Teoria de Grafos y Ejercicios

INTRODUCCIÓN----------------------------------------------------------------------------------- 2
CONCLUSIONES----------------------------------------------------------------------------------- 3
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE GRAFOS-------------------------------------------- 4
MATRIZ DE ADYACENCIA E INCIDENCIA------------------------------------------------ 5
CAMINOS-------------------------------------------------------------------------------------------- 6
EJERCICIOS----------------------------------------------------------------------------------------- 9
BIBLIOGRAFÍA------------------------------------------------------------------------------------15
En el presente trabajo de investigación para la materia de Matemáticas
Discretas se desarrollará el tema TEORIA DE GRAFOS correspondiente a la
unidad de esta asignatura.
Además de conceptos, teoremas y definiciones se encontrará con ejercicios,
graficas y típicos ejemplos relacionados al tema antes mencionado.
Esperando así que este trabajo de investigación sirva en un futuro no muy
lejano a otras personas o compañeros estudiantes.
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1. Se tuvo como conclusión que la representación matricial de X depende
del ordenamiento de los nodos.
2. La matriz de adyacencia e incidencia es la misma en la relación E en V.
3. Si no hay mas de 1 arista entre un par de nodos se dice que es un
camino simple.
4. La longitud de un camino en G es igual a la suma de las longitudes de
las aristas del camino.
5. Un camino mas corto de un punto a otro puede determinarse como
sigue: Para cada vértice l de t, sea l(t) la longitud del camino mas corto
de entre todos los paseos de a hasta t que no incluyen ningún otro
vértice de t.
6. Un grafo ponderado es la grafica a la que se le asignan pesos a cada
arista.
7. Cualquier grafo es homeomorfo a sí mismo.
8. La locura instantánea trata de colocar los cubos en una columna de 4 de
forma que en cada lado de esta aparezcan los 4 colores.
9. El problema de Königsberg se refiere a que se quiso encontrar 1 punto
inicial para poder pasear por toda la ciudad, cruzando por cada puente
(7) exactamente 1 vez y regresar a dicho punto.
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Una representación diagramatica de una grafica tiene una utilidad limitada.
Mas aún, una representación de estas solo es posible cuando el numero de
nodos y aristas es pequeño.
Se pueden usar operaciones bien conocidas del álgebra matricial para
calcular trayectos, ciclos y otras características de una grafica.
Dada una digrafica simple G = <V,E>, es necesario suponer alguna clase
de ordenamiento de los nodos de la grafica en el sentido de que un nodo
particular se llama primer nodo, otro, el segundo nodo y así sucesivamente.
La relpresentación matricial de G depende del ordenamiento de los nodos.
Definición: Sea G = <V,E> una digrafica simple en la cual V=
{v1,v2,...,vn} y los nodos se supone que estan ordenados de v1 a vn. Una
matriz A n X n cuyos elementos aij estan dados por
1
0
Si <VI,VJ> Є E
De lo contrario se llama una matriz de
adyacencia de la grafica G.
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Recuerdese que la matriz de adyacencia es la misma que la matriz de
incidencia de la relación E en V. Cualquier elemento de la matriz de
adyacencia es 0 o 1. cualquier matriz cuyos elementos son 0 o 1 se llama
matriz de bit o boleana. Notese que el i-esimo renglón de la matriz de
adyacencia esta determinada por las aristas que se originan en el nodo v i. El
numero de elementos en el i-esimo renglón cuyo valor es de 1 es igual a los
grados de salida del nodo vi. De manera similar, el numero de elementos cuyo
valor es 1 en una columna, por ejemplo la j-esima columna, es igual al grado
de entrada del nodo vj . una matriz de adyacencia define por completo a una
digrafica simple.
Para una digrafica dada G = <V,E>, una matriz de adyacencia depende del
ordenamiento de los elementos de V. Para diferentes ordenamientos de los
elementos de V se obtienen diferentes matrices de adyacencia de la misma
grafica G. Sin embargo, cualquiera de las matrices de adyacencia de G puede
obtenerse de otra matriz de adyacencia de la misma grafica al intercambiar
algunos de los renglones y columnas correspondientes de la matriz.
De hecho, si dos graficas son tales que la matriz de adyacencia de una se
pueda obtener de la matriz de adyacencia de la otra, al intercambiar algunos
de los renglones y las columnas correspondientes, entonces las digraficas son
isomorfas.
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SIMPLE.- Cuando un camino entre dos vértices solo pasa una vez por
cualquiera de los vértices el camino se denomina simple. Esto se aplica a un
ciclo.
LONGITUD DE UN CAMINO.- Se define como la suma de las longitudes de
las aristas del camino.
DEFINICIÓN: Sea G = (V,A), un grafo no dirigido. Para x,
y ЄV, se dice que hay un camino en G de x a y , si existe una sucesión no
vacia finita de aristas distintas de A. Cuando x= y, el camino se denomina
ciclo. El numero de aristas de un camino (ciclo) se denomina longitud del
camino (ciclo).
EL CAMINO MAS CORTO.- Un problemas de gran interes es determinar el
camino mas corto de un vértice hasta otro vértice. Existen varios
procedimientos bien conocidos para solucionar este problema. Aquí
presentamos uno descubierto por E. W. Dijkstra.
Supongamos queestamos por determinar un camino corto del vértice a hasta el
vértice z en G. En nuestro procedimiento determinamos un camino mas corto
de a hasta algun otro vértice, y luego, un paseo mas corto desde a hacia algun
otro vértice, y asi sucesivamente. Llega el momento en que nuestro
procedimiento finaliza, cuando un camino mas corto desde a hasta z es
determinado.
Un camino mas corto de a hasta uno de los vértices de T puede determinarse
como sigue: para cada vértice l de T sea l(T) la longitud del camino mas corto
de entre todos los caminos de a hasta f que no incluyen ningun otro vértice de
T.
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GRAFO PONDERADO.- Una grafica en la que se le asignan pesos a cada una
de las aristas se le llama un grafo ponderado. Un ejemplo de este grafo es la
grafica que represente un sistema de tuberías en la que los pesos asignados
indiquen la cantidad de algun producto transportado por el tubo.
GRAFOS HOMEOMORFOS.- Se pueden considerar los grafos homeomorfos
como isomorfos, salvo vértices de grado 2. cualquier grafo es homeomorfo a
si mismo. Si dos grafos son homeomorfos son simultáneamente planos (o no
planos).
DEFINICIÓN: Los grafos G1 =) (v1,a1), G2 = (V2,A2) se
denominan homeomorfos si G2 se puede obtener de G1 por la inserción o
eliminación de vértices de grado 2.
TEOREMA: (De Kuratowski) Un grafo es no plano si, y
solo si, contiene un subgrafo homeomorfo a k5 o a k3.3.
EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG
Durante el siglo XVIII la ciudad de Königsberg (En Prusia Oriental) estaba
dividida en cuatro zonas (incluida la zona de Kneiphof) por el rio Pregel.
Siete puentes comunicaban estas zonas se cuenta que los habitantes destinaban
sus paseos dominicales intentando hallar un punto inicial para poder pasear
por toda la ciudad cruzando cada puente exactamente una vez y regresar a
dicho punto.
Para determinar si existia o no dicho ciclo, euler represento las cuatro zonas de
la ciudad y los siete puntos en un multigrafo. Aquí hallo cuatro vértices con
grad(a)=grad(c)=grad(d)= 3 y grad (b)=5. tambien descubrió que la existencia
de dicho ciclo dependia del numero de vértices de grado impar del grafo.
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DEFINICIÓN: Sea G = (V,A) un grafo o multigrafo no dirigido. Se
dice que g tiene un ciclo de Euler, si existe un ciclo en G que pase por
todo v Є V y por toda arista del grafo exactamente una vez. Si hay en G,
un camino de a a b y este pasa por todo el vértice y por cada arista de
G exactamente una vez, el camino se denomina camino de Euler.
El problema de los siete puentes quedara resuelto al caracterizar los
grafos con un ciclo de Euler.
EL PROBLEMA DE LA LOCURA INSTANTÁNEA
El juego de la locura instantánea se juega con cuatro cubos. Las caras
del cubo se pintan de Rojo, Blanco,Verde y Amarillo. El objetivo del
juego es colocar los cubos en una columna de cuatro de forma que en
cada lado de esta aparezcan los cuatro colores.
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EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE GRAFOS Y
DE MATRIZ DE ADYACENCIA E INCIDENCIA.
Tomese por ejemplo la digrafica de la figura 1, en la que primero se
ordenan los nodos como v1,v2,v3,v4 y se escribe su matriz de adyacencia.
A continuación se reordenan las columnas como v2,v3,v1,v4 y se escribe
su matriz de adyacencia. Las dos matrices de adyacencia son A1 Y A2,
como se muestra. Si se intercambia el primer renglón y la primera
columna con el tercer renglón y la tercera columna de A2, y a
continuación se intercambia el segundo renglón con el tercero y de
manera similar la segunda columna con la tercera, se obtiene A1.
V1
V2
0100
0011
1101
1000
A1
V4
V3
Figura 1
10
A2
0101
1011
1000
0010
En la figura anterior {a,b}, {b,c},{c,f} proporciona un camino de a a f. Y este
se denomina un camino simple. Ademas en este caso la longitud del grafo
anterior seria = 8 ya que recordemos que el numero de aristas de un camino se
denomina longitud del camino.
b
d
∞
a
e
c
Se pone para ejemplo este grafo donde T={c,d,e,z}. Se sigue que la distancia
mas corta desde a hasta c es de 3.
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En una grafica de las calles de una ciudad (como la que se muestra
arriba) se pueden asignar pesos de acuerdo con la densidad del trafico en cada
calle así se definira el resultado de un grafo ponderado.
j
a
d
a
i
f
c
b
e
g
j
b
e
i
h
f
h
g
d
c
La figura (a) arriba es un grafo conocido como grafo de Petersen. El
apartado (b) de la figura proporciona un subgrafo del grafo de Petersen que es
homeomorfo a K3.3. (La eliminación de los vértices c,g,h,i da lugar a K3,3). De
ahí que el grafo de Petersen sea no plano.
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EL PROBLEMA DE LOS 7 PUENTES DE KÖNIGSBERG
a
b
d
c
Euler representó las cuatro zonas de la ciudad de Königsberg (a) y los siete
puentes por el multigrafo de la figura (b). Aquí halló cuatro vértices con grad
(a) = grad (c) = grad (d) = 3y grad (b) = 5. Tambien descubrio que la exstencia
de dicho ciclo dependia del numero de vértices de grado impar del grafo.
EL PROBLEMA DE LA LOCURA INSTANTANEA
A
B
R
R
A
V
B
V
B
A
V
A
A
2)
1)
R
R
V
B
A
B
V
B
3)
V
R
B
4)
R= ROJO B= BLANCO V= VERDE A= AMARILLO
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Considérense los cubos de la figura de la pagina anterior y numérense según
se muestra. (Estos cubos son solo un ejemplo de este juego. Existen muchos
mas). En primer lugar, se calculara el numero de ordenaciones posibles. Si se
coloca el cubo 1 en la parte inferior de la columna, hay a lo sumo tre formas
distintas de hacerlo. En la figura anterior se desdobla el cubo 1 y se observa
que no hay diferencia cuando se coloca la cara roja o la cara blanca opuesta
sobre la mesa. Solo in teresan las cuatro caras restantes de la base de la
columna. Con tres pares de caras opuestas, habra tres formas, coimo máximo,
de colocar el primer cubo en la base de la columna.
Ahora considerese el cubo 2 aunque se repiten algunos colores, cinguin par de
caras opuestas tiene el mismo. De ahí que hay seis formas de colocar el
segundo cubo sobre el primero. Después se puede rotar el segundo cubo sin
cambiar ni la cara superior del primer cubo ni la cara inferior del segundo
cubo. Con cuatro rotaciones posibles, hay 24 formas distintas de colocar el
segundo cubo sobre el primero. Al continuar argumentando, se halla que
puede haber (3)(24)(24)(24) = 41 472 posibilidades a considerar, y quiza sin
solución. Al resolver el rompecabezas se comprende la dificultad de mantener
el registro de colores en las caras opuestas de los cubos y en las columnas.
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Para realizar este trabajo de investigación no solo se sacó de la nada ni por
debajo de la manga se utilizo una bibliografía correspondiente a el tema
tratado que fue TEORIA DE GRAFOS, Y esta es la bibliografía
correspondiente:
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