4. Método del elemento finito (formulación de desplazamientos)

Universidad Simón Bolı́var
4.
4.1.
Introducción al MEF
Método del elemento finito (formulación de
desplazamientos)
Introducción
El método del elemento finito es un método numérico que permite encontrar
soluciones aproximadas a problemas fı́sicos gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En el caso que nos ocupa, (i.e. problema de elasticidad
lineal) el método permite encontrar un valor aproximado de la función desplazamiento u en el dominio del problema que satisface las ecuaciones de equilibrio y
las condiciones de contorno.
El método está basado en la aplicación del método de Rayleigh-Ritz, no al
dominio completo del problema, si no a subdominios llamados elementos. Ası́, el
dominio completo es representado por un número finito de elementos o malla (cf.
figura 6).
Los elementos pueden ser de varias formas dependiendo de la geometrı́a del dominio total, siendo en general formas geométricas bastante simples (e.g.: puntos y
lı́neas para problemas unidimensionales; triángulos y cuadriláteros para problemas
bidimensionales; y tetraedros y hexaedros para problemas tridimensionales). Ası́,
la geometrı́a de los elementos puede ser parametrizada en función de las coordenadas de los vértices o nodos de los mismos (cf. figura 7). En la formulación de
desplazamientos del método del elemento finito, los desplazamientos de los nodos
son empleados como los coeficientes que acompañan las diferentes funciones de
Ritz a nivel elemental.
Es evidente, que la discretización del dominio en elementos de geometrı́as sencillas no puede necesariamente representar a cabalidad todos los detalles de la frontera del dominio global, constituyendo esto una primera aproximación del método.
Sin embargo, esta aproximación es mejorable aumentando el número de elementos
que se utilizan en la discretización del dominio (refinamiento de la malla).
La ventaja de la discretización del dominio total en elementos, es que, al ser
la geometrı́a de los mismos bastante sencilla y parametrizable, la elección de las
funciones de Ritz se simplifica enormemente. Además, puesto que todos los elementos de un mismo tipo tienen la geometrı́a parametrizada de la misma forma,
se puede emplear para todos ellos las mismas funciones de Ritz. En consecuencia,
sólo es necesario encontrar las expresiones para la energı́a potencial total y energı́a
cinética de un elemento en forma paramétrica, para cada tipo de elemento.
Una vez discretizado el dominio en elementos (dominio mallado), estos elementos se ensamblan entre si mediante la aplicación de condiciones de compatibilidad
Euro Casanova, 2005
21
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Introducción al MEF
Figura 6: Division del dominio en subdominios (elementos)
Figura 7: Algunos tipos de elementos (1D, 2D y 3D)
Euro Casanova, 2005
22
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Introducción al MEF
para los desplazamientos en los nodos de los mismos. Esto equivale a encontrar
expresiones para la energı́a potencial total y la energı́a cinética de todo el sólido. Estas expresiones son introducidas entonces en las ecuaciones de Lagrange,
obteniendo ası́ una ecuación matricial global que gobierna el problema.
Finalmente, las condiciones de contorno se imponen sobre la ecuación matricial
global y entonces se resuelve el problema estimando la función u y otras funciones
de interés como las deformaciones ε y los esfuerzos σ.
4.2.
Discretización del dominio en elementos
Como se dijo en la sección anterior el dominio total Ω es dividido en ne subdominios Ωe , llamados elementos. Las fronteras de estos elementos son coincidentes
de forma tal que no existen huecos o espacios vacı́os y los elementos no se solapan
entre sı́. En consecuencia, el volumen total del sólido se puede expresar como la
suma de los volúmenes elementales, i.e.:
V =
ne
X
Ve
(4.1)
e=1
Un elemento tı́pico está formado por un número nn de vértices o nodos. El
movimiento de cada nodo es descrito por un número ngn de grados de libertad
que corresponden a los desplazamientos y/o rotaciones de ese nodo en los ejes
coordenados. Ası́, los desplazamientos nodales de un elemento o los grados de
libertad elementales se expresan como:
 e 
q1(t) 




 qe 

2(t)
e
q(t) =
(4.2)
.. 

.



q e 

nn (t)
Donde cada uno de los vectores qei(t) tiene una dimensión ngn , por lo que la dimensión total del vector de grados de libertad elementales qe(t) , es igual al número de
nodos del elemento por el número de grados de libertad por nodo, i.e.: nn × ngn .
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4.3.
Introducción al MEF
Funciones de forma o de interpolación
Siguiendo la metodologı́a de Rayleigh-Ritz se propone la siguiente aproximación
para los desplazamientos de un punto cualquiera dentro del elemento:
 e 
q1(t) 





n
n
e


X
£
¤
q
2(t)
e
e
e
(4.3)
Φi(x) qi(t) = Φ1(x) Φ2(x) · · · Φnn (x)
u(x,t) ≈
..  = N(x) q(t)

.


i=1

qe 

nn (t)
Donde los términos de las matrices Φi(x) son funciones de Rayleigh-Ritz, dependientes de las coordenadas espaciales, y cuyo dominio se limita al del elemento.
Estas funciones se escogen de tal forma que para las posiciones nodales toman un
valor unitario o se anulan, puesto que los vectores qei(t) representan los desplazamientos nodales. Para cualquier otra posición dentro del elemento, los desplazamientos son una interpolación de los desplazamientos nodales, por lo cual a estas
funciones se les denomina funciones de interpolación o funciones de forma. Ası́, la
matriz N(x) se denomina matriz de funciones de forma.
4.4.
Deformaciones y esfuerzos elementales
Recordando la expresión general del vector de deformaciones en función de los
desplazamientos y empleando la aproximación para los desplazamientos a nivel
del elemento, obtenida en la sección anterior, el vector de deformaciones elemental
resulta:
(4.4)
εe(x,t) = Lue(x,t) = LN(x) qe(t) = B(x) qe(t)
Donde B(x) = LN(x) es una matriz que resulta de aplicar los operadores diferenciales espaciales de la matriz L a las funciones de forma contenidas en N(x) . Esta
matriz, en general, depende de las coordenadas espaciales.
Para obtener los esfuerzos elementales usamos la relación constitutiva y la expresión para las deformaciones a nivel elemental, i.e.:
σ e(x,t) = Dεe(x,t) = DB(x) qe(t)
(4.5)
Note que los esfuerzos a nivel elemental, al igual que las deformaciones, dependen de la posición dentro del elemento y de los desplazamientos nodales.
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24
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4.5.
Introducción al MEF
Energı́a interna de deformación (matriz de rigidez
elemental)
Tomando en cuenta las expresiones para los esfuerzos y deformaciones a nivel
elemental, la energı́a potencial o energı́a interna de deformación de un elemento
U e , resulta:
Z
Z
1
1
e
T
e
Ue =
σ eT
qeT
(4.6)
(x,t) ε(x,t) dV =
(t) B(x) D B(x) q(t) dV
2 Ωe
2 Ωe
En esta expresión, es evidente que el vector de desplazamientos nodales no depende
de las coordenadas espaciales por lo que puede salir del integral. Ası́ tenemos:
Ue =
1 eT e e
q K q(t)
2 (t)
donde, Ke es la matriz de rigidez elemental definida como:
Z
Ke =
BT(x) D B(x) dV
(4.7)
(4.8)
Ωe
Esta matriz es simétrica y su dimensión es igual al número de nodos del elemento
por el número de grados de libertad por nodo, i.e.: nn × ngn .
4.6.
Energı́a cinética (matriz de masa elemental)
Tomando en cuenta la expresión aproximada para los desplazamientos a nivel
elemental se puede obtener la expresión para las velocidades, i.e.:
´
∂ ³ e ´ ∂ ³
e
e
u̇(x,t) =
u(x,t) =
N(x) q(t) = N(x) q̇e(t)
(4.9)
∂t
∂t
Ası́, la energı́a cinética de un elemento T e , resulta:
Z
Z
1
1
e
T
e
ρ u̇eT
ρ q̇eT
Te =
(x,t) u̇(x,t) dV =
(t) N(x) N(x) q̇(t) dV
2 Ωe
2 Ωe
(4.10)
En esta expresión, es evidente que el vector de velocidades nodales no depende de
las coordenadas espaciales por lo que puede salir del integral. Ası́ tenemos:
Te =
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1 eT e e
q̇ M q̇(t)
2 (t)
(4.11)
25
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Introducción al MEF
donde, Me es la matriz de masa elemental definida como:
Z
Me =
ρ NT(x) N(x) dV
(4.12)
Ωe
Esta matriz, al igual que la matriz de rigidez elemental, es simétrica y su dimensión
es igual al número de nodos del elemento por el número de grados de libertad por
nodo, i.e.: nn × ngn .
4.7.
Trabajo de la fuerzas conservativas (vector de fuerzas
elemental)
Tomando en cuenta la aproximación para los desplazamientos a nivel elemental
se puede obtener la expresión el trabajo de las fuerzas conservativas elementales:
Z
Z
X
C(E)e
eT
eT
W
=
u(x,t) g(x,t) dV +
u(x,t) t(x,t) dS +
ueT
(xi ,t) pi(t)
Z
Ωe
=
Ωe
Γe
T
qeT
(t) N(x) g(x,t)
i
Z
dV +
Γe
T
qeT
(t) N(x) t(x,t)
dS +
X
(4.13)
T
qeT
(t) N(xi ) pi(t)
i
En esta expresión, es evidente que el vector desplazamientos puede salir fuera
de los integrales y de la sumatoria. Entonces, tenemos:
e
W C(E)e = qeT
(t) f(t)
(4.14)
e
donde f(t)
es el vector de fuerzas elementales, definido como:
Z
Z
X
e
f(t)
=
NT(x) g(x,t) dV +
NT(x) t(x,t) dS +
NT(xi ) pi(t)
Ωe
Γe
(4.15)
i
El primero de los integrales representa la contribución de las fuerzas de cuerpo, el
segundo la contribución de las fuerzas de superficie, y la sumatoria el efecto de las
fuerzas concentradas. El vector de fuerzas elementales tiene una dimensión igual
al número de nodos del elemento por el número de grados de libertad por nodo,
i.e.: nn × ngn .
4.8.
Ensamblaje de matrices globales
En base a los resultados presentados en las secciones precedentes, la energı́a
potencial total elemental Πe , y la energı́a cinética elemental T e , toman las formas:
1
e e
eT e
Πe = U e − W C(E)e = qeT
(4.16)
(t) K q(t) − q(t) f(t)
2
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Introducción al MEF
1 eT e e
q̇ M q̇(t)
(4.17)
2 (t)
Considerando que el volumen total del dominio V se puede expresar como la
suma de los volúmenes elementales V e , entonces se pueden escribir expresiones
análogas para la energı́a potencial total y la energı́a cinética de todo el dominio,
i.e.:
ne
ne
X
X
1 eT e e
e
e
(4.18)
Π=
Π =
q(t) K q(t) − qeT
(t) f(t)
2
e=1
e=1
Te =
ne
X
T =
e
T =
e=1
ne
X
1
e=1
2
e e
q̇eT
(t) M q̇(t)
(4.19)
Resulta conveniente escribir la energı́a potencial total bajo la siguiente forma
matricial:
Π=
ne
X
1
e=1
2
e e
eT e
qeT
(t) K q(t) − q(t) f(t)
 1
K
1 1
ne 
...
= hq(t) · · · q(t) i
2
=
 
 1 
1
q



 (t) 
f(t) 

.
.
n
1
e

..
..
− hq(t) · · · q(t) i



n
n
f e 

Kne q(t)e 
(t)
(4.20)
1 T
q̃(t) K̃q̃(t) − q̃T(t) f̃(t)
2
De forma análoga la energı́a cinética se puede expresar como:
T =
ne
X
1
e=1
2
e e
q̇eT
(t) M q̇(t)
 1
M
1 1
ne 
...
= hq̇(t) · · · q̇(t) i
2
=
 1 

q̇(t) 

.

..


Mne q̇n(t)e 
(4.21)
1 ˙T
q̃ M̃q̃˙ (t)
2 (t)
Es importante notar que las matrices K̃ y M̃ y el vector de fuerzas f̃(t) representan la rigidez, masa y fuerzas, respectivamente, de todos los elementos por
separado, es decir, sin que estén unidos entre si o ensamblados. En efecto, el vector
q̃(t) tiene la siguiente estructura:
1T
2T
2T
q̃(t) = hq1T
1(t) · · · qnn (t) q1(t) · · · qnn (t) · · ·
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eT
· · · qnnenT(t) iT
qn1(t)
(4.22)
27
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Introducción al MEF
De donde es evidente que existen grados de libertad repetidos puesto que existen
nodos que pertenecen a varios elementos.
Con el fin de ensamblar todos los elementos es necesario aplicar condiciones
de compatibilidad entre los desplazamientos nodales de los diferentes elementos.
Suponiendo que el nodo k pertenece simultáneamente al elemento i y al elemento
j, se tiene la siguiente relación de compatibilidad:
qik(t) = qjk(t) = qk(t)
(4.23)
Condiciones de compatibilidad interelemental como la mostrada arriba, se pueden
expresar mediante una transformación lineal del tipo:
 1

q1(t)   I 0 · · · 0 · · · 0 0







1

 
q

 q
2(t) 
0
I
·
·
·
0
·
·
·
0
0


1(t) 


. .


.




.
.
.
.


 .. .. · · · .. · · · .. ..  

.




q
2(t)










i





.

q
.



 k(t)  0 0 · · · I · · · 0 0  . 

 .. ..

..
.
.
.
qk(t)
q̃(t) =
=  . . · · · .. · · · .. .. 
= Tq(t)
(4.24)
.






j
.

.. 


0 0 · · · I · · · 0 0 


qk(t) 














.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.






q
.
.
.
·
·
·
.
·
·
·
.
.




nn−1(t)
.










n




e
q
0
0
·
·
·
0
·
·
·
I
0
nn(t)


q



 nnne−1(t) 

0 0 ··· 0 ··· 0 I
q
nn (t)
Donde I representa la matriz identidad de dimensión ngn , y el subı́ndice nn representa el número total de nodos en el dominio. Note que la dimensión del vector
q̃(t) es igual al número de elementos, por el número de nodos por elemento, por
el número de grados de libertad por nodo, i.e.(ne × nn × ngn ), mientras que la
dimensión del vector q(t) es igual al número de nodos totales, por el número de
grados de libertad por nodo, i.e. (nn × ngn ). Ası́, la matriz T es rectangular y
tiene una dimensión (ne × nn × ngn ) × (nn × ngn ).
Introduciendo la relación q̃(t) = Tq(t) en las expresiones para la energı́a potencial total se obtiene:
1 T
q̃(t) K̃q̃(t) − q̃T(t) f̃(t)
2
1
= qT(t) TT K̃Tq(t) − qT(t) TT f̃(t)
2
1
= qT(t) Kq(t) − qT(t) f(t)
2
Π=
(4.25)
Donde K = TT K̃T representa la matriz de rigidez global ensamblada y f(t) =
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28
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TT f̃(t) representa el vector de fuerzas global ensamblado, ambos de dimensión
(nn × ngn ). La matriz de rigidez resulta ser simétrica.
Derivando la relación q̃(t) = T q(t) respecto al tiempo (i.e. q̃˙ (t) = T q̇(t) ) e
introduciendo este resultado en las expresiones para la energı́a cinética se obtiene:
1 ˙T
q̃ M̃q̃˙ (t)
2 (t)
1
= q̇T(t) TT M̃Tq̇(t)
2
1
= q̇T(t) Mq̇(t)
2
T =
(4.26)
Donde M = TT M̃T representa la matriz de masa global ensamblada de dimensión
(nn × ngn ). Esta matriz resulta ser simétrica.
Finalmente, es importante destacar, que si bien el ensamblaje de las matrices
y vectores globales mediante la transformación q̃(t) = T q(t) es matemáticamente
correcto, desde el punto de vista de implementación del método es sumamente
ineficiente puesto que implica almacenar matrices de dimensión elevada y realizar
multiplicaciones y operaciones entre ellas. En las implementaciones del método se
utiliza un arreglo de conectividad que indica cuales son los términos que conforman
cada una de las matrices o vectores sin tener que realizar operaciones matriciales.
4.8.1.
Ecuaciones de movimiento
Tomando en cuenta los resultados expuestos mas arriba, la energı́a potencial
total y la energı́a cinética toman las siguientes formas discretas.
Π=
1 T
q(t) K q(t) − qT(t) f(t)
2
(4.27)
1 T
q̇ M q̇(t)
(4.28)
2 (t)
Notese que la dimensión de las matrices y vectores que conforman estas expresiones
resulta ser igual al numero de nodos por el numero de grados de libertad por
nodo, i.e. (nn × ngn ). En consecuencia, estas expresiones pueden ser introducidas
en problema dinámico formulado en la sección 2.1.2, habiendo entonces (nn × ngn )
ecuaciones de Lagrange de la forma:
¶
µ
∂T
∂Π
d ∂T
−
+
=0
j = 1, . . . , (nn × ngn )
(4.29)
dt ∂ q̇j
∂qj ∂qj
T =
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29
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Introducción al MEF
Tomando en cuenta que la matriz de rigidez es simétrica (i.e. K = KT
⇒
Kij = Kji ), y realizando un desarrollo igual al descrito en la sección 2.2.4, se
obtiene lo siguiente:
¯
∂Π ¯¯
= Kq(t) − f(t)
¯
∂qj ¯
¯j=1...(nn×ngn )
∂T ¯¯
=0
¯
∂qj ¯
¯j=1...(nn×ngn )
(4.30)
∂T ¯¯
= Mq̇(t)
¯
∂ q̇j ¯
j=1...(nn×ngn )
µ
¶ ¯¯
d ∂T ¯
= Mq̈(t)
¯
dt ∂ q̇j ¯
j=1...(nn×ngn )
Finalmente, las ecuaciones de movimiento toman la forma de un sistema discreto
de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, i.e.:
Mq̈(t) + Kq(t) = f(t)
4.8.2.
(4.31)
Condiciones de contorno
Para resolver la ecuación de movimiento planteada en al sección anterior, es
necesario especificar las condiciones de borde y las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales toman la forma:
q(0) = q0
q̇(0) = v0
(4.32a)
(4.32b)
En otras palabras, inicialmente es necesario conocer la posición y velocidad de
todos los nodos.
Para aplicar las condiciones de borde se realiza una partición del vector de desplazamientos nodales en un vector donde se agrupan los desplazamientos nodales
conocidos qc(t) (condiciones de borde esenciales) y un vector que agrupa los desplazamientos nodales incógnitas que se desea calcular qd(t) , i.e.:
¾
¾
½
½
q̈c(t)
qc(t)
(4.33)
q̈(t) =
q(t) =
q̈d(t)
qd(t)
Euro Casanova, 2005
30
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Introducción al MEF
Ası́, es posible realizar la misma partición para los otros términos de la ecuación
de equilibrio, i.e.:
·
¸
·
¸
½
¾
Mcc Mcd
Kcc Kcd
fc(t) + rc(t)
M=
K=
f(t) =
(4.34)
Mdc Mdd
Kdc Kdd
fd(t)
Note que al termino de las fuerzas que corresponde a los grados de libertad conocidos, se le ha agregado un termino que representa las reacciones de vı́nculos
que precisamente producen esos desplazamientos conocidos. Estas reacciones son
incógnitas que se agregan al problema. Ası́, el numero de total de incógnitas es
igual a la dimensión del problema, i.e. (nn × ngn ). De ese número, d incógnitas corresponden a desplazamientos y c incógnitas corresponden a reacciones de
vı́nculos. Luego, la ecuación de movimiento se escribe como :
·
¸½
¾ ·
¸½
¾ ½
¾
Mcc Mcd
q̈c(t)
Kcc Kcd
qc(t)
fc(t) + rc(t)
+
=
(4.35)
Mdc Mdd q̈d(t)
Kdc Kdd qd(t)
fd(t)
Esta ecuación da lugar a dos ecuaciones distintas:
Mcc q̈c(t) + Mcd q̈d(t) + Kcc qc(t) + Kcd qd(t) = fc(t) + rc(t)
Mdc q̈c(t) + Mdd q̈d(t) + Kdc qc(t) + Kdd qd(t) = fd(t)
(4.36a)
(4.36b)
La segunda de estas ecuaciones, se puede escribir bajo la siguiente forma:
∗
Mdd q̈d(t) + Kdd qd(t) = fd(t)
(4.37)
∗
donde fd(t)
= fd(t) − Mdc q̈c(t) − Kdc qc(t) representa un vector de fuerzas conocido.
Ası́, este problema, de talla menor a la del problema original (la talla depende
del numero de grados de libertad especificados como condición de borde esencial),
puede ser resuelto usando las condiciones iniciales con el fin de encontrar el vector
de desplazamientos desconocidos qd(t) . Una vez obtenido el valor de este vector, se
puede usar la primera ecuación con el fin de estimar los valores de las reacciones
incógnitas rc(t) , i.e.:
rc(t) = Mcc q̈c(t) + Mcd q̈d(t) + Kcc qc(t) + Kcd qd(t) − fc(t)
(4.38)
Calculados los valores nodales de los desplazamientos q(t) , es posible calcular
la función desplazamiento u(x,t) para cualquier punto del dominio mediante la
aproximación a nivel elemental:
ue(x,t) = N(x) qe(t)
Euro Casanova, 2005
(4.39)
31
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Introducción al MEF
Una vez obtenida la función ue(x,t) para todo los elementos se puede proceder a
estimar otras funciones de interés como lo son las deformaciones y los esfuerzos:
²e(x,t) = B(x) qe(t)
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σ e(x,t) = D²e(x,t) = DB(x) qe(t)
(4.40)
32