INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA:

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA:
Campo Magnético
1.- Interacción magnética
2.- Campo magnético
3.- Acción del campo magnético sobre corrientes
4.- Campo magnético creado por corrientes
5.- Circulación de un campo magnético: Ley de Ampère
6.- Fuerzas entre corrientes: definición de amperio
7.- Magnetización de la materia
8.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio, eléctrico y
magnético
Actividades desarrolladas
U IV T 13: Campo Magnético
305
1.- INTERACCIÓN MAGNÉTICA
La interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la naturaleza.
Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, como la magnetita, tienen
la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. En estado natural, esta propiedad la muestran el
hierro, el cobalto, el manganeso y muchos compuestos de estos metales.
No está relacionada con la gravitación puesto que no la poseen todos los cuerpos, y parece
concentrarse en ciertos lugares del mineral. Aparentemente tampoco está relacionada con la interacción eléctrica, debido a que ni bolitas de corcho ni trozos de papel son atraídos por tales minerales. Por tanto, a esta propiedad física se le dio un nuevo nombre, magnetismo. El nombre se
deriva de la antigua ciudad del Asia Menor, Magnesia, en donde según la tradición, fue observado
por primera vez el fenómeno. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetismo se conocen como polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se conoce como imán.
La Tierra misma es un gran imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla magnetizada en
cualquier punto de la superficie terrestre y permitimos que gire libremente alrededor de la vertical,
la varilla se orienta de modo que el mismo extremo apunta siempre hacia el polo norte geográfico.
Este resultado muestra que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada. Si la
varilla no está magnetizada no se ejerce ninguna fuerza.
Los experimentos realizados con cuerpos magnetizados sugieren la existencia de dos tipos
de polos magnéticos. Podemos representar ambos mediante los signos N y S, que corresponden
a los tipos de polos que se orientan hacia el norte y hacia el sur terrestres, respectivamente.
Interacción entre dos barras magnetizadas.- Polos de distinto signo se atraen (izquierda);
polos del mismo signo se repelen (derecha)
La experiencia muestra que una barra magnetizada tiene polos opuestos en sus extremos.
Dos barras magnetizadas, colocadas como se muestra en la figura, se repelerán o se atraerán,
dependiendo de si colocamos polos iguales o diferentes uno frente al otro. Así, concluimos que:
“La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión y entre polos magnéticos diferentes es de atracción”.
Podríamos medir la intensidad de un polo magnético si definimos una masa o carga magnética e investigamos la dependencia de la interacción magnética con respecto a la distancia entre
los polos. Antes de que los físicos entendieran la naturaleza del magnetismo, éste fue el planteamiento adoptado (similar al aplicado a las cargas eléctricas o a las masas gravitatorias).
Sin embargo, aparece una dificultad fundamental cuando se intenta efectuar tales mediciones. Se han podido aislar experimentalmente cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una
cantidad definida de carga eléctrica a las partículas fundamentales que constituyen la materia. Por
el contrario, no ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una partícula que tenga sólo
un tipo de magnetismo, N o S.
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306
Además, los conceptos de polo magnético y masa magnética no son necesarios para la
descripción del magnetismo. Como veremos, las interacciones eléctrica y magnética están estrechamente relacionadas, y constituyen dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, su carga eléctrica. De hecho, la experiencia ha mostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento con respecto al observador. Por tal razón, las
interacciones eléctrica y magnética deben considerarse juntas bajo el nombre más general de
interacción electromagnética.
2.- CAMPO MAGNÉTICO
Un imán provoca una alteración en el espacio a su alrededor, pues atrae al hierro y cambia la dirección de una
aguja imantada, en tanto que, en ausencia del imán, el hierro y la aguja permanecen inmóviles. Estos hechos se interpretan diciendo que en el espacio alrededor del imán hay un
campo magnético, del mismo modo que en torno a una carga eléctrica se establece un campo eléctrico.
Pero no sólo los imanes son capaces de crear un
campo magnético. En 1820, H. Ch. Oersted realizó un experimento que puso de manifiesto cómo una corriente eléctrica
produce sobre una aguja imantada los mismos efectos que
un imán. Situó una brújula en las inmediaciones de un hilo
conductor rectilíneo, e hizo pasar por él una corriente eléctrica. Observó cómo la aguja imantada se orientaba perpendicularmente a la corriente; y al cesar ésta, la aguja volvía a
su posición anterior. Esta experiencia mostró la relación entre magnetismo y corriente eléctrica: hizo sospechar que las
causas del magnetismo estuviesen relacionadas con el movimiento de las cargas eléctricas.
¿Cómo se puede averiguar si en una región del espacio existe un campo magnético? ¿y
cómo determinar su valor en cada punto? Observando la fuerza de interacción ejercida sobre una
carga eléctrica q en movimiento. Se llega a las siguientes conclusiones:
+ Si la carga q está en reposo, no aparece fuerza magnética sobre ella.
+ La fuerza magnética es proporcional a la carga eléctrica q y a la velocidad v de la misma.
+ Existe una dirección particular para la cual la fuerza magnética es nula.
+ Para las demás direcciones, la fuerza
magnética es perpendicular simultár
neamente a la velocidad v de la carga
eléctrica y a esa dirección para la que
es nula dicha fuerza. Y su valor es proporcional al seno del ángulo formado
por la velocidad y dicha dirección.
r
B
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Enr estas condiciones, definimos en cada punto del espacio la intensidad del campo magnético B (que también suele llamarse “inducción magnética”) como el vector que verifica:
r
r
r
F =q( v x B)
(1)
r
Según esta expresión, B es un vector en la dirección para la que la fuerza magnética es nula, y su módulo vale (figura):
F
(2)
B=
q .v.senα
En el Sistema Internacional, la unidad de campo magnético se llama tesla (T), (o weber por
metro cuadrado, Wb/m2). De acuerdo con (2):
N
N
=1
1T = 1 Wb/m2 = 1
C.m / s
A.m
r
v
Cuando
una
carga
q
se
mueve
con
velocidad
en el seno conjunto de un campo eléctrico
r
r
r
E y otro magnético B , rla fuerza que sobre ella actúa es la resultante de la fuerza eléctrica, qE ,
r
más la magnética, q( vxB ), es decir:
r
r r r
(3)
F = q (E + v x B )
Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de Lorentz.
La expresión (1), que define el campo magnético, muestra
la fuerza magnética es siemr que
r
pre perpendicular a la dirección del movimiento de la carga, ( F ⊥ v ) . Esto implica dos consecuencias:
+ El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una carga que se desplaza es nulo.
r
+ Si B es constante en un recinto, y la partícula penetra en él perpendicularmente a dicho
campo, su trayectoria es circular.
3.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CORRIENTES
A.- FUERZA SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE
Sea un conductor por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en el seno de un
r
campo magnético B . La corriente supone un movimiento de cargas eléctricas en el conductor. El
campo magnético ejercerá su acción sobre cada una de ellas, acción que viene dada por (1).
La fuerza magnética se manifestará sobre el conductor, soporte de la corriente, como una acción
trasversal. Para calcularla, supongamos
que las cargas
r
se desplazan con una velocidad v . En un tiempo dt, la
carga que ha atravesado la sección del conductor (por
ejemplo, por M) es dq = I dt, y se habrá desplazado en
él de modo que toda ella
encuentra dentro del
r se
r
elemento de conductor dL = v.dt . Por tanto, la fuerza
r
r
elemental dF sobre dicho elemento de conductor dL
es, según (1):
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308
r
r
r r
r r
r r
r
dF = dq( vxB) = I dt( vxB) = I ( v.dtxB) = I (dLxB)
⇒
r
r r
dF = I ( d L x B )
Primera ley de Laplace
(4)
r
r
(4) expresa la fuerza elemental dF con la que actúa el campo magnético B sobre un elemenr
to de conductor dL recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I.
r
Para calcular la acción ejercida por un campo magnético B sobre un conductor cualquiera,
recorrido por una corriente de intensidad I, deberemos “sumar” todos los efectos del campo sobre
cada elemento de conductor ⇒ es decir, integraremos (1) a lo largo del conductor:
r
F=
∫
r
dF =
cond
∫
r r
I (dLxB)
cond
B.- FUERZA SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA
Suponemosr el campo magnético uniforme:
quiere decir que B presenta el mismo valor en todos
los puntos. Sea una corriente eléctrica, de intensidad I, circulando por un conductor rectilíneo, de
longitud L, en el seno de dicho campo magnético.
Sea el sentido de dicha corriente
el dado por el verr
sor û . Tomemos I.L. û = I. L .
En este caso, todos los desplazamientos
r
dL tienen la misma dirección, por lo que:
r
r
r r
r r
F = dF = I (dLxB) = I ∫ ( dLxB) = I
∫
⇒
∫
r
r r
F = I (L x B)
[(∫ dLr )xBr ] = I (Lr x Br )
(5)
El módulo de esta fuerza es: F = I L B senθ
ductor y el campo magnético (figura).
La comprobación experimental de la fuerza
con que un campo magnético actúa sobre un conductor rectilíneo cuando por él circula una corriente
puede realizarse por medio de la llamada “balanza
de Cotton” (figura). Con ella, la medida de la fuerza,
así como su dirección y sentido, se reducen a la
simple realización de una pesada. Puede comprobarse en este experimento la proporcionalidad de la
fuerza con la intensidad de corriente y la longitud
del conductor. El experimento permite calcular el
valor del campo magnético.
Esfuércese el alumno en comprender la experiencia señalada en la figura... y deducir la expresión que permite calcular B.
donde θ es el ángulo formado por el con-
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C.- MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA
Consideremos runa espira rectangular, de lados L y L’, y situada en el seno de un campo
magnético uniforme B . El área de la espira es S = L.L’ ; démosle carácter vectorial así:
r
S es un vector cuyo módulo S es igual al área de la espira, S = L.L’, está dirigido perpendicularmente a la superficie enmarcada por la espira, en el sentido de avance de un tornillo que gire
de acuerdo con la corriente de la espira.
r
r
Sea θ el ángulo que en un determinado instante forman B y S . De (5) resulta que:
+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AD y BC son F’ = I.L’.B.senα = I.L’.B.cosθ
Si la espira es no deformable, estas fuerzas son neutralizadas por su reacción elástica.
+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AB y CD son F = I.L.B.sen(π/2) = I.L.B
Estas fuerzas
r constituyen un par que tiende a hacer girar la espira, situándola perpendicularmente
al campo B . El momento de este par vale:
M = F. L’. senθ = (I.L.B)( L’.senθ) = I.S.B.senθ
r
r
Definimos Momento dipolar magnético de una espira así: m ≡ I . S . Entonces el momento
del par se escribe:
r r
r
M=m x B
(6)
Por tanto, la acción del campo magnético sobre la espira es un par de fuerzas que da lugar
a su rotación, tendiendo a alinear el momento dipolar magnético de la espira con el campo magnético. Cuando la espira se sitúa perpendicularmente al campo, el momento del par se anula, y cesa
su acción.
Si la espira es circular, lo anteriormente explicado sigue siendo válido. Asimismo, si se tiene
en el seno del campo magnético una bobina de N espiras, recorrida por una corriente de intensidad I:
r
r r r
r
donde
m ≡ N.I. S
(7)
M = m xB
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D.- APLICACIONES
♣ Trayectorias circulares de cargas eléctricas en un campo magnético uniforme.Si a una partícula de masar m, cargada eléctricamente con carga q y situada en el seno de
r
un campo magnético uniforme B , se le comunica una velocidad v en dirección perpendicular al
campo, sobre ella actúa una fuerza F = q v B que es normal a la trayectoria.
Por este motivo, esta fuerza es centrípeta, no
hace variar la rapidez v, pero obliga a describir una
trayectoria circular con movimiento uniforme. Si llamamos R al radio de la trayectoria circular, se verificará:
v2
mv
F = m an
⇒
R=
qvB=m
R
qB
El sentido del movimiento circular descrito por la partícula depende obviamente del sentido del campo y
del signo de la carga eléctrica de la partícula.
♣ Experimento de Thomson .- Medida de la relación carga-masa, q/m
Durante la última parte del siglo XIX se efectuaron numerosos experimentos sobre descargas eléctricas. Tales experimentos consisten en producir una descarga eléctrica a través de un
gas a baja presión, aplicando una diferencia de potencial de varios miles de voltios entre dos electrodos colocados dentro del gas. El electrodo negativo (C) es el cátodo y el positivo (A) el ánodo.
Dependiendo de la presión del gas que se halla en el tubo, se observan varios efectos luminosos.
Cuando la presión del gas en el tubo es menor que 100 Pa (0,75 mmHg), se detecta una mancha
luminosa en O sobre la pared del tubo, directamente opuesta al cátodo C (figura). Por tanto se
supuso que el cátodo emitía una radiación que se mueve en línea recta hacia O. En consecuencia, estas radiaciones se denominaron rayos catódicos.
Cuando se produce un campo eléctrico E = ∆V / b mediante la aplicación de una diferencia
de potencial ∆V a las placas paralelas P y P’, separadas una distancia b, se observa que la mancha luminosa se mueve de O a O'. Esto es, los "rayos" se desvían en la dirección correspondiente
a una carga eléctrica negativa. Esto sugirió que los rayos catódicos eran simplemente una corriente de partículas cargadas negativamente. Sea q la carga de cada partícula, m su masa y v su velocidad. Se puede calcular, midiendo la desviación d = OO' (conocidos los valores de L, de a y de
q
, en función de las establecidas en
E = ∆V / b ), la relación entre las variables desconocidas,
m.v 2
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el experimento (a, b, L y ∆V) y de la obtenida por medición, d. El alumno puede resolverlo como
problema, obteniéndose el siguiente resultado:
q
1 b
=
d
2
∆V La
m.v
La fuerza eléctrica ejercida sobre la partícula es Fe = q E = q ∆V/b y está dirigida hacia
arriba (figura). Supongamos que también aplicamos en la misma región un campo magnético dirigido perpendicularmente hacia el papel. La fuerza magnética, Fm, según la ecuación (1), es
Fm = q v B, y está dirigida hacia abajo porque q es una carga negativa. Ajustando adecuadamente
el valor de B, podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la eléctrica, Fe = Fm. Esto tiene
como resultado una fuerza neta cero, y la mancha luminosa regresa de O' a O; es decir, no hay
desviación de los rayos catódicos. Entonces se verifica:
E ∆V / b ∆V
qE=qvB ⇒ v=
=
=
B
B
B.b
Esta expresión proporciona una medida de la velocidad de la partícula cargada. Sustituyendo este valor de v en la expresión anterior, obtenemos el cociente q/m (carga específica) de las
partículas que constituyen los rayos catódicos:
q
d ∆V
=
m Lab B 2
Este procedimiento experimental fue uno de los primeros métodos para medir q/m con precisión. También fue una prueba indirecta de que los rayos catódicos están formados por partículas
con carga negativa que desde entonces se conocen como electrones.
Estos experimentos y otros parecidos fueron efectuados por Sir J. J. Thomson (1856-1940)
en 1897, quien realizó grandes esfuerzos e invirtió mucho tiempo intentando descubrir la naturaleza de los rayos catódicos.
♣ Espectrómetro de masas, de Dempster
Consideremos el dispositivo ilustrado en la figura siguiente, donde I es una fuente de iones
y S1 y S2 son dos rendijas estrechas por las que pasan dichos iones, que son acelerados por la
diferencia de potencial ∆V aplicada entre las rendijas.
La velocidad de salida de los iones
se calcula mediante la ecuación:
½ mv2 = q ∆V
q
resultando:
v2 = 2 ∆V
m
En la región debajo de las ranuras
existe un campo magnético uniforme (saliente, orientado hacia el lector). Cada ión,
entonces, describirá una órbita circular, en
una u otra dirección dependiendo del signo
de su carga q.
Después de describir un semicírculo, los iones llegan a una placa fotográfica P, dejando una
señal en ella.
El radio R de la órbita está dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, de la
cual, despejando la velocidad, obtenemos
q
v = R.B
m
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Combinando esta ecuación con la anterior para eliminar v, se tiene:
q
∆V
=2 2 2
m
B R
que expresa la carga específica de los iones, q / m, en función de las variables utilizadas en el
aparato experimental: la ddp ∆V de aceleración de los iones aplicada a las rendijas S1 y S2, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la trayectoria circular descrita por el ión que se
mide en el experimento.
Podemos aplicar esta técnica a electrones, protones o iones, y a cualquier otra partícula
cargada. Si por otro método se mide la carga q, la fórmula anterior permite calcular la masa m de
la partícula.
El dispositivo de la figura constituye un espectrómetro de masas, debido a que separa los
iones de la misma carga y diferente masa m, puesto que según la ecuación, el radio de la trayectoria de cada ion será diferente dependiendo de su valor de q / m. Existen varios tipos de espectrómetros de masas, todos basados en el mismo principio. Los científicos que usan esta técnica
descubrieron, en la década de los veinte del pasado siglo, que los átomos del mismo elemento
químico no tienen necesariamente la misma masa: las diferentes variedades de átomos de un
elemento que difieren en su masa se conocen como isótopos. Así por ejemplo, J. J. Thomson
descubrió que cuando se tenían partículas de neón a baja presión, en la placa fotográfica aparecía
no una única raya correspondiente a la masa atómica que se asignaba a dicho gas (20,1839 u)
sino dos, que correspondían a masas ligeramente diferentes: 20 u y 22 u. Esto llevó a la conclu22
20
sión de que debían de existir dos isótopos del neón, 10
Ne y 10
Ne , en la proporción de 9 a1.
♣ Acelerador de partículas. El Ciclotrón
El hecho de que la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético es circular
ha permitido el diseño de aceleradores de partículas que operan de manera cíclica.
En los aceleradores electrostáticos, la aceleración depende de la diferencia de potencial total ∆V. Para producir partículas de alta energía, ∆V debe ser muy grande. Sin embargo, en un acelerador cíclico una carga eléctrica puede recibir una serie de aceleraciones al pasar muchas veces
por una diferencia de potencial relativamente pequeña. El primer dispositivo que funcionó con este
principio fue el ciclotrón, diseñado por E. O. Lawrence (1901-1958).
El primer ciclotrón práctico empezó a funcionar en 1932. Desde entonces se han construido
muchos en todo el mundo, aunque ahora ya han
sido superados por dispositivos mucho más poderosos.
Esencialmente, un ciclotrón (Fig. 22.13) consiste en una cavidad cilíndrica dividida por la mitad
(cada una conocida como "de" por su semejanza
con la letra D) y colocada en un campo magnético
uniforme paralelo a su eje.
Las des están aisladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se sitúa una fuente de iones, S. El sistema debe mantenerse a un alto vacío para evitar colisiones entre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Entre las des se aplica una diferencia de
potencial alterna del orden de 10000 voltios. Si los iones son positivos, se acelerarán hacia la de
negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica alguna, debido a
que el campo eléctrico es cero en su interior.
U IV T 13: Campo Magnético
313
Sin embargo, el campo magnético hace que el ion describa una trayectoria circular, con un
radio dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, y con velocidad angular dada por
ω = v / R = q B / m. La diferencia de potencial alterna entre las des se regula con una frecuencia
igual precisamente a ω / 2 π. De esta forma la diferencia de potencial entre la des está en resonancia con el movimiento circular de los iones.
Mientras los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierte de modo
que cada vez que los iones cruzan el espacio que hay entre ellas, reciben una pequeña aceleración. Por tanto cada medio ciclo el ión describe un semicírculo con un radio mayor pero con la
misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces, hasta que el radio adquiere un valor
máximo R, que es prácticamente igual al radio de la cavidad. Los polos del imán están diseñados
de modo que el campo magnético en el borde de las des disminuya drásticamente y los iones adquieran un movimiento tangencial, escapando por una abertura conveniente. La velocidad máxima
vmax está relacionada con el radio R mediante la ecuación:
mv max
q
→
v max = BR
R=
qB
m
La energía cinética de los iones que salen por A es entonces:
q 2B 2R 2
Ec = ½ mv2 =
2m
y está determinada por la carga y la masa de la partícula, la intensidad del campo magnético y el
radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial de aceleración entre las des. Cuando la
diferencia de potencial es pequeña, los iones tienen que dar muchas vueltas antes de que adquieran su energía final. Pero cuando es grande, sólo se requieren unas cuantas vueltas para adquirir
la misma energía.
U IV T 13: Campo Magnético
314
4.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES
A.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Hasta aquí hemos considerado campos magnéticos sin preguntarnos por la forma en que
éstos se producen. Más adelante veremos que el mejor método de producir un campo magnético
es mediante corrientes eléctricas. Sin embargo, una corriente eléctrica es un flujo de partículas
cargadas que se mueven en la misma dirección dentro
de un conductor.
Una carga eléctrica en movimiento, con respecto
al observador, produce un campo magnético además de
su
campo
eléctrico.
Se
ha
encontrado
experimentalmente que el campo magnético en un punto
P, a una distancia r de la carga que se mueve con
respecto al observador con una velocidad v (pequeña
comparada con la de la luz) es:
µ q.v.senθ
B= 0
(8)
4π
r2
donde µ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío y cuyo valor en el S.I. es:
µ0 = 4π.10-7 m.kg.C-2
(o bien, T.m.A-1)
y donde θ es el ángulo determinado por la dirección del movimiento de la carga (vector velocidad)
y el vector de posición del punto P respecto de la carga.
Nótese que, según esta fórmula, el valor del campo magnético:
* es cero en la dirección del movimiento
* tiene su valor máximo en el plano perpendicular a esa dirección del movimiento y que contiene a la carga.
Además:
r
r
* la dirección del campo magnético es perpendicular a los vectores r y v (véase la figura).
Combinando ambas propiedades del campo magnético, podemos expresarlo en forma vectorial así:
r µ 0 q ( vr x r̂ )
B=
(9)
4π
r2
r
donde r̂ es el vector unitario en la dirección de r . Las líneas magnéticas son entonces circunferencias concéntricas con su centro en la trayectoria de la carga.
r
Por otro lado, el campo eléctrico E producido por la carga q en P es:
r
1 q
q
r̂
E = k 2 r̂ =
4πε 0 r 2
r
Despejando r̂ en esta última expresión y sustituyendo su valor en (9), y simplificando, se
llega a la siguiente relación entre ambos campos debidos a la carga q en movimiento:
r
r r
B = i 0 µ0 (v x E)
U IV T 13: Campo Magnético
315
Puesto que ε 0 µ 0 = 8’8544x10-12C2.N-1.m-2 x 4πx10-7m.kg.C-2 = 1’1127x10-17 s2.m-2
1
1
resulta que c ≡
=
= 2'998x10 8 ≅ 3x10 8 m/s, valor que coincide curiosamente
17
−
ε 0µ 0
1'1127 x10
con la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo con ello, la anterior expresión se transforma en
ésta, que relaciona los dos campos, eléctrico y magnético, asociados a la carga q en movimiento:
r
1 r r
B = 2 ( v xE)
(10)
c
Por tanto, aunque una carga en reposo produce únicamente un campo eléctrico, una carga
en movimiento con respecto al observador produce un campo eléctrico y uno magnético. Además,
los dos campos están relacionados por la ecuación (10). Así pues, los campos eléctrico y magnético son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, y resulta más
apropiado utilizar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento.
Otra propiedad interesante es que dos observadores en movimiento relativo miden velocidades diferentes de la carga eléctrica en movimiento y, por tanto, también miden diferentes campos
magnéticos. En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo entre la
carga y el observador.
Vemos pues que, a medida que la partícula se mueve, lleva con ella sus campos eléctrico y
magnético. Así, un observador que ve la partícula en movimiento mide campos eléctrico y magnético que cambian con el tiempo a medida que la partícula se acerca y se aleja del observador,
mientras que un observador en reposo con respecto a la carga (o que se mueve con ella) sólo
mide un campo eléctrico constante.
B.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE
En realidad, históricamente, las primeras observaciones de campos magnéticos creados por
cargas en movimiento tuvieron lugar observando corrientes eléctricas.
En 1820, H. C. Oersted, al observar la desviación de la aguja de una brújula colocada cerca
de un conductor por el que pasaba una corriente (experiencia de Oersted), concluyó que una corriente eléctrica produce un campo magnético cuya dirección es perpendicular a dicha corriente.
Como la corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas que se mueven en una dirección,
la conclusión es que cada carga produce un campo magnético. Por tanto, el campo magnético
creado por la corriente es la suma de los campos magnéticos producidos por cada una de las partículas en movimiento.
A partir de la experiencia de Oersted y tras muchos
experimentos efectuados por varios físicos, A. M. Ampère y P. Laplace llegaron de manera empírica a la
r
expresión que proporciona el campo magnético B
creado por una corriente de intensidad I en un punto P.
Éste es el resultado de sumar las aportaciones de todos
y cada uno de los elementos de corriente en que
podemos dividir el conductor por el que se mueven las
cargas eléctricas.
r
La aportación elemental al campo magnético debida a un elemento de conductor dL por el que
r
r
dLxr̂
pasa una corriente I es:
dB = k’ I 2
r
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donde:
316
r
r
+ dB es el campo magnético elemental creado en P por el elemento dL de conductor
por el que circula una corriente I .
r
+ r es la distancia desde el elemento de conductor dL al punto P; y r̂ es el versor en
esa dirección y sentido.
+ k’ es una constante que depende del medio. k’ se expresa mejor como µ/4π , donde
µ se denomina permeabilidad magnética del medio. En particular, para el vacío
(y para el aire, prácticamente), y en el S.I. vale:
µ0 = 1’25664x10-6 T.m.A-1 = 4π.10-7 T.m.A-1 ⇔ k’0 = µ0/4π = 10-7 T.m.A-1
Así pues,
r
r µ 0 dLxr̂
dB =
I 2
4π
r
Segunda ley de Laplace
(11)
El campo magnético creado en P por un conductor cualquiera por el que pasa una corriente
I se calcula por integración de (11) extendida a dicho conductor, entendiendo ésta como suma de
las aportaciones de cada trozo elemental en que podemos
considerar dividido el conductor. O sea:
r
r µ0
dLxr̂
I
(12)
B=
∫
4π Conductor r 2
r µ q.vr xr̂
La segunda ley de Laplace puede ser deducida de la expresión (9), B = 0
, tomando ésta
4π r 2
como expresión resultante de los experimentos desarrollados a partir de Oersted.
La carga dq que atraviesa la sección del conductor en un tiempo dt es dq = I.dt. Esta carga, moviénr r
r
dose con velocidad v , se encuentra en ese tiempo en el elemento de conductor dL = v.dt .
r
Por tanto, el campo dB creado por dicha carga dq es, según (9):
r
r
r
r
r
r µ0
µ0
µ 0 v.dtx r
µ 0 dLxr̂
vxr̂
vxr̂
dB =
dq 2 =
I dt 2 =
I 2 =
I 2
4π
4π
4π
4π
r
r
r
r
C.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA
A partir de la experiencia de Oersted, los científicos J. B. Biot y F. Savart consiguen medir el
campo magnético en las proximidades de un conductor rectilíneo, muy largo, por el que circula
una corriente eléctrica. Deducen la ley que lleva su nombre y que puede resumirse así:
El campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto es:
+ proporcional a la intensidad de la corriente.
+ inversamente proporcional a la distancia del punto a la
corriente.
+ depende del medio material en el que se encuentran
el conductor y el punto.
O sea,
B= K
I
R
U IV T 13: Campo Magnético
317
Además:
+ las líneas del campo magnético son curvas circulares situadas en planos perpendiculares
r
al conductor y centradas con él. Su sentido, y por tanto el de B , viene dado por la
Regla de la mano derecha: “Colocando la mano derecha semicerrada, y señalando con el dedo pulgar la dirección de la corriente I, los otros dedos señalan el
sentido de las líneas del campo.”
La Regla del tornillo es similar: “El sentido de las líneas del campo es el de giro
de un tornillo cuando avanza en la dirección de la corriente en el conductor.”
A partir de la segunda ley de Laplace, fórmulas (11) y (12), podemos deducir esta ley de Biot
y Savart.
Sea un conductor rectilíneo, muy largo (teóricamente indefinido), por el que fluye una corriente I. Vamos a calcular el campo magnético creado en un punto P, situado a una distancia R
del conductor. Elijamos según el conductor y el sentido de la corriente el eje de abscisas X, como
señala la figura:
r
r µ 0 d l xr̂
La expresión dB =
I
conduce a:
4π r 2
µ dl.senα µ 0 dx.senα' µ 0 dx. cos θ
dB = 0 I
I
I
=
=
4π
4π
4π
r2
r2
r2
R
R
Además, r =
y x = R.tgθ ⇒ dx =
dθ .
cos θ
cos 2 θ
Sustituyendo en dB los valores de dx y r, resulta:
µ I
cosθ. dθ
dB = 0
4π R
r
Ésta es la aportación del elemento de corriente d l al
campo magnético total. Como se observa, depende
del ángulo θ. Para calcular el campo B, integraremos
la expresión anterior desde θ = - π/2 (cuando x = - ∝)
hasta θ = + π/2 (cuando x = + ∝):
+π 2
µ0
µ
µ
I cos θ.dθ = 0 I [senθ]+− ππ 22 = 0 ( I / R).
B=
4πR − π 2
4πR
2π
∫
O sea,
B=
µ0 I
2π R
(13)
r
La dirección y el sentido de B ya fue comentada. Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el conductor,
y situadas en planos perpendiculares a él, como se
r
deduce de la expresión vectorial de dB . Se observa que son líneas cerradas, a diferencia de las
líneas de campo eléctrico, que parten de las cargas positivas y mueren en las negativas, siendo
líneas abiertas. Esta propiedad de las líneas de campo magnético, de cerrarse sobre sí mismas,
es general, cualquiera que sea el conductor.
D.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE CIRCULAR en puntos
del eje (espira circular)
En muchos dispositivos que utilizan una corriente eléctrica para crear un campo magnético
(un electroimán, un transformador, ...) el hilo que soporta la corriente está arrollado en forma de
bobina (solenoide). De ahí el interés de estudiar el campo magnético creado por una sola espira
de hilo que transporta la corriente. La figura representa una espira circular, de radio R , por la que
U IV T 13: Campo Magnético
318
pasa una corriente I . Situemos los ejes coordenados en el centro O de la espira de modo que
ésta se sitúe en el plano YZ, coincidiendo el eje X con el de la espira. Sea P un punto del eje, de
abscisa x. Deseamos calcular el campo magnético en él.
r
r µ 0 dL x rˆ
I
dB =
4π
r2
⇒
dB =
µ 0 dL.sen( ヾ 2) µ 0 dL
I
I
=
4π
4π r 2
r2
r
El vector dB se puede descomponer en las dos direcciones: componente dB|| según el eje
OX, y componente dB⊥ enr dirección
perpendicular
a dicho eje:
r
r
dB = dB || + dB ⊥ donde dB|| = dB senθ y dB⊥ = dB cosθ
Por razón de simetría (figura), las componentes dB⊥, sumadas para toda la espira, dan resultante nula. Sólo contribuyen al campo total las componentes dB||. Así pues:
µ senθ
µ senθ
dB || =
dB . senθ = 0 I 2 2πR = 0 I 2 R
B=
4π r
2
r
Espira
Espira
∫
∫
Teniendo en cuenta que r = (R2 + x2)1/2 y senθ = R/r resulta finalmente:
B=
µ0
R2
I 2
2 (R + x 2 ) 3 / 2
Y vectorialmente:
r
µ
R2
B= 0 I 2
î
2 (R + x 2 ) 3 / 2
(14)
En el centro O de la espira (x = 0) el campo magnético vale:
B0 =
µ0 I
2 R
Vectorialmente
r
µ I
B0 = 0
î
2 R
(15)
Si en lugar de una sola espira se dispone de una bobina de N espiras, cada una de éstas
contribuye en igual medida a la creación del campo. La anterior expresión resulta, para el centro
de la bobina:
r
µ NI
(16)
î
B0= 0
2 R
Líneas de campo magnético debidas a
una corriente circular
Líneas de campo magnético debidas a una corriente solenoidal
U IV T 13: Campo Magnético
319
5.- CIRCULACIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO: LEY DE AMPÈRE
r
Dado un campo vectorial C y una curva cerrada c, la integral
∫
r r
C.d r se llama circulación
c
r
de C a lo largo de la curva c.
r
r
Hemos visto que para los campos gravitatorio g y eléctrico E se verifica:
r r
∫ g.d r = 0
r r
E
∫ .d r = 0
y
c
para todo c.
c
Por ello decíamos que ambos campos son conservativos, procediendo, en consecuencia, de un
potencial cada uno: potencial gravitatorio y potencial eléctrico, respectivamente.
r
Este caso no se da para el campo magnético B :
El campo magnético no es conservativo.
En efecto, volvamos a considerar el campo
creado por una corriente rectilínea indefinida. Tomemos como curva cerrada de integración precisamente una línea de campo (circunferencia), y calculemos
la anterior circulación:
r r
B
∫ .d r
c
En todo punto de la línea de campo c el módulo del
magnético tiene el mismo valor,
r campo
r
si bien su dirección es tangente a dicha línea. Por tanto B y d r son vectores paralelos, por lo que
r r
B.d r = B ds cos0º = B ds
r r
⎛ µ0I ⎞
∫ B.d r = ∫ B.ds = B∫ ds = ⎜⎝ 2πR ⎟⎠(2πR) = µ
c
c
0
I
Así pues:
r r
∫ B.d r = µ
0
I
c
c
⇒ La circulación del campo magnético no es nula, sino proporcional a la intensidad de corriente I;
además es independiente del radio de la línea de campo elegida como camino de integración.
Un análisis más riguroso, que omitimos, indica que cualquiera que sea el camino cerrado c
que encierra la corriente I, y cualquiera que sea la forma del conductor de corriente, se verifica la
anterior expresión. Más aún, si se dispone de varias corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In, enlazadas por la
línea cerrada c, se cumple la denominada Ley de Ampère:
“La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In es
r r
∫ B.dr = µ ∑ I
0
donde
∑I
i
c
i
representa la corriente total neta enlazada por la línea cerrada c.”
(17)
U IV T 13: Campo Magnético
320
La aplicación de la ley de Ampère exige
asignar un sentido de recorrido de la curva de
integración. En virtud de esta elección, tomamos
como positivas las corrientes que atraviesan la
superficie limitada por c en el sentido de avance
de un tornillo que gire de acuerdo con el de recorrido de la curva, y negativas las que lo hacen en
sentido de avance contrario.
En el caso de la figura:
r r
B
∫ .d r = µ0 (I1 – I2 + I 3)
c
Haciendo uso de la ley de Ampère, puede calcularse cómodamente el campo magnético
producido por distribuciones de corriente que gocen de cierta simetría geométrica: el campo magnético en el interior de un solenoide recto y largo, o el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal, por ejemplo.
1.- Solenoide toroidal.- Campo magnético creado en su interior.
Una bobina toroidal, o solenoide toroidal, consiste en un alambre uniformemente arrollado
en un toroide o superficie anular de sección circular.
Supongamos que el radio a de la sección toroidal
es mucho menor que el radio R del toroide. Sea N el
número de vueltas o espiras del alambre conductor,
igualmente espaciadas, e I la intensidad de corriente
que circula por ellas. La simetría del problema sugiere
que las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el toroide.
Consideremos primeramente la línea de campo c, interior al toroide, de radio R, como camir r
no de integración en la aplicación del teorema de Ampère. Entonces, por un lado: B.d r = B.2πR
∫
c
r
r
pues B y d r son vectores paralelos y B tiene el mismo valor en todos los puntos de c (simetría).
Por otro lado,
Ii = N I pues el número de conductores de corriente que atraviesan la superficie
∑
enmarcada de radio R, en el mismo sentido, es el de espiras del toroide, o sea N.
r r
Ii se escribe para este caso: B.2πR = µ0 N I
Por tanto: B.d r = µ0
∫
∑
c
⇒
B=
µ 0 N.I
2π R
Y si llamamos n ≡ N/2πR al número de espiras del toroide por unidad de longitud,
B = µ0 n I.
Estas dos expresiones dan el valor del campo magnético creado por la corriente toroidal en
el interior del solenoide. Es constante.
En el exterior del solenoide, el campo magnético es nulo. En efecto, el propio teorema de
Ampère lo prueba, ya que, se tome la curva c’ o c’’ como caminos de integración, la corriente total
que atraviesa las superficies que determinan es nula:
+ en el caso del camino c’’, no hay corrientes.
+ en el caso de c’, la corriente en cada espira, atraviesa la superficie dos veces y en sentido
opuesto.
U IV T 13: Campo Magnético
321
2.- Solenoide recto, muy largo.- Campo magnético en su interior.
Calculemos el campo magnético en el interior del solenoide, de N espiras arrolladas en un
cilindro de longitud grande frente al diámetro del
mismo (al menos, unas cinco veces mayor). El
cálculo es válido alejados de los extremos del solenoide.
Apliquemos el teorema de Ampère,
r r
B
∫ .d r = µ0 ∑ Ii,
c
tomando como camino de integración la curva c. Esta curva es una línea de campo cerrada. Consideremos en ella las siguientes partes: interior, AB ≡ L; cercanas a los extremos, DA y BC; exterior, CD. El campo magnético sólo tiene valor en el interior del solenoide (valor que buscamos); en
el exterior es nulo especialmente en la parte alejada del solenoide; y en las proximidades de sus
polos decrece rápidamente, pudiéndose tomar como aproximadamente nulo.
∫
r r
Por tanto, por un lado: B.d r =
c
Por otro lado, µ0
∑ Ii = µ
0
∫
r r
r r
B.d r + B.d r +
AB
∫
CD
∫
r r
B.d r =
BC +DA
∫ B.dr
+ 0 + 0 = B.L
AB
N I.
N.I
L
Y si llamamos n ≡ N/L al número de espiras por unidad de longitud, del solenoide,
Así pues, igualando, resulta:
B = µ0
B = µ0 n I
Si dentro de los solenoides introducimos una barra cilíndrica de hierro o material ferromagnético (µ >> µ0), el campo magnético que se crea es mucho más intenso. Se tiene entonces un
electroimán.
6.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES: DEFINICIÓN DE AMPERIO
Veamos, a continuación, la interacción entre
dos corrientes I1 e I2 que circulan por sendos conductores, 1 y 2. Considerémoslos ambos rectilíneos,
de longitud L, paralelos y separados una distancia d.
En cualquier punto del conductor 2 el campo
magnético B1 creado por I1 está dado por (ecuación
(13)):
µ I
B1 = 0 1
2π d
r
siendo la dirección de B1 la señalada en la figura.
La fuerza F2 ejercida por B1 sobre la corriente I2 es (ecuación (5)):
r
r r
µ I
F2 = I 2 (LxB1 ) ⇒ F2 = I2 L 0 1 ⇒
2π d
F2 =
µ 0 I1 I 2
.L
2π d
Análogamente, campo magnético creado por I2 en puntos del conductor 1 es:
B2 =
µ0 I2
2π d
U IV T 13: Campo Magnético
322
y la fuerza magnética F1 ejercida por B2 sobre la corriente 1 vale: F1 = I1 L B2 =
Como se ve, efectivamente las acciones son iguales y opuestas, F1 = F2 ≡ F
µ II
F = 0 1 2 .L
2π d
µ 0 I1 I 2
.L
2π d
(18)
Estas fuerzas de interacción son tales que “dos corrientes paralelas en el mismo sentido
se atraen;
r sir son de sentido contrario, se repelen”, como puede observarse estudiando el sentido de F1 y F2 . (Figura).
La fuerza ejercida entre corrientes eléctricas se utiliza para definir la unidad de intensidad
de corriente en el S.I.: el Amperio (A). Esta unidad sustituye al Culombio, unidad de carga eléctrica, como unidad fundamental, a causa de la facilidad de cálculo y experimentación utilizando
el estudio anterior. Escribiendo (17) así:
F µ 0 I1 I 2
=
L 2π d
y haciendo d = 1 metro y F/L = 2x10-7 N/m, se define el amperio de este modo:
“Dos conductores paralelos, situados a 1 metro de distancia, en el vacío, están recorridos por una intensidad de corriente de 1 amperio si se atraen con una fuerza de
2x10-7 newtons por metro de longitud de conductor.”
La balanza de la figura de la página siguiente, balanza de corrientes, es un dispositivo adecuado para realizar experimentalmente la medida de la fuerza ejercida entre dos conductores paralelos.
Balanza de corrientes, para medir una
corriente en función de la fuerza magnética entre dos conductores paralelos
2
La misma corriente pasa por los dos conductores, de modo que F/L = 2x10-7 I /d . Primero
se equilibra la balanza cuando no hay corrientes en el circuito. Cuando por éste circula la corriente, es necesario agregar pesas en el platillo izquierdo para equilibrar nuevamente la balanza.
Usando los valores conocidos de F, L y d, podemos encontrar el valor de I .
U IV T 13: Campo Magnético
323
7.- MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA
La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que
actúa entre los materiales magnéticos tales como el hierro: los imanes. Sin embargo, en toda la
materia se pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Cuando un campo magnético se
crea en el seno de un medio material, su intensidad se ve afectada por dicho medio. Decimos entonces que éste se ha magnetizado.
En el modelo de Bohr, los electrones que giran en torno al núcleo constituyen corrientes
eléctricas que son dipolos magnéticos, (de acuerdo con el estudio desarrollado en Tema 13,
nº 3C), de momento dipolar magnético |m| = I S = π e f r2. Además cada electrón presenta un momento dipolar magnético intrínseco asociado a su espín. En definitiva,
r cada átomo presenta un
momento dipolar total. En presencia de un campo magnético exterior B 0 se produce la interacción
r
de estos dipolos con dicho campo, lo que se traduce en una variación de B 0 .
Estas fuerzas mutuas entre estos momentos de dipolo magnético y su interacción con un
campo magnético externo son de importancia fundamental para entender el comportamiento de
materiales magnéticos. No entramos en detalles y sólo describiremos las tres categorías de materiales: paramagnéticos, diamagnéticos y ferromagnéticos, según la respuesta de los mismos a la
acción de un campo externo B0. Esta respuesta depende en parte de los momentos dipolares
magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos.
El paramagnetismo ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo
de espín. El paramagnetismo nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos moleculares (mm) en presencia de un campo magnético externo.
Los
r mm están, en estado normal, orientados al azar. Y en presencia del campo magnético
externo B 0 los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un aumento del campo (Recuérdese “acción de un campo magnético sobre una espira”). A temperaturas ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy
se orienta con el
r pequeña
r
campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño: B = µ' B 0 donde µ’ es la perr
r
meabilidad relativa del medio paramagnético, de valor µ’ > 1 pero µ’ ≅ 1 ⇒ B > B 0 ≅ B
Son sustancias paramagnéticas el aire, el platino, el aluminio, el oxígeno, el FeCl3 ...
El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los
que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los materiales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéticos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo.
El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, puesto que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material.
Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los
elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los
cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura
ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden
ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico
de las cintas magnéticas: es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno,
es ferromagnético a temperatura ambiente.
Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie.
U IV T 13: Campo Magnético
324
La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770 ºC; por encima de esta temperatura, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16 ºC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16
ºC, el gadolinio se vuelve ferromagnético.
r
r
En el caso ferromagnético, B = µ' B 0 con µ' >>> 1 , a veces µ’ ≈ 4000, 5000, o más. Este
hecho justifica por qué en un electroimán, o bobina, u otros casos, se introduce un núcleo de hierro: el campo magnético queda así multiplicado por el factor µ’.
Diamagnetismo: En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era
repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las
sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán). El diamagnetismo se presenta en
todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean paramagnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos
atómicos de valor cero, originándose quizás en átomos que tienen varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor cero.
(El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un
trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las
moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos
por el campo).
En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un
campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten
como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se
oponga a este aumento en el flujo. En
pues, en el medio diamagnético el campo magnér definitiva,
r
tico decrece, bien que muy poco. B = µ' B 0 donde µ’ < 1 es la permeabilidad relativa del medio
r
r
diamagnético, de valor µ’ < 1 pero µ’ ≅ 1
⇒
B < B0 ≅ B
Son sustancias claramente diamagnéticas el bismuto, el cobre, mercurio, plomo, agua,
hidrógeno, entre otras muchas.
(Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán,
el campo (que apunta alejándose del polo norte) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente
que representa al electrón circulando en torno al núcleo de bismuto. De acuerdo con la ley de inducción de
Lenz, en la espira debe aparecer una corriente que origine un campo inducido apuntando en la dirección
opuesta al campo de imán (o sea, dirigida hacia el polo N del imán). La espira es así un imán elemental
situado con su polo N más cercano al polo N del imán. Los dos imanes pues se repelen entre sí, y el átomo
de bismuto es rechazado por el imán inicial.
Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un
material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado).
U IV T 13: Campo Magnético
325
8.- DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO
CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Es una perturbación del medio originada por 1.- Es una perturbación del medio originada por
cargas eléctricas, tanto en reposo como en cargas eléctricas en movimiento.
movimiento.
2.- Es inversamente proporcional al cuadrado 2.- Depende de la distancia y de la orientación.
de la distancia.
3.- Es un campo de fuerzas centrales.
3.- No es un campo de fuerzas centrales.
4.- Las fuerzas eléctricas tienen la misma di- 4.- Las fuerzas magnéticas son perpendiculares al campo.
rección que el campo.
5.- Una carga eléctrica siempre experimenta la 5.- Una carga eléctrica experimenta la acción
acción de un campo eléctrico.
de un campo magnético solamente cuando se
mueve en una dirección diferente a la del campo.
6.- Las líneas del campo eléctrico son abiertas.
6.- Las líneas del campo magnético son siempre cerradas.
7.- Pueden existir cargas eléctricas aisladas.
7.- No existen polos magnéticos aislados.
8.- El campo eléctrico es conservativo, por lo 8.- El campo magnético no es conservativo, por
cual se puede definir una función potencial.
lo cual no tiene sentido definir una función potencial.
9.- La intensidad de la interacción eléctrica de- 9.- La intensidad de la interacción magnética
pende del medio, siendo mayor en el vacío que depende del medio pero, según el tipo de material, puede ser mayor o menos que en el vacío.
en los medios materiales.
U IV T 13: Campo Magnético
326
ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS
CAMPOS GRAVITATORIO, ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO
CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO ELÉCTRICO
1.- Es un campo de fuerzas 1.- Es un campo de fuerzas
que actúa sobre cuerpos ma- que actúa sobre cuerpos con
teriales por el hecho de tener cargas eléctricas.
masa.
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Es un campo de fuerzas
que actúa sobre cuerpos con
cargas eléctricas en movimiento.
2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es proporcional a la masa sobre la porcional a la carga eléctrica porcional a la carga eléctrica
que actúa.
sobre la que actúa.
sobre la que actúa.
3.- La fuerza gravitatoria es 3.- La fuerza eléctrica puede 3.- En general, no se puede
siempre de atracción.
ser de atracción o de repul- afirmar que el sentido de la
sión.
fuerza magnética sea ni de
atracción ni de repulsión.
4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido
r
en cada punto por rel vector
en cada punto por rel vector
en cada punto por el vector B
r F
r F
tal que r
E=
g=
r r
F = q ( v x B)
q
m
5.- La intensidad del campo
gravitatorio debido a una masa
puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la
r
m
distancia: g = − G 2 rˆ
r
5.- La intensidad del campo
eléctrico debido a una carga
puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la
r
q
distancia: E = k 2 rˆ
r
5.- El campo magnético debido
a un elemento conductor por el
que circula una corriente eléctrica I es inversamente proporcional al cuadrado de la disr
r µ 0 I dL x rˆ
tancia: dB =
4π r2
6.- La constante G es una 6.- La constante electrostática 6.- La permeabilidad magnéticonstante universal, no de- k tiene un valor diferente se- ca µ depende del medio.
pendiente de los medios.
gún el medio.
7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas no
conservativo.
conservativo.
conservativo.
8.- Se puede definir un poten- 8.- Se puede definir un poten- 8.- No tiene sentido definir un
potencial magnético.
cial eléctrico.
cial gravitatorio.
U IV T 13: Campo Magnético
327
9.- El potencial gravitatorio V
en un punto es la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa en ese punto:
Ep = m V
9.- El potencial eléctrico V en 9.- Sin sentido.
un punto es la energía potencial eléctrica de la unidad positiva de carga en ese punto:
Ep = q V
10.- El potencial gravitatorio V
en un punto debido a una masa puntual es inversamente
proporcional a la distancia:
m
V = –G
r
10.- El potencial eléctrico V en 10.- Sin sentido.
un punto debido a una carga
puntual es inversamente proporcional a la distancia:
q
V=k
r
11.- Las líneas de campo gravitatorio son abiertas: nacen
en el infinito y mueren el las
masas.
11.- Las líneas de campo eléc- 11.- Las líneas de campo
trico son abiertas: nacen en el magnético son cerradas.
infinito y en las cargas positivas y mueren en el infinito y en
las cargas negativas.
U IV T 13: Campo Magnético
328
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Hallar el radio de la trayectoria circular que describe una partícula α en el seno de un
campo magnético de 0’5 mT, si su velocidad es de 2x105 m/s, perpendicular al campo. Se
supone, para la partícula α, que mp ≈ mn ≡ m = 1’67x10-27kg y e = 1’6x10-19 C.
Una partícula α es un núcleo de helio, 42 He 2+ , por lo que:
masa, m = 2mp + 2mn ≅ 4mp
carga, q = 2e
r
r r
La fuerza magnética sobre ella vale: F = q( vxB) → F = q v B
r r
Esta fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria ( F ⊥ v ), por lo que producirá una aceleración
v2
, y la trayectoria deberá ser una circunferencia. Su radio lo obtenemos a partir
centrípeta an =
R
v2
m.v 4m p v 2m p v
→ R=
de la 2ª ley de Newton: F = m. an → q v B = m
=
=
R
q.B
e.B
2e..B
R=
2 x1'67 x10 −27 x 2 x10 5
= 8’35 metros de radio
1'6x10 −19 x0'5x10 −3
2.- En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares entre sí, y de intensidades E y B respectivamente. A pesar de ello, una partícula con
carga q se mueve en línea recta con velocidad constante. Calcular cuál debe ser su módulo,
dirección y sentido.
a) Supongamos un caso sencillo en el que la partícula entra en la región de los campos perpendicularmente a ellos. Para que no se desvíe de su trayectoria
r
r recta es preciso que la fuerza
r eléctrica
r r
Fe = qE contrarreste a la magnética Fm = q( vxB) ,
siendo ambas iguales y de sentido contrario En la
figura
se
r
r dibuja el caso q > 0.
Fe = −Fm → Fe = Fm → q E = q v B
⇒
v=
E
B
b) En el caso más general, supongamos que la partícula penetra en la región de los campos con
r
r
r
una velocidad cualquiera, v = v x . $i + v y . $j + v z . k$ Sean los campos E = −E.k̂ y B = −B.î , eligiendo
r
r
un sistema de coordenadas habitual (como en la figura). Entonces la expresión Fe = −Fm se escribe:
⎧v x = arbitrario
î
ĵ
k̂
⎪⎪
E
vy =
- q.E k̂ = - q v x v y v z
⇒
E k̂ = - vz B ĵ + vy B k̂ ⇒
⎨
B
⎪
−B 0
0
vz = 0
⎩⎪
que significa que, para que no haya desviación de la partícula por los campos cruzados, es preciso que su velocidad sea perpendicular al campo eléctrico (vz = 0) y que su componente según la
dirección perpendicular al campo magnético sea precisamente vy = E / B . En cuanto a la componente en la dirección del campo magnético, vx, puede tomar cualquier valor.
U IV T 13: Campo Magnético
329
3.- Una varilla de 140 g de masa y 30 cm de longitud descansa en una superficie horizontal,
y circula por ella una corriente de 24 A. Se aplica un campo magnético vertical cuya intensidad va creciendo; cuando alcanza el valor de 60 militeslas, la varilla empieza a deslizarse
por la superficie. Determinar: a) el coeficiente estático de rozamiento varilla-superficie. - b)
el trabajo que realiza la fuerza debida al campo magnético para desplazar la varilla una distancia de 1’5 m. - c) el aumento de energía cinética en ese desplazamiento si el campo
magnético se hace tres veces más intenso.
a) Fuerzas:
r
r r
Fm = I( l xB)
→
Fm = I l B
r
r
Fg = m g
r r
r
N = Fg = m g
→
N = mg
r
Froz (rozamiento estático; en el
límite, lim Froz = µe N = µe mg)
En el momento en el que se rompe el equilibrio y
comienza el movimiento:
Fm = lim Froz → I l B = µe mg
IlB 24 x 0'3x 0'06
→ µe =
= 0’31
=
mg
0'14 x9'81
r
r
b) Trabajo de la fuerza magnética: W = Fm .∆x = I l B ∆x = 24x0'3x0’06x1’5 = 0’648 julios
c) Se supone que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual a µe. Entonces Froz = µemg = I l B
Fm → F’m = 3 I l B . La resultante de las fuerzas es F = F’m – Froz = 3 I l B - I l B = 2 I l B. El trabajo
de esta resultante es igual a la variación de la energía cinética de la varilla,
∆Ec = Wneto = F . ∆x = 2 I l B ∆x = 1’296 julios
4.- El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades de un espectrógrafo de masas de Bainbridge es 1’2x105 V m-1 y ambos
campos magnéticos son de 0’60 T. Un haz de
iones de azufre con carga +e se desdobla en
dos trayectorias circulares, de 11’76 y 11’06 cm
de radio respectivamente, en el campo magnético. Determinar a qué isótopos corresponden.
E = 1’2x105 V.m-1 B = 0’6 T q = e = 1’6x10-19 C
El selector de velocidades consigue que sólo pasen
por el diafragma S3 los iones con una velocidad
dada:
E 1'2x10 5
= 2x10 5 m/s
v= =
0'6
B
En la 2ª región del campo magnético los iones S+ que pasaron experimentan desviaciones según
dos trayectorias circulares de radios R1 y R2, correspondiendo a diferentes masas de los iones S+,
m1 y m2 .
U IV T 13: Campo Magnético
330
Se verificará para cada caso:
F = m.an → q v B = m v2/R → m =
q.B.R e.B.R e.B 2 .R
=
=
v
EB
E
e.B 2 .R1 1'6 x10 −19 x 0'6 2 x11'76 x10 −2
= 5’665x10-26 kg =
=
5
E
1'2 x10
-23
-23
23
= 5’665x10 g = 5’665x10 g x 6’02x10 u/g = 33’9817 u
Corresponde al isótopo
34
16 S.
e.B 2 .R 2 1'6x10 −19 x 0'6 2 x11'06 x10 −2
=
= 5’3088x10-26 kg =
E
1'2x10 5
= 5’3088x10-23 g = 5’3088x10-23 g x 6’02x1023 u/g = 31’9590 u Corresponde al isótopo
32
16 S.
Para los iones de masa m1: m1 =
Para los iones de masa m2: m2 =
5.- Experimento de J.J.Thomson.- Un fino haz de electrones, procedente de una descarga
disruptiva, penetra horizontalmente en la región de dos campos, eléctrico y magnético, cruzados entre sí. La trayectoria del haz incidente es perpendicular a ambos campos.
El campo eléctrico está producido por un condensador plano (longitud de las armaduras, a = 1 cm; distancia entre ellas, b = 0’5 cm; diferencia de potencial, ∆V = 100 voltios. El
haz incide, tras la región de los campos, en una pantalla fluorescente situada a L = 80 cm
de ellos.
Cuando actúa únicamente el campo eléctrico, el haz se desvía d = 5,1 cm, medidos en
la pantalla. Se aplica a continuación el campo magnético progresivamente creciente, consiguiendo corregir la desviación anterior para un valor de dicho campo, B = 0,85 mT.
Hallar la relación carga-masa, e/m, o carga específica de los electrones.
Trayectoria del haz de electrones dentro del recinto de acción del campo eléctrico, suponiendo
que sólo actúa dicho campo.- y(x)
e ∆V 2
.x
y = ½ ay t2 ∧ ay = F/m = e E / m ∧ E = ∆V / b
∧ x=vt
⇒ y=
m.v 2 2.b
La desviación del haz, a la salida de este recinto, se obtiene calculando y para x = a, resultando:
e a2
y0 =
∆V
m.v 2 2.b
La desviación angular β del haz, debida al campo eléctrico, se obtiene a partir de las componentes
de la velocidad, a la salida:
v y a y .t (eE m)(a / v )
e
e a
aE =
=
=
=
∆V
tg β =
2
vx
v
v
m.v
m.v 2 b
U IV T 13: Campo Magnético
331
La desviación del haz d, medida en la pantalla (punto O’), viene dada por:
e La
∆V
d = L.tg β =
m.v 2 b
Aplicamos a continuación, el campo magnético. Veamos cuál debe ser su valor para que las partículas del haz no se desvíen: la acción del campo magnético ha de contrarrestar la del campo eléctrico, con lo que la señal del haz vuelve al punto O de la pantalla:
∆V
→
evB=eE
→
B=E/v ⇔ v=E/B=
Fm = Fe
b.B
Por tanto, sustituyendo este valor de la velocidad en la expresión de la desviación, se llega a:
e B2
L.a.b
d=
m ∆V
⇒
e
d ∆V
0'051
100
=
=
= 1’765x1011 C/kg
2
m L.a.b B
0'8x0'01x0'005 ( 0'85x10 −3 ) 2
6.- Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una
corriente que lo mantiene flotando por la acción del magnetismo terrestre. Determínese
dicha intensidad. - Datos: Densidad lineal de masa del conductor, λ = 8 g/m; componente
horizontal del campo magnético, B = 5x10-5 T.
“... lo mantiene flotando...” significa que el conductor
se encuentra en equilibrio, bajo la acción de la fuerza gravitatoria (su peso) en sentido vertical hacia
abajo y la fuerza magnética que ha de ejercerse
verticalmente hacia arriba. Entonces:
m.g
l.B
y puesto que m = λ.l, resulta en definitiva:
Fm = Fg →
I=
IlB=mg → I =
λ.g 8x10 −3 x9'80
=
= 1568 amperios
B
5x10 −5
7.- Hallar la intensidad del campo magnético producido por dos corrientes
rectilíneas, paralelas, indefinidas y de
sentidos opuestos, de intensidades I1 =
2 A e I2 = 3 A, en los puntos M y N de la
figura, siendo a = 10 cm.
En M:
r
r
r
µ
µ0
B M = B M1 + B M2 = B M1 . ĵ + B M2 . ĵ = (B M1 + B M2 ). ĵ = = ( 0 I1 +
I2). ĵ =
2π.a
2π.a
µ
2 x10 −7
( 2 + 3) = 10 −5 ĵ teslas.
= 0 (I1 + I2). ĵ =
2π.a
0,1
U IV T 13: Campo Magnético
332
En
r N: r
r
B N = B N1 + B N2 = B N1 . ĵ + B N2 . ĵ = (B N1 − B N2 ). ĵ =
=(
µ0
µ
µ
1
I1 - 0 I2). ĵ = 0 ( I1 – I2). ĵ =
2π.3a
2π.a
2π.a 3
2 x10 −7 2
( − 3) = −4,67 x10 −6 ĵ teslas
=
0,1
3
8.- Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de dos espiras circulares concéntricas situadas en planos perpendiculares, de 2 m y 3 m de radio, por las que pasan corrientes de 12 A y 15 A, respectivamente.
r
r
r
µ
µ0
B 0 = B1 + B 2 = B1 .k̂ − B 2 .î = 0 I1. k̂ I 2. î =
2.R 2
2.R1
12
15
= 2πx10-7x k̂ - 2πx10-7x î =
2
3
= 6’283x10-7(- 5 î +6 k̂ ) teslas
O bien:
B0 = 4’91x10-6 teslas
6
α= arc tg = 55’194º = 50º 11’ 40’’
5