x - At - Revista Mexicana de Física

PLENARY TALKS
REVISTA MEXICANA DE FfslCA 49 SOPLH1EKfO
SEPTIEMBRE
2, 75-79
2003
Compactones, soluciones solitónicas sin colas
J. Bemal1, G. Frías. and M. Agüero
Facultad de Ciencias. Universidad Autonoma del Estado de Mtxico
Instituto Uterario 100. Toluca 5‫סס‬oo. Estado de Mtxico. Mtxico
1 Unidad Acadtmica de Chontalpa. Universidad Juárez AUlonoma de Tabasco
Villahermosa. '[abasco. Mtxico
Recibido el 14 de marzo de 2002; accpt¡¡do el 2S de noviembre de 2002
Se estudian ciertas soluciones de ecuaciones no-lineales que modelan procesos físicos, que tienen semejanzas con estructuras coherentes
del tipo de esferas duras, modelo de partículas muy usado en la V'.mas ramas de la física, Estas soluciones compactas (gotas, kinks, ClC.)
interactúan entre sí, sólo a cortas distancias, porque no poseen colas infinitas como los solitoncs clásicos.
Descriptores: Compactones; solitoncs; dinámica nalineal
Sorne solulions of non linear cqualions modeling physicaJ proccsscs lhat are similar to coheTenl structurcs of the kind of hard sphcrcs are
studied. Thesc eompaet solutions (drops, kinks, etc) interaet only in short distanccs, because they do nol have infinite tails like the c1assical
solitons.
Keywordr: Compactons; solitons; nonlinc.ar dynamics
PACS: 05.45.-a: 05A5.Yv
1. Introducción
Comunrnente en la mecánica cuántica predomina la interpre-
Por olro lado, la dispersión no-lineal ha sido la causa de
rompimiento de las ondas, además es también responsable
de la formación de picos. de cúspides, y de Olras solucio-
lación ortodoxa de Copenhagen en el cual, la función de onda de la ecuación de Sehrodinger sólo liene interprelaeión
estadística. Pero Louis De Broglie propuso en los inicios de
la mecánica cuántica otra inlerpretaeión física, en donde a la
fnnción de onda se le consideraba como paqueles de ondas
"reales". La dificultad principal de que los paquetes de ondas no sean estables se debe a la linealidad de ecUación de
Sehriidinger.
Relomando las ideas de De Broglie, en la situación aelual de la física teórica exisle ya otro concepto bastanle ade-
nes exóticas en varios modelos no-lineales. La formación de
cúspides es en cierto sentido un proceso dual a la formación
cuado: Solitones. Estas últimas son comunmente estructurmi
no como una simple corrección de ordcn superior.
coherenles producto de un balance delicado entre dos fuerzas
anlagónicas: Nolinealidad + Dispersion, Difusión + Nulinealidad. elc. Por ejemplo, para ilustrar cI último balance,
podemos tomar cI miidelo de Kolmogorov, Piskunov. and Pclmvsky (1937) que describe la dinámiCa de los impulsos ner-
viosos bajo una perspectiva solitónica.
Una de lal)características importantes de los solitones es
que poseen velocidad y fanna constante, asi como tambien,
energía finita y están altamente localizadas, Otracaraterística
mayor es que los solitones clásicos poseen colas al)intólicas,
Por otro lado. los patrones dinámicos y eSlacionarios en la na-
turaleza, son comunmentc finitos en extensión. Pero la gran
de eompaetones. Es decir, en donde exista la posibilidad de
eneonlrar compaclones. es probable la existencia de cúspides.
Es obvio que para modclar el fenómeno relacionado al
rompimienlo de ondas, fonnaeión de cúspides. de picos, ele.,
uno debe adentrarse profundamncte en el régimenno-linel1l.
mas allá dcl tan mencionado régimen de nolinealidad débil,
es decir. se debe de lrabajar en un régimen genuino no-lineal.
Por esta razón la nolinealidad jnega un papel principal, más
2. El modelo de I1yman y Rosenau
Para ver como apareció este concepto revolucionario, nos remontamos al trabajo clásico de Hyman y Rosenau [2J. Empecemos con un solilón de la ecuación de Kortweg y De
Vries (KdV). Una solución solitóniea localizada cn cI espacio (1 + 1) tiene la forma proporcional a sech2(x - vt + xo).
ESla solneión. como se puede ver, posee cola~ infinitas.
Rosenao y Hyman hicieron un análisis de la dispersión
no-lineal en la fonnación de patrones en líquidos, y encontraronuna familia de ecuaciones estilo KdV(m, n).
mayoría dc las ecuaciones con nolinealidad débil y dispersión
lincal admiten ondal) solitaria'i infinitas cn extensión pero lo-
Ut
m>
+ (u'"), + (un)", = O,
O, 1
< n ~ 3.
(1)
ealiz.1das [11.
Ullimamente se están reali7.ando estudios de nuevas estructurascoherentes similares a los solitones, pero, ya no poseen colas asintóticas. Es decir, la diferencia principal con los
solitones, cs que los compactoncs son estructuras solitónicas
sin cola'i infinitas, parecidos a "csferas duras",
Para cI ca~o K(2,2)
se encncntra la solución clásica de
tipo compactón
4A
Uc(x,t)=:¡cos'
.
(x -
At)
--4-
(2)
76
1. BERNAL, G. FRíAS, ANO:\1. AGÜERO
donde la solución sólo es diferente de cero en el intervalo
Ix - .\tl $ 2" Y tic = O fuera de este intervalo. El estudio
ullcrior de csta~soluciones llevaron a los autores a distinguir
sus principales caractcristicas: 1) no poseen cola'i infinitas
como los soliloncs comunes 2) se ac;crncjan a esferas duras,
3) son estables aote interacciones y éstas son clástieas, 4) sólo
pueden interaccionar al entrar en contacto entre ellos. 5) la invariancia ante transformaciones u ---t -u y t ---t -t produce
anticompact(}f}cs.
Durante la realización de experimentos numéricos con
dos, hasta con cinco compactarles. se observó la estabilidad
de lal.; soluciones y tampoco se percibió pérdid~lc;por radiaciones o de otra índole.
Por otro lado, en teoría c1áljica de solitoncs la intcgrabilidad del sistema y la interacción elástica cntre las soluciones
se illlcrprcta en muchos caliOS como propiedades equivalentes
{) sinónimas. Como uno puede observar. el sistema 1«2,2)
no es un sistema integrable en ténninos clásicos de intcgrahilídad. Pero aquí tenemos interacciones entre soluciones del
sistema que sí son clác;licac;. Entonces, el mecanismo de elasticidad durante las interacciones podría no ser originado por
la integrabilidad del sistema. De la fórmula (2) podemos infenr que los compaclones podrían jugar el papel de una hase
no-lineal local dc funciones, en el sentido de que cualquier
dato inicial compaclO podría ser descompuesto en compactarles y anticompactoncs.
2.1. Pulsos cnmpactos
= [ (Q,,+I - Q,,) 3 + (Q"-1 - Q" )3]
La solución de tipo compactón-pulsón tiene el siguiente aspeCIO:
Qn(t) = (_l)nA
(3 )
La aproximación contínua de esta ecuación tiene el aspecto
La') soluciones tipo pulsos-compactos se pueden escribir como:
Q(x,t)
= QM cos(¡3x)en
[(a + Q~)
1/2
wot/v'2Y]
para Ix - XI $ a = ,,/(213), Q (x,t) = O para Ix - XI>
a, k = Q M /(2(a + Q~ )P/' donde X localiza el centro de
masa del pulson.
Como es conocido. la interacción a larga distancia dc los soliloncs ópticos provoca pérdidas en transmisiones por fibras
ópticas. L1 comprensión del mecanismo que produce COffipaclones es esencial para predecir las condiciones en lal;jcuales un problema real físico pueda producir compactones. Por
ejemplo. la posihilidad de existencia de dichas estmcturas en
un sistema diserelo fue reali7<1dopor Kivshar 13). El reportó
la existencia de pulsones con un soporte compacto en un modclo discreto de partículas idénticas interactuando a través de
fuerlao,; anharmónicas sin un potencial de substrato. El modelo usado fue que cada átomo interactúa solamente con sus
vecinos más cercanos mediante fuenas anarmónicas puras.
Si Q" representa un desplazamiento fuera de equilibrio adimensional del n-simo átomo y si los átomos interactúan a
través de polcnciales anarm6nieos, entonces, la ecuaci6n de
movimiento para este n-sima átomo será:
á'Q"
di'
k.' Como no es arbitrario, entonces estas soluciones se moverán libremente en la red. sólo si la interacción interatómica
sea puramenle anarmónica. Por consiguiente. el potencial tipo Peirls-Nabarro está ausente para los compactones.
Posteriores eSlUdios hechos en la Ref. 4, reJX}rtan la posibilidad de existencia de pulsos compactos cuando existen
potenciales del substrato en modelos discretos. Estas estructural) aparecen del halance entre la armonicidad del potencial
del substrato V(Qn) = aQ~/2 + Q~/4 y la nolincalidad
total inducida por el potcncial del substrato y las fuer/.1s de
acoplamiento entre los sitios adyacentes.
La ecuación de movimiento en este cal)o toma la forma
cos
G
(n - no)] en (wt; ~)
cuando In - nol < ~ y Q,,(t) = O fuera de éste intervalo, en(x; k) es la función elíptica de Jacobi con el módulo
'
13= [wo/6
e]
m
1/4
.
La longitud completa del pulsón está limitada y es igual
= rr¡3, implicando que los compactones pulsones no
interaccionan si no están inmediatamente en contacto como
lal) esferas duras. La presencia de la anannonicidad es un requerimienlo mayor para que existan los pulsos compactos. El
parámetro a que cs la medida de la armonicidad juega uo papel importame en la cstabilizaeión de los pulsos compactos.
Por otro lado es necesario tener ausente al termino lineal en
la interacción entre vecinos, porque en caso contario. pravo.
caría la aparición de uoa banda fooónica que podría eotrar en
resonancia con los modos intcrnos del compactón causando
radiación de energía.
a Le
2.2. Kink compartoncs
Seguidamente analizaremos un sistema discreto en donde se
han encontrado soluciones solitónicas tipo compactoncs 151.
Supongamos que tenemos una serie de partículas cuyo comportamiento está modelado por un sistema del tipo KlcinGordoo. La, partículas pueden estar acopladas por el potencial de interacción U(<I>n+ 1 - <1>,,) Ysujetas a un potencial nolineal de sustrato en cada punto V(<I>,,). La magnilUd <I>,,(t)
es el grado de libertad en cada punto que representa el resultado de la innucncia de los demás átomos en la red y efectos extemos. Consideramos ahora el modelo con potencial de
Rev. Mr.x. Fí.'l. 4952 (2003) 75-79
COMI'ACroNES.
SOLUCIONES
SU\falOy con polcncia! de interacción anarmónica en \fe vecinos. Enlonccs cl Hamilloniano dcl modelo sc pucdc cxprcsar
como
H = L [~(d:
n
n
'" el
+ LJ"2
r
SOLlTONICAS
77
SIN COLAS
Para el caso particular de ondas estáticas u
obtenemos
donde -y = (
+ ~o (1 _ ~~)' J
)' + 4'"
e
m
(~n+l
- ~n
(
~
~n+l -
n )' .
A partir dcl cual sc obtendrá, cn la aproximación standard
continua ~n(t) -+ ~(X, t), la siguienle ecuación difcrcneial
no-lineal
- ~3) = O.
..¡c¡
Vo
6e
= O,
)t
m
en dondc sc pucde notar que la energía cstá eS\fictamente lo(4)
n
~,,- el~•• + 3em~;~•• - 2Vo(~
=
calizada. Como es conocido. un kink con sus largas colali
puede interaccionar con un antikink. pero el calio del compactón la interacción es más local, es decir sólo existc cn
contacto directo con el anticompactón. Fenómeno similar a
la~esferal)duras usado en varias ramal\de la física.
(5)
dondc el reprcsenta el cnadrado de la velocidad dc onda lincal. Para Cm = O, la ecuación se reduce al modelo contínuo
de rp' con acoplamiento lineal, el cual admite soluciones tipo
kinks dc la forma tanh (O
Para la descripción de ondas yiajcms escribimos la COI1uidé~de frontera
2.3. Gotas compactas)" picos solitónicos
En esta sección reportamos los resultados obtenidos en la
Ref. 6. Consideramos cl mismo modelo utilizado cn cltrabajo
de Dusuel, Dinda y Rcmoi"enet [5] para ondas viajeras con
velocidad u. Hacemos un cambio de variables: ~ = x - ut y
con la condición de frontera trivial:
a) ~(() = ~(x - ut),
-+ :f:l,
tal que
~
cuando
(-+ :f:oo.
~ -+ :f:oo, ~ -+ O, ~(-+ O, Y ~ (O = ~ (x - ut),
(10)
(6)
Relomamos a la Ec, (5), integramos con respc<;to a ~ y
tornamos en consideración la condición de frontera mencionada arriba, simplificando la ecuación anterior considerando
= -u<P, y <Pz = 4>, 1 obtenemos
se pucde simplificar la Ec. (5) usando ¡as relaciones (10) y
considerando~,
-u~(, ~z
que después dc integrar
=
= ~(
una vez obtenemos:
~t
(u, -
o
,V+"2
(1el)' ~,- 3em~,
"")'
=.O
'Y
(7)
La Ec. (7) puede ser integrada cuando u' - el = O. Se
tiene dos casos: a) si el = O (acoplamicnto lineal cero, no
cxistirán ondas lineales); en Ionces u
O; b) u :f:..¡c¡, las
solucioncs correspondientes son del tipo dc kinks con sopone
compacto o compactoncs [51
=
~(x) = :f:sen
[(6~J*
=
J,
(x-xo)
(8)
,
con los nuevos parámc\fos F
=
[2(u' -
edJ/3em, y G =
Vo/3em.
Para inlegrar la Ec. (11), es necesario el cumplimiento de
la siguiente relación:
2
(u' - el)' -
Seguidamcote expondremos
em = O.
3Vo
(12)
las dislintas soluciones quc
se obtiencn para el modclo
con (Vo/6em)'Jx - xol < tr/2 Y q. = :f:l fucra de este
scclor, Xo dcfine la posición del centro del kink,
Para el caso (
x - ..¡c¡t, tendremos
=
(6~J'((-
(o)
J,
Ix -
(9)
cn el segmento (Vo/6em)*
..¡c¡tl < tr/2, Y ~
:f:1 fuera de este scetor, Estas soluciones fueron llamados,
kink-compaclOncs. De las Ecs. (8) y (9) podemos calcular
la anchura de la onda: L = tr(em6/Vo) t. Consecuentemente. cuando está presente el acoplamiento no-lineal y lincal, se descubre al solitón dinámico con velocidad ..¡c¡
(-v'VI) [51. La energía tOlal se ohtiene a partir de la expresión para el hamiltoniano:
1f
Etot•1 = a-YC¡"2
+ a-y
3
37r
e
m
32
+
a
GOlas compactas
La solución se reprcsenta como:
1
~(() = :f:sen [
2.3./.
31r
::¡ Vo16'
~ = hÍ2sen
.¡
(( - (o),
( 13)
con ( = E /2~ y estando ~ acotado en\fe -"j'i y "j'i. Sabcmos que ~ = O cuando ~ -+ :f:oo, y está definido solamente en el scctor I( + (01 < tr/2. El valor de (o se delermina a!
centrar la solución. La solución (13) también puede escribirse
como:f:"j'i cos((), donde el argumento de la función coseno
está definido cn el intervalo -tr /2 ::; ( ::; tr/2. Como es obvio la anchura de la solución tiene el aspeclO L = trJ2/ F. A
este tipo de solución le damos el nombre de "gola-compacta".
Es fácil de vcrificar que cuando u' se aproxima a el (esto es,
cuando F
Vo/u' - e, incrementa su valor) y fijamos el
=
Rev. Mex. Fís. 4952 (2003) 75-79
78
1. BERNAL, G. FRIAS. AND M. AGÜERO
3. Teoría bi-hamiltónica
A
d--
,,
..
La motivación principal de esta parte del trabajo es tratar de
encontrar una fonnulación matemática que justifique la existencia de los compactones. Es decir, que pennita obtener sistemas con dispersión no-lineal partiendo de ecuaciones nolineales totalmente inlegrahles. Para ello usamos el método
de teorías bihamiltónica,;;. En muchos casos, estos nuevas sistema,;;con dispersión no-lineal estarán soportando estructuras
solit6nica,;; discontinuas.
La fonnulación hi-hamiltónica general consiste en que
una ecuación integrable se puede escribir como:
C
,
;'
"
06
'.
Od
"
02
..•
.,2
z
.2.\
1
COMPACTON.
ECUACION
SOLUCION
NOLINEAL
2
3
OBTENIDA
DE KLEIN
PARA
A
u..
GOR'OON.
FIGURA 1. Típica represent.ación de una gota compacta.
valor de Vo en la Ec. (12), el "área" del compactón tipo gola decrece. En el caso opueslo, cuando la velocidad se aleja
del parámetro Gl• la magnitud F decrece micntra~su anchura
aumenta. En ambos ca~os,la altura es constante, es decir sólo
aumenta o disminuye de tamaño a lo largo de la coordenada
~. como una gOla común sobre una supcrficc lisa. El tercer
parámetro Gm se define de la Ec. (12). Los anticompaclones
tipo gOla surgen al tomarel signo negativo de (13). La energía
se ealeula haciendo uso de la versión continua de la Ec. (4) Y
finalmente obtenemos:
Edc
=
"-",viVo (u2
8v2
-
G¡) + "G,
Vo
2
(u2 -
0,)"
(14)
Cuando u2 -+ G la energía (14) tiende a infinito. Por
lo qne las velocidades " no utilizadas para estas soluciones son
Uo
oJ:.,¡v¡. Estos valores hahilitanla existencia de los compactones tipo kink (podemos llamarlas del "primer tipo") descubiertas con el mismo modelo en la Rcf. 5.
=
Si los dos operadores JI y J2 son compatibles (significando que la combinación lineal de los dos operadores:
CI JI + C,J2 sea lambién hamiltón;ca), elllonces el teorema
de Magri establece la exislencia fonnal de una jerarquía infinita de sistemas bihamiltónicos de orden superior
(16)
donde Hn son las leyes de conservación de órdenes superiores, Los miembros de esta jerarquía son generados sucesivamente aplicando el operador R = J2J,I: Fokas y Fuehssteiner demostraron que el operador de recursión que aparece
del par de hamillonianoses un operador hereditario. Si amhos
operadores hamiltónicos son simétricamente traslacionables,
es decir, que ellos no dependen explicilamente de x (como es
el caso para nuestro análisis), elllonces, uno puede lomar a la
ecuación Ut = Ux como semilla de sistema,;; bihamiltónicos,
con n = Oen (16) a partir del cual sistemas de orden superior
pueden ser conslmidos: u, = F" [u] = R" [ux].
Ilustremos el método tomando como ecuación diferencial
a la ecuación de Korteweg y de Vr;es:
Ut
2.3.2. Soli16n-pico
Estas soluciones emergen cuando la ecuación general (11) es
transfonnada usando la Ec. (12) Y aplicando las condiciones
de frontera (10), y resolviendo la ecuación obtenida, es fácil
de ver que el peakon o solitón-pico se define pegando la parte
positiva y negativa de la solución siguiente:
<I>(() =exp [oJ:.h((-(o)
j.
(15)
El signo positivo (+) de la parte exponencial corresponde al
( :s (o y el negativo ( - ) cuando ( ~ (o'
El valor de (o se detennina naturalmente por las condiciones iniciales. Cuando el valor de F crece debido a (u2 -+ G,)
el solitón.pico se va transformando a una función delta. So.
luciones similares fueron encontrrldos por Camassa y Hohn
en la Ref. 7 para otra ecuación fundamental pero distinta de
ésta que analizamos aquí.
C.L';O cuando
= 3uux
+ Uxxx.
(17)
Es bien conocido que esta ecuación puede ser representada en
fonna bihamiltónica usando los dos operadores compatihles
Hamiltónicas:
J¡
= D,
y las funcionales
serán:
NI
=
12"u
1
2
h
= D3 + uD + Du
hamiltónicas
dx,
l/2 =
( 18)
(o leyes de conservación)
1~
[-u;
+ u3)
dx.
(19)
Notamos que la ecuación semilla tit = Ux es bihamiltónica
con los hamiltonianos ll¡ [uJ y l/o [u] = J udx; a estos
lí1timos se les denomina funcionales de Casimir para .ll'
La contraparte no-lineal dispcrsiva se obtiene según el
siguiente procedimiento: empezamos a transferir el término
Rev. Mex. FIs. 49 S2 (2003) 75-79
COMPACTONES,
SOLUCIONES
SOLlTONtCAS
D3 desde el segundo operador hamillónieo al primero. de lal
manera que ~nstruyamos el primero de los o~radores hamillónicos: J,
D:f: D3. Sacamos faclor JI
DS. el
operador aUlOconjugado S = 1 + D' lo usamos para definir una variable de campo: p = Su = ti + Uzz. El segundo
operador hamiltónico se construye al reemplazar ti por p en
la parle que queda del operador hamillónico 1, de tal manera
que el nuevo será:
= pD + Dp. El hecho de que JI y
forman un par de operadores hamilIónicos compatibles se deduce inmediaL1menIe de la compatibilidad de los operadores
hamiltónicos iniciales. La ecuación integrable compactónica
deseada está ahora dada en forma bihamillónica:
=
=
J.;
Pt
J.;
-úi:,
-ú¡;
= JI--óu = J,--óu
(20)
Con los siguientes functionalcs
- = /1'2 /1[,
'2
- = /1'2 [u3 Uu;]
updx =
HI
H,
'f
u 'f
UU.
]
dx,
(21)
(22)
dx.
Emonces la Ec. (21) toma la forma:
Ut :f: U"t
= 3uu.
:f: ( UU"
+ ~u;) •.
(23)
El signo positivo en la Ec. (23) lleva a la ecuación inlegral
cuyas soluciones ticncn el aspecto compacto solitónico. Por
otro lado, tomando el signo negativo nos produce la ecuación
cuya solución particular es del tipo de pico solilónico derivado por Camassa y Holm,
U(x, t) = A exp[-Ix - ctl]'
donde A y e son conSIaJ1tes arbitrarias. A eSlaS soluciones los
llamaron "peakons". NOlamos que bajo una transformación
compleja x ...• ix. t ...• it las Ecs. (23) intercambiarán indicándonos una interconexión entre compacloncs y pcakons.
79
SIN COLAS
(diferenciales y discrelo-integro diferenciales) implica estrictos requisitos que deben ser satisfechos. Puesto que las estructuras compactali son soluciones muy especiales. en todos los modelos mencionados en este trabajo se han obtenido nueva\) condiciones paramétricali de existencia de compactones. Además, en forma particular se mencionan los
parámetros del modelo de Klein-Gordoo no-lineal para integrar la correspondiente ecuación no-lineal evolutiva. Las
condiciones de frontera trivial permiten la aparición de compaclones tipo gOla. cuando los parámetros han satisfecho
las ecuaciones algebraicas especificas (12). ESlas estrucluras
complementan la familia de estructuras solitónicali ya reportadas en la literatura.
Haciendo un analisis de las peculiaridades de las soluciones con respecto a los pararnetros, podemos inferir que
gotali compactali no pueden coexistir con los kinks compactos del primer tipo ya que ambos compaclOnes viven en diferenles regiones de los parámetros principales delimilados por
sus velocidades. Este crucial valor puede ser considerado como un pllnlo de bifurcación. Cuando las velocidades de onda
viajera se aproximan al valor de uo, los kinks compactos surgen. Este sistema característico en consecuencia nos sugiere,
la apariencia de transición de falie de segundo orden en este
punto de bifurcación. Esto porque. fuera del valor de UD, el
sistema está situado en un estado que muestra compactoncs
de lipo gOla y exactamente para el valor u = UD. tenemos
compactones tipo kink, que es el segundo eSL1dodel sistema.
En este lrabajo tamhién se observa el fenómeno ya reportado en la literatura, de que la anarmonicidad en la interacción
entre "partículas" puede llevar a la aparición de una rica variedad de estmcturas solilÓnicas estáticas y viajeras.
Agradecimientos
4. Conclusiones
La existencia
de soluciones y especialmente cierta versión
particular de estructuras compactas en ecuaciones no-lineales
1. v.G. Makhankov, Soliton Phenomerw/ogy, (Kluwcr Academic
Publishcr, Ncw York. 1990).
2. P. Roscnau and J.M. Hyrnan, Phy:i. Re\!. /.e11. 70 (1993) 564.
3. Y.S. Kivshar, l'hys. Rev. E 23 (1993) 48.
4. T. Dinda and M. Rcrnoisscnct, Phys. Rev. E60 (1999) 6218.
Re\'. Mex. Fís. 4952
Este trabajo ha sido parcialmenle financiado por el proyecto
UAEM 124012000 y por el proyeclo de investigación CONACYT 33741-E.
5. S. Dusucl, P. Michaux, and M. Rcmoisscnt, Phys. Rev. £ 57
(1998) 2320.
6. M. AgUeroand M. I'aulin, l'hys. Rev. £ 63 (2001) 046606.
7. R. Camassa and D.D.llolm,
C2(XJ3)75-79
Phys. Rev. Lell. 71 (1969) 1661.