGUIENTE :
EN LA TABLA OBSERVAMOS QUE HAY
DIFERENCIAS EXCESIVAS ENTRE LAS FRECUENCIAS
RELATIVAS DE APARICIÓN DE ALGUNAS CIFRAS Y
LA PROBABILIDAD ESPERADA 0.100 ( EJEMPLO LA
APARICIÓN DEL 0 , LA FRECUENCIA RELATIVA DEL
1)
PPOR LO TANTO EL CONJUNTO DE NÚMEROS NO
CUMPLE LA PRUEBA DE ALEATORIEDAD BAJO ESTE
CRITERIO.
LA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS PUEDE
LEERSE AGRUPANDO LOS DÍGITOS POR PAREJAS :
97 , 77 , ,09 ……. SABEMOS QUE EN TOTAL HAY 100
PAREJAS 00 , 01 , ……..,99 . POR TANTO LA
PROBABILIDAD DE CADA PAREJA SERA : 0.01 ( UNA
DE 100 ) .
PARA COTEJAR ESTA PRUEBA SE COMPLETA LA
TABLA DE FRECUENCIA SIGUIENTE :
NUEVAMENTE , SI COMPARAMOS LAS
FRECUENCIAS RELATIVAS , VEMOS QUE HAY
DIFERENCIAS EXCESIVAS , POR LO QUE
CONCLUIMOS QUE LOS NÚMEROS MOSTRADOS DE
ACUERDO A ESTE CRITERIO NO PUEDEN
CONSIDERARSE PERFECTAMENTE ALEATORIOS.
SE DENOMINAN “RACHAS” A LA SUCESIÓN DE
DÍGITOS IGUALES : 22 , 333 , 555 , ……..
COMPARAR LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE SUS
APARICIONES CON LAS PROBABILIDADES TEÓRICAS
ES OTRA PRUEBA DE ALEATORIEDAD .
S ESTOS DATOS LOS RECOGEMOS EN UNA TABLA :
OBS. HAY 10 POSIBLES RACHAS DE LONGITUD 2 :
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99
LA PROBABILIDAD TEORICA DE APARICIÓN DE UNA
DE ELLAS ES : 0.10
SI CALCULAMOS LA FRECUENCIA RELATIVA DE
APARICION DE LAS RACHAS DE LONGITUD 2 EN LA
TABLA OBSERVAMOS QUE HAY 19 DE POSIBLES 125
PAREJAS DE NÚMEROS , ESTO ES : FR : 0.152
COMO AL ELEGIR UN PAR DE NÚMEROS AL AZAR
NO ES RARO OBTENER UN RACHA DE LONGITUD 2 ,
CONCLUÍMOS EN ESTE CASO QUE LOS NÚMEROS
EXPUESTOS NO SON ALEATORIOS., PUES SI
COMPARAMOS LA FRECUENCIA RELATIVA CON LA
PROBABILIDAD TEORICA HAY UNA DIFERENCIA
EXCESIVA ENTRE LOS VALORES.
A LA MISMA CONCLUSIÓN LLEGARIAMOS SI
COMPARAMOS LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE
LAS OTRAS RACHAS CON LAS RESPECTIVAS
PROBABILIDADES TEÓRICAS.
ANÁLISIS DE LAS PROBABILIDADES QUE SIGUEN A
UNA DETERMINADA CIFRA EN LA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS Y SU COMPARACIÓN CON
LAS FRECUENCIAS RELATIVAS.
EN ESTE CASO CONSIDERAREMOS EL 8
OBSERVAMOS DE NUEVO LA TABLA DE LOS 250
NÚMEROS Y TACHAMOS TODOS LOS 8 QUE
ENCONTRAMOS . OBSERVAMOS LA CIFRA QUE
SIGUE AL 8
COMO LA CIFRA QUE SIGUE AL OCHO ES
TAMBIEN UN NÚMRO ALEATORIO , CUALQUIERA DE
LAS 10 CIFRAS TIENE LA MISMA OPCIÓN DE SALIR ,
LA PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA UNA DE
ELLAS ES NATURALMENTE 0.10.
LLEVAMOS ESTOS CONTEOS A UNA TABLA , Y
OBTENEMOS :
Aquí observamos que el número que tiene más
probabilidades de salir después de ocho es el 7 , y además las
frecuencias relativas de aparición tienen diferncias
significativas o excesivas , lo que confirma una vez más el
carácter no aleatorios de los 250 números expuestos.
LA MISMA PRUEBA DE ALEATORIEDAD SE PODRIA
HACER PARA CUALQUIER OTRO NÚMERO Y LA
CONCLUSIÓN FINAL NO SERÍA DISTINTA.
ANÁLISIS DE LA LONGITUD DE LAS SECUENCIAS DE
NÚMEROS HASTA LLEGAR A UNA CIFRA
DETERMINADA.
HEMOS VISTO QUE LA FRECUENCIA RELATIVA DEL
SUCESO “OBTENER 3” ( O CUALQUIER OTRO
NÚMERO ) ESTÁ PRÓXIMA A 0.10. ESTO QUIERE
DECIR QUE EN PROMEDIO , CADA 10 DÍGITOS DEBE
APARECER UN 3 . FIJEMONOS DE NUEVO EL LA
TABLA PRINCIPAL DE NÚMEROS EXPUESTOS Y
VAMOS ESCRIBIENDO LOS NÚMEROS HASTA UNA
NUEVA REAPARICIÓN DEL 3 , CONTANDO EL
NÚMERO DE DÍGITOS NECESARIOS DE LAS
SUCESIVAS SECUENCIAS , Y COMPLETAMOS LA
SIGUIENTE TABLA.:
CALCULANDO LA LONGITUD MEDIA DE LAS 25
LONGITUDES DE LAS SECUENCIAS OBTENIDAS Y LA
COMPARAMOS QUE EL VALOR ESPERADO QUE ES 10 .
LONGITUD MEDIA 243 : 25 = 9,78
EN TÉRMINOS ESTADÍSTICOS , ES UN VALOR
APARENTEMENTE CERCANO , PERO ESA PEQUEÑA
DIFERENCIA NO NOS PERMITE ASEGURAR LA
COMPLETA ALEATORIEDAD DE LOS NÚMEROS
EXPUESTOS
EN GENERAL SE RECOMIENDA
APLICAR POR LO MENOS DOS O TRES
MÉTODOS O CRITERIOS DISTINTOS DE
TEST DE POKER- TEST , ANTES DE TOMAR
UNA DECISIÓN.
TE HE EXPLICADO QUE ES UNA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS , ANALIZANDO DIVERSAS
CONDICIONES QUE DEBEN CUMPLIR LOS NÚMEROS
DE DICHA TABLA . CON ELLO TE AYUDO A
VISUALIZAR EL CARÁCTER IMPREVISIBLE DEL
AZAR Y ESTAS TABLAS TE SERVIRÁN , MAS
ADELANTE PARA MODELAR ALGUNOS CÁLCULOS
DE PROBABILIDADES.
GENERACION DE UNA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS .
EXISTEN DIVERSOS PROCEDIMIENTOS PARA
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS .
PAPELES NUMERADOS : ESCRIBIENDO LOS
NÚMEROS EL 0 AL 9 EN 10 PAPELES IGUALES ,
PUESTOS EN UNA URNA Y SACADOS AL AZAR CON
REPOSICIÓN ( DEVOLVIENDO EL PAPEL UNA VEZ
SACADO DE LA CAJA Y REGISTRADO EL
RESULTADO )
RULETAS NUMERADAS : CON UNA RULETA
COMO LA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA
RULETA DECIMAL DE LAPLACE.
PODEMOS IR OBTENIENDO UNA SUCESIÓN DE
CIFRAS CONSEGUIDAS AL AZAR O DE FORMA
ALEATORIA.
DADOS DECIMALES : NUMERAMOS LAS
CARAS OPUESTAS DE UN ICOSAEDRO CON EL MISMO
NÚMRO ( DE 0 A 9) , DISPPONEMOS ENTONCES DE UN
DADO DECIMAL , QUE PUEDE UTILIZARSE PARA
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.
ORDENADORES : TODOS LOS ORDENADORES
TIENEN INCORPORADO UN PROGRAMA QUE PUEDE
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.
¿PARA QUE SIRVEN LOS NÚMEROS
ALEATORIOS?
HEMOS VISTO QUE EXISTEN DIVERSOS MÉTODOS
QUE PERMITEN OBTENER NÚMEROS ALEATORIOS ,
Y UNA DE ELLAS ES POR MEDIO DE RULETAS
NUMERADAS , LO QUE PERMITE RESOLVER
PROBLEMAS POR EL DENOMINADO “METODO DE
MONTECARLO”.
EN 1947 , SE HIZO GIRAR UNA RULETA
NUMERADA DEL 0 AL 9 ( RULETA
DECIMAL DE LAPLACE ) , UN MILLÓN DE
VECES Y LA SUCESIÓN OBTENIDA SE
PUBLICÓ EN 1955 BAJO EL TÍTULO “ A
MILLION RANDOM DIGITOS”
MEDIANTE ESTA TABLA RESOLVEREMOS
DIVERSOS PROBLEMAS
EL CRITERIO QUE SE APLICARÁ A CONTINUACIÓN ,
QUE INVOLUCRA EL USO DE LA TABLA DE NÚMEROS
ALEATORIOS SE DENOMINA EL :
1.-¿CÓMO ELEGIR 20 ALUMNOS DE UN TOTAL DE 520
MATRICULADOS EN EL LICEO SAN ANTÓNIO PARA
APLICARLES UNA ENCUESTA DE OPINIÓN?
PROCEDIMIENTO .
UNA VEZ NUMERADOS LOS ALUMNOS DE 1 AL 520 ,
SE ELIGE AL AZAR 20 TERNAS DE CIFRAS
ELIMINANDO 000,………..521,522…….Y SUS POSIBLES
REPETICIONES.
PARA SIMPLIFICAR EL MÉTODO DE LOS BLOQUES
COMPUESTOS POR NÚMEROS DE 5 CIFRAS , SE
TOMAN EN CUENTA SOLAMENTE LAS 3
PRIMERAS ..POR EJEMPLO EL NÚMERO 03456 , SE
TOMARÁ COMO 034 , ES DECIR 34
EJEMPLO : SI ELEGIMOS EL SEXTO BLOQU
( CONTANDO DE ARRIBA HACIA ABAJO ) Y DENTRO
DE EL LA SEGUNDA FILA SE OBTIENE LA SERIE
ALEATORIA :
2.- ELECCIÓN DE 15 NÚMEROS DEL JUEGO
DEL “KINO” EN FORMA ALEATORIA.
EL JUEGO CONSISTE COMO SABEMOS DE UN
CARTON COMPUESTO POR 15 NÚMEROS DE 25
( 1,2,3,4…………25 ) SORTEADOS ALEATORIAMENTE.
PARA ELLO TOMAMOS 15 NÚMEROS
ALEATORIAMENTE DE LA TABLA , A PARTIR DE UNA
COLUMNA O FILA ELEGIDA AL AZAR.
TOMAMOS NÚMEROS COMPUESROS POR DOS
CIFRAS , ELIMINANDO LOS QUE APAREZCAN
REPETIDOS Y LOS : 00,26,27………..
PARA SIMPLIFICAR LA ELECCIÓN DE LOS
BLOQUES DE NÚMEROS DE TRES CIFRAS , TOMAMOS
SOLAMENTE LAS DOS PRIMERAS ( PODEMOS ELEGIR
OTRA COMBINACIÓN COMO : LAS DOS ÚLTIMAS ,
LAS DOS CENTRALES .. ETC)
PARA ESTE EJEMPLO TOMARÉ EL SEGUNDO
BLOQUE DE NÚMEROS –COLUMNA :
TENDREMOS LA SERIE ALEATORIA :
01
19
11 20 22 15 06 13 09 10 03 05
25 18 08
NATURALMENTE UD. PUEDE CONSTRUIR OTRO
CARTON CON EL MISMO CRITERIO , EL QUE SERÁ
TAMBIÉN ABSOLUTAMENTE ALEATORIO.
3.- DE UN GRUPO DE 5 AMIGOS : .¿CUAL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE DOS DE ELLOS
CELEBREN EL CUMPLEAÑOS EL MISMO
DIA?
UNA BUENA SIMULACIÓN PARA ESTE PROBLEMA LA
PODEMOS REALIZAR DEL SIGUIENTE MODO:
ELEGIMOS 5 FILAS Y/O COLUMNAS DE LA TABLA
ALEATORIA Y SUPRIMIMOS LOS GRUPOS QUE NO
SEAN 001 , ………..364 , 365 (LOS DIAS DEL AÑO). Y
ANOTAMOS LOS 5 GRUPOS DE NÚMEROS OBTENIDOS
A LO LARGO DE LA FILA O COLUMNA ELEGIDA.
PARA ELLO ADEMÁS CONSIDERAMOS SOLAMENTE
LAS TRES PRIMERAS DE ESTAS COLUMNAS O FILAS.
DETRMINAMOS LUEGO LOS NÚMEROS REPETIDOS
DE CADA UNA DE LAS SERIES , CALCULANDO LA
RESPECTIVA FRECUENCIA RELATIVA DE ELLOS .
EL PROMEDIO DE LAS 5 SERIES DE NÚMEROS
ELEGIDOS NOS DARÁ LA PROBABILIDAD ESPERADA.
EJEMPLO :
ELIGIENDO EL PRIMER BLOQUE DE NÚMEROS Y LA
PRIMERA FILA , SE OBTIENE LA SERIE :
REPETIDOS : 301 ,
FR =
1
13
( SE REPITE
UNO DE LA SERIE DE TRECE )
SEGUNDO BLOQUE Y SEGUNDA FILA :
272 018 357 168 279 223 009
REPETIDOS : NO HAY
, FR = 0
QUINTO BLOQUE , COLUMNA:
REPETIDOS : 104 .,
FR =
1
19
ENTRE 19 DE LA SERIE)
PRIMER BLOQUE , COLUMNA :
REPETIDO : 290
, FR =
ÚLTIMO BLOQUE , FILA :
1
21
( SE REPITE UNO
272 228 277
357 104
REPETIDOS = NO HAY
, FR = 0
LA PROBABILIDAD ENTONCES EL PROMEDIO DE LAS
FRECUENCIAS RELATIVAS DE CADA SERIE , ESTO ES :
P = 1 ( 1 +0+ 1 +
5 13
19
1
+0)
21
P= 0,035 , O BIÉN
P = 3,5%
4.- CAZANDO PATOS . 10 CAZADORES, TODOS
ELLOS DE ÉLITE Y QUE , POR SUPUESTO , ACIERTAN
SIEMPRE EN SU BLANCO , ESTÁN AL ACECHO
OBSERVANDO 10 PATOS NADANDO EN UNA LAGUNA .
LOS CAZADORES DISPARAN UNA SOLA VEZ SIN
OBSERVAR SOBRE CUAL DE LOS PATOS LO HACEN
SUS COMPAÑEROS . TODOS TIRAN A LA VEZ , Y CADA
UNO ELIGE SU VÍCTIMA AL AZAR.
EN ESAS CONDICIONES UN MISMO PATO PUEDE
RECIBIR UNO , DOS O MAS DISPAROS , CON ESTO
ALGUNOS SALVARÁN ILESOS
¿CUÁNTOS PATOS SOBREVIVIRÁN , POR TÉRMINO
MEDIO , SI SE REPITE A MENUDO ÉSTA EXPERIENCIA?
SIMULACIÓN DEL PROBLEMA :
LOS PATOS LOS PODEMOS CONSIDERAR
NUMERADOS A TRAVÉS DE LAS 10 CIFRAS :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,,9
SE ELIGEN 10 CIFRAS AL AZAR DE LA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS COMENZANDO POR UNA
FILA O COLUMNA ELEGIDA TAMBIÉN AL AZAR. LAS
CIFRAS QUE NO ESTÉN EN ESTE GRUPO O SERIE
REPRESENTARÁN A LOS PATOS SUPERVIVIENTES.
POR EJEMPLO
ELIGIENDO EL TERCER BLOQUE CONTANDO
DESDE LA IZQUIERA POR COLUMNA SE TIENE LA
SERIE :
0 9 5 8 5 1 7 2 1 8
EN LA SERIE : 3 , 4 Y 6
CIFRAS QUE NO ESTÁN
POR LO QUE SALVARÁN TRES PATOS .
ES CONVENIENTE HACER VARIAS SIMULACIONES Y
CALCULAR UN PROMEDIO DE PATOS
SUPERVIVIENTES .
AL CALCULAR LA MEDIA DE LOS PATOS VIVOS , ES
POSIBLE QUE OBTENGAMOS UN NÚMERO PRÓXIMO
A 3,5 QUE SERÍA LA MEDIA DE LOS PATOS VIVOS
TEÓRICAMENTE CALCULADA.