Polígonos. Ilustración 14: En un paralelogramo ABCD, las

Polígonos.
Ilustración 14:
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En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de A y C cortan las prolongaciones de BC
y DA en E y F respectivamente.
a.) Demostrar que AFCE es un paralelogramo.
b.) Demostrar que DEBF es un paralelogramo.
c.) Si AE Y CF cortan a DB en K y M respectivamente, probar que KE=MF
H: Paralelogramo ABCD. B-C-E; D-A-E; D-K-M-B. AE bisectriz de D Â B. CF
bisectriz de D Ĉ B.
T: AECF es paralelogramo, DEBF es paralelogramo, KE=MF.
E
D
C
6°
A
2
1
3
K
4
5
M
7°
B
F
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1. AD // BC ; DC // AB
1. ABCD es un paralelogramo
2. AF // CE
2. De 1y B-C-E; D-A-F
3. D Â B ≅ D Ĉ B
3. Ángulos opuestos de ABCD.
4. 1ˆ ≅ 2̂ ≅ 3ˆ ≅ 4̂
4. AE y CF son bisectrices de
D Â B ≅ D Ĉ B.
5. 3ˆ ≅ 5̂
5. De 1:
s
alternos internos entre
paralelas
6. 1ˆ ≅ 5̂
6. Transitividad 4 y 5.
7. CF // AE
7. De 6:
s
correspondiente
congruentes implican rectas
Paralelas.
8. AECF es paralelogramo
8. De 2 y 7 lados opuestos paralelos
9. BE // DF
9. De 1,2 y B-C-E, D-A-F.
10. DA = BC, AF = CE.
10. AECF y ABCD son
paralelogramos
11. DF = BE.
11. De 10, D-A-F; B-C-E adición de
Segmentos.
12. DEBF es un paralelogramo.
12. De 9 y 11 tiene un par de lados
paralelos y congruentes.
13. 6ˆ ≅ 7̂
13. De 1: son ángulos alternos
Internos entre paralelas.
14. ∆ ADK ≅ ∆ CBM.
14. A ⊥ A DE 4, 10, 13
15. AK = CM
15. De 14 Por que?
16. AE = CF.
16. De 8 Por que?
17.KE = MF
17. De 15 y 16 Por que?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ABCD es un paralelogramo y sobre los lados se tienen los puntos M, N, P, Q tales
que AM = CN con A - M - B, B - N - C, C -P -D, D - Q - A. Demostrar que MNPQ
es un paralelogramo.
2. En un paralelogramo ABCD, M y N son puntos sobre la diagonal AC con A -M -N
-C. Demostrar que DMBN es un paralelogramo si:
a.) DM y BN son bisectrices de Dˆ y B̂ .
b.) DM y BN son perpendiculares a AC .
c.) AM ≅ NC .
3. ABCD es un paralelogramo, las bisectrices de los ángulos interiores al cortarse
forman el cuadrilátero MNPQ. Demostrar que MNPQ es un rectángulo.
b.) ¿Cuál es la naturaleza del cuadrilátero MNPQ si ABCD es un rectángulo?
4. Demostrar que toda recta trazada en un paralelogramo por el punto de intersección de
las diagonales es bisecada por este punto.
5. Demostrar que una diagonal de un paralelogramo queda dividido en tres partes
iguales cuando.
a.) Se unen dos vértices opuestos con los puntos medio de los dos lados opuestos.
b.) Se unen un vértice con los puntos medios de los lados opuestos.
6. En un cuadrilátero ABCD, AB = AD, BD = CD; se prolongan los lados opuestos
hasta su encuentro en M y N.
Demostrar que MN es paralelo a BD
7. Demostrar que en todo trapecio isósceles:
a.) Los ángulos asociados a cada base son congruentes.
b.) Las diagonales son congruentes.
c.) Los diagonales se cortan en segmentos congruentes dos a dos.
d.) Los puntos medios de los lados son los vértices de los rombos.
e.) Los puntos medios de la base, el punto de corte de las diagonales y el punto de las
diagonales y el punto de intersección de las prolongaciones de los lados
no
paralelos, son cuatro puntos colineales.
8. se da un trapecio isósceles ABCD con AD = BC. Se trazan las diagonales AC , BD
y las bisectrices de los ángulos DAB y DBA que se cortan en F, las de los ángulos CBA
y C Â B en M. Demostrar que MF es paralelo a AB .
9. Sobre los lados de un cuadrado y al exterior se construyen cuatro triángulos
equiláteros AEB, BFC, CED, DHA; luego se une los puntos E, F, G, H. Demostrar que
EFGH es un cuadrado.
10. Sobre los lados AB, BC, CD, DA de un cuadrado ABCD, se toman los puntos
A', B’, C’, D’ tales que AA', BB', CC', DD' sean la cuarta parte del lado del cuadrado.
Demostrar que el cuadrilátero A'B'C'D' es un cuadrado.
10.2.12 Paralela y Base Media
Ilustración 15:
En un triángulo ABC, O es el baricentro, M es el punto medio de AO y N es el punto
medio de BO , si P y Q son los puntos medios de CA y CB respectivamente,
demostrar que MNQP es un paralelogramo.
C
Q
P
O
M
A
N
Hipótesis: triángulo cualquiera ABC.
O: Baricentro.
M: Punto medio de AO
N: Punto medio de BO
Q: Punto medio de CB
P: Punto medio de CA
Tesis: MNQP es un paralelogramo
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1. M, N, Q, P son puntos medios.
1. Hipótesis.
2. MN , NQ, QP, MP Son paralelas.
2. De 1. Definición.
medias.
3. MN // AB ; MN = AB
2
3. MN es paralela media en el
triángulo AOB (De 2).
4. PQ // AB ; PQ = AB
2
4. PQ es paralela media en el
∆AOB (De 2).
5. MN // PQ ; MN = PQ
5. De 3 y 4.Transitividad.
B
6. MNQP es un paralelogramo.
6. De 5. Teorema.
Ilustración 16
A
Hipótesis: En la figura adjunta
I
H
F
J
BC
L
AI = IJ = JK = KL = LB
IH // JF // KE // LD //
E
K
D
B7
JF = X; LD = Y; BC = 3Y C
Tesis: Hallar X, Y
AFIRMACIÓN
RAZÓN
1. AH = HF = FE = ED = DC
1. De la hipótesis: Teorema
fundamental.
2. IH , JF son paralelas medias
2. De hipótesis y de afirmación 1.
en ∆ AJF y ∆ ALD.
3. Y = LD = 2JF = 2X
3.De 2. JF es paralela media en
∆ ALD.
4. LD es base media del trapecio
4. LD = BC + KE
2
KECB.
5. Y = 2X = 3Y - 7 + KE
5. De 4. y de la hipótesis.
2
6. KE = JF + LD = X + Y
2
6. KE es la base media en JFDL.
2
7. 2X = 3Y - 7 + (X+ Y)/2
7. Sustitución de 6 en 5.
2
8. 8X = 12X - 14 + 3X
8. Sustitución de 3 en 4.
9. X = 2; Y = 4
9. Propiedad de los Reales
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Demostrar que el vértice de un triángulo isósceles y los puntos medios de sus lados,
son los vértices de un rombo.
2. M, N, P son los puntos medios de los lados AB, AC, BC respectivamente del
triángulo ABC; CH es la altura de ABC. Demostrar que MHNP es un trapecio
isósceles. (A - H - M - D).
3. En el trapecio isósceles ABCD con AD = BC, O es el punto de intersección de las
diagonales, M y N sean los puntos medios de AC y BD respectivamente. CH es
perpendicular a AB . Demostrar que MNBH es un paralelogramo.
4. AM es mediana del triángulo ABC y P es el punto medio de AM ; BP prolongado
corta a AC en N . Por M se traza MQ paralelo a BPN con C -Q -A. Demostrar que
AN = NQ = QC.
5. Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta
cualquiera es igual a la suma de las distancias de los puntos medios de los lados a
esta misma recta.
6. La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta cualquiera es
igual a tres veces la distancia del baricentro a la recta.
7. Por el baricentro de un triángulo se traza una recta cualquiera, demostrar que la
suma de las distancias de dos vértices situados a un mismo lado de la recta, es igual
a la distancia del tercer vértice a esta misma recta.
EJERCICIOS OPCIONALES.
1. Demostrar que las sumas de las distancias de un punto fijo en el interior de un
triángulo equilátero a los lados, es igual a la altura del triángulo.
2. TEOREMA DE VARIGNON: Por uno de los vértices de un paralelogramo se traza
una recta cualquiera. De cada uno de los otros tres vértices se trazan perpendiculares a
la recta. Demostrar que la perpendicular trazada del vértice intermedio es igual a la
suma o diferencia de las otras dos.
3. La suma de los segmentos (medidas) perpendiculares trazados desde los vértices de
un paralelogramo a una recta exterior, es igual a cuatro veces la
distancia del punto de concurso de las diagonales a esta recta.
4. El triángulo ABC es isósceles de vértice A y m( Â ) = 100. Se toma A - B - D tal
∧
que AD = BC. Hallar la m(AD C).
Sugerencia: Sea C-E-B tal que CE=CA=AB y trace CH ⊥ AE , EF ⊥ AB .
∧
∧
∧
∧
5. En un triángulo ABC se da A-D-E-B tal que AD=EB, A ≅ B , BD M N A E N con
B-M-C y A-N-C. Demostrar que PM=PN, MC=NC.
6. En un triángulo ABC se dan sobre los lados AB, BC y CA los puntos E,H,D
respectivamente. AH y BD se cortan en F.
a. Si CD=CH y CA=CB, demostrar que DF=HF.
∧
b. Si E es punto medio , A
∧
≅ B,
CD=CH, entonces el triángulo
DEH es
isósceles.
1. En un cuadrilátero ABCD, AB y CD son paralelos;
∧
∧
AD H ≅ B C I, DH ⊥ AB , CI ⊥ AB , DH = CI. Determinar todas las parejas de
triángulos congruentes que resultan si las diagonales se cortan en O.