Cuestiones Tema 5

Ejercicio: 5.1
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.1 Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los cuatro casos Ω = {☺☺,☺✚,✚☺,✚✚}. En este espacio, el suceso " obtener más caras que cruces " es
igual a:
a) {☺✚,✚☺}.
b) {☺✚,✚☺,☺☺}.
c) {☺☺}.
El suceso "obtener más caras que cruces" solo ocurre cuando tenemos ☺☺, para la respuesta a y b no se
cumple.
5.2 Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los cuatro casos Ω = {☺☺,☺✚,✚☺,✚✚}. El suceso contrario de " obtener alguna cara " es igual a:
a) {☺✚,✚☺}.
b) {☺☺}.
c) {✚✚}.
El suceso contrario de "obtener alguna cara" solo ocurre cuando tenemos ✚✚, para la respuesta a y b no se
cumple.
Ejercicio: 5.3
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.3 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso de " obtener al menos dos caras " es igual a:
a) {☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,✚☺☺}.
b) {☺☺☺}.
c) {☺☺✚,☺✚☺,✚☺☺}.
Los ocho resultados posibles son
Ω = { ☺☺☺,
☺☺✚,
☺✚☺,
☺✚✚,
✚☺☺,
✚☺✚,
✚✚☺,
✚✚✚}
El suceso de " obtener al menos dos caras " ocurre cuando tenemos:
{☺☺☺, ☺☺✚, ☺✚☺, ✚☺☺}
Ejercicio: 5.4
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.4 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso
A = { ☺☺☺,☺☺✚,☺✚✚,✚☺☺,✚✚☺,✚✚✚}
Es igual a:
a) Obtener al menos dos caras o dos cruces.
b) Obtener al menos dos resultados consecutivos iguales.
c) Que los tres resultados no sean iguales.
La a no es correcta ya que este suceso es igual al espacio de posibilidades y nos faltaría:
Ω = {☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺,✚✚✚}
La c es imposible.
La correcta es la respuesta b.
Ejercicio: 5.5
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.5 Lanzamos una moneda cuatro veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado
por los dieciséis resultados posibles de los cuatro lanzamientos. El suceso contrario de "obtener más caras
que cruces" es igual a:
a) "Obtener más cruces que caras".
b) "Obtener menos caras que cruces".
c) "Obtener al menos tantas cruces como caras".
Los dieciséis resultados posibles son:
Ω={☺☺☺☺,☺☺☺✚,☺☺✚☺,☺☺✚✚,☺✚☺☺,☺✚☺✚,☺✚✚☺,☺✚✚✚,
✚☺☺☺,✚☺☺✚,✚☺✚☺,✚☺✚✚,✚✚☺☺,✚✚☺✚,✚✚✚☺,✚✚✚✚}
El suceso "obtener más caras que cruces"
{☺☺☺☺,☺☺☺✚,☺☺✚☺,☺✚☺☺,✚☺☺☺}
El suceso contrario de "obtener más caras que cruces"
{☺☺✚✚,☺✚☺✚,☺✚✚☺,☺✚✚✚,✚☺☺✚,✚☺✚☺,✚☺✚✚,✚✚☺☺,✚✚
☺✚,✚✚✚☺,✚✚✚✚}
Ejercicio: 5.6
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.6 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso contrario de "algún resultado es cara" es
igual a:
a) "Algún resultado no es cara".
b) "Todos los resultados son cruz".
c) " Algún resultado es cara y alguno es cruz ".
Ω = {☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺,✚✚✚}
El suceso de "algún resultado es cara" es
{☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺}
El suceso contrario de " algún resultado es cara " es
{✚✚✚}
Ejercicio: 5.7
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.7 Lanzamos un dado dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los
36 resultados posibles de los dos lanzamientos. El suceso
{
,
,
}
,
Es igual a:
a) "El resultado del segundo lanzamiento es mayor que el primero".
b) "Los resultados de los dos lanzamientos son distintos".
c) "La diferencia entre el resultado del segundo lanzamiento y el del primero es 2".
En total tenemos 6 ⋅ 6 = 36 casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
La a no es correcta porque no contiene el resultado
que está incluido en los 36 casos posibles.
La b no es correcta porque no contiene el resultado
que está incluido en los 36 casos posibles.
Ejercicio: 5.8
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.8 Si el suceso A ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso
a) A ∩ B también ha ocurrido.
b) A ∪ B también ha ocurrido.
c) AC también ha ocurrido.
Intersección, A ∩ B , Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B
Unión, A ∪ B , Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos.
Complementación, AC , Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A.
5.9 Si el suceso A ∩ B C ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso
a) A ha ocurrido.
b) B ha ocurrido.
c) A ∪ B no ha ocurrido.
Si el suceso A ∩ B C ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso A ha ocurrido
U
A
B
A ∩ BC
5.10 Si el suceso AC ∩ B C ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso
a) A ∩ B C ha ocurrido.
b) A ∩ B ha ocurrido.
c) A ∪ B no ha ocurrido.
Si el suceso AC ∩ B C ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso A ∪ B no ha ocurrido. Llegamos a esta
conclusión aplicando las leyes de Morgan.
5.11 Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por
los cuatro casos Ω = {
,
,
,
}. Sea A el suceso “el primer resultado es cara” y B el suceso “el
segundo resultado es cara”, entonces el suceso A ∪ B es igual a:
a) “Ambos resultados son cara”.
b) “Al menos un resultado es cara”.
c) “Más de un resultado es cara”.
La respuesta a nos dice que “Ambos resultados son cara” lo que equivale a A ∩ B .
La unión, A ∪ B , quiere decir que el primer resultado es cara o el segundo resultado es cara, por lo tanto
“Al menos un resultado es cara”.
Ejercicio: 5.12
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.12 Un dado está cargado de manera que al lanzarlo sus sucesos simples ocurren con las siguientes
probabilidades:
Modelo no uniforme del lanzamiento del dado
Suceso
Probabilidad
0,1
0,1
0,3
0,1
En un lanzamiento, la probabilidad de obtener más de cuatro puntos es:
a) 0,3.
b) 0,1.
c) 0,4.
El suceso A = “obtener más de cuatro puntos” es igual a:
A={ , }
P(A)= P( )+( ) = 0,2 + 0,2 = 0,4
0,2
0,2
Ejercicio: 5.13
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.13 Un dado está cargado de manera que al lanzarlo sus sucesos simples aparecen con las siguientes
probabilidades:
Modelo no uniforme del lanzamiento del dado
Suceso
Probabilidad
0,2
La probabilidad de que aparezca
0,2
0,1
?
0,3
0,1
es:
a) 0,1.
b) No lo podemos saber, faltan datos.
c) Es imposible que un dado tenga esas probabilidades.
La suma de las probabilidades de los sucesos elementales debe de ser igual a 1,
así que:
0, 2 + 0, 2 + 0,1 + x + 0,3 + 0,1 = 1
x = 0,1
Ejercicio: 5.14
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.14 Lanzamos dos veces un dado equilibrado, la probabilidad de que un resultado sea el doble del otro es:
a) 1/6.
b) 2/6.
c) 2/11.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A
número de casos posibles
En total tenemos 6 ⋅ 6 = 36 casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
,
,
,
.
Los casos favorables son 6.
,
,
La probabilidad es P ( A ) =
6 1
=
36 6
Ejercicio: 5.15
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.15 Lanzamos dos veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener alguna cara es:
a) 2/4.
b) 3/4.
c) 2/3.
El espacio de posibilidades formado por los cuatro casos Ω = {☺☺,☺✚,✚☺,✚✚}.
El suceso A = “obtener alguna cara” = {☺☺,☺✚,✚☺}.
Por lo tanto tenemos 3 casos favorables de los 4 posibles.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A 3
=
número de casos posibles
4
Ejercicio: 5.16
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.16 Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener alguna cara es:
a) 2/3.
b) 3/4.
c) 7/8.
El espacio de posibilidades formado por los ocho casos:
Ω = {☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺,✚✚✚}
El suceso A = “obtener alguna cara” =
{☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺}
Por lo tanto tenemos 7 casos favorables de los 8 posibles.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A 7
=
número de casos posibles
8
E jercicio: 5.17
A utor: A ntonio R ivero Cuesta, Tutor C.A . Palm a de M allorca
5.17 Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener dos resultados iguales
consecutivos es:
a) 3/4.
b) 3/8.
c) 7/8.
El espacio de posibilidades formado por los ocho casos:
Ω = {☺☺☺,☺☺✚,☺✚☺,☺✚✚,✚☺☺,✚☺✚,✚✚☺,✚✚✚}
El suceso A = “obtener dos resultados iguales consecutivos” =
{☺☺☺,☺☺✚,☺✚✚,✚☺☺,✚✚☺,✚✚✚}
Por lo tanto tenemos 6 casos favorables de los 8 posibles.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A 6 3
= =
número de casos posibles
8 4
Ejercicio: 5.18
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.18 Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente
muestra el número de personas en cada categoría:
Ojos oscuros
Ojos claros
Pelo negro
30
10
Pelo castaño
10
20
Pelo rubio
10
20
Se elige una persona entre las cien al azar, la probabilidad de que tenga los ojos claros y pelo negro es:
a) 0,10.
b) 0,25.
c) 10/45.
Por lo tanto tenemos 10 casos favorables de los 100 posibles.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A 10
=
= 0,10
número de casos posibles
100
Ejercicio: 5.19
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.19 Se lanza un dado equilibrado dos veces. La probabilidad de que la suma de los resultados sea 7 es:
a) 1/6.
b) 7/36.
c) 5/36.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A
número de casos posibles
En total tenemos
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
6 ⋅ 6 = 36
casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
,
,
.
Los casos favorables son 6.
,
,
,
6
1
La probabilidad es P ( A ) = 36 = 6
Ejercicio: 5.20
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.20 De una urna que contiene 2 bolas azules y 3 rojas se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. La probabilidad de que alguna de las bolas sea azul es:
a) 0,5.
b) 0,6.
c) 0,7.
Vamos a numerar las bolas para contar
1
2
3
4
5
En total tenemos 5  4  20 casos posibles, que los representamos por:
1
2
1
3
1
4
1
5
2
1
2
3
2
4
2
5
3
1
3
2
3
4
3
5
4
1
4
2
4
3
4
5
5
1
5
2
5
3
5
4
Para saber la probabilidad de que alguna de las bolas sea azul contamos todos los pares en los que hay al
menos una bola azul como casos favorables, que son 14.
14
7
La probabilidad es P  A   20  10
Ejercicio: 5.21
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.21 De una urna que contiene 3 bolas azules y 2 rojas se extraen dos bolas sin devolver la primera a la urna.
La probabilidad de obtener dos bolas de distinto color es:
a) 1/2.
b) 3/5.
c) 2/3.
Vamos a numerar las bolas para contar
1
2
3
4
5
En total tenemos 5 ⋅ 4 = 20 casos posibles
1
2
1
3
1
4
1
5
2
1
2
3
2
4
2
5
3
1
3
2
3
4
3
5
4
1
4
2
4
3
4
5
5
1
5
2
5
3
5
4
Tenemos 3 ⋅ 2 = 6 casos favorables en donde la primera bola es azul y la segunda roja.
1
4
1
5
2
4
2
5
3
4
3
5
Y también tenemos 2 ⋅ 3 = 6 casos favorables en donde la primera bola es roja y la segunda azul.
4
1
4
2
4
3
5
1
5
2
5
3
Para saber la probabilidad de que alguna de las bolas sea azul contamos todos los pares en los que hay bolas
de distinto color, en total son 12 casos favorables.
12
3
La probabilidad es P ( A ) = 20 = 5
Ejercicio: 5.22
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.22 De una urna que contiene 2 bolas azules y 2 rojas y 1 verde se extraen dos bolas sucesivamente, sin
devolver la primera a la urna. La probabilidad de que una de las dos bolas sea la verde es:
a) 0,8.
b) 0,6.
c) 0,4.
Vamos a numerar las bolas para contar
1
2
3
4
5
En total tenemos 5  4  20 casos posibles
1
2
1
3
1
4
1
5
2
1
2
3
2
4
2
5
3
1
3
2
3
4
3
5
4
1
4
2
4
3
4
5
5
1
5
2
5
3
5
4
Para seleccionar la bola verde, o bien la primera es verde y la segunda no, con lo que tenemos 1  4  4 casos
favorables.
5
1
5
2
5
3
5
4
O bien la primera no es verde y la segunda sí, con lo que tenemos 1  4  4 casos favorables.
1
5
2
5
3
5
4
5
En total son 8 casos favorables y la probabilidad del suceso "la bola verde está entre las elegidas es:
8
La probabilidad es P  A   20  0, 4
Ejercicio: 5.23
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.23 Lanzamos un dado dos veces, la probabilidad de que el primer resultado sea mayor que el segundo es
igual a:
a) 5/12.
b) 1/2.
c) 1/3.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A
número de casos posibles
En total tenemos 6 ⋅ 6 = 36 casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Los casos favorables son 15.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
La probabilidad es P ( A ) =
15 5
=
36 12
.
.
.
.
.
.
Ejercicio: 5.24
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.24 De una urna que contiene 5 bolas numeradas con los números 1, 2, 3, 4 y 5 se extraen dos bolas
sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que el número de la primera bola sea
mayor que el de la segunda es:
a) 9/20.
b) 1/2.
c) 11/20.
Regla de Laplace.
P  A 
número de casos favorables a A
número de casos posibles
En total tenemos 5  4  20 casos posibles.
, , , 
, , , 
, , , 
, , , 
, , , 
En total son 10 casos favorables y la probabilidad de que el número de la primera bola sea
mayor que el de la segunda es:
,
, ,
, , ,
, , , 
La probabilidad es P  A  
10 1

20 2
Ejercicio: 5.25
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.25 Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente
muestra el número de personas en cada categoría:
Ojos oscuros
Ojos claros
Pelo negro
30
10
Pelo castaño
10
20
Pelo rubio
10
20
Se elige una persona entre las cien al azar, y luego otra al azar entre las restantes, la probabilidad de que
tenga los ojos del mismo color es:
a) 1/2.
b) 3/4.
c) 49/99.
Regla de Laplace.
P ( A) =
número de casos favorables a A
número de casos posibles
En total tenemos 100 ⋅ 99 = 9900 casos posibles.
Para que ocurra el suceso "tienen los ojos del mismo color", o lo que es lo mismo:
•
Ambos tienen los ojos oscuros que son 50 ⋅ 49 casos favorables
•
Ambos tienen los ojos claros que son 50 ⋅ 49 casos favorables
En total el número de casos favorables son 2 ⋅ 50 ⋅ 49
La probabilidad es
P ( A) =
2 ⋅ 50 ⋅ 49 49
=
100 ⋅ 99 99
Ejercicio: 5.26
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.26 Si P  A   0, 2 y P  A  B   0,1 , la probabilidad condicionada P  B A  es igual a:
a) 0,5.
b) 0,02.
c) 0,1.
La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad
de B condicionada por A y se designa por el símbolo P  B A  .
P  B A 
P  B A 
P  A  B
P  A
0,1
 0,5
0, 2
5.27 Si P  A   0, 2 y P  B A   0, 6 , la probabilidad P  A  B  es igual a:
a) 0,3.
b) 0,12.
c) 0,6.
0, 6 
P  A  B
0, 2
 0,12
5.28 Si P  A   0, 2 , P  B   0, 4 y P  A B   0,1 , la probabilidad condicionada P  B A  es igual a:
a) 0,5.
b) 0,2.
c) 0,1.
P  B A 
P  A  B
P  A

P  B  A
P  A
Tenemos que P  A  B   P  A B   P  B   0, 04
P  B A 
0, 04
 0, 2
0, 2
Si utilizamos la regla de Bayes tenemos P  A B   P  A 
P  B A 
P  A B  P  B
P  A

0,1 0, 4
 0, 2
0, 2
P  B A
P  B

5.29 Si P  A   0, 2 , P  B   0,3 y P  A  B   0,1 , la probabilidad condicionada P  A B C  es igual a:
a) 1/7.
b) 2/7.
c) 2/3.
La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad
de B condicionada por A y se designa por el símbolo P  B A  .
P A B
C

P  A  BC 
P  BC 
Tenemos que P  B C   1  P  B   0, 7
P  A  B C   P  A   P  A  B   0,1
P  A BC  
0,1 1

0, 7 7
U
A
B
E jercicio: 5.30
A utor: A ntonio R ivero Cuesta, Tutor C.A . Palm a de M allorca
5.30 Lanzamos dos veces una moneda. Si sabemos que ha aparecido alguna cara, la probabilidad de que los
dos resultados sean cara es:
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad
de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ) .
La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos
proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “los dos resultados son cara”
B = “ha aparecido alguna cara”
P(B) = P ({☺☺,☺✚,✚☺}) =
3
4
P ( A ∩ B ) = P ({☺☺}) = 1
4
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
14 1
=
34 3
Otra forma de resolverlo:
Como sabemos que ha aparecido alguna cara, el espacio de posibilidades es:
{☺☺,☺✚,✚☺}, tenemos 3 resultados posibles.
Y solo en 1 resultado han salido dos caras {☺☺}.
Por lo tanto aplicando Laplace tenemos P ( 2 resultados cara ) =
número de casos favorables 1
=
3
número de casos posibles
Ejercicio: 5.31
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.31 De una urna que contiene 3 bolas azules y 2 rojas y 1 verde extraemos una bola al azar. Si sabemos que
la bola extraída no es verde, la probabilidad de que sea roja es:
a) 2/5.
b) 1/2.
c) 3/5.
La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad
de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ) .
La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos
proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “la bola es roja”
B = “la bola no es verde”
5
de las seis bolas cinco no son verdes
6
2
P ( A ∩ B ) = de las seis bolas dos son rojas y seguro no son verdes.
6
P ( B) =
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
26 2
=
56 5
Otra forma de resolverlo:
Como sabemos que la bola no es verde el espacio de posibilidades se reduce a 5 bolas, 3 bolas azules y 2
rojas y para saber la probabilidad de que sea roja seleccionamos las 2 bolas rojas de las 5 posibles:
P ( Sea roja ) =
2
5
Ejercicio: 5.32
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.32 Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente
muestra el número de personas en cada categoría:
Ojos oscuros
Ojos claros
Pelo negro
30
10
Pelo castaño
15
20
Pelo rubio
10
15
Elegimos una persona al azar y no tiene el pelo negro; la probabilidad de que tenga los ojos claros es:
a) 7/12.
b) 15/35.
c) 10/40.
Tenemos 60 casos posibles que no tienen el pelo negro y los ojos claros.
Tenemos 35 casos favorables con ojos claros.
35 7
=
60 12
La probabilidad es P ( A ) =
Otra forma de resolverlo:
La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad
de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ) .
La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos
proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “tiene los ojos claros”
B = “no tiene el pelo negro”
60
de los 100 casos posibles hay 60 favorables a B.
100
35
P ( A ∩ B) =
20 con los ojos claros y el pelo castaño y 15 con los ojos claros y el pelo rubio.
100
P ( B) =
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
35 100 35 7
=
=
60 100 60 12
Ejercicio: 5.33
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.33 Lanzamos un dado dos veces, si el primer resultado ha sido mayor que el segundo, la probabilidad de
que el primero sea un 6 es igual a:
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “el primer resultado es 6”
B = “el primer resultado es mayor que el segundo”
En total tenemos 6 ⋅ 6 = 36 casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
Tenemos 15 casos favorables donde el primer resultado es mayor que el segundo
P ( B) =
15
casos favorables a que el primer resultado sea mayor que el segundo.
36
P ( A ∩ B) =
P ( A B) =
5
casos favorables a que el primer resultado sea 6 y que sea mayor que el segundo, en total 5.
36
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
5 36
5 1
= =
15 36 15 3
Otra forma de resolverlo:
Tenemos 15 casos totales en donde el primer resultado es mayor que el segundo. Y 5 casos favorables en
donde el primer resultado es un 6.
P ( El primero 6 ) =
5 1
=
15 3
Ejercicio: 5.34
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.34 Lanzamos un dado dos veces, si la suma de los resultados es 7, la probabilidad de que el primero sea un
6 es igual a:
a) 1/5.
b) 1/6.
c) 1/7.
En total tenemos 6  6  36 casos posibles.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
Hay 6 casos posibles en donde la suma es 7 y 1 caso favorable en donde el primer resultado sea un 6.
,
,
,
La probabilidad es P  A  
,
,
.
1
6
Otra forma de resolverlo:
La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad
de A condicionada por B y se designa por el símbolo P  A B  .
La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos
proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.
P  A B 
P  A  B
P  B
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “el primer resultado es 6”
B = “la suma es 7”
P  B 
6
Casos favorables a que la suma es 7.
36
P  A  B 
P  A B 
1
Solo hay un 1 favorable a que el primer resultado sea 6 y que la suma es 7.
36
P  A  B
P  B

1 36 1

6 36 6
Ejercicio: 5.35
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.35 De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. Si la primera bola ha sido roja, la probabilidad de que la segunda bola sea azul es:
a) 1/2.
b) 1.
c) 4/9.
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, ( A ∩ B ) , es igual a la probabilidad
de que ocurra primero B, por la probabilidad de que ocurra A si ya ha ocurrido B.
P ( A ∩ B) = P ( B) ⋅ P ( A B)
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “la segunda bola es azul”
B = “la primera bola es roja”
En total tenemos 9 ⋅ 8 = 72 casos posibles de extraer dos bolas, sin devolver la primera a la urna.
De estos 5 ⋅ 8 = 40 casos favorables a que la primera bola sea roja y la segunda de cualquier color.
P ( B) =
40
Casos favorables a que la primera bola es roja y la segunda de cualquier color.
72
P ( A ∩ B) =
P ( A B) =
20
Casos favorables a que la primera bola es roja y la segunda bola sea azul.
72
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
20 72 1
=
40 72 2
Otra forma de resolverlo:
Si sabemos que la primera bola ha sido roja nos quedan en la urna 4 bolas azules y 4 rojas en total. Y como
casos favorables tenemos 4 bolas azules:
P ( 2ª sea azul ) =
4 1
=
8 2
Otra forma de resolverlo, aplicando la regla de Laplace:
5.35 De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. Si la primera bola ha sido roja, la probabilidad de que la segunda bola sea azul es:
a) 1/2.
b) 1.
c) 4/9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si la primera bola ha sido roja, tenemos:
5
1
5
2
5
3
5
4
5
6
5
7
5
8
5
9
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
7
6
8
6
9
7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
8
7
9
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
9
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
Que son los casos totales, 40.
Ahora nos queda averiguar los casos favorables.
La probabilidad de que la segunda bola sea azul es:
5
1
5
2
5
3
5
4
6
1
6
2
6
3
6
4
7
1
7
2
7
3
7
4
8
1
8
2
8
3
8
4
9
1
9
2
9
3
9
4
Resultan 20 casos favorables.
P ( 2ª sea azul ) =
20 1
=
40 2
Ejercicio: 5.36
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.36 De una urna que contiene 2 bolas azules, 2 rojas y 2 verdes, extraemos una bola al azar. Sea A el
suceso “no es roja” y B el suceso “no es verde”, la probabilidad P ( A B ) es igual a:
a) 0,25.
b) 0,5.
c) 1/3.
La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad
de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ) .
La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos
proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
P ( B)
Suponemos que A y B son los sucesos:
A = “no es roja”
B = “no es verde”
Tenemos un total de 6 casos, con 4 favorables a B.
P ( B) =
4
Casos favorables a que la primera bola es no sea verde.
6
Tenemos un total de 2 casos favorables a P ( A ∩ B ) .
P ( A ∩ B) =
P ( A B) =
2
Casos favorables a que la bola sea azul.
6
P ( A ∩ B)
P ( B)
=
26 1
= = 0,5
46 2
Otra forma de resolverlo:
Como nos piden P ( A B ) y si sabemos que la bola “no es verde”, tenemos 4 casos posibles ques son 2 bolas
rojas y dos bolas azules.
Para los casos favorables sabemos que no son rojas y no son verdes, por lo tanto nos quedan 2 azules:
P ( NO Sea roja sabiendo que NO es verde ) =
2 1
=
4 2
Ejercicio: 5.37
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.37 De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas, se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. La probabilidad de que la segunda bola sea roja es:
a) 5/8.
b) 5/9.
c) 3/5.
La fórmula de la probabilidad total es:
Si B1 , B2 ,...Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A
se calcula mediante la expresión:
P ( A ) = P ( B1 ) ⋅ P ( A B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P ( A B2 ) + ... + P ( Bn ) ⋅ P ( A Bn )
La primera bola puede ser o bien azul, con probabilidad P ( A1 ) =
O bien roja con probabilidad P ( R1 ) =
4
9
5
9
En el primer caso, en la urna quedan 3 bolas azules y 5 rojas
Así que la probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera fue azul es P ( R2 A1 ) =
En el segundo caso, cuando la primera es roja quedan cuatro de cada color y P ( R2 R1 ) =
5
8
1
2
P ( R2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( R2 A1 ) + P ( R1 ) ⋅ P ( R2 R1 )
4 5 5 1 5
P ( R2 ) = ⋅ + ⋅ =
9 8 9 2 9
Otra forma de razonarlo es:
Tenemos un total de 9 ⋅ 8 = 72 para las dos bolas extraídas.
El número de casos en los que la segunda bola es roja es 8 ⋅ 5 = 40 , ya que la segunda bola debe ser una de
las cinco rojas, y la primera puede ser cualquiera distinta de la primera.
La probabilidad es:
40 5
=
72 9
Ejercicio: 5.38
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.38 De una urna que contiene 4 bolas rojas y 2 azules, extraemos una bola sucesivamente, y sin devolverla
a la urna, extraemos otra bola a continuación. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
a) 4/15.
b) 2/5.
c) 8/15.
La fórmula de la probabilidad total es:
Si B1 , B2 ,...Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A
se calcula mediante la expresión:
P ( A ) = P ( B1 ) ⋅ P ( A B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P ( A B2 ) + ... + P ( Bn ) ⋅ P ( A Bn )
A = “las bolas son de distinto color”
Si la primera bola es roja tiene una probabilidad de P ( R1 ) =
4
6
Entonces la probabilidad de que la segunda sea de distinto color que la primera es P ( A R1 ) =
Si la primera bola es azul tiene una probabilidad de P ( A1 ) =
2
5
2
6
Entonces la probabilidad de que la segunda sea de distinto color que la primera es P ( A A1 ) =
4
5
La probabilidad total es:
P ( A ) = P ( R1 ) ⋅ P ( A R1 ) + P ( A1 ) ⋅ P ( A A2 )
4 2 2 4 8
P ( A) = ⋅ + ⋅ =
6 5 6 5 15
Otra forma de razonarlo es:
Tenemos un total de 6 ⋅ 5 = 30 para las dos bolas extraídas.
Para que sean de distinto color tenemos que la primera sea roja y la segunda azul 4 ⋅ 2 = 8 o que la primera
sea azul y la segunda sea roja 2 ⋅ 4 = 8 casos favorables, en total 16
La probabilidad es:
16 8
=
30 15
Ejercicio: 5.39
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.39 Las monedas M 1 y M 2 son idénticas salvo que M 1 tiene probabilidad 0,2 de salir cara, mientras que
la probabilidad de salir cara al lanzar M 2 es 0,4. Elegimos una de las monedas al azar y la lanzamos, la
probabilidad de que salga cara es:
a) 0,5.
b) 0,4.
c) 0,3.
La fórmula de la probabilidad total es:
Si B1 , B2 ,...Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A
se calcula mediante la expresión:
P ( A) = P ( B1 ) ⋅ P ( A B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P ( A B2 ) + ... + P ( Bn ) ⋅ P ( A Bn )
Tenemos que C = “sale cara”.
Si se lanza la moneda M 1 que tiene una probabilidad de P ( M 1 ) =
1
2
Entonces la probabilidad de obtener cara es P ( C M 1 ) = 0, 2
Si se lanza la moneda M 2 que tiene una probabilidad de P ( M 2 ) =
Entonces la probabilidad de obtener cara es P ( C M 1 ) = 0, 4
La probabilidad total es:
P ( C ) = P ( M1 ) ⋅ P ( C M1 ) + P ( M 2 ) ⋅ P ( C M 2 )
P ( C ) = 0,5 ⋅ 0, 2 + 0,5 ⋅ 0, 4 = 0,3
1
2
Ejercicio: 5.40
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.40 Tenemos tres urnas que contienen 3 bolas azules y 2 rojas la primera, 3 azules y 3 rojas la segunda, y 2
azules y 3 rojas la tercera. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. La probabilidad de obtener dos bolas azules es:
a) 1/5.
b) 2/5.
c) 3/5.
La fórmula de la probabilidad total es:
Si B1 , B2 ,...Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A
se calcula mediante la expresión:
P ( A) = P ( B1 ) ⋅ P ( A B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P ( A B2 ) + ... + P ( Bn ) ⋅ P ( A Bn )
Tenemos que A = “las dos bolas son azules”.
Las bolas se extraen de la primera urna con probabilidad P (U1 ) =
1
3
3 2 3
Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: P ( A U1 ) = ⋅ =
5 4 10
Las bolas se extraen de la segunda urna con probabilidad P (U 2 ) =
1
3
3 2 1
Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: P ( A U 2 ) = ⋅ =
6 5 5
Las bolas se extraen de la tercera urna con probabilidad P (U 3 ) =
1
3
2 1 1
Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: P ( A U 3 ) = ⋅ =
5 4 10
La probabilidad total es:
1 3 1 1 1 1
2
P ( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
3 10 3 5 3 10 10
Ejercicio: 5.41
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.41 Si P ( A ) = 0, 4 , P ( B ) = 0,5 y P ( A B ) = 0, 2 , la probabilidad condicionada P ( B A ) es igual a:
a) 0,5.
b) 0,25.
c) 0,15.
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede
calcular mediante la regla de Bayes.
P ( A B ) = P ( A)
0, 2 = 0, 4 ⋅
P ( B A) =
P ( B A)
P ( B)
P ( B A)
0,5
0,10
= 0, 25
0, 4
Ejercicio: 5.42
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.42 Las monedas M 1 y M 2 son idénticas salvo que M 1 tiene probabilidad 0,2 de salir cara, mientras que
la probabilidad de salir cara al lanzar M 2 es 0,4. Elegimos una de las monedas al azar y la lanzamos, ha
salido cara, la probabilidad de que se trate de la moneda M 2 es:
a) 0,6.
b) 0,5.
c) 2/3.
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede
calcular mediante la regla de Bayes.
P ( A B ) = P ( A)
P ( B A)
P ( B)
Los datos son las probabilidades condicionadas de obtener cara en cada moneda
P ( C M 1 ) = 0, 2
P ( C M 2 ) = 0, 4
Y las probabilidades previas de elegir cada una de las monedas P ( M 1 ) = 0,5 , P ( M 2 ) = 0,5 . La
probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda elegida al azar entre M 1 y M 2 es
P ( C ) = 0,5 ⋅ 0, 2 + 0,5 ⋅ 0, 4 = 0,3
La probabilidad posterior de que se trate de la moneda M 2 es:
P(M2 C) =
P ( M 2 ) ⋅ P (C M 2 )
P (C )
=
0,5 ⋅ 0, 4 2
=
0,3
3
Ejercicio: 5.43
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.43 De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. Si la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera bola haya sido azul es:
a) 1/2.
b) 5/8.
c) 5/9.
La probabilidad de que la primera bola sea azul es P ( A1 ) =
4
.
9
5
La probabilidad de que la segunda bola sea roja es si la primera fue azul es P ( R2 A1 ) = .
8
La probabilidad de que la primera bola sea roja es P ( R1 ) =
5
.
9
La probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera fue roja es P ( R2 R1 ) =
4
.
8
La probabilidad de que la segunda bola sea roja es:
P ( R2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( R2 A1 ) + P ( A1 ) ⋅ P ( R2 A1 ) =
P ( A1 R2 ) = P ( A1 )
P ( R2 A1 )
P ( R2 )
=
5
9
4 9 ⋅5 8 1
=
59
2
Otra forma de resolverlo:
Si sabemos que la segunda bola ha sido roja nos quedan en la urna 4 bolas azules y 4 rojas en total. Y como
casos favorables tenemos 4 bolas azules:
P (1ª sea azul ) =
4 1
=
8 2
Otra forma de resolverlo, aplicando la regla de Laplace:
5.43 De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la
primera a la urna. Si la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera bola haya sido azul es:
a) 1/2.
b) 5/8.
c) 5/9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si la segunda bola ha sido roja, tenemos:
1
5
2
5
3
5
4
5
6
5
7
5
8
5
9
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
7
6
8
6
9
6
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
8
7
9
7
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
9
8
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
Que son los casos totales, 40.
Ahora nos queda averiguar los casos favorables.
La probabilidad de que la primera bola sea azul es:
Resultan 20 casos favorables.
P (1ª sea azul ) =
20 1
=
40 2
1
5
2
5
3
5
4
5
1
6
2
6
3
6
4
6
1
7
2
7
3
7
4
7
1
8
2
8
3
8
4
8
1
9
2
9
3
9
4
9
Ejercicio: 5.44
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.44 Tenemos tres urnas, la primera contiene 2 bolas azules, la segunda 1 bola azul y una roja, la tercera 2
bolas rojas. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola extraída es roja, la probabilidad de
que la tercera urna haya sido elegida es:
a) 1/2.
b) 2/3.
c) 3/4.
Pongamos que Ui = “la urna i es elegida”, para i  1, 2,3 y B = “la bola es roja”. Se trata de calcular
P U 3 B  . Por la fórmula de Bayes, se tiene
P U 3 B  
P U 3   P  B U 3 
P  B
Puesto que las urnas se eligen al azar, se tiene
P U1   P U 2   P U 3  
1
3
Ahora, la urna U1 no contiene bolas rojas, luego P  B U1   0 ; de manera similar, obtenemos P  B U 2  
y P  B U 3   1 . De la fórmula de la probabilidad total resulta:
1
2
P  B   P U1  P  B U1   P U 2  P  B U 2   P U 3  P  B U 3 
Si reemplazamos en la fórmula de Bayes obtenemos:
P U 3 B  
P U 3   P  B U 3 
P  B

13 2

12 3
Este resultado se puede razonar directamente, las bolas de las urnas están numeradas de la siguiente manera:
1
2
3
3
1
2
Si sabemos que la bola elegida es roja, no sabemos exactamente cual es, pero hay 3 casos posibles, que
tienen la misma probabilidad:
1
2
3
De los 3 casos 2 son favorables a que la urna elegida sea la tercera y uno a que sea la segunda, por lo tanto
la probabilidad es:
2
3
Ejercicio: 5.45
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.45 Si P ( A ) = 0, 2 y P ( A B ) = 0, 2 se cumple:
a) Los sucesos A y B son independiente.
b) P ( A B ) = P ( B A ) .
c) No pueden ser iguales esas probabilidades.
En un fenómeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple
P ( B A) = P ( B )
Dos sucesos A y B son independientes si se cumple P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B )
5.46 Si P ( A ) = P ( A B ) = 0, 2 se cumple:
a) P ( B ) = 0, 2 .
b) P ( B ) = P ( B A ) .
c) No pueden ser iguales esas probabilidades.
Como sabemos que B ha ocurrido no altera la probabilidad de que A ocurra, los sucesos A y B son
independientes y por ello tenemos que P ( B ) = P ( B A ) .
Sin embargo, no hay ninguna razón para que P ( B ) = 0, 2
5.47 Si A y B son sucesos independientes, con probabilidades respectivas P ( A) = 0, 2 y P ( B ) = 0,3 la
probabilidad condicionada P ( A ∩ B ) es igual a:
a) 2/3.
b) 0,06.
c) 0,5.
Por definición de la independencia de sucesos, tenemos dos sucesos A y B son independientes si se cumple
P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) .
P ( A ∩ B ) = 0, 2 ⋅ 0,3 = 0, 06
Ejercicio: 5.48
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.48 Si A y B son sucesos independientes, con probabilidades respectivas P ( A ) = 0, 2 y P ( B ) = 0,3 la
(
)
probabilidad condicionada P A B C es igual a:
a) 0,2.
b) 0,06.
c) 0,14.
Por definición de la independencia de sucesos, tenemos dos sucesos A y B son independientes si se cumple
P ( A ∩ BC )
C
P( A B ) =
P ( BC )
( )
Tenemos que P B C = 1 − P ( B ) = 0, 7
(
)
Por otro lado tenemos P A ∩ BC = P ( A) − P ( A ∩ B ) y como los sucesos son independientes se cumple
que
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = 0, 06
P ( A ∩ BC ) = 0, 2 − 0, 06 = 0,14
P ( A BC ) =
0,14
= 0, 2
0, 7
(
)
Hay que tener en cuenta que P A BC = P ( A) que nos indica que A también es independiente de B C .
Ejercicio: 5.49
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.49 Lanzamos dos veces un dado cargado de manera que sus sucesos simples aparecen con las siguientes
probabilidades:
Modelo no uniforme del lanzamiento del dado
Suceso
Probabilidad
0,2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
La probabilidad de obtener dos números pares es:
a) 0,16.
b) 0,25.
c) Es imposible que un dado tenga esas probabilidades.
Cada vez que lanzamos el dado tenemos que,
Ei es el suceso “obtener un número par”
En la tirada i, la probabilidad de Ei es:
( )+P ( )+P ( ) = 0,4
P  Ei   P
Como los resultados de distintas tiradas son independientes, tenemos:
P " obtener dos pares "  P  E1  E2   P  E1   P  E2   0, 42  0,16
Ejercicio: 5.50
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.50 La moneda M 1 está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,4; la moneda M 2
está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,6. Escogemos al azar una de las
monedas y la lanzamos dos veces. La probabilidad de que salgan dos caras es:
a) 0,26.
b) 0,25.
c) 0,36.
Es una aplicación de la probabilidad total y de la independencia de los sucesivos resultados de lanszar la
moneda.
Si la moneda elegida es M 1 , la probabilidad de obtener dos caras es:
P(☺☺|M1) = 0,4⋅0,4 = 0,16
Si la moneda elegida es M 2 , la probabilidad de obtener dos caras es:
P(☺☺|M2) = 0,6⋅0,6 = 0,36
Cada moneda puede ser elegida con igual probabilidad, resumiendo tenemos:
P(☺☺) = P(M1)⋅P(☺☺|M1) + P(M2)⋅P(☺☺|M2) =
1
1
⋅ 0,16 + ⋅ 0,36 = 0, 26
2
2
Ejercicio: 5.51
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.51 Sobre cual de las siguientes características tiene sentido realizar un estudio estadístico:
a) El número de patas de las hormigas.
b) El grupo sanguíneo de los habitantes de Londres.
c) El tamaño de los planetas del sistema solar.
El número de patas de las hormigas es 6 y el tamaño de los planetas es permanente y sabemos cual es.
En cambio, los habitantes de Londres se cuentan por millones y el grupo sanguíneo varía de unos a otros.
5.52 Sobre cual de las siguientes características NO tiene sentido realizar un estudio estadístico:
a) El nivel de renta de los hogares españoles.
b) La fertilidad de los delfines.
c) El número de átomos de las moléculas de agua.
5.53 Si para realizar un estudio estadístico se examinan un cierto número de individuos de una
población, los individuos observados:
a) Constituyen una muestra de la población.
b) Dan lugar a un censo de la población.
c) Han de ser elegidos con cuidadosa precisión.
5.54 En un estudio estadístico, la observación de las características de los individuos de una muestra:
a) Da escasos indicios de las características globales del colectivo.
b) Permite establecer conclusiones sobre las propiedades colectivas de los miembros de la población.
c) Es conveniente, aunque sería preferible realizar un censo.
5.55 En un estudio estadístico, las variables estadísticas son:
a) Los atributos o magnitudes que se observan en cada individuo.
b) Principalmente la media y la varianza.
c) Las frecuencias con las que aparece cada observación.
5.56 Entre las siguientes características de un automóvil, ¿Cuál es la variable cualitativa?:
a) Su matrícula.
b) Su consumo.
c) Su velocidad máxima.
5.57 La edad en años de un automóvil es una variable estadística:
a) Cualitativa.
b) Cuantitava discreta.
c) Cuantitativa continua.
5.58 Entre las siguientes características de un atleta, ¿Cuál es la variable cuantitativa?:
a) Su nacionalidad.
b) La modalidad de atletismo que practica.
c) Su mejor marca personal.
5.59 La fecha de caducidad de un producto farmacéutico es una variable:
a) Nominal.
b) Ordinal.
c) Cuantitativa.
5.60 El año de fabricación de un automóvil es una variable estadística:
a) Que se mide en escala de intervalos.
b) De tipo ordinal.
c) Que se mide en escala de razón.
5.61 La latitud y el huso horario de un lugar son variables:
a) Cuantitativa y cualitativa respectivamente.
b) Cuantitativas, continua y discreta respectivamente
c) Cuantitativa y ordinal respectivamente.
Ejercicio: 5.62
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.62 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, xi,
observándose las frecuencias absolutas Fi que indica la tabla:
xi 1 2 3 4 5
Fi 25 40 20 10 5
Es correcta la afirmación
a) El 40% de los comercios tiene a lo sumo 2 dependientes.
b) El 35% de los comercios tiene más de 2 dependientes.
c) El 40% de los comercios tiene más de 2 dependientes.
Comercios con más de 2 dependientes tenemos 20 + 10 + 5 = 35 de entre los 100 que hay.
5.63 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, xi,
observándose las frecuencias absolutas Fi que indica la tabla:
xi 1 2 3 4
Fi 40 35 20 15
Es correcta la afirmación
a) El 75% de los comercios tiene a lo sumo 2 dependientes.
b) El 65% de los comercios tiene más de 1 dependiente.
c) El 50% de los comercios tiene 2 o 3 dependientes.
El total de comercios son 110.
40 + 35
= 68, 2%
110
35 + 20 + 15
Con más de 1 dependiente, tenemos
= 63, 6%
110
35 + 20
Con 2 o 3 dependientes, tenemos
= 50%
110
Con a lo sumo 2 dependientes, tenemos
5.64 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, xi,
observándose las frecuencias absolutas Fi que indica la tabla:
xi 1 2 3 4
Fi 36 24 12 8
Las frecuencias relativas de comercios con
a) 2 dependientes es 0,30.
b) 1 solo dependiente es 0,36.
c) Más de 2 dependientes es 0,30.
El total de observaciones son 36+24+12+8 = 80
36
= 0, 45
80
24
La frecuencia relativa de 2 es
= 0,3
80
12 + 8
La frecuencia relativa de más de 2 es
= 0, 25
80
La frecuencia relativa de 1 es
5.65 Los 200 comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, xi,
observándose las frecuencias relativas fi que indica la tabla:
xi 1
2
3
4
5
fi 0,38 0,26 0,18 0,14 0,04
Es correcta la afirmación
a) Hay 76 comercios con 2 dependientes.
b) Hay 128 comercios con 1 o 2 dependientes.
c) Hay 76 comercios con más de 2 dependientes.
Tenemos el total que son 200 comercios y con las frecuencias relativas calculamos las absolutas,
0,38 ⋅ 200 = 76 Con 1 dependiente.
0, 26 ⋅ 200 = 52 Con 2 dependientes.
0,18 ⋅ 200 = 36 Con 3 dependientes.
0,14 ⋅ 200 = 28 Con 4 dependientes.
0, 04 ⋅ 200 = 8 Con 5 dependientes.
Con más de dos dependientes tenemos 36+28+8=72.
Ejercicio: 5.66
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.66 Los hogares de una población han sido clasificados según el nivel de renta anual, xi en miles de euros,
hallándose las frecuencias relativas fi que indica la tabla:
xi 0-10 10-20 20-30 30-40 > 40
fi 0,20 0,40 0,20 0,15 0,05
La frecuencia acumulada de rentas inferiores a
a) 20 mil euros es 0,50.
b) 30 mil euros es 0,80.
c) 40 mil euros es 0,85.
La frecuencia relativa acumulada del valor x j es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores
menores o igual que x j , se representa por n j = f1 + f 2 + ... f j .
Las sucesivas frecuencias relativas acumuladas son:
xi 0-10 10-20 20-30 30-40 > 40
1
ni 0,20 0,60 0,80 0,95
El 0,60 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 20 mil euros.
El 0,80 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 30 mil euros.
El 0,95 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 40 mil euros.
Ejercicio: 5.67
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.67 Los hogares de una población han sido clasificados según el nivel de renta anual, xi en miles de euros,
hallándose las frecuencias relativas fi que indica la tabla:
xi 0-10 10-20 20-30 30-40 > 40
fi 0,15 0,35 0,20 0,20 0,10
Es correcta la afirmación
a) El 60% de los hogares tiene una renta inferior a 20 mil euros.
b) El 55% de los hogares tiene una renta superior a 20 mil euros.
c) El 85% de los hogares tiene una renta superior a 10 mil euros.
Inferior a 20 mil euros hay una proporción 0,50 = 50% de los hogares.
Superior a 20 mil euros hay una proporción 0,50 = 50% de los hogares.
Superior a 10 mil euros hay una proporción 0,85 = 85% de los hogares.
Ejercicio: 5.68
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.68 En una tabla de frecuencias, el cálculo de las frecuencias acumuladas tiene sentido
a) En cualquier caso.
b) Si la variable es por lo menos ordinal.
c) Solo si la variable es cuantitativa.
5.69 En una tabla de frecuencia en la que aparecen las frecuencias acumuladas
a) La suma de dicha frecuencias es 1.
b) La suma de dicha frecuencias es el número total de observaciones.
c) La última de dicha frecuencias es 1.
5.70 En un diagrama de sectores, que representa las frecuencias de distintas modalidades de una
variable estadística, son proporcionales a cada frecuencia
a) Los radios y los ángulos de los sectores.
b) Los ángulos y las áreas de los sectores.
c) Los radios y las áreas de los sectores.
5.71 Para representar la distribución de una variable estadística, en un histograma se representan
a) Sólo las frecuencias de la variable.
b) Sólo los valores de la variable.
c) Los valores de la variable y sus frecuencias.
5.72 Para una variable estadística cuantitativa continua, la representación gráfica más adecuada de
su distribución de frecuencias es
a) Un diagrama de sectores.
b) Un histograma con valores agrupados en intervalos.
c) Un histograma sin necesidad de agrupar los valores en intervalos..
Ejercicio: 5.73
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.73 Las calificaciones obtenidas por siete opositores aparecen en la tabla siguiente:
A B C D E F G
6 8 5 6 4 4 6
La puntuación media es:
a) 5,25.
b) 5,57.
c) 5,75.
La media aritmética es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
x=
x + x + ... + xn
1 n
xi = 1 2
∑
n i =1
n
x=
1 n
6+8+5+6+ 4+ 4+6
= 5,57
xi =
∑
7
n i =1
Ejercicio: 5.74
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.74 Las calificaciones xi obtenidas en un ejercicio de una oposición se han distribuido con las frecuencias
Fi indicadas en la tabla:
xi 3 4 5 6 7 8 9
Fi 12 18 30 26 10 4 2
La puntuación media del ejercicio ha sido:
a) 5,24.
b) 5,70.
c) 6,12.
La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas.
n
x F  x F  ...  xn Fn

x 1 1 2 2
F1  F2  ...  Fn
xF
i 1
i
i
N
n
 F  12  18  30  26  10  4  2  102
i 1
i
n
 x F  36  72  150  156  70  32  18  534
i 1
i
i
n
x F  x F  ...  xn Fn

x 1 1 2 2
F1  F2  ...  Fn
x F
i 1
i
N
i

534
 5, 24
102
Ejercicio: 5.75
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.75 Las calificaciones en las pruebas de selectividad se han distribuido con los porcentajes que indica la
tabla:
2,5 - 3,5 3,5 - 4,5 4,5 - 5,5 5,5 - 6,5 6,5 - 7,5 7,5 - 8,5 8,5 - 9,5
4%
7%
14%
26%
32%
11%
6%
La puntuación media ha sido:
a) 5,64.
b) 6,32.
c) 6,49.
Las calificaciones aparecen agrupadas en intervalos con marcas de clase respectivas, los productos de las
marcas de clase por su correspondiente frecuencia dan
3  4  4  7  5 14  6  26  7  32  8 11  9  6
 6,32
100
Ejercicio: 5.76
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.76 En cierta población, en el último año ha habido 125 sanciones de tráfico de 300 euros, 42 de 600 euros
y 4 de 1500 euros. La sanción media impuesta a los infractores ha sido de
a) 367,85.
b) 388,16.
c) 401,75.
En total tenemos 171 sanciones.
El importe total es: 125 ⋅ 300 + 42 ⋅ 600 + 4 ⋅1500 = 68700 euros.
La sanción media es
68700
= 401, 75 .
171
Ejercicio: 5.77
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.77 Los 825 conductores de una población han recibido en el último año, 125 sanciones de 300 euros, 42
de 600 euros y 4 de 1500 euros. La sanción media de cada conductor ha sido de
a) 60,45.
b) 83,27.
c) 94,52.
La suma de todas las sanciones impuestas es de 68700 euros.
Corresponden a
68700
= 83, 27 euros por conductor.
825
Hay 825′171 = 654 conductores sin sanción, que disminuye la media por debajo del importe medio de las
sanciones.
Ejercicio: 5.78
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.78 Un banco invierte el 25% de sus depósitos en bonos del tesoro, con una rentabilidad del 6% anual, el
40% en bolsa, con una rentabilidad del 9% anual, y el resto en el mercado inmobiliario que tiene una
rentabilidad del 11% anual. El interés medio que obtiene anualmente es
a) 8,35%.
b) 8,55%.
c) 8,95%.
Los tres tipos de inversiones se realizan con frecuencias relativas: 0.25, 0.40 y 0.35 respectivamente. La
suma de los rendimientos ponderados por sus correspondientes frecuencias, da:
6% ⋅ 0, 25 + 9% ⋅ 0, 40 + 11% ⋅ 0,35 = 8,95%
Ejercicio: 5.79
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.79 Un comercio vende tres tipos de televisores; uno de 899 euros, otro de 1299 euros y un tercero de 1499
euros. ¿Cuál es el ingreso medio por la vente de un televisor?
a) 1299 euros.
b) 1232,3 euros.
c) No puede saberse.
Se ignoran las frecuencias con las que se produce cada tipo de venta y, por consiguiente, no se dispone de
datos suficientes para calcular el ingreso medio que produce la vrnta de un televisor.
El cociente:
899 + 1299 + 1499
= 1232,3 .
3
Sólo proporciona el ingreso medio en el caso en que se vendiesen por igual los tres tipos de televisores.
Ejercicio: 5.80
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.80 Un comercio vende tres tipos de televisores; uno de 899 euros, otro de 1299 euros y un tercero de 1499
euros. Observa que, por cada venta del más caro, vende dos del más económico y tres del de precio
intermedio. ¿Cuál es el ingreso medio por la vente de un televisor?
a) 1047,3 euros.
b) 1199 euros.
c) 1299 euros.
De cada seis televisores vendidos, 2 son económicos, 3 de precio intermedio y 1 de los más caros:
2
3
1
899 ⋅ + 1299 ⋅ + 1499 ⋅ = 1199 euros.
6
6
6
Ejercicio: 5.81
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.81 En un avión 75 plazas se han vendido a 350 euros, 25 plazas a 450 euros y 10 plazas a 850 euros. El
precio medio obtenido por cada plaza es
a) 390,9 euros.
b) 405,33 euros.
c) 418,18 euros.
De cada seis televisores vendidos, 2 son económicos, 3 de precio intermedio y 1 de los más caros:
( 75 ⋅ 350 ) + ( 25 ⋅ 450 ) + (10 ⋅ 850 ) = 418,18 euros.
110
Ejercicio: 5.82
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.82 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 10 y tienen una ponderación en la nota
global de 30%, 20% y 50% respectivamente. Si una persona obtiene 6 en el primer examen, 3,5 en el
segundo y 6,5 en el tercero, su nota global será
a) 5,75.
b) 5,25.
c) 4,8.
Con los coeficientes de ponderación indicados, la nota promedio es
0,3 ⋅ 6 + 0, 2 ⋅ 3,5 + 0,5 ⋅ 6,5 = 5, 75
Ejercicio: 5.83
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.83 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 10 y tienen una ponderación en la nota
global de 30%, 20% y 50% respectivamente. Si una persona obtiene 6 en el primer examen, 3,5 en el
segundo, para alcanzar una puntuación global superior a 7, la nota del tercer examen debe superar
a) 8.
b) 8,5.
c) 9.
Si x es la puntuación en el tercer examen, la calificación global será
0,3 ⋅ 6 + 0, 2 ⋅ 3,5 + 0,5 ⋅ x = 2,5 + 0,5 x
Alcanzará la puntuación de 7 si es x =
( 7 − 2,5) = 9
0,5
Ejercicio: 5.84
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.84 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 10. En la puntuación final, la calificación
del segundo cuenta como 2/3 del primero y la del tercero como el doble del primero. Si una persona obtiene
6 en el primer examen, 3,5 en el segundo y 6,5 en el tercero, su nota global será
a) 5,64.
b) 5,82.
c) 6,18.
Si x es la ponderación del primer examen en la nota global,
La de segundo es:
2
x.
3
La del tercero es: 2x
La suma de las tres ponderaciones es:
11
x
3
La suma de las tres ponderaciones debe de ser 1, por lo tanto,
11
3
x =1→ x =
3
11
Y la calificación obtenida es:
3
2
6
⋅ 6 + ⋅ 3,5 + 6,5 = 5,82 .
11
11
11
Ejercicio: 5.85
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.85 El combustible sube un 12% anual, la luz un 7% y el gas un 3%. El consumo energético de una familia
es de un 35% de combustible, un 45% de energía eléctrica y un 20% de gas. El incremento medio de gasto
anual en energía de la familia es de
a) 6,35%.
b) 7,95%.
c) 9,15%.
Las subidas de cada producto repercuten en el consumo familiar en las proporciones 0.35, 0.45 y 0.2,
respectivamente. De modo que la subida media es
0,35 ⋅12% + 0, 45 ⋅ 7% + 0, 2 ⋅ 3% = 7,95%
Ejercicio: 5.86
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.86 Un ciclista va de compras a una ciudad que dista 30 Km de su casa y después regresa cargado. Tarda
una hora a la ida y hora y media a la vuelta. La velocidad media en todo el trayecto ha sido
a) 24 km/h.
b) 25 km/h.
c) 27 km/h.
Distancia 60 Km.
v=
e 60
=
= 24km / h.
t 2,5
Ejercicio: 5.87
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.87 Un ciclista va de compras a una ciudad próxima a su casa y después regresa cargado. A la ida fue a una
velocidad media de 27 Km/h y a la vuelta a una velocidad media de 20 Km/h. La velocidad media en todo el
trayecto ha sido
a) 25 km/h.
b) 22,98 km/h.
c) Depende de la distancia a la ciudad.
Distancia x Km.
x
Horas a la ida.
27
x
Horas a la vuelta.
20
La distancia que recorre es 2x en un tiempo
v=
v=
e
t
2x
2 x ⋅ 540 1080
=
=
= 22,98 Km / h.
47 x
47 x ⋅1
47
540
x
x 20 x + 27 x 47 x
+
=
=
27 20
540
540
Ejercicio: 5.88
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.88 Un ciclista circula a una velocidad media de 32 Km/h durante la primera hora. Durante las dos horas
siguientes su velocidad media baja a 25 Km/h y todavía disminuye a 20 Km/h durante la hora siguiente. La
velocidad media en las cuatro horas ha sido
a) 24 km/h.
b) 25 km/h.
c) 25,5 km/h.
1
1
1
⋅ 32 + ⋅ 25 + ⋅ 20 = 25,5km / h
4
2
4
Ejercicio: 5.89
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.89 Un ciclista recorre los primeros 100 km a una velocidad de 32 km/h, en los siguientes 100 km mantiene
una velocidad de 25 km/h y por fin los últimos 100 km circula a 20 km/h. la velocidad media en el trayecto
ha sido
a) 24,74.
b) 25,5.
c) 27,44.
En promedio el tiempo invertido por kilómetro es:
1 1 1 1 1 1
97
⋅ + ⋅ + ⋅
=
3 32 3 25 3 20 2400
La velocidad media resulta
2400
= 24, 74km / h
97
Ejercicio: 5.90
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.90 En 30 días el número total de vehículos que repostó en una estación de servicio ha sido 5565. Y la
suma de los cuadros del número de vehículos diarios dio un total de 1060320. La desviación típica del
número diario de vehículo los vale
a) 56,24.
b) 48,32.
c) 30,56.
El número medio de vehículos diarios ha sido:
5565
= 185,5
30
Conocida la suma de los cuadrados, la varianza es:
s2 =
1060320
2
− (185,5 ) = 933, 75
30
Y la desviación típica es:
s = 933, 75 = 30,56
Ejercicio: 5.91
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.91 Las horas que una persona invirtió en transporte durante los seis días laborables de una semana fueron
2,1
1,8
1,6
1,8
Entonces, la media es igual a 2 horas y la varianza vale
a) 0,36 h2.
b) 0,083 h2.
c) 0,036 h2.
Los seis valores suman 12, su media es 2.
La suma de los cuadrados de las diferencias a la media es.
0,12 + ( −0, 2 ) + ( −0, 4 ) + ( −0, 2 ) + 0,32 + 0, 42 = 0,5 .
2
2
La varianza resulta s 2 =
2
0,5
= 0, 083h 2 .
6
2,3
2,4
Ejercicio: 5.92
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.92 Las horas que una persona invirtió en transporte durante los 22 días laborables de un mes, aparecen
agrupadas en la siguiente tabla, junto con sus frecuencias absolutas:
1,5-1,7
3
1,7-1,9
5
1,9-2,1
4
2,1-2,3
9
2,3-2,5
1
Entonces, el tiempo medio invertido fue de 2 horas y la desviación típica vale:
a) 0,342 h.
b) 0,296 h.
c) 0,234 h.
Las observaciones aparecen clasificadas en 5 intervalos con marcas de clase: 1.6, 1.8, 2, 2.2, y 2.4. la media
es:
1, 6 ⋅ 3 + 1,8 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 + 2, 2 ⋅ 9 + 2, 4 ⋅1 44
=
=2
22
22
Los cuadrados de las desviaciones a la media, ponderados por sus respectivas frecuencias, dan como
varianza
Varianza de una distribución de frecuencias absolutas:
s
s
2
2
(x − x)
= 1
( −0, 4 )
=
2
2
F1 + ( x2 − x ) F2 + ... + ( xn − x ) Fn 1
=
F1 + F2 + ... + Fn
N
2
2
n
∑(x − x ) F
2
i =1
i
i
⋅ 3 + ( −0, 2 ) ⋅ 5 + ( 0 ) ⋅ 4 + ( 0, 2 ) ⋅ 9 + ( 0, 4 ) ⋅1
= 0, 055
22
2
2
2
Y la desviación típica resulta s = 0, 055 = 0, 234h.
2
Ejercicio: 5.93
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.93 En las 140 páginas de un libro, las erratas por página han sido
erratas
páginas
0
108
1
22
2
8
El coeficiente de variación del número de erratas por página es:
a) 205%.
b) 166 %.
c) 68%.
La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas.
n
x F + x F + ... + xn Fn
=
x= 1 1 2 2
F1 + F2 + ... + Fn
∑xF
i =1
i
i
N
El número medio de erratas por página es x =
La varianza vale: s 2 =
1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 2
= 0,314
140
12 ⋅ 22 + 22 ⋅ 8 + 32 ⋅ 2
− 0,3142 = 0, 416
140
La desviación típica es s = 0, 645
El coeficiente de variación CV =
σ
x
= 2, 05 o bien 205%
3
2
Ejercicio: 5.94
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.94 El precio en euros de un café en 16 establecimientos dio los resultados indicados en la tabla siguiente,
junto con sus frecuencias:
1,2
2
1,4
3
1,5
4
1,6
2
1,8
4
2,2
1
El coeficiente de variación del precio es:
a) 21,5%.
b) 15,8 %.
c) 12,8%.
La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas.
n
xi Fi
x1 F1 + x2 F2 + ... + xn Fn ∑
i =1
=
x=
F1 + F2 + ... + Fn
N
El precio medio vale: x =
1, 2 ⋅ 2 + 1, 4 ⋅ 3 + 1,5 ⋅ 4 + 1, 6 ⋅ 2 + 1,8 ⋅ 4 + 2, 2 ⋅1 25, 2
=
= 1,575
16
16
La suma ponderada de los precios al cuadrado es:
1, 22 ⋅ 2 + 1, 42 ⋅ 3 + 1,52 ⋅ 4 + 1, 62 ⋅ 2 + 1,82 ⋅ 4 + 2, 22 ⋅1 40, 68
=
= 2,5425
16
16
La varianza vale: s 2 = 2,5425 − 1,5752 = 0, 061875
La desviación típica es s = 0, 249 euros.
El coeficiente de variación CV =
σ
x
= 0,158 o bien 15,8%
Ejercicio: 5.95
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.95 El número de teléfonos móviles por hogar aparece en la tabla siguiente con sus correspondientes
frecuencias relativas:
0
20%
1
23%
2
34%
3
14%
4
6%
5
2%
6
1%
El coeficiente de variación del precio es:
a) 16,66%.
b) 1,73.
c) No se pueden calcular.
No se trata de hallar el número medio de móviles por hogar que es 1,73. Se pide la frecuencia media de las 7
categorías que es:
20 + 23 + 34 + 14 + 6 + 2 + 1
= 14, 29
7
En principio no tiene mucho interés el cálculo de la frecuencia media, pues lo importante de una
distribución de frecuencias es su variación entre las diversas categorías. No obstante, para juzgar si la
distribución es poco o bastante homogénea puede calcularse la desviación típica de las frecuencias y ello
obliga a calcular la frecuencia media.
Ejercicio: 5.96
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.96 El número de teléfonos móviles por hogar aparece en la tabla siguiente con sus correspondientes
frecuencias relativas:
0
20%
1
23%
2
34%
3
14%
4
6%
5
2%
La desviación típica de las frecuencias es:
a) 1,68%.
b) 11,3%.
c) No se pueden calcular.
La frecuencia media de las 7 categorías es:
20 + 23 + 34 + 14 + 6 + 2 + 1
= 14, 29%
7
y la varianza
202 + 232 + 342 + 142 + 62 + 22 + 12
− 14, 292 = 127, 63
7
La desviación típica es s = 127, 63 = 11, 63% .
No confundir con la desviación típica del número de móviles entre hogares:
02 ⋅ 20 + 12 ⋅ 23 + 22 ⋅ 34 + 32 ⋅14 + 42 ⋅ 6 + 52 ⋅ 2 + 62 ⋅1
− 1, 732 = 1, 68
100
6
1%
Ejercicio: 5.97
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.97 El salario mensual de los 200 trabajadores de una empresa suma 282500 euros y los cuadrados de los
salarios suman 412750000. La desviación típica de los salarios:
a) Es 261,9 euros.
b) Es 332,4 euros.
c) No puede calcularse sin más datos.
El salario medio es x =
282500
= 1412,5 euros.
200
La varianza en los salarios es entonces
s2 =
412750000
2
− (1412,5 ) = 68593, 75
200
Y la desviación típica s = 261,9 euros.
Ejercicio: 5.98
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.98 El salario mensual de los 200 trabajadores de una empresa suma 300000 euros y los cuadrados de los
salarios suman 412750000. La desviación típica de los salarios:
a) Es 312,8 euros.
b) Es 174,5 euros.
c) Indica que hay algún error en los datos.
El salario medio es x =
300000
= 1500 euros.
200
La varianza en los salarios es entonces
s2 =
412750000
2
− (1500 ) = −186250
200
y el resultado negativo indica que hay algún error en los datos.
Ejercicio: 5.99
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.99 Examinada durante 10 días la hora de cierre de un comercio, los resultados han sido
8 h 12 min
8 h 14 min
8 h 20 min
8 h 25 min
8 h 16 min
8 h 18 min
8 h 10 min
8 h 16 min
8 h 9 min
8 h 10 min
a) 8,15 h.
b) 8,25 h.
c) 8 h 16 min.
El exceso en minutos desde la 8 h tiene media
12 + 20 + 16 + 10 + 9 + 14 + 25 + 18 + 16 + 10 150
=
= 15 minutos.
10
10
Luego la hora media de cierre son las 8 h y 15 minutos, o bien las 8,25 horas. Si se expresan en horas, los 10
resultados son:
8,2 h
8,233 h
8,333 h
8,417 h
8,267 h
8,3 h
8,167 h
8,267 h
8,15 h
8,167 h
Y su media resulta:
8, 2 + 8,333 + 8, 267 + 8,167 + 8,15 + 8, 233 + 8, 417 + 8,3 + 8, 267 + 8,167
= 8, 25 h.
10
Con un error de 0,0001 debido al redondeo.
Ejercicio: 5.100
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.100 Todos los días un comercio abre a la 10 de la mañana y cierra cuando se marcha el último cliente que
llega antes de las 8 de la tarde. Examinada la hora de cierre durante 20 días ha resultado que la hora media
de cierre del comercio son las 8,25 de la tarde. El tiempo medio diario de apertura del comercio son
a) 10 h y 15 minutos.
b) 10 h y 25 minutos.
c) 8 h y 25 minutos.
La hora media de cierre son las 20:25 h. desde las 10 de la mañana transcurren 10,25 horas, que son 10
horas y 15 minutos.
No se sabe el tiempo xi que ha permanecido abierto el comercio cada uno de los 20 días, pero se puede
asegurar que la media de dichos valores es 10,25 h.
Ejercicio: 5.101
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.101 Examinado el número de caries en una muestra de 100 niños, se obtuvieron las siguientes frecuencias
0
56
1
22
2
15
3
5
4
2
Entonces
a) El número medio de caries de cada niño es 0,75.
b) La desviación típica del número de caries es 0,75.
c) El coeficiente de variación del número de caries es 0,75.
Sumados los productos del valor de la variable por su frecuencia se obtiene
∑ x ⋅ F =0 ⋅ 56 + 1⋅ 22 + 2 ⋅15 + 3 ⋅ 5 + 4⋅ = 75
i
i
De modo que la media es:
x=
75
= 0, 75
100
La desviación típica es s = 1, 01
Y el coeficiente de variación es 1,35
Ejercicio: 5.102
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.102 Examinado el número de caries en una muestra de 56 niños, se obtuvieron las siguientes frecuencias
0
36
1
12
2
7
3
1
Entonces
a) El número medio de caries de cada niño es 0,78.
b) La desviación típica del número de caries es 0,78.
c) El coeficiente de variación del número de caries es 0,78.
La media es:
x=
0 ⋅ 36 + 1 ⋅12 + 2 ⋅ 7 + 3 ⋅1
= 0,518
56
02 ⋅ 36 + 12 ⋅12 + 22 ⋅ 7 + 32 ⋅1
La varianza vale s =
− 0,5182 = 0, 607
56
2
La desviación típica es s = 0, 78 .
El coeficiente de variación 0,15.
Ejercicio: 5.103
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.103 Examinado el número de caries en una muestra de 56 niños, se obtuvieron las siguientes frecuencias
0
36
1
12
2
7
3
1
Entonces
a) El número medio de caries de cada niño es 1,46.
b) La desviación típica del número de caries es 1,46.
c) El coeficiente de variación del número de caries es 1,46.
La media es:
x=
0 ⋅ 44 + 1 ⋅16 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅1
= 0, 644
73
02 ⋅ 44 + 12 ⋅16 + 22 ⋅ 9 + 32 ⋅ 3 + 42 ⋅1
La varianza vale s =
− 0, 6442 = 0,887
73
2
La desviación típica es s = 0,942 .
El coeficiente de variación CV =
σ
x
=
0,942
= 1, 46 .
0, 644
Ejercicio: 5.104
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.104 Los salarios en euros de los 6 trabajadores de un taller son
1850 1650 1980 1590 2090 1780
Como 6 euros son 1000 de las antiguas pesetas, el salario medio de los trabajadores de la empresa es
a) 290500 pesetas.
b) 295000 pesetas.
c) 305000 pesetas.
Al cambiar la unidad de medida cambia proporcionalmente. En euros, el salario medio es
La media es:
1850 + 1690 + 1980 + 1590 + 2090 + 1780 10980
=
= 1830 euros
6
6
Que son 1830 ⋅ (1000 6 ) = 305000 pesetas. Los salarios en pesetas son
308333 281666 330000 265000 348333 296666
Cuya media resulta
308333 + 281666 + 330000 + 265000 + 348333 + 296666
= 304999, 66 Pesetas.
6
Con un pequeño error debido al redondeo.
Ejercicio: 5.105
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.105 La varianza de los salarios, en euros, de los 6 trabajadores de un taller es s 2 = 28366, 7 euros2. Como 6
euros son 1000 de las antiguas pesetas, la varianza de los salarios en pesetas es
a) 7787963888,8.
b) 4727783,3.
c) 396345836.
La varianza cambia proporcionalmente al cuadrado de la escala. De modo que la varianza equivale a:
2
⎛ 1000 ⎞
2
28366, 7 ⋅ ⎜
⎟ = 787963888,8 pesetas .
6
⎝
⎠
Los 6 salarios en euros de la cuestión anterior dan como valor de la varianza s 2 = 28366, 7 euros2. Los seis
salarios, en pesetas, proporcionan una varianza de 787761481 pesetas2 al calcular
3083332 + 2816662 + 3300002 + 2650002 + 3483332 + 2966662
− 3050002
6
Ejercicio: 5.106
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.106 La desviación típica de los salarios, en euros, de los 6 trabajadores de un taller es s = 168, 42 euros.
Como 6 euros son 1000 de las antiguas pesetas, la desviación típica de los salarios en pesetas es
a) 32600.
b) 28070.
c) 24480.
La desviación típica cambia proporcionalmente al factor escala. Luego la desviación típica en pesetas es
2
⎛ 1000 ⎞
168, 42 ⋅ ⎜
⎟ = 28070 Pesetas.
⎝ 6 ⎠
La raíz cuadrada de la varianza de los salarios en pesetas, calculada en la cuestión anterior, da 28067
pesetas.
Ejercicio: 5.107
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.107 La desviación típica de los salarios, en euros, de los 6 trabajadores de un taller es s = 168, 42 euros.
Como 6 euros son 1000 de las antiguas pesetas, la desviación típica de los salarios en pesetas es
a) 15,33.
b) 0,092.
c) 1,533.
La media y la desviación típica cambian proporcionalmente a la escala. Por consiguiente su consiguiente
s x es invariable por cambios de escala.
Ejercicio: 5.108
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.108 La media aritmética y la varianza de una serie de longitudes de tornillos, medidas en milímetros, son
x = 17 y s 2 = 3, 2 . Si se miden en centímetros, la media y la varianza serán
a) x = 1, 7 y s 2 = 0, 032 .
b) x = 1, 7 y s 2 = 0,32 .
c) x = 170 y s 2 = 32 .
Un centímetro son 10 milímetros, de modo que la escala se divide por 10. Ello supone dividir la media por
10 y la varianza por 100.
Ejercicio: 5.109
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.109 En una población, la temperatura máxima diaria, medida en grados centígrados, durante los últimos
36 días ha tenido un coeficiente de variación de 7,5%. Si la temperatura se hubiese medido en grados
Farenheit, relacionados con los grados centígrados por F = 9 5 C + 32 , el coeficiente de variación de los 36
datos sería
a) 7,5%.
b) 13,5%.
c) No hay datos suficientes para saberlo.
La relación entre las desviaciones típicas, en grados Farenheit y en grados centígrados es sF = 9 5 sC . Por
otro lado la media en grados Farenheit se obtiene mediante la expresión:
xF = 9 5 xC + 32
A partir de la media xC en grados centígrados.
El coeficiente de variación en grados Farenheit:
9 5 sC
sF
=
xF 9 5 xC + 32
No queda determinado por el coeficiente de variación en grados centígrados: sC xC .
Ejercicio: 5.110
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
5.110 En una población, la temperatura máxima diaria, medida en grados centígrados, durante los últimos
36 días ha tenido una media de 27,6º y un coeficiente de variación de 7,5%. Si la temperatura se hubiese
medido en grados Farenheit, relacionados con los grados centígrados por F = 9 5 C + 32 , el coeficiente de
variación de los 36 datos sería
a) 4,56%.
b) 13,5%.
c) No se puede saber.
En grados centígrados, la desviación típica de las 36 medidas es sC = 0, 075 xC = 2, 07º .
La media de los 36 datos, expresados en grados Farenheit, es xF = 9 5 xC + 32 = 81, 68 .
Su desviación típica sF = 9 5 sC = 3, 726
Por lo tanto en grados Farenheit, el coeficiente de variación es:
sF 3, 726
=
= 0, 0456
xF 81, 68