IV Principios y Teoremas para el Análisis de Circuitos

Circuitos Eléctricos I
IV
Teoremas para el análisis de circuitos
Principios y Teoremas para el Análisis de Circuitos
Objetivos:
o Analizar y aplicar el teorema de Linealidad
o Analizar y aplicar el teorema de Superposición
o Analizar y aplicar el teorema de Transformación de Fuente
o Analizar y aplicar el teorema de Thévenin
o Analizar y aplicar el teorema de Norton
o Analizar y aplicar el teorema de Transferencia Máxima de Potencia
Introducción
En la mayoría de los casos, los circuitos eléctricos son bastante complicados y es necesario
reducir su complejidad para poder analizarlos con relativa facilidad. En este capítulo
mostraremos como reducir esos circuitos que parecen complicados en circuitos más
sencillos, como es el caso del método de superposición y transformaciones de fuentes.
También mostraremos como poder reducir un circuito en un modelo equivalente sencillo
muy útil, como es el caso del equivalente de Thévenin y Norton, cuya utilidad se basa en
poder convertir un circuito en etapas sencillas predecibles en términos de voltaje y
corriente, como los sistemas modulares, que nos permitirán analizar con precisión el
circuito total. También mostraremos las ecuaciones para poder entregar la máxima potencia
a una carga, que es de gran utilidad para los circuitos de audio, en los cuales se desea
entregar a la bocina o parlante la máxima potencia.
4.1
Linealidad
Todos los circuitos que hemos analizados hasta el momento y todos los circuitos que
estudiaremos en este libro son circuitos lineales. Hemos mostrado en la primera unidad, que
la resistencia es un elemento lineal debido a que su relación de corriente-voltaje tiene una
curva característica lineal; es decir,
v(t) = R i(t)
La linealidad requiere aditividad y homogeneidad (escala). En el caso de un elemento
resistivo, si se aplica i1(t), el voltaje a través de la resistencia es
v1(t) = R i1(t)
De manera similar, si se aplica i2(t), el voltaje a través de la resistencia es
v2(t) = R i2(t)
90
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Sin embargo, si se aplica i1(t) + i2(t) el voltaje a través de la resistencia es
v(t) = R (i2(t) + i2(t)) = R i1(t) + R i2(t) = v1(t) + v2(t)
Esto demuestra la propiedad aditiva. Además si la corriente es escalada por una constate
K1, el voltaje también es escalado por la constante K1, ya que
R K1 i1(t) = K1 R i1(t) = K1 v(t)
Esto demuestra la homogeneidad.
Hemos demostrado en los capítulos anteriores que un circuito que contiene sólo fuentes
independientes, fuentes linealmente dependientes y resistencias esta descrito por ecuaciones
de la forma:
a1 v1(t) + a2 v2(t) + . . . + an vn(t) = i(t), o
b1 i1(t) + b2 i2(t) + . . . + bn in(t) = v(t)
Note que si las fuentes independientes se multiplican por una constante, los voltajes de los
nodos o las corrientes de malla también están multiplicados por la misma constante.
Así, definimos un circuito lineal como uno que se compone solo de fuentes independientes,
fuentes lineales dependientes y elementos lineales.
Ejemplo 4.1.1
Para el circuito de la figura 4.1 encuentre
el voltaje Vsal usando el concepto de
linealidad. Par ello suponga que Vsal = 1V 12V
Io V
1
Vo
I2 V2
4KΩ
2KΩ
3KΩ
+
2KΩ
I1
Vsal
I2
-
Solución:
Figura 4.1
Con el voltaje Vsal a suponer,
encontraremos el respectivo Vo que lo produce y por lo tanto aplicando el concepto de
linealidad multiplicaremos por el factor lineal al voltaje Vsal para obtener el Vsal correcto.
Como suponemos que Vsal = 1V entonces el voltaje V2 = 1V ya que V2 = Vsal
Así podemos calcular aplicando la ley de Ohm, I2 = V2 / 2K = (1/2) mA
Una vez teniendo el valor de I2 podemos conocer el voltaje V1 aplicado LKV
V1 = I2 (4K) + V2 = (1/2 m) (4K) + 1 = 3V
91
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Con el valor de V1 conocido podemos aplicar la Ley de Ohm para conocer la corriente I1
I1 = V1 / 3K = 3 / 3K = 1 mA
Aplicando la LKC podemos conocer el valor de la corriente Io
Io = I1 + I2 = (1m) + (1/2 m) = 3/2 mA
Ahora podemos conocer el voltaje Vo aplicando LKV
Vo = I0 (2K) + V1 = (3/2 m) (2K) + 3 = 6V
Por tanto, se supone que Vsal =1V produce una fuente de voltaje de 6V. Sin embargo, ya
que el voltaje real de la fuente es 12V, el voltaje de salida real Vsal es:
Vsal = (1V) (12V/6V) = 2V que es el voltaje de salida real
4.2
Superposición
El principio de Superposición establece que en un circuito lineal que contiene múltiples
fuentes independientes, la corriente o el voltaje en cualquier punto de la red puede
calcularse como la suma algebraica de las contribuciones individuales de cada fuente al
actuar sola.
Cuando se determina la contribución debida a una fuente independiente, las restantes
fuentes de voltaje se reemplazan por cortocircuitos, y las restantes fuentes de corrientes se
reemplazan por circuitos abiertos, y habrán tantas respuestas (o contribuciones), como
fuentes independientes existan en el circuito.
Aunque la superposición puede ser usada en redes lineales que contienen fuentes
dependientes, no es útil en este caso, ya que la fuente dependiente nunca queda en cero.
Ejemplo 4.2.1
Usemos la superposición para encontrar
Vo en el circuito mostrado en la Figura
4.2.1
2KΩ
1KΩ
3V
2 mA
6KΩ
+
Vo
-
Solución:
Figura 4.2.1
Si observamos el circuito, veremos que
hay dos fuentes independientes, por lo tanto habrán dos respuestas, que serán: la
contribución de la fuente de corriente de 2mA y la contribución de la fuente de voltaje de
3V, ambas respuesta se sumarán para obtener la respuesta final.
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Entonces la respuesta Vo será Vo = Vo1 + Vo2
Primero consideremos la contribución de la
fuente de corriente de 2mA y obtendremos el
circuito mostrado en la Figura 4.2.2
2KΩ
1KΩ
Io
6KΩ
2mA
+
Vo1
-
Entonces Vo1 = Io (6K)
Figura 4.2.2
Tendremos encontrar Io para poder obtener Vo1, que lo podemos obtener a través de un
divisor de corriente.
2
⎛ 3K ⎞
Io = ⎜
⎟ (2m) = mA con este valor podemos calcular Vo1
3
⎝ 3K + 6 K ⎠
⎛2 ⎞
Vo1 = ⎜ m ⎟ (6 K ) = 4V
⎝3 ⎠
3V
2KΩ
Ahora encontraremos la contribución de la fuente
de voltaje de 3V, para ello haremos uso del
circuito mostrado en la Figura 4.2.3
1KΩ
6KΩ
+
Vo2
-
Si observamos el circuito veremos que todos los
elementos están en serie en una sola malla, por lo
tanto podemos aplicar un divisor de voltaje para
encontrar el voltaje Vo2
Figura 4.2.3
⎛ 6K ⎞
Vo 2 = ⎜
⎟ (3) = 2V
⎝ 6 K + 3K ⎠
Ahora estamos listo para encontrar Vo
Vo = Vo1 + Vo2 = 4 + 2 = 6V
Ejemplo 4.2.2
2Ω
3Ω
Para el circuito mostrado de la Figura
4..2.4 encuentre la corriente I, utilizando 24V
el principio de superposición.
I
7A
3I
Figura 4.2.4
Solución:
Si observamos el circuito, notamos que existen 2 fuentes independientes, por lo tanto
habrán dos respuestas, una debido a la contribución de la fuente de voltaje de 24V y otra
debido a la fuente de corriente de 7A, entonces nuestra respuesta I, será:
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I = I1 + I2
2Ω
3Ω
Primero consideremos la contribución de la
fuente de voltaje de 24V para ello, entonces
apagamos la fuente de corriente de 7A y el 24V
circuito equivalente es el mostrado en la
Figura 4.2.5
I1
3I1
Figura 4.2.5
Observando el circuito de la Figura 4.2.5
vemos que existe una sola malla y podemos encontrar I1 aplicando la ley de Ohm
⎛ 24 − 3I1 ⎞
I1 = ⎜
⎟ , entonces despejando I1 obtenemos,
⎝ 5 ⎠
I1 = 3A que es la primera contribución
Para encontrar la segunda contribución ahora
apagamos la fuente de voltaje de 24V y
encendemos la fuente de corriente de 7A, como
se muestra en la Figura 4.2.6
3Ω
2Ω
+
I2
Aplicando LKC al nodo de unión de las
resistencias, tenemos:
7A
Ib
Va
3I2
-
Figura 4.2.6
I2 + 7 = Ib (1)
Aplicando la ley de Ohm para obtener Ib
⎛ V − 3I 2 ⎞
Ib = ⎜ a
⎟ , (2) pero Va es el voltaje que aparece en las terminales del Resistor de
2 ⎠
⎝
3Ω, que puede ser obtenido aplicando la ley de Ohm, entonces,
Va = -3 I2 que sustituyendo en la ecuación (2) obtenemos:
Ib = -3 I2, que sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene:
I2 = -7/4 A
4.3
Por lo tanto la respuesta para I será: I = I1 + I2 = 3 – 7/4 = 5/4 A
Transformación de fuente
Una transformación de fuente es un procedimiento para transformar una clase de fuente en
otra, conservando las características de la fuente original en las terminales. Toda fuente de
voltaje VF con su resistencia asociada en serie, RS puede reemplazarse por una fuente de
corriente equivalente IF con una resistencia asociada en paralelo, RP, siendo IF = VF / RS y
RP = RS. También es válido que cualquier combinación en paralelo de IF y RP puede
94
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Teoremas para el análisis de circuitos
reemplazarse por una combinación equivalente en serie de VF y RS, siendo VF = IF (RP) y
RS = RP.
RS
IF
VF
IF =
RP
VF
RS
RP = RS
Figura 4.3.1
RS
IF
RP
VF = IF (RP) RS = RP
VF
Figura 4.3.2
5Ω
Ejemplo 4.3.1
30Ω
I
Encuentre el valor de I en el circuito
mostrado en la Figura 4.3.3 usando 5V
transformación de fuente.
3V
20Ω
Figura 4.3.3
Solución:
Para encontrar la variable a buscar, se debe reducir el circuito, haciendo las
transformaciones debidas hasta llevar el circuito a la menor expresión para poder calcular la
variable buscada.
5Ω
Para el ejemplo se debe transformar la
fuente de 3V con la resistencia serie de 30Ω 5V
a una fuente de corriente con valor IF = 3 /
30 = 0.1A en paralelo con la resistencia de
30Ω como puede ser visto en la Figura 4.3.4
I
Las resistencias de 20Ω y 30Ω están en paralelo y la
podemos reducir a una sola resistencia equivalente
cuyo valor es de 12Ω y esta quedará en paralelo con
5V
la fuente de corriente de 0.1 A y podemos volver a
convertirla en una fuente de voltaje con valor VF =
0.1 (12) = 1.2V en serie con la resistencia de 12Ω,
como puede ser visto en la Figura 4.3.5
95
0.1A
30Ω
20Ω
Figura 4.3.4
5Ω
12Ω
I
1.2V
Figura 4.3.5
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Teoremas para el análisis de circuitos
Ahora tenemos un circuito de una sola malla, en donde si podemos calcular la corriente I,
I=
5 − 1 .2
= 0.224 A
17
5Ω
Ejemplo 4.3.2
Encuentre el valor de I en el
circuito mostrado en la Figura 5A
4.3.6 usando transformación
de fuente.
10Ω
I
5Ω
10Ω
5Ω
2A
Figura 4.3.6
Solución:
5Ω
5Ω
10Ω
5Ω
Si observamos el circuito de la
Figura 4.3.6 podemos transformar
I
10Ω
10V
ambas fuentes de corriente,la fuente 25V
de corriente de 5A con la resistencia
en paraaelo de 5Ω a una fuente de
Figura 4.3.7
voltaje de VF = 25V con una
resistencia de 5Ω en serie y la fuente de corriente de 2A con la resistencia en paralelo de
5Ω en una fuente de voltaje VF = 10V, pero con el signo negativo arriba por la dirección de
la corriente, en serie con la resistencia de 5Ω, como puede ser visto en la figura 4.3.7
15Ω
Luego podemos observar que ambas
resistencias de 5Ω están es serie y
podemos sustituirlas por una sola 2.5A
10V
10Ω
10Ω
resistencia equivalente de 10Ω,
entonces podemos transformar la fuente
de voltaje de 25V con la resistencia de
Figura 4.3.8
10Ω en serie a una fuente de corriente
de valor IF = 2.5A en paralelo con la resistencia de 10Ω, por otro lado la resistencia de 10Ω
por donde pasa I está en serie con la resistencia de 5Ω, entonces podemos sustituirla por
una resistencia equivalente de 15Ω y sin afectar la variable que estamos buscando, entonces
reducimos nuestro circuito, como se muestra en la figura 4.3.8
5Ω
15Ω
Ahora podemos reducir las resistencia de
10Ω en paralelo a una resistencia
I
equivalente de 5Ω y convertir la fuente de 12.5V
corriente de 2.5A en paralelo con la
resistencia equivalente de 5Ω a una fuente
Figura 4.3.9
de voltaje de valor VF = 12.5V en serie con
una resistencia de 5Ω y obtenemos el circuito mostrado en la figura 4.3.9
96
10V
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Teoremas para el análisis de circuitos
Si observamos el circuito mostrado en la Figura 4.3.9, tenemos un circuito de una sola
malla y entonces podemos calcular la corriente I aplicando la ley de Ohm,
I=
4.4
12.5 + 10
= 1.125 A
20
Teoremas de Thévenin
El teorema de Thévenin ( Por el
Carga o
Ing. Francés M.L. Thévenin) nos
Resto del
Circuito
dice que podemos reemplazar todo
circuito
Original
un
circuito
con
fuente
independientes, dependientes y
(a)
resistencias, excluyendo la carga,
RTH
por un circuito equivalente que
Carga o
contenga sólo una fuente de voltaje
+
Resto del
independiente (llamado voltaje de VTH
circuito
Thévenin VTH o voltaje de circuito
abierto Vcab,) en serie con una
Equivalente de Thévenin
(b)
resistencia (llamada Resistencia de
Thévenin RTH) de tal forma que la
Figura 4.4.1
relación corriente-voltaje en la
carga se conserve. El voltaje de Thévenin o voltaje de ciruito abierto, es el voltaje de
circuito abierto entre las terminales de la carga una vez que la carga ha sido quitada, y la
Resistencia de Thévenin es la resistencia equivalente vista entre las dos terminales abiertas
donde estaba la carga. La Figura 4.4.1 (a) muestra el circuito original y la Figura 4.4.1.b
muestra el equivalente de Thévenin.
Para este teorema podemos distinguir tres casos: primero cuando en el circuito sólo existen
fuentes independientes y elementos resistivos, el segundo cuando además de fuentes
independientes y elementos resistivos aparecen también fuentes dependientes y el tercero
cuando solo existen fuentes dependientes y elementos resistivos.
Circuitos que contienen sólo fuentes independientes
Ejemplo 4.4.1
2KΩ
Vamos a considerar el circuito
1KΩ
mostrado en la Figura 4.4.2 para
encontrar el Voltaje de salida Vo
usando el Teorema de Thévenin.
3V
6KΩ
2mA
+
Vo
-
Figura 4.4.2
97
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Teoremas para el análisis de circuitos
Solución:
RTH
Para comenzar debemos enfocarnos en lo que se
nos pide, es decir para este ejemplo la salida Vo.
6KΩ
Además en como se pide la respuesta, para este VTH
caso usando el Teorema de Thévenin. Por lo tanto
plantearemos nuestra solución, sustituyendo el
Figura 4.2.3
circuito original por el equivalente de Thévenin
con la carga conectada (Figura 4.4.3) y encontrando la respuesta.
Vo =
+
Vo
-
6K
(VTH ) que es hacer un simple divisor de voltaje.
6 K + RTH
3V
2KΩ
Para poder alcanzar nuestra respuesta, es
necesario encontrar VTH y RTH lo cual
+
haremos a continuación. Para ello, es 1KΩ
V1
2mA
necesario retornar al circuito original y
quitar la carga, que este caso es el
Resistor de 6KΩ y encontrar el voltaje
Figura 4.2.4
de circuito abierto entre las terminales de
donde se quito la carga. Haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.4.4
+
VTH
-
Para encontrar el voltaje VTH podemos hacer uso de la LKV, entonces VTH será:
VTH = 3 + V1, sin embargo el voltaje V1 es también el voltaje entre los terminales del
Resistor equivalente de 3KΩ, y lo podemos calcular usando la ley de Ohm, ya que la
corriente que pasa por él es la misma que la de la fuente de corriente de 2mA, ya que dicha
fuente no puede fluir por la otra rama, debido a que ésta se encuentra abierta. Por tanto V1
será:
V1 = (2m) (3K) = 6V, así el voltaje de Thévenin será:
2KΩ
VTH = 3 + V1 = 3 + 6 = 9V, ahora sólo
nos hace falta encontrar la Resistencia
RTH
equivalente de Thévenin, para ello 1KΩ
apagaremos
todas
la
fuentes
independientes (es decir las fuentes de
Figura 4.4.5
corrientes se abren y las fuentes de
voltajes se cortocircuitan) y encontraremos la Resistencia equivalente entre las terminales
de donde estaba la carga, dicho procedimiento se puede observar en la Figura 4.4.5.
Como podemos observar de la Figura 4.4.5 vemos que los dos resistores se encuentran en
serie, por lo tanto la resistencia equivalente entre las terminales abiertas de la carga es :
RTH = 3KΩ
98
C.R. Lindo Carrión
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Teoremas para el análisis de circuitos
Así, ahora estamos listo para encontrar el voltaje de salida Vo
Vo =
6K
6K
(VTH ) =
(9) = 6V
6 K + RTH
6 K + 3K
Circuitos que contienen fuentes independientes y fuentes dependientes
Ejemplo 4.4.2
2I
6Ω
10Ω
a
Encuentre el equivalente de
Thévenin entre las terminales a-b 20V
del circuito mostrado en la figura
4.4.6.
6Ω
I
b
Figura 4.4.6
RTH
Solución:
a
Necesitamos encontrar el circuito equivalente de Thévenin, VTH
como es mostrado en la Figura 4.4.7
Retomando el circuito original, el voltaje de Thévenin será el
voltaje entre las terminales a-b,
como puede ser visto en el circuito
6Ω
de la Figura 4.4.8
Figura 4.4.7
2I
10Ω
b
a
+
VTH
6Ω
El voltaje de Thévenin será el 20V
I
voltaje entre las terminales de la
b
segunda resistencia de 6Ω por donde
Figura 4.4.8
está dibujada la corriente I, ya que
por la Resistencia de 10Ω no pasa corriente ya que esta abierto el terminal. Por lo tanto el
voltaje de Thévenin, se puede calcular usando la ley de Ohm, así
VTH = (6) (I) y para encontrar I haremos uso de la LKV a la malla izquierda,
20 + 2I = I (6 +6) entonces I será : I = 2A, por lo tanto el voltaje de Thévenin será:
VTH = 6 (2) = 12V
Ahora necesitamos encontrar la Resistencia equivalente de Thévenin, pero para encontrarla
como hay fuentes dependientes en el circuito, debemos calcular la corriente de cortocircuito
entre las terminales a-b, (es decir, se debe cortocircuitar las terminales a-b y encontrar la
corriente entre esas terminales) y la Resistencia de Thévenin será:
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C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
RTH =
Teoremas para el análisis de circuitos
6Ω
VTH
I coc
2I1
+
V1
I1
-
20V
Para calcular Icoc utilizaremos el
circuito de la Figura 4.4.9
10Ω
a
Icoc
6Ω
b
Figura 4.4.9
Icoc puede ser calculado usando la ley de Ohm y conociendo el voltaje V1, así,
Icoc = V1 / 10, entonces tendremos que encontrar V1 para poder obtener el valor de la
corriente de cortocircuito, para ello podemos aplicar de la LKV a la malla de la derecha,
así,
20 + 2(I1) = (6) (I1 + Icoc) + V1 pero también V1 = (6) (I1) = (10) (Icoc), sustituyendo estos
valores en la ecuación de la LKV, obtenemos:
20 + 2(5/3)(Icoc) = 6(10/6)(Icoc) +6(Icoc) + 10(Icoc)
20 = 26(Icoc) - (10/3) (Icoc)
I coc =
( 20)(3) 60
=
A entonces la Resistencia de Thévenin será:
68
68
13.6Ω
VTH 12
=
= 13.6Ω Así el equivalente de Thévenin
I coc 60
12V
68
entre las terminales a-b se muestra en la Figura 4.4.10
a
RTH =
b
Figura 4.4.10
Circuitos que contienen sólo fuentes dependientes
5Ω
a
Ejemplo 4.4.3
Encuentre el equivalente de Thévenin entre las 2I
terminales a-b, para el circuito mostrado en la Figura
4.4.11
I
10Ω
b
Figura 4.2.11
Solución:
Cuando en el circuito sólo hay fuentes dependientes, el voltaje de Thévenin o voltaje de
circuito abierto es cero y solo existe la Resistencia de Thévenin, en el modelo equivalente
de Thévenin. Para calcular la resistencia de Thévenin, se debe poner en las terminales de la
carga: una fuente de voltaje de prueba que inyecta una corriente de prueba, o una fuente de
corriente de prueba que entre sus terminales tienen un voltaje de prueba, y la resistencia de
Thévenin será:
100
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
RTH =
Teoremas para el análisis de circuitos
Vp
Ip
Sin embargo para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un valor de 1V para el
voltaje de prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede elegirse cualquier
valor, se utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la resistencia de
Thévenin será:
RTH =
1
si Vp = 1V y necesitaremos encontrar el valor de Ip para obtener el valor de RTH.
Ip
o,
RTH =
Vp
1
si Ip = 1A y necesitaremos encontrar el valor de Vp para obtener el valor
de RTH.
5Ω
Para nuestro ejemplo utilizaremos una
fuente de corriente de prueba de 1A que
entre sus terminales tiene un voltaje de 2I1
prueba, que trataremos de encontrar para
obtener el valor de la resistencia de
Thévenin. Para ello nos auxiliaremos con el
circuito de la Figura 4.4.12.
+
I2
I1
10Ω
1A
Vp
-
Figura 4.4.12
Como la fuente de prueba de 1A esta en paralelo a la resistencia de 10Ω, entonces el voltaje
de prueba será igual:
Vp = 10 (I1) y aplicando LKC al nodo derecho de arriba vamos a tener:
I2 + 1 = I1, entonces I2 = I1 -1, aplicando LKV a la malla de la derecha se obtiene:
2I1 = 5 (I2) + Vp y sustituyendo los valores I2 e I1 en función de Vp se obtiene:
2(Vp/10) = 5{(Vp/10) – 1} + Vp multiplicando por un factor 10 toda la expresión se tiene:
2Vp = 5Vp -50 + 10(Vp) así el valor del voltaje de prueba será:
Vp = (50/13) V por lo tanto el valor de la resistencia de Thévenin será:
50
Ω , así el equivalente de Thévenin entre las
1 13
50
terminales a-b del circuito original se muestra en la Figura 13 Ω
4.4.13.
RTH =
Vp
=
a
b
Figura 4.4.13
101
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
También pudimos haber usado una fuente de voltaje
prueba de 1V que inyecta una corriente de prueba Ip
y calcular RTH. Esto lo ilustraremos con el ejemplo
anterior. Para ello nos auxiliaremos del circuito 2I1
mostrado en la Figura 4.4.14
Para calcular la corriente de prueba haremos uso de
la LKC aplicado al nodo superior de la Resistencia
de 10Ω, así:
5Ω
Ip
I2
10Ω
1V
I1
Figura 4.4.14
Ip + I2 = I1 el valor de I2 lo calculamos usando la ley de Ohm, entonces,
2 I1 − 1
y el valor de I1 se obtiene también aplicando la ley de Ohm, I1 = (1/10)V,
5
ahora sustituyendo estos valores en la ecuación de la LKC, se obtiene:
I2 =
Ip =
1 ⎛ 2(1 / 10) − 1 ⎞ 1 ( −8) 13
−
=
A , entonces la resistencia de Thévenin será:
−⎜
⎟=
10 ⎝
5
50
⎠ 10 50
RTH =
4.5
1
1
50
=
= Ω , que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
13
13
Ip
50
Teorema de Norton
Carga o
Resto del
circuito
Circuito
El teorema de Norton (Por el
Original
científico de los Laboratorios
(a)
telefónicos Bell E.L: Norton) Plantea
que podemos reemplazar todo un
circuito con fuente independientes,
Carga o
dependientes
y
resistencias,
Resto
del
IN
RN
excluyendo la carga, por un circuito
circuito
equivalente que contenga sólo una
(b)
fuente de corriente independiente Equivalente de Norton
Figura 4.5.1
(llamado corriente de Norton IN o
corriente de corto circuito Icoc,) en
paralelo con una resistencia (llamada Resistencia de Norton RN) de tal forma que la
relación corriente-voltaje en la carga se conserve. La corriente de Norton o corriente de
corto circuito, es la corriente entre las dos terminales de la carga cortocircuitada y la
Resistencia de Norton es la resistencia equivalente vista entre las dos terminales abiertas
donde estaba la carga. La Figura 4.5.1. (a) muestra el circuito original y la Figura 4.5.1.b
muestra el equivalente de Norton.
102
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Al igual que el Teorema de Thévenin, en este Teorema de Norton también podemos
distinguir los tres casos: primero cuando en el circuito sólo existen fuentes independientes y
elementos resistivos, el segundo cuando además de fuentes independientes y elementos
resistivos aparecen también fuentes dependientes y el tercero cuando solo existen fuentes
dependientes y elementos resistivos. Se resuelven usando los mismos procedimientos para
calcular la Resistencia de Norton que fueron usados para encontrar la resistencia de
Thévenin, lo único que cambia es que tenemos que encontrar la corriente de Norton o
corriente de cortocircuito. Para ello utilizaremos los mismos ejemplos que utilizamos para
ejemplificar el Teorema de Thévenin.
Circuitos que contienen sólo fuentes independientes
2KΩ
Ejemplo 4.5.1
3V
+
Vamos a considerar el circuito
mostrado en la Figura 4.5.2 para 1KΩ
encontrar el Voltaje de salida Vo
usando el Teorema de Norton.
6KΩ
2mA
Vo
-
Figura 4.5.2
Solución:
Para comenzar debemos enfocarnos en lo que se nos
pide, es decir para este ejemplo la salida Vo. Además
en como se pide la respuesta, para este caso usando el IN
Teorema de Norton. Por lo tanto plantearemos nuestra
solución, sustituyendo el circuito original por el
equivalente de Norton con la carga conectada (Figura
4.5.3) y encontrando la respuesta.
+
RN
6KΩ
Vo
-
Figura 4.5.3
RN
( I N )(6 K ) que es aplicar la ley de Ohm, es decir la corriente que pasa por la
RN + 6 K
resistencia de 6K multiplicada por la resistencia de 6K, pero para encontrar la corriente que
pasa por la resistencia de 6K hacemos uso del simple divisor de corriente.
Vo =
2KΩ
3V
Para poder alcanzar nuestra respuesta,
+
es necesario encontrar IN y RN lo cual
I1
2mA
V1
haremos a continuación. Para ello, es 1KΩ
Icoc
necesario retornar al circuito original
y quitar la carga, que este caso es el
Figura 4.5.4
Resistor de 6KΩ y encontrar la
corriente de cortocircuito entre las
terminales de donde se quito la carga. Haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.5.4
103
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Para encontrar la corriente Icoc podemos hacer uso de la LKC aplicada al nodo superior de
la fuente de corriente de 2mA, entonces Icoc será:
I1 + 2m = Icoc, sin embargo podemos observar que la corriente I1 es la misma que pasa por
la resistencia de 1K y la fuente de voltaje de 3V esta en paralelo a la resistencia equivalente
de 3K, por lo tanto podemos aplicar la ley de Ohm para calcular el valor de la corriente I1.
I1 = (3/3K) = 1mA podemos observar que es positiva ya que la corriente va del potencial
más alto al potencial más bajo.
Ahora ya podemos calcular el valor de la corriente de cortocircuito,
Icoc = 1m + 2m = 3mA
2KΩ
Ahora sólo nos hace falta encontrar la
Resistencia equivalente de Norton,
para ello apagaremos todas la fuentes 1KΩ
RN
independientes (es decir las fuentes de
corrientes se abren y las fuentes de
Figura 4.5.5
voltajes
se
cortocircuitan)
y
encontraremos
la
Resistencia
equivalente entre las terminales de donde estaba la carga, dicho procedimiento se puede
observar en la Figura 4.5.5.
Como podemos observar de la Figura 4.5.5 vemos que los dos resistores se encuentran en
serie, por lo tanto la resistencia equivalente entre las terminales abiertas de la carga es :
RN = 3KΩ, como podemos observar el resultado es la misma que la Resistencia de
Thévenin.
Así, ahora estamos listo para encontrar el voltaje de salida Vo
Vo =
RN
3K
( I coc )(6 K ) =
(3m)(6 K ) = 6V
RN + 6 K
3K + 6 K
Como podemos observar es el mismo resultado obtenido utilizando el teorema de
Thévenin.
Circuitos que contienen fuentes independientes y fuentes dependientes
6Ω
2I
10Ω
Ejemplo 4.5.2
Encuentre el equivalente de 20V
Norton entre las terminales a-b del
circuito mostrado en la figura
4.5.6.
a
6Ω
I
b
Figura 4.5.6
104
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Solución:
a
Necesitamos encontrar el circuito equivalente de Norton,
como es mostrado en la Figura 4.5.7
IN
Retomando el circuito original, la corriente de Norton será la
corriente de cortocircuito entre las terminales a-b, como
puede ser visto en el circuito de la Figura 4.5.8.
6Ω
Icoc puede ser calculado usando la
ley de Ohm y conociendo el
20V
voltaje V1, así,
RN
b
Figura 4.5.7
2I1
+
V1
I1
-
10Ω
6Ω
a
Icoc
b
Icoc = V1 / 10, entonces tendremos
Figura 4.5.8
que encontrar V1 para poder
obtener el valor de la corriente de cortocircuito, para ello podemos aplicar de la LKV a la
malla de la derecha, así,
20 + 2(I1) = (6) (I1 + Icoc) + V1 pero también V1 = (6) (I1) = (10) (Icoc), sustituyendo estos
valores en la ecuación de la LKV, obtenemos:
20 + 2(5/3)(Icoc) = 6(10/6)(Icoc) +6(Icoc) + 10(Icoc)
20 = 26(Icoc) - (10/3) (Icoc)
( 20)(3) 60
=
A . Para calcular la resistencia de Norton, se tendrá que encontrar el
68
68
Voltaje de Thévenin o voltaje de circuito abierto ya que,
I coc =
VTH
, pero en la sección anterior ya habíamos encontrado el voltaje de Thévenin,
I coc
donde su valor fue: VTH = 12V, así RN = 13.6Ω igual al valor de RTH. Sin embargo
mostraremos otro método para encontrar RN, que también es válido para encontrar RTH.
RN =
Cuando dentro del circuito se encuentren fuentes independientes y dependientes, para
encontrar la resistencia equivalente de Thévenin o de Norton, se deben apagar las fuentes
independientes (es decir, la fuente de voltaje se cortocircuita y la fuente de corriente se
abre) y en lugar de la carga se pone una fuente de voltaje de prueba que inyecta una
corriente de prueba o una fuente de corriente de prueba que entre sus terminales tiene un
voltaje de prueba, similar que el caso donde solo existen fuentes independientes. Este
método será aplicable siempre y cuando la variable dependiente no se encuentre en la
V
carga, si eso sucede entonces, se tendrá que aplicar el otro método ( R N = TH = RTH ).
I coc
Similar que en secciones anteriores, para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un
valor de 1V para el voltaje de prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede
105
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
elegirse cualquier valor, se utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la
resistencia de Norton será:
RN =
Vp
1
con Vp = 1V o R N =
con Ip =
Ip
1
2I1
6Ω
1A
10Ω
Ip
Mostraremos la aplicación de este método
para este ejemplo, para ello utilizaremos el
circuito mostrado en la Figura 4.5.9. Donde
Vp = 1V y buscaremos Ip para luego
encontrar la resistencia de Norton.
Ia
I1
1V
Ib
6Ω
Figura 4.5.9
Aplicaremos análisis de malla para encontrar la corriente de prueba Ip que será igual al
valor negativo de la corriente de malla Ib
Aplicando LKV a la malla a obtenemos:
(6 + 6) Ia – (6) Ib = 2 I1 pero I1 = Ia - Ib, entonces la ecuación anterior se reduce a :
Ia = (2/5)Ib, (1)
Ahora aplicamos LKV a la malla b
(6 + 10) Ib – (6) Ia = -1 y sustituyendo el valor de Ia en función de Ib de la ecuación (1) se
obtiene:
(16) Ib – (6)(2/5) Ib = -1 multiplicando por 5 toda la ecuación se tiene:
(80)Ib – (12)Ib = -5
Ib = -(5/68) y como Ip = - Ib = (5/68) Por lo tanto La resistencia de Norton será:
1
1
68
=
=
= 13.6Ω , que es la misma respuesta
5
5
Ip
68
obtenida anteriormente.
RN =
A
Así el equivalente de Norton entre las terminales a-b se 60
68
muestra en la Figura 4.5.10
a
13.6Ω
b
Figura 4.5.10
106
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Circuitos que contienen sólo fuentes dependientes
5Ω
a
Ejemplo 4.5.3
Encuentre el equivalente de Norton entre las terminales 2I
a-b, para el circuito mostrado en la Figura 4.5.11
I
10Ω
b
Figura 4.5.11
Solución:
Cuando en el circuito sólo hay fuentes dependientes, la corriente de Norton o corriente de
cortocircuito es cero y solo existe la Resistencia de Norton, en el modelo equivalente de
Norton. Para calcular la resistencia de Norton, se procede de la misma forma que hizo para
obtener el equivalente de Norton en la sección anterior o como se procedió en el ejemplo
anterior, es decir, se debe poner en las terminales de la carga: una fuente de voltaje de
prueba que inyecta una corriente de prueba, o una fuente de corriente de prueba que entre
sus terminales tienen un voltaje de prueba, y la resistencia de Norton será:
RTH =
Vp
Ip
Que para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un valor de 1V para el voltaje de
prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede elegirse cualquier valor, se
utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la resistencia de Norton será:
Vp
1
si Vp = 1V o, R N =
si Ip = 1A
Ip
1
Para nuestro ejemplo utilizaremos una
fuente de corriente de prueba de 1A que
entre sus terminales tiene un voltaje de
prueba, que trataremos de encontrar para 2I1
obtener el valor de la resistencia de Norton.
Para ello nos auxiliaremos con el circuito
de la Figura 4.5.12. Proceso que ya fue
hecho en al sección del Teorema de Thévenin.
RN =
5Ω
+
I2
I1
10Ω
1A
Vp
-
Figura 4.5.12
Como la fuente de prueba de 1A esta en paralelo a la resistencia de 10Ω, entonces el voltaje
de prueba será igual:
Vp = 10 (I1) y aplicando LKC al nodo derecho de arriba vamos a tener:
I2 + 1 = I1, entonces I2 = I1 -1, aplicando LKV a la malla de la derecha se obtiene:
2I1 = 5 (I2) + Vp y sustituyendo los valores I2 e I1 en función de Vp se obtiene:
107
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
2(Vp/10) = 5{(Vp/10) – 1} + Vp multiplicando por un factor 10 toda la expresión se tiene:
2Vp = 5Vp -50 + 10(Vp) así el valor del voltaje de prueba será:
Vp = (50/13) V por lo tanto el valor de la resistencia de Norton será:
a
50
Ω
50
Ω , así el equivalente de Norton entre las terminales 13
1 13
b
a-b del circuito original se muestra en la Figura 4.5.13.
Figura 4.5.13
RN =
Vp
=
También pudimos haber usado una fuente de voltaje prueba de 1V que inyecta una
corriente de prueba Ip y calcular RN. Esto puede ser leído de la sección anterior (Teorema
de Thévenin) es idéntico, con la excepción de poner RN en lugar de RTH
4.6
Teorema de Máxima Transferencia de Potencia
El teorema de Máxima Transferencia de Potencia establece que la potencia máxima
entregada a la carga por una fuente representada por su circuito equivalente de Thévenin, se
alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin RTH.
La eficiencia de la transferencia de potencia se define como la razón de la potencia
entregada a la carga, Psal, a la potencia entregada por la fuente, Pent. Por tanto la eficiencia
es:
η=
Psal
Pent
Demostraremos lo que establece el teorema de
máxima transferencia de potencia. Para elo
utilizaremos los circuitos mostrados en la Figura
4.6.1
La potencia en la carga es: Pc = I2(Rc) y la corriente
I es:
VTH
, que sustituyendo en la potencia en
RTH + Rc
la carga se obtiene:
I=
⎛ VTH
Pc = ⎜⎜
⎝ RTH + Rc
Carga
Circuito
Original
(a)
RTH
I
VTH
Rc
Equivalente de Thévenin
(b)
Figura 4.6.1
2
⎞
⎟⎟ Rc
⎠
108
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Suponiendo que VTH y RTH son constantes para una fuente dada, la potencia máxima será
función de Rc. Para calcular el valor de Rc que maximiza la potencia, se usa el calculo
diferencial para determinar el valor de Rc para el que la derivada (dP/dRc) es igual a cero.
dP VTH2 ( RTH + Rc ) 2 − 2( RTH + Rc ) Rc
=
=0
dRc
( RTH + Rc ) 4
La derivada es cero cuando
( RTH + Rc ) 2 − 2( RTH + Rc ) Rc = 0 , factorizando
( RTH + Rc )( RTH + Rc − 2 Rc ) = 0
2
( RTH
− Rc2 ) = 0
RTH = Rc , por lo que queda demostrado lo establecido por el teorema.
Ahora la potencia máxima transferida a la carga será:
2
VTH
Rc VTH2
=
(2 Rc ) 2 4 Rc
Pmax c =
También puede utilizarse el equivalente de Norton, para el cual la potencia máxima
transferida a la carga será:
Pmax c
I N2 Rc
=
4
Rc
Ejemplo 4.6.1
Para el circuito mostrado en la Figura 4.6.2 encuentre
el valor de la resistencia de carga para máxima
transferencia de potencia y la potencia máxima
2mA
transferida a la carga.
4KΩ
6KΩ
3V
3KΩ
Solución:
Figura 4.6.2
Primero tenemos que obtener el equivalente de
Thévenin entre las terminales de la carga Rc, para
obtener el valor de dicha carga para transferencia
máxima de potencia, donde Rc = RTH. Entonces para
obtener el equivalente de Thévenin nos auxiliaremos 2mA
del circuito en la Figura 4.6.3.
Para encontrar el voltaje de Thévenin haremos uso del
análisis de malla, entonces el voltaje de Thévenin será:
109
-
VTH
+
4KΩ
I1
6KΩ
3KΩ I2
3V
Figura 4.6.3
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
VTH = V4K + V6K con el V4K = (4K) I1 y V6K = (6K) I2
Si observamos la malla 1 coincide con la fuente de corriente de 2mA, entonces tenemos una
ecuación de restricción, I1 = 2mA
Ahora aplicamos la LKV a la malla dos, para obtener:
(3K + 6K) I2 – (3K) I1 = -3 y sustituyendo el valor de I1 se obtiene:
(9K) I2 = -3 + 6 = 3 por lo tanto I2 = (1/3) mA, ahora ya podemos calculara el voltaje de
Thévenin,
RTH
VTH = (4K) I1 + (6K) I2 = 8 + 2 = 10V
4KΩ
Para calcular la resistencia equivalente de Thévenin, haremos
uso del circuito mostrado en la Figura 4.6.4
6KΩ
3KΩ
Observando el circuito mostrado en la Figura 4.6.4 vemos que
las resistencias de 6K y 3K están en paralelo y su equivalente
esta en serie con la resistencia de 4K, entonces,
Figura 4.6.4
RTH = (6K⎪⎪3K) + 4K = 2K + 4K = 6KΩ
Por lo tanto la resistencia de carga para máxima transferencia es igual a la resistencia de
Thévenin, así Rc = RTH = 6KΩ.
La potencia máxima transferida a la carga es:
Pmax c =
VTH2
10 2
25
=
=
mW
4 Rc 4( 6 K ) 6
6KΩ
Sin embargo no es necesario recordar esta formula, para
poder dar nuestra respuesta, basta recordar la formula de
la potencia y aplicarla al circuito equivalente de 10V
Thévenin, como se muestra en la Figura 4.6.5
I
6KΩ
Figura 4.6.5
La potencia en la carga es:
Pc = I 2 Rc , pero sustituyendo el valor de la corriente I y metiendo valores se obtiene:
⎛ VTH
Pc = ⎜⎜
⎝ RTH + Rc
2
2
⎞
10 ⎞
25
⎟⎟ Rc = ⎛⎜
mW
⎟ 6K =
6
⎝ 12 K ⎠
⎠
1KΩ
Ejemplo 4.6.2
Para el circuito mostrado en la 3KΩ
Figura 4.6.6 encuentre el valor de la
resistencia de carga para máxima
transferencia de potencia y la
4mA
2KIx
4KΩ
2KΩ
Rc
Ix
Figura 4.6.6
110
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
potencia máxima transferida a la carga.
Solución:
2KIx
1KΩ
4KΩ
Primero tenemos que obtener
+
el equivalente de Thévenin
4mA
2KΩ
VTH
entre las terminales de la 3KΩ
I
1
I
carga Rc, para obtener el
2
Ix
valor de dicha carga para
transferencia máxima de
Figura 4.6.7
potencia, donde Rc = RTH.
Entonces para obtener el equivalente de Thévenin nos auxiliaremos del circuito en la Figura
4.6.7.
Si observamos el circuito, vemos que por la resistencia de 4K no pasa corriente porque su
extremo esta abierto, entonces el voltaje de Thévenin aparece en las terminales de la
resistencia de 2K, así dicho será:
VTH = (2K) I2
Tenemos una ecuación de restricción I1 = -4mA
Aplicando la LKV a la supermalla obtenemos:
(3K +1K + 2K) I2 + (3K + 1K) I1 = (2K)Ix, pero Ix = I2, entonces,
(4K) I2 = -(4K) I1, por lo tanto I2 = -I1 = 4mA, entonces,
Ahora
necesitamos
encontrar
la
resistencia equivalente de Thévenin, para
ello nos auxiliaremos del circuito 4KΩ
mostrado en la Figura 4.6.8.
VTH = (2K) I2 = 8V
c
Suponemos que Vp =1V, entonces RTH =
(1/Ip)
2KIx
b
4KΩ
a
Ip
2KΩ
1V
Ix
Figura 4.6.8
Va = 1V y la ecuación del supernodo es:
Vb – Vc = (2K) Ix, pero Ix = (Vb/2K), entonces
Vb – Vc = (2K) (Vb/2K) = Vb, de donde resulta que Vc = 0V
Aplicando LKV al supernodo se obtiene:
(1/4K) Vc + (1/2K + 1/4K) Vb – (1/4K)Va = 0, como Vc = 0, este término desaparece de la
ecuación y multiplicando por 4K toda la ecuación se obtiene:
111
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
3Vb – 1(1) = 0 entonces,
Vb = (1/3)V, ahora podemos calcular Ip usando la ley de Ohm
Ip =
Va − Vb 1 − (1 / 3) 1
=
= mA , así la resistencia equivalente de Thévenin será:
4K
4K
6
RTH =
1
= 6 KΩ
Ip
Así, Rc = RTH = 6KΩ para máxima transferencia de potencia.
La potencia máxima transferida a la carga será:
Pmax c =
4.7
VTH2
82
8
=
= mW
4 Rc 4(6 K ) 3
Problemas Resueltos
Ejemplo 4.7.1
Para el circuito que se muestra en la figura 4.7.1.(a), encuentre la corriente Io usando
linealidad y la suposición que Io = 1mA.
3KΩ
2mA
3KΩ
4KΩ
8KΩ
4KΩ
2mA
Figura 4.7.1
4KΩ
I2
I1
4KΩ
8KΩ
Io
I3
Io
(a)
3KΩ
V1
3KΩ
V2
(b)
Solución:
Como Io = 1mA, entonces V1 = 4V, y podemos calcular la corriente I1,
I1 = V1 /12K = 1/3 mA, entonces aplicando LKC al nodo 1 obtenemos que I2 = I1 + Io,
I2 = 4/3 mA, podemos entonces conocer el voltaje V2 haciendo LKV,
V2 = I2(3K) + V1 = 8V, entonces I3 = V2/3K = 8/3 mA , así la corriente de la fuente será:
If = I2 + I3 = (4/3m) + (8/3m) = 4mA, sin embargo la fuente es de 2 mA, lo que quiere decir
que la corriente Io = 1mA es producida por una fuente de corriente de 4mA, pero como la
112
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
fuente del circuito es de 2mA, entonces la corriente Io debe ser un factor (1/2) de la
corriente asumida, es decir la respuesta es:
Io = (1/2)(1mA) = ½ mA
Ejemplo 4.7.2
12V
Para el circuito que se muestra en la figura
4.7.2, encuentre la corriente I usando el
principio de superposición.
20KΩ
4KΩ
3mA
12KΩ
9mA
I
Figura 4.7.2
Solución:
Para encontrar nuestra respuesta tendremos que usar superposición y como tenemos tres
fuentes independientes, dividimos el circuito en tres circuitos independientes para encontrar
la contribución de cada una de las fuentes y luego sumar las contribuciones, como es
mostrado en la figura 4.7.3
12V
20KΩ
4KΩ
4KΩ
12KΩ
I1
(a)
20KΩ
3mA
I2
12KΩ
(b)
4KΩ
20KΩ
I3
12KΩ
9mA
(c)
Figura 4.7.3
Encontremos I1, que es la contribución de la fuente de voltaje de 12V, figura 4.7.3 (a),
tenemos una sola malla y aplicamos la ley de Ohm para obtener:
I1 =
− 12
1
= − mA
36 K
3
Ahora encontremos la contribución de la fuente de corriente de 3mA, figura 4.7.3 (b),
tenemos un divisor de corriente, así:
I2 =
16 K
4
(3m) = mA
36 K
3
Por último la contribución de la fuente de corriente de 9mA, figura 4.7.3 (c), tenemos otro
divisor de corriente, así:
I3 =
12 K
(−9m) = −3mA
36 K
113
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Ahora nuestra respuesta es la suma de la tres contribuciones, así:
I = I1 + I2 + I3 = (-1/3m) + (4/3m) – 3m = -2mA
3A
Ejemplo 4.7.3
Para el circuito que se muestra en la
figura 4.7.4, encuentre el voltaje Vo,
usando el principio de transformación de
fuentes, si la corriente I = 5/2 A.
6Ω
8V
2A
3Ω
12Ω
16Ω
Solución:
10Ω
7Ω
Vo
20Ω
I
Primero transformaremos la fuente
Figura 4.7.4
corriente de corriente de 2A en paralelo
con una Resistencia de 16Ω, en una
36V
8V
12Ω
16Ω
fuente de Voltaje de 32Vcon su
Resistencia serie de 16Ω, también las
Resistencias de 6Ω y 3Ω que se 32V
7Ω
12Ω
Vo
I
encuentran en paralelo en el extremo
20Ω
derecho del circuito la reducimos en
una Resistencia de 2Ω, que a su vez
Figura 4.7.5
queda en serie con la Resistencia de
10Ω, formando una Resistencia equivalente de 12Ω, que se encuentra en paralelo con la
fuente de corriente de 3A, que la transformamos, en una fuente de voltaje de 36V con una
Resistencia serie de 12Ω, entonces nuestro circuito resultante, es como se muestra en la
figura 4.7.5:
36V
12Ω
Ahora las dos fuentes de voltaje de 32V y
8V se encuentran en serie y las podemos
7Ω
2/3 A
36Ω
12Ω
reducir a una sola fuente de 24V por sus
Vo
I
polaridades, y las Resistencias de 20Ω y
16Ω las podemos reducir a su equivalente
Figura 4.7.6
de 36Ω, entonces esa fuente de voltaje en
serie con una Resistencia, la transformamos en una fuente de corriente de 2/3 A en paralelo
con una Resistencia de 36Ω, como es mostrado en la figura 4.7.6:
Luego, las Resistencias de 36Ω y 12Ω, por
encontrarse en paralelo la podemos reducir a su
6V
equivalente de 9Ω y la fuente corriente de 2/3
A en paralelo con la Resistencia de 9Ω la
podemos transforma en una fuente de voltaje de
6V en serie con una Resistencia de 9Ω, como es
mostrado en la figura 4.7.7:
114
9Ω
36V
12Ω
7Ω
Vo
I
Figura 4.7.7
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Ahora tenemos una sola malla y la corriente I conocida, podemos aplicar la LKV y obtener
nuestra respuesta, así:
6 + 36 + Vo = (5/2)(28) = 70, entonces, Vo = 28V
4Ω
Ejemplo 4.7.4
Para el circuito mostrado en la figura 4.7.8
20V
encuentre el equivalente entre las terminales ab.
a
2A
4Ω
8Ω
b
Figura 4.7.8
Solución
RTH
Tenemos que llegar a obtener el circuito mostrado en la
figura 4.7.9
VTH
Para ello haremos uso de la transformación de fuente y
Figura 4.7.9
buscar primero el voltaje de Thévenin entre las terminales
a-b, transformaremos la fuente de voltaje de 20V en serie con la Resistencia de 4Ω, a una
fuente de corriente de 5A en paralelo con la Resistencia de 4Ω, como es mostrado en la
Figura 4.7.4.2 (a) a, como podemos observar, las dos fuentes se encuentran en paralelo y
poder reducirla a una sola fuente de corriente de 3A y luego volver a transformarla a una
fuente de voltaje de 12V en serie con la Resistencia de 4Ω, como se muestra en la figura
4.7.10 (b).
4Ω
5A
4Ω
2A
4Ω
8Ω
(a)
+
VTH
-
4Ω
12V
8Ω
Figura 4.7.10
+
VTH
-
(b)
Ahora podemos calcular fácilmente el voltaje de Thévenin haciendo un simple divisor de
voltaje, así:
VTH =
4
(12) = 3V
16
4Ω
Luego para encontrar la Resistencia equivalente de
Thévenin, haremos uso del circuito mostrado en la figura
4.7.4.11
Así la Resistencia equivalente de Thévenin es:
115
4Ω
8Ω
RTH
Figura 4.7.11
RTH = 4||12 = 3Ω
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Ejemplo 4.7.5
3Ω
6Ω
+ Vx -
Para el circuito mostrado en la figura 4.7.12 encuentre el
equivalente de Thévenin entre las terminales a-b.
a
20V
b
1Ω
RTH
Solución:
10V
Tenemos que llegar a
VTH
obtener el circuito mostrado
la figura 4.7.13
2Vx
en
Figura 4.7.12
Figura 4.7.13
3Ω
I
Ahora para encontrar el voltaje VTH, transformaremos
la fuente de corriente controlada 2Vx en paralelo con
20V
la resistencia de 1Ω, en una fuente de voltaje
controlada de 2Vx en serie con la Resistencia de 1Ω,
como es mostrado en la figura 4.7.14
6Ω
+ Vx 2Vx
1Ω
+
VTH
10V
Figura 4.7.14
Ahora el voltaje VTH se puede calcular haciendo una
LKV en la malla derecha del circuito, así:
VTH = 6I + 10, pero I = Vx/3, entonces VTH = 2Vx + 10, tendremos que encontrar el voltaje
Vx para dar nuestra respuesta,
Como tenemos una sola malla, aplicaremos la ley de Ohm para obtener I, así:
I=
10 + 2V x
, sustituyendo I = Vx/3, obtenemos 10Vx = 30 + 6Vx, así:
10
I´
Vx = 7.5V y entonces VTH = 25 V
Ahora para calcular la Resistencia de Thévenin nos
auxiliaremos del circuito mostrado en la Figura
4.7.15
3Ω
6Ω
+ V´x Icoc
20V
1Ω
2V´x
Figura 4.7.15
La Resistencia de Thévenin será RTH = VTH/Icoc.
Para encontrar Icoc aplicaremos la LKC al nodo superior del cortocircuito, así:
10V
Icoc = (10/6) + I´, pero I´= V´x/3, para encontrar V´x aplicaremos la LKV a la malla de la
izquierda en el circuito, entonces:
20 + V´x =I´(1) = V´x/3, entonces 60 + 3V´x = V´x, así V´x = -30V, entonces I¨= -10, por lo
tanto,
Icoc = (5/3) -10 = -25/3 y RTH = -3Ω
116
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Ejemplo 4.7.6
3KΩ
2KΩ
Para el circuito mostrado en la figura 4.7.16
encuentre el equivalente de Thévenin entre las
terminales a-b.
2KΩ
1KΩ
2KIx
a
Ix
b
Figura 4.7.16
Solución:
Para este circuito, el equivalente es sólo la
Resistencia de Thévenin, que para encontrarla
haremos uso del circuito mostrado en la Figura 2KIx
4.7.17
2KΩ
a
1KΩ
Ix
Ip
3KΩ
1V
2KΩ
Figura 4.7.17
La Resistencia de Thévenin será RTH = 1/Ip,
donde el voltaje de prueba se ha asumido con 1V, entonces tendremos que encontrar Ip.
1 1 − Va
+
, entonces necesitaremos encontrar el voltaje del nodo a, para ello
2K
3K
aplicaremos la LKC al nodo a:
Ip =
1
1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1
⎛ 1 ⎞
+
+
⎜
⎟Va − ⎜
⎟2 KI x − ⎜
⎟1 = 0 , e Ix = Va/1K, multiplicando por 6K y
⎝ 2K ⎠
⎝ 3K ⎠
⎝ 2 K 1K 3K ⎠
sustituyendo Ix, tenemos:
(3 + 6 + 2)Va − (6)Va − 2 = 0 , entonces Va = 2/5 V, insertamos este valor en Ip para obtener:
Ip = 7/10 mA, por lo tanto RTH = 10/7 KΩ
2KIx
Ejemplo 4.7.7
Para el circuito mostrado en la figura
4.7.18 encuentre el equivalente de
Norton entre las terminales a-b.
6KΩ
2.5mA
4KΩ
Ix
1KΩ
a
3KΩ
b
Figura 4.7.18
Solución:
Tenemos que llegar a obtener el circuito mostrado en la figura
4.7.19
Icoc
RN
Figura 4.7.19
117
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Para encontrar la corriente de cortocircuito
Icoc, utilizaremos el circuito de la figura
4.7.20
Teoremas para el análisis de circuitos
6KΩ
2KIx
15V
4KΩ
1KΩ
3KΩ
Ix
Icoc
En
este
circuito se
muestra
la
Figura 4.7.20
transformación de la fuente de corriente de
2.5mA con la Resistencia en paralelo de
6KΩ, a la respectiva fuente de voltaje de 15V en serie con la Resistencia de 6KΩ. Ahora
podemos calcular, la corriente de cortocircuito encontrando primero el voltaje a través de la
Resistencia de 1KΩ, para luego aplicar la ley de Ohm.
El voltaje de la Resistencia de 1KΩ, es el mismo que el de la Resistencia de 3KΩ, para
calcular es necesario reemplazar el paralelo que forman ambas Resistencias por su
equivalente y aplicar un divisor de voltaje para encontrar dicho voltaje. Entonces:
1KΩ||3KΩ = ¾ KΩ, ahora el voltaje de 1KΩ es:
V1K =
(3 / 4) K
(15 − 2 KI x ) , pero como Ix = V1K/3K, entonces,
(3 / 4) K + 10 K
V1K =
3
2
(15 − V1K ) , de donde podemos despejar V1K = 1V, así Icoc = V1K/1K = 1mA
43
3
Ahora procederemos encontrar la Resistencia
de Norton que es equivalente a la Resistencia
de Thévenin, RN = VTH/Icoc, para ello 15V
necesitamos encontrar el voltaje de Thévenin.,
para ello haremos uso del circuito mostrado en
la figura 4.7.21
6KΩ
2KI´x
4KΩ
I´x
1KΩ
3KΩ
+
VTH
-
Figura 4.7.21
Como podemos observar del circuito, debido a que no circula corriente a través de la
Resistencia de 1KΩ, el voltaje de Thévenin, es el mismo que el de la Resistencia de 3KΩ,
entonces para encontrarlo solo basta hacer un divisor de voltaje, así:
VTH =
3K
(15 − 2 KI x´ ) ´, pero I´x = VTH/3K, entonces,
3K + 10 K
VTH =
3
2
(15 − I x´ ) , de donde podemos despejar VTH = 3V, por lo tanto:
13
3
RN = 3/(1m) = 3KΩ
118
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
Ejemplo 4.7.8
10Ix
Ix
Para el circuito mostrado en la figura 4.7.22
encuentre la potencia máxima en la Resistencia 16V
de carga RC, si ésta cumple para máxima
transferencia de potencia promedio.
0.9A
3Ω
RC
2Ω
Figura 4.7.22
Solución:
Ix
10Ix
Para que la Resistencia de carga cumpla con la
+
condición de Máxima Transferencia de Potencia,
0.9A 3Ω
VTH
tenemos que encontrar la Resistencia equivalente de 16V
2Ω
Thévenin y entonces la Resistencia de carga tomará
este valor, para luego encontrar la potencia máxima
Figura 4.7.23
transferida a esa carga. Para encontrar la resistencia
de Thévenin, tendremos que encontrar el voltaje de Thévenin y la corriente de cortocircuito
( RTH = VTH/Icoc), Comenzaremos encontrando el voltaje de Thévenin, para eso utilizaremos
el circuito mostrado en la figura 4.7.23
Observando el circuito, vemos que el voltaje de Thévenin es el voltaje que aparece en las
terminales de la Resistencia de 3Ω y aplicando la ley de Ohm, obtenemos que el voltaje de
Thévenin es :
VTH = (3)10Ix = 30Ix, y para encontrar el valor de Ix haremos uso de la LKC en el nodo
superior de la fuente corriente, así:
Ix + 0.9 = 10Ix, despejando obtenemos que Ix = 0.1A, entonces VTH = 3V
Ahora necesitamos encontrar la corriente de
cortocircuito, para ello nos auxiliaremos del circuito
16V
mostrado en la figura 4.7.24
I´x
10I´x
0.9A 3Ω
2Ω
Como podemos observar del circuito la corriente
Icoc es igual al valor de la fuente de corriente
controlada, es decir:
Icoc
Figura 4.7.24
Icoc = 10I´x, y para encontrar I´x utilizaremos la LKC aplicada al nodo superior de la fuente
de corriente de 0.9A, así:
I´x + 0.9 = 10I´x, despejando obtenemos I´x = 0.1ª, entonces Icoc = 1A, así RTH = 3Ω, por lo
tanto,
RC = RTH = 3Ω, y la potencia máxima transferida a esa carga es:
PC = I 2 RC =
VTH2
VTH2
R
=
= 0.75W
C
4 RC
4 RC2
119
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
4.8
Teoremas para el análisis de circuitos
500Ω
Problemas Propuestos
4.8.1 Para el circuito mostrado en la 0.6mA
figura 4.8.1, encuentre Io usando la
linealidad.
Io
2KΩ
12A
4Ω
2KΩ
3KΩ
Figura 4.8.1
Respuesta: Io = 0.15mA
4Ω
1KΩ
8Ω
24Ω
4Ω
+
V1
-
4.8.2 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.2, encuentre V1 usando la linealidad.
Respuesta: V1 = 8V
Figura 4.8.2
3KΩ
4.8.3 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.3, encuentre Io usando la linealidad.
2mA
3KΩ
4KΩ
4KΩ
Io
8KΩ
Respuesta: Io = 0.5mA
Figura 4.8.3
1KΩ
VF
2KΩ
I
2KΩ
1KΩ
1KΩ
4.8.4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.4,
encuentre Io usando la linealidad.
Respuesta: V1 = 8V
2KΩ
Figura 4.8.4
4KΩ
4.8.5 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.5 encuentre I usando la linealidad y las 8KΩ
suposición de que I = 1mA.
I
6mA
Respuesta: I = 3mA
4K
2KΩ
6KΩ
3KΩ
Figura 4.8.5
6KΩ
8KΩ
V
4.8.6 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.6
encuentre V usando la linealidad y las suposición de
que V = 1V.
-
Respuesta: I = (4/3)V
+
6KΩ
2KΩ
12V
Figura 4.8.6
120
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.7 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.7, encuentre VF si I = 1A y si VF = 1KV
encuentre I.
4V
24Ω
4Ω
Io
75Ω
Respuesta: VF = 20KV, I = (1/20)A
2R
R
R
I2
2R
20Ω
Figura 4.8.7
+
I1
80Ω
Vo
-
Figura 4.8.9
4.8.9 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.9, encuentre Vo usando el principio de
superposición.
Respuesta: Vo = R(0.333I1-I2)V
3Ω
4.8.10 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.10, encuentre I usando el principio de 3A
superposición.
I
2Ω
3Ω
6Ω
Respuesta: I = (33/17)A
12V
Figura 4.8.10
100V
1A
I2
20Ω
0.5A
30Ω
4.8.11 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.11, encuentre I2 usando el principio de
superposición.
Respuesta: I2 = 1.3A
Figura 4.8.11
+
4.8.12 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.12 encuentre el voltaje Vo, usando
superposición.
12V
Vo
-
3KΩ
8KΩ
6KΩ
2mA
2KΩ
Respuesta: Vo = 8V
Figura 4.8.12
6V
2Ω
4.8.13 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.13,
encuentre V1 usando el principio de superposición.
+ V1 3Ω
6Ω
18V
2A
Respuesta: V1 = 5V
Figura 4.8.13
121
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.14 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.14,
encuentre Vx usando el principio de superposición.
Respuesta: Vx = (13/6)V
3V
1KΩ
+
Vx
-
4KΩ
2KΩ
1mA
2KΩ
Figura 4.8.14
1mA
5KΩ
Io
10KΩ
5KΩ
15KΩ
10V
10KΩ
4.8.15 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.15, encuentre Io usando el principio de
superposición.
Respuesta: Io = 0.923mA
20V
I1
Figura 4.8.15
4.8.16 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.16,
encuentre Vx usando el principio de superposición.
1Ω
12V
+
Vx
-
6A
2I1
Respuesta:, Vx = 15V
10Ω
Figura 4.8.16
60V
+
4A
20Ω
30Ω
I1
Vo
0.4I1
-
4.8.17 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.17 encuentre el voltaje Vo,
usando superposición.
Respuesta:, Vo = 82.56V
Figura 4.8.17
2Ω
4.8.18 Para el circuito mostrado en la figura
3Vx
4.8.18 encuentre el voltaje Vx, usando
superposición.
6V
IL
8Ω
Figura 4.8.19
-
3Ω
4A
10V
5Ω
5Ω
Figura 4.8.18
Respuesta:, Vx = 26V
2Ω
+ Vx
4.8.19 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.19,
encuentre IL usando el teorema de transformación de
4A fuentes.
Respuesta:, IL = 2.6A
122
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.20 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.20, encuentre I usando el
teorema de transformación de fuentes. 5A
10Ω
5Ω
5Ω
I
10Ω
2A
5Ω
Respuesta:, I = 1.125A
Figura 4.8.20
20V
40V
4.8.21 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.21,
encuentre IL usando el teorema de transformación de
fuentes.
30V
2KΩ
3KΩ
2KΩ
IL
Respuesta:, IL = 8.76mA
Figura 4.8.21
6V
4KΩ
4.8.22 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.22 encuentre la corriente Io, usando 2KΩ
transformación de fuentes.
2mA
Figura 4.8.22
8KΩ
+
12V
3V
2KΩ
Io
Respuesta:, Io = -0.3A
6KΩ
6KΩ
4KΩ
3KΩ
2KΩ
Vo
4.8.23 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.23
encuentre la corriente Io, usando transformación de
fuentes.
-
Respuesta:, Vo = 2V
2mA
Figura 4.8.23
600Ω
4.8.24 Para el circuito mostrado en
la figura 4.8.24 encuentre la 6mA
corriente Io, usando transformación
de fuentes.
1K4Ω
1.4V
1mA
3KΩ
+
Vo
-
Figura 4.8.24
Respuesta:, Vo = 3V
12V
4KΩ
3mA
20KΩ
I
12KΩ
4.8.25 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.25, encuentre I usando el teorema de
transformación de fuentes.
9mA
Respuesta:, I = -2mA
Figura 4.8.25
123
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
15mA
4.8.26 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.26, encuentre IL usando el teorema de
transformación de fuentes.
Respuesta:, I = 3.5mA
2KΩ
10Ω
50V
15Ω
I
6KΩ
Figura 2.12.35
4.8.27 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.27 encuentre
el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b.
100V
Respuesta:, VTH = 75V, RTH = 12.5Ω
25Ω
b
4Ω
4.8.28 Para el circuito mostrado en la figura 20V
4.8.28 encuentre el equivalente de Thévenin
entre las terminales a y b.
8Ω
2Ω
8Ω
4.8.29 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.29, encuentre el equivalente de Thévenin
entre las terminales a y b.
b
Respuesta:, VTH = 21V, RTH = 18Ω
Figura 4.8.29
Respuesta:, VTH = -30V, RTH = 72Ω
-
a
30Ω
b
4.8.31 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.31 use el teorema de Thévenin
para encontrar Vo.
8KΩ
2mA
40Ω
60Ω
Figura 4.8.30
3KΩ
6KΩ
50V
20Ω
4.8.30 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.30, encuentre el equivalente de Thévenin
20Ω
entre las terminales a y b.
Vo
b
a
10Ω
+
4Ω
Figura 4.8.28
24Ω
2A
a
2A
Respuesta:, VTH = 3V, RTH = 3Ω
12V
12KΩ
30mA
a
Figura 4.8.27
12V
15V
4KΩ
2KΩ
Respuesta:, VTH = 12V, RTH = 4KΩ,
Vo = 8V
Figura 4.8.31
124
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.32 Para el circuito mostrado en la a
figura 4.8.32, encuentre el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b.
3V
2Ω
1Ω
4Ω
3Ω
2A
Respuesta:, VTH = 11V, RTH = (77/6)Ω
9V
9V
b
Figura 4.8.32
6I
10Ω
4.8.33 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.33,
encuentre el equivalente de Thévenin entre las
terminales a y b
a
40V
8Ω
I
Respuesta:, VTH = 16V, RTH = (16/3)Ω
b
Figura 4.8.33
40Ω
4.8.34 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.34
encuentre el equivalente de Thévenin entre las 20V
terminales a y b.
100Ω
200Ω
I1
a
1.5I1
b
Respuesta:, VTH = 38.885V, RTH = 177.76Ω
Isc = 0.21875A
+ Vx 4KΩ
+
4.8.35 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.35, encuentre Vo usando el equivalente de
Thévenin.
Vo
Respuesta:, Vo = -(36/13)V
4KΩ
12V
Vx
6KΩ
Figura 4.8.34
2
-
12V
Figura 4.8.35
4.8.36 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.36 use el teorema de
Thévenin para encontrar Vo.
2Vx/1K
2KΩ
2KΩ
+
Vx
-
2KΩ 2KΩ
+
Vo
-
Figura 4.8.36
Respuesta:, VTH = 2V, RTH = (7/3)KΩ, Isc = (6/7)mA, Vo = (12/13)V
12V
4KΩ
4KΩ
4KΩ
2Ix
Ix
1KΩ
+
Vo
-
Figura 4.8.37
125
4.8.37 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.37 use el teorema de Thévenin
para encontrar Vo.
Respuesta:, VTH = 12V, RTH = 5KΩ,
Isc = 2.4mA, Vo = 2V
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.38 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.38, encuentre Vo usando el
equivalente de Thévenin.
+ Vo 4KΩ
6V
Respuesta:, VTH = -2V, RTH = (32/3)KΩ
Isc =-(3/16)mA, Vo = -(6/19)V
2KIx
6KΩ
2KΩ
+
Vx
-
2KΩ
Vx
1K
Vo
-
4.8.39 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.39, encuentre Vo usando el
equivalente de Thévenin.
Respuesta:, VTH = 6V, RTH = 7KΩ
Isc = (6/7)mA, Vo = (24/11)V
Figura 4.8.39
2Vab
4.8.40 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.40, encuentre
el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b
a
4Ω
Respuesta:, RTH = (2/5)Ω
+ V1 15V1
2Ω
Figura 4.8.40
6Ω
4Ω
12V
Figura 4.8.38
4KΩ
3mA
Ix
2KΩ
4KΩ
+
6V
4KΩ
a
4.8.41 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.41,
encuentre el equivalente de Thévenin entre las
terminales a y b.
b
Respuesta:, RTH = 3Ω
6Ω
Figura 4.8.41
b
2KΩ
4.8.42 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.42
encuentre el equivalente de Thévenin entre las 1KΩ
terminales a y b.
+
Vx
3KΩ
a
4Vx/1K
b
Respuesta:, RTH = (18/5)KΩ
50Ω
0.01Vab
200Ω
Figura 4.8.42
0.2Vab
a
100Ω
+
Vab
b
4.8.43 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.43 encuentre el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b.
Respuesta:, RTH = 192.30Ω
Figura 4.8.43
126
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.44 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.44
encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y 2Ω
b.
+
Vx
-
a
0.5Ix
3Ω
Ix
Respuesta:, RTH = -9Ω
3Ω
1KΩ
b
2KΩ
+ Vx -
1KΩ
2KΩ
4Vx
a
Figura 4.8.44
4.8.45 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.45,
encuentre el equivalente de Thévenin entre las
terminales a y b.
4KΩ
2Vx
b
Figura 4.8.45
Respuesta:, RTH = (28/15)KΩ
2A
4.8.46 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.46,
encuentre el equivalente de Norton entre las
terminales a y b.
40V
Respuesta:, IN = -1.5A, RN = 60Ω
6KΩ
6V
2mA
4.8.48 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.48
encuentre el equivalente de Norton entre las
3V
terminales a y b.
1/4Ω
a
+
1/2Ω
Vx
Vx/2
Figura 4.8.48
805Ω
a
10I
1/2Ω
-
Respuesta:, IN = (21/8)A, RN = (4/9)Ω
40Ω
I
Figura 4.8.49
b
Respuesta:, IN = 2mA, RN = 3KΩ, Io = 1.2mA
Figura 4.8.47
2Vab
180Ω
4.8.47 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.47 use el teorema de Norton para encontrar
3KΩ
Io.
Io
12V
a
Figura 4.8.46
3KΩ
2KΩ
15Ω
60Ω
b
127
b
4.8.49 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.49, encuentre el equivalente de
Norton entre las terminales a y b
Respuesta:, IN = -0.15A, RN = 6.44KΩ
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.50 Para el circuito mostrado en la figura a
4.8.50 encuentre el equivalente de Norton entre
las terminales a y b.
b
Respuesta:,RN = 10.6382Ω
50Ω
+
V1
Vx
2K
a
0.1V1
4.8.51 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.51,
encuentre el equivalente de Norton entre las
terminales a y b.
b
1KΩ
2KΩ
200Ω
Figura 4.8.50
2KΩ
4KΩ
100Ω
-
Vx
Respuesta:, RN = 2KΩ
100Ω
150Ω
Figura 4.8.51
4.8.52 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.52
encuentre la Resistencia R, para máxima 6V
transferencia de potencia promedio y la potencia
máxima transferida a dicha Resistencia.
R
2V
Figura 4.8.52
Respuesta:, VTH = 3.6V, RL = 60Ω, PMTL =54mW
1KΩ
2KΩ
2KΩ
4mA
RC
4KΩ
4.8.53 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.53 encuentre la Resistencia R, para
máxima transferencia de potencia promedio y
la potencia máxima transferida a dicha
Resistencia.
Respuesta:, VTH = (16/3)V, RL = 2.22KΩ,
PMTL =3.2032mW
Figura 4.8.53
4.8.54 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.54
encuentre la Resistencia R, para máxima 5V
transferencia de potencia promedio y la potencia
máxima transferida a dicha Resistencia.
3Ω
Respuesta:, VTH = 9.5V, RL = 3.5Ω,
PMTL =6.4464W
2Ω
RC
3Ω
2A
Figura 4.8.54
1KΩ
500Ω
10V
1KΩ
2mA
RL
4.8.55 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.55
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia
de potencia promedio y la potencia máxima transferida
a dicha Resistencia.
Respuesta:, RL = 600Ω, PMTL =38.4mW
Figura 4.8.55
128
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
4.8.56 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.56 encuentre la Resistencia RL, 20mA
para máxima transferencia de potencia
promedio y la potencia máxima
transferida a dicha Resistencia.
1KΩ
RL
2KΩ
6KΩ
1KΩ
Figura 4.8.56
Respuesta:, RL = 12KΩ, PMTL =100mW
6V
6KΩ
2KΩ
12KΩ
RL
Figura 4.8.57
4.8.57 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.57
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia
de potencia promedio y la potencia máxima transferida
a dicha Resistencia.
Respuesta:, RL = 6KΩ, PMTL =(2/3)mW
4.8.58 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.58
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de
potencia promedio y la potencia máxima transferida a
dicha Resistencia.
6V
3KΩ
2mA
2KΩ
6KΩ
RL
Respuesta:, RL = 4KΩ, PMTL = 4mW
Figura 4.8.58
12V
6KΩ
RL
6KΩ
6KΩ
3V
4.8.59 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.59
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de
potencia promedio y la potencia máxima transferida a
dicha Resistencia.
Respuesta:, RL = 2KΩ, PMTL = (25/2)mW
Figura 4.8.59
2KΩ
4.8.60 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.60
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de
potencia promedio y la potencia máxima transferida a
1mA
dicha Resistencia.
Respuesta:, RL = 10KΩ, PMTL = 8.1mW
2mA
3KΩ
RL
5KΩ
Figura 4.8.60
129
C.R. Lindo Carrión
Circuitos Eléctricos I
Teoremas para el análisis de circuitos
RL
4.8.61 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.61
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de
potencia promedio y la potencia máxima transferida a
dicha Resistencia.
2mA
4KΩ
6KΩ
3KΩ
3V
Respuesta:, RL = 6KΩ, PMTL = (25/6)mW
Figura 4.8.61
6Ω
2Vab
6V
a
4Ω
Figura 4.8.62
RC
b
4.8.62 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.62 encuentre la Resistencia de carga RC, para
máxima transferencia de potencia promedio y la
potencia máxima transferida en la carga.
Respuesta:, VTH = 12V, RL = 12Ω, PMTL =3W
1KΩ
4.8.63 Para el circuito mostrado en la figura
4.8.63 encuentre la Resistencia de carga RC, para
máxima transferencia de potencia promedio y la 10V
potencia máxima transferida en la carga.
I
9KΩ
100I
Respuesta:, VTH = 10V, RL = 99Ω,
PMTL =0.2525W
RC
+
Vo
-
Figura 4.8.63
I1
40Ω
20Ω
RL
10I1
50V
4.8.64 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.64
encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de
potencia promedio y la potencia máxima transferida a
dicha Resistencia.
Respuesta:, RL = 16Ω, PMTL = mW
Figura 4.8.64
4Vx
4.8.65 Para el circuito mostrado en la
figura 4.8.65 encuentre la Resistencia de
carga RC, para máxima transferencia de Io
potencia promedio y la potencia
máxima transferida en la carga.
4Ω
2Ω
2Ω
6Ω
RC
4Ω
+ Vx -
Respuesta:, VTH = Io, RL = (3/2)Ω,
PMTL =(1/6)Io2W
Figura 4.8.65
130
C.R. Lindo Carrión