Geometr´ıa Anal´ıtica II 1 Formando un cono hacia una superficie

Geometrı́a Analı́tica II
Lectura 11
Ayudante: Guilmer González
Dı́a 15 de mayo, 2010
El dı́a de hoy veremos:
1. Formando un cono hacia una superficie
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Formando un cono hacia una superficie
La idea es muy simple. Se tiene una superficie cuádrica, y desde un punto
fuera de ella, se trazan lı́neas tangentes, con ello se forma otra superficie, en
éste caso, un cono.
Hagamos el siguiente ejercicio. Considere la superficie
S = (x, y, z)| 6x2 − 2y 2 + 3z 2 = 6
La superficie es un hiperboloide de un solo manto (elı́ptico) y se muestra en
la figura de abajo
Figura 1: Gráfica de la cuádrica.
Desde el punto P0 (2, 1, 1) que se encuentra fuera de ella, tracemos lı́neas
tangentes hacia la superficie.
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La superficie cuádrica la podemos escribir en forma matricial como
S = P t AP + γ = 0
donde


6 0 0
A = 0 −2 0 ,
0 0 3
γ = −6
En śte ejercicio no tenemos términos lineales.
Si el vector dirección, de la recta a trazar, lo escribimos por sus componentes d~ = (d1 , d2, d3 )t , la recta la escribimos como:


2 + td1
P (t) = P0 + td~ = 1 + td2 
1 + td3
Para que la recta pase por la curva, debe satisfacerse que
~ tA(P0 + td)
~ +γ =0
(P0 + td)
desarrollando y usando el hecho de que A es simétrica, lo anterior lo escribimos como
~ + γ + P t AP0 = 0
t2d~t Ad~ + 2t(P0t Ad)
0
Ahora bien, para que la recta solo toque tangencialmente a la superficie,
debe cumplirse que la cuadrática en t tenga solamente un cero, lo cual ocurre
cuando el discriminante asociado es cero:
~ 2 − 4d~t Ad(γ
~ + P t AP0 ) = 0
4(P0t Ad)
0
lo cual se puede escribir de una manera mucho más cómoda en
~ + P t AP0 ) = 0
d~t AP0 P0 Ad~ − d~t Ad(γ
0
y entonces la ecuación que caracteriza a los vectores dirección es
2
d~t [AP0 P0t A − (γ + P0t AP0 )]Ad~ = 0
y la ecuación del cono se escribe como
(P − P0 )t[AP0 P0t A − (γ + P0t AP0 )A](P − P0 ) = 0
vamos ahora a revisar que se trata de un cono con centro en P = P0 .
Calculemos la matriz AP0 P0t A − (γ + P0t AP0). Primero calculemos AP0
   
6 0 0
2
12





1 = −2
AP0 = 0 −2 0
1
3
0 0 3

ahora




12
144 −24 36
AP0 P0t A = (AP0 )(AP0 )t = −2 12 −2 3 = −24 4 −6
3
36 −6 9
Por otra parte,


12
γ + P0t AP0 = −6 + 2 1 1 −2 = 19
3
Ahora calculemos la matriz que describimos el supuesto cono



 

144 −24 36
6 0 0
30 −24 36
AP0 P0t A−(γ+P0tAP0 )A = −24 4 −6−19 0 −2 0 = −24 42 −6 
36 −6 9
0 0 3
36 −6 −48
La ecuación del cono se escribe como



30
−24
36
x
−
2
x − 2 y − 1 z − 1 −24 42 −6  y − 1  = 0
36 −6 −48
z−1
3
Para comprobar que es un cono, debemos observar los valores propios de la
matriz asoaciada, es decir, calcular los ceros del polinomio caracterı́stico


30 −24 36
p(λ) = det −24 42 −6  = 0
36 −6 −48
haciendo las cuentas tenemos que
p(λ) = (30−λ)[(42−λ)(−48−λ)−36]+24[24(48+λ)+6·36]+36[24·6−(42−λ)36]
En clase haremos los detalles. Los valores propios segun Matlab son
>> eig(A)
ans =
-6.2176e+001
1.8543e+001
6.7633e+001
>>
La superficie es un cono con centro en P = P0 . En la gráfica de abajo se
observa el cono que se forma al tirar la lı́neas hacia el hiperboloide.
Figura 2: Gráfica de la cuádrica y el cono.
Use k3dsurf, Matlab o Maple para graficar las superficies de su ejercicio.
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