Análisis de los conocimientos matemáticos del alumnado de nuevo

Girona, Julio de 2013
Los conocimientos matemáticos de los nuevos universitarios: El caso de Economía y
Empresa de la UB 1
Roman Adillon
Lambert Jorba
Pere Purroy
Departament de Matemàtica Econòmica,
Financera i Actuarial
Universitat de Barcelona
adillon@ub.edu
Departament de Matemàtica Econòmica,
Financera i Actuarial
Universitat de Barcelona
lambert.jorba@ub.edu
Departament de Matemàtica Econòmica,
Financera i Actuarial
Universitat de Barcelona
ppurroy@ub.edu
Carme Ribas
Antonio Tarrío
Departament de Matemàtica Econòmica,
Financera i Actuarial
Universitat de Barcelona
cribas@ub.edu
Departament de Matemàtica Econòmica,
Financera i Actuarial
Universitat de Barcelona
antoniotarrio@ub.edu
Resumen
En esta comunicación se analiza el nivel de conocimientos matemáticos de los alumnos
de nuevo ingreso a los grados de ADE y de Economía de la Universidad de Barcelona.
En las matemáticas de primer curso de grado existe una divergencia entre el nivel real de
conocimientos del alumno y los que el profesor considera que tiene o que debería tener.
Las consecuencias de esta situación se manifiestan en el rendimiento de los alumnos.
Buscaremos una metodología que permita obtener datos objetivos sobre el nivel inicial
del alumno y que ofrezca una ayuda para poder incidir positivamente en los aspectos de
la formación con más deficiencias.
Palabras claves: Acceso universidad, nivel de matemáticas.
1. Introducción
Nuestro estudio se basa en la transición del bachillerato a la universidad. Las notas de
selectividad no son suficientes para realizar el análisis, ya que éste quiere detectar deficiencias
conceptuales. En (González, 1997) y (Álvarez, 1998) podemos encontrar antecedentes a esta
temática de estudio.
Somos conscientes de la importancia de las matemáticas en el desarrollo de razonamientos
rigurosos y críticos, y no creemos que podamos mejorar los resultados académicos de nuestros
alumnos si no conocemos cuál es su nivel actual de conocimientos. Nos preocupa que el
tránsito hacia la universidad de nuestros estudiantes sea traumático.
2. Necesidad y relevancia del estudio
La asignatura de Matemáticas 1 es troncal en el primer curso de los grados de
Administración y Dirección de Empresa (ADE) y de Economía (ECO). Es una asignatura de
seis créditos y se compone de dos bloques temáticos, Álgebra (Espacios vectorial y euclídeo) y
Cálculo (Funciones reales de n variables y Optimización sin restricciones).
En general, en el primer curso de estudios superiores existe una divergencia entre el nivel
real de conocimientos del alumno y el nivel que el profesor considera que el alumno tiene o que
en algunos casos, desearía que tuviera. En matemáticas, desde mediados de los años 90, se
1
Trabajo financiado por el Institut de Ciències de la Educació de la Universitat de Barcelona a través del proyecto "Diagnóstico de los
conocimientos matemáticos de los alumnos de nuevo ingreso a la Facultad de Economía y Empresa" (código proyecto 1001-31) dentro de la
convocatoria de ayudas del Programa de Investigación en Docencia Universitaria REDICE-10.
1
Los conocimientos matemáticos de los nuevos universitarios: El caso de Economía y Empresa…
ha evolucionado desde una situación en la que el nivel de conocimiento de los alumnos de
nuevo ingreso era aceptable y bastante uniforme, a una situación en la que el nivel de
conocimientos de los alumnos no parece aceptable y presenta múltiples disparidades. Los
pilares fundamentales sobre los que se apoyan algunas unidades temáticas habrían
desaparecido repentinamente.
Las consecuencias son diversas: por una parte hubo un descenso en las calificaciones y la
reflexión del profesorado conduce a sospechar que el nivel de conocimientos iniciales que
tienen los alumnos cuando acceden al primer curso universitario, dentro del campo de las
matemáticas, era una de las causas principales. Por otra parte, el alumnado no está
desarrollando adecuadamente su formación académica, ya que el nivel de comprensión que se
puede conseguir en determinados conceptos, no es el adecuado para poder aplicar los
conocimientos matemáticos necesarios para tratar con posterioridad temas profesionales.
Esta situación suele acabar con el abandono de la asignatura debido a la frustración y a la
falta de motivación que genera a los alumnos el hecho de no poder seguir adecuadamente el
ritmo que se impone en el aula.
Existe el riesgo evidente de evaluar el nivel inicial de los alumnos de un curso, a partir del
nivel inicial de los alumnos de cursos anteriores. Esto no es adecuado, ya que el proceso de
selección del estudiante universitario es cambiante, ajustándose al cambio en el contenido de
las materias que los alumnos cursan en los cursos preuniversitarios.
3. Objetivos
El objetivo de este estudio es buscar posibles soluciones o estrategias para intentar
aumentar el rendimiento de los alumnos en la asignatura de Matemáticas 1, procurando que
disminuya el abandono que produce la falta de conocimientos previos.
El proyecto que presentamos tiene como finalidad establecer criterios e instrumentos que
permitan diagnosticar y valorar la verdadera situación referente a la comprensión y dominio de
los conocimientos matemáticos.
4. Metodología
Teniendo en cuenta los contenidos de Matemáticas 1 y 2 del Bachillerato en Ciencias
Sociales (un porcentaje elevado de alumnos procede de esta opción) y los conocimientos
básicos matemáticos que un alumno de nuevo ingreso consideramos que debería tener para
afrontar con cierta garantía los estudios universitarios (Garrido, 2002) y (Giménez, 2007),
realizamos una prueba para recoger los conceptos siguientes:
• Operaciones elementales (Operaciones con fracciones, regla de tres, concepto de
división, tanto por ciento, fracciones equivalentes).
• Funciones elementales (Polinomios, potencias, logaritmos).
• Geometría (Rectas, parábolas, triángulo, circunferencia).
• Ecuaciones (Ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones
lineales).
• Función real de variable real (Dominio, imagen, continuidad, límites).
• Derivada (Cálculo de derivadas, aplicaciones de la derivada).
Los alumnos fueron avisados el primer día de clase de la realización de la prueba y de su
utilidad. Se les explicó que no se trataba de un examen, sino de una prueba para analizar el
nivel de matemáticas que poseen al acceder a la facultad. Los alumnos desarrollan la prueba
durante hora y media y disponen de calculadora.
2
Adillon, R.; Jorba, L.; Purroy, P.; Ribas, C.; Tarrío, A.
5. Análisis cualitativo
Los índices que analizamos no fueron calculados utilizando los 1500 alumnos que realizaron
la prueba, sino con los cuartiles superior e inferior respecto a la puntuación obtenida.
Si representamos por AS el número de acertantes del cuartil superior, AI el número de
acertantes del cuartil inferior, N el número de sujetos analizados en uno de los dos cuartiles,
definimos índice de dificultad (Df ) de una pregunta cómo la proporción de aciertos que
calculamos del modo siguiente:
Df =
AS + AI
N+N
Un índice de dificultad mayor indica una pregunta más fácil. Cada una de las preguntas va
ligada a un concepto matemático concreto, esto permite relacionar el índice de dificultad para
cada pregunta con el concepto matemático que tiene asociado.
A título de ejemplo, la pregunta 22, tiene un índice de dificultad de 0.75 (véase Tabla 1). Se
trataba de calcular 5+(2/4)-(2/5), y pueden utilizar la calculadora. Es de esperar que el índice de
dificultad se aproximase a 1.
Ítems
Df
Dc
P7
0.85 0.31
P18
0.81 0.27
P19
0.76 0.27
P22
0.75 0.43
P8
0.74 0.28
P20
0.67 0.48
P24
0.65 0.45
P1
0.57 0.52
P13
0.55 0.51
P12
0.55 0.61
P6
0.51 0.45
P5
0.49 0.57
P4
0.45 0.59
P3
0.44 0.59
P32
0.43 0.41
P14
0.42 0.41
P21
0.39 0.51
P23
0.36 0.40
P10
0.33 0.47
Concepto
Concepto de función real de variable real.
Cálculo de la imagen.
Concepto económico (descuento). Cálculo
de un tanto por ciento.
Concepto de división. Resto de una división.
Operaciones con fracciones (sumas y
diferencias).
Cálculo de límites.
Simplificación de expresiones algebraicas.
Cociente.
Resolución de ecuaciones (ecuaciones de
primer grado).
Derivada de la suma, derivada de la función
logarítmica.
Ecuación punto-pendiente de una recta.
Teorema de Pitágoras. Resolución de un
triángulo rectángulo.
Cálculo efectivo de dominios. Resolución de
una inecuación.
Derivada de un cociente.
Regla de la cadena y derivada de la función
exponencial base e.
Derivada del cociente y derivada de una
función trigonométrica.
Resolución de una ecuación de segundo
grado.
Resolución de un sistema no lineal de 2
ecuaciones y 2 incógnitas.
Simplificación de expresiones algebraicas.
Sumas y restas.
Propiedades de las potencias.
Parábolas (puntos de corte con los ejes de
coordenadas).
3
Los conocimientos matemáticos de los nuevos universitarios: El caso de Economía y Empresa…
P11
0.31 0.40
P25
0.29 0.39
P2
0.27 0.30
P30
0.27 0.32
P9
0.25 0.36
P17
0.23 0.29
P15
0.19 0.20
P33
0.19 0.27
P27
0.16 0.16
P31
P26
0.15 0.20
0.15 0.15
P16
0.14 0.20
P28
0.13 0.17
P29
0.07 0.15
Parábolas (ecuación a partir de los puntos
de corte con los ejes).
Resolución de ecuaciones (de segundo
grado). Solución única.
Derivada del producto, de la exponencial y
de la raíz cuadrada.
Descomposición factorial de polinomios.
Cálculo de intervalos de crecimiento de una
función.
Resolución de un sistema de ecuaciones
lineales (homogéneo).
Conceptos económico-matemáticos.
Magnitudes proporcionales.
Concepto de continuidad de una función
real de variable real.
Ecuación de la recta tangente a una función
en un punto.
Simplificación de polinomios. Factorización.
Ecuación de una circunferencia.
Optimización de una función económica con
restricciones.
Óptimos de una función real de variable
real.
Polinomios (divisibilidad de polinomios).
Tabla 1: Índices de dificultad y de discriminación
Utilizando las mismas notaciones anteriores, definimos índice de discriminación (Dc) de una
pregunta como la diferencia entre la proporción de aciertos en el cuartil superior y la proporción
de aciertos en el inferior,
Dc =
AS − AI
N
Cuanto mayor sea la diferencia en número de aciertos entre los cuartiles superior e inferior,
el ítem será más discriminante, lo que nos confirma que este índice se encargará de situar un
sujeto entre los primeros o los últimos.
En general podemos decir que la mejor pregunta es aquella en la que aciertan todos los que
saben y ninguno de los que no saben. Podemos clasificar según su índice de discriminación
(Dc): Igual o superior a 0.35 pregunta excelente, de 0.25 a 0.34 pregunta buena, de 0.15 a 0.24
pregunta límite y menos de 0.15 pregunta mala.
A partir del índice de discriminación, constatamos que se debían analizar de cara al próximo
curso aquellos ítems en los que las preguntas estaban al límite: 15,16,27,28 y 31, así como las
preguntas malas que son la 26 y 29 (ver Tabla 1).
6. Conclusiones y aplicaciones
El análisis basado en Df y Dc confirma que el nivel de conocimientos de los nuevos
universitarios de Economía y Empresa es bajo y existen grandes disparidades.
Esto nos lleva a proponer medidas como las siguientes:
Aumentar el nivel de conocimientos en matemáticas en los cursos preuniversitarios,
especialmente en aquellos dirigidos a los alumnos que pretenden realizar estudios de
Economía o Empresa.
4
Adillon, R.; Jorba, L.; Purroy, P.; Ribas, C.; Tarrío, A.
Adaptar el nivel de conocimientos exigidos al nivel más bajo de los alumnos aceptados en la
Facultad. Este proceso se ha seguido durante varios años, no de manera formal, y su resultado
es una espiral descendente de los conocimientos matemáticos de los nuevos alumnos y de los
egresados.
Proponemos la implementación de cursos de transición de bachillerato-universidad. Esta
solución se ha probado en diferentes asignaturas con resultados diversos.
El trabajo que presentamos concluyó con el diseño y la realización de un curso de transición
de matemáticas. Uno de los resultados de este curso fue un aumento del número de alumnos
que superaron el curso de matemáticas uno.
7. Curso de transición de matemáticas.
El principal objetivo es homogeneizar los conocimientos matemáticos de los alumnos hasta
alcanzar el nivel necesario para poder afrontar las asignaturas de grado en las cuales se utiliza
el potencial de las matemáticas.
Los objetivos del curso son:
Repasar algunos conceptos imprescindibles, como son el cálculo y la aplicación de las
derivadas, determinantes, rangos de matrices y los sistemas de ecuaciones lineales.
“Calentar motores” para iniciar con buen ritmo las asignaturas de primer curso de grado.
Tomar conciencia tanto los profesores como los alumnos, del nivel y las lagunas con las
cuales los alumnos inician los estudios de grado.
El programa se centra en dos temas, en primer lugar se aborda el concepto de derivada y
cálculo y aplicaciones de la derivada y se concluye con matrices y sistemas de ecuaciones
lineales.
Desarrollo del curso.
La duración de este curso se fijo en 15 horas y se desarrollo en el mes de setiembre. Está
dirigido a los alumnos de nuevo acceso de los grados de ADE, Economía y se ofertó a los de
Sociología. Implicó 1570 alumnos y a 33 profesores del Departament de Matemàtica,
Econòmica, Financera i Actuarial en el curso 2011-12.
Debido a la heterogeneidad de la procedencia de nuestro alumnado, hemos separado los
alumnos en dos grupos según su nivel de conocimientos matemáticos, con el objetivo de poder
ajustarnos en la medida de lo posible a sus necesidades.
Para ello, el primer día de clase del curso 11-12 se realizó una prueba test de 20 preguntas.
El anàlisis del índice de discriminación descrito anteriormente nos llevó a mejorar la prueba de
nivel del curso anterior. Esto permitió dividir los alumnos de nuevo acceso del curso en dos
grupos con necesidades diferentes en cuanto al nivel de conocimientos matemáticos. El
criterio de desdoblamiento de los grupos consistió en obtener un grupo superior, compuesto
por el 50% de los alumnos con mejores notas y un grupo inferior, compuesto por el 50%
restante. A cada uno de estos grupos se les asignó un profesor teniendo en cuenta el nivel de
conocimientos de los alumnos de cada grupo, factor que hemos considerado a la hora de
diseñar el contenido teórico y práctico del curso.
La evaluación acreditativa de los aprendizajes de la asignatura se realizo a través de una
prueba online en el campus virtual del curso.
Evaluación.
Realizaron la prueba de evaluación 1137 alumnos de los 1570 matriculados. 935 (82.23%)
obtienen un “apto” y 635 (17.77%) son “no apto”.
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Los conocimientos matemáticos de los nuevos universitarios: El caso de Economía y Empresa…
Valoración del curso.
Al finalizar el curso se pasó una encuesta para ver el grado de satisfacción de los alumnos
del curso de transición. Esta encuesta fue contestada por 478 alumnos.
Preguntados sobre cuál era su valoración general de la asignatura de matemáticas que
habían hecho dentro del curso de transición, se obtuvo que un 90% respondió muy buena o
buena. Un 96% respondió que creía conveniente continuar ofreciendo el próximo año el curso
de introducción a las matemáticas a los alumnos de nuevo acceso. Alrededor del 85% de
alumnos marcó las opciones a. y d. cuando se le preguntó si el curso de introducción a las
matemáticas le había servido para:
a. Repasar conceptos y cálculos matemáticos que ya había estudiado
b. Aprender conceptos que no conocía.
c. “Calentar motores” y así empezar a buen ritmo el estudio del grado.
d. Tomar conciencia y conocer más profundamente mi nivel de matemáticas.
e. Otros
Finalmente, un 84% creyó adecuado haber dividido el grupo inical en dos subgrupos, en
función de la nota obtenida en la prueba de nivel que se llevó a cabo el primer día de curso y
otro 86% respondió que su valoración general de todo el curso de transición que le había
ofrecido la facultad en esas tres semanas de septiembre había estado muy buena o buena.
El curso de matemáticas se incluye en el programa de introducción de la Facultat que
además de las matemáticas incluye los cursos de introducción en : Expresión oral y escrita,
Procedimientos y trabajo intelectual e Historia económica.
Análisis de los resultados según la procedencia de los alumnos.
En la prueba de nivel se adjuntaba un pequeño cuestionario en el que, entre otras cosas, se
preguntaba por la procedencia de los alumnos: Bachillerato aplicado a las Ciencias Sociales
(CCSS), Científico y Tecnológico (CyT), Ciclos formativos de grado superior (CFGS) y otros
(mayores de 25 años, otras carreras universitarias,....)
Se obtuvo una muestra de 641 alumnos de entre todos los que hicieron la prueba de nivel
indicando su procedencia. De todos ellos, 388 corresponden a CCSS, 111 corresponden a
CyT, 108 a CFGS y 84 a otros.
En las tablas que damos a continuación separamos, los alumnos en 5 grupos, según los
resultados obtenidos tanto en la prueba de nivel como en el cuestionario.
7.1 Alumnos procedentes bachillerato de CC.SS
CCSS
6
Número
alumnos
Prueba nivel
Cuestionario
%
No Superan
Superan
110
28,35
Superan
Superan
216
55,67
No superan
No superan
23
5,92
No superan
No lo hacen
30
7,73
Superan
No superan
9
2,33
Adillon, R.; Jorba, L.; Purroy, P.; Ribas, C.; Tarrío, A.
7.2 Alumnos procedentes de bachillerato CyT
CiT
Prueba nivel
Cuestionario
Número
alumnos
%
No Superan
Superan
8
7,20
Superan
Superan
82
73,87
No superan
No superan
1
0,91
No superan
No lo hacen
19
17,11
Superan
No superan
1
0,91
7.3 Alumnos procedentes de CFGS
CFGS
Prueba nivel
No Superan
Cuestionario
Superan
Número
alumnos
%
56
51,85
Superan
Superan
1
0,92
No superan
No superan
25
23,14
No superan
No lo hacen
23
21,32
Superan
No superan
3
2,77
7.4 Otros alumnos (mayores de 25 años, otras carreras,...)
ALTRES
Prueba nivel
Cuestionario
Número
alumnos
%
No Superan
Superan
17
50
Superan
Superan
5
14,72
No superan
No superan
6
17,64
No superan
No lo hacen
6
17,64
Superan
No superan
—
—
8. Referencias bibliográficas
González, J.L.; Gallego, M (1997). Diagnóstico y evaluación de la comprensión del
conocimiento matemático: un proyecto de investigación en el primer ciclo de económicas y
ciencias empresariales. Rect@, 5, 1-19.
Álvarez, P.; Blanco, M.A.; Guerrero, M.M.; Quiroga, A. (1998). Un diagnóstico del
conocimiento básico matemático para la Economía y la Empresa. Rect@, 6, 41-61.
Garrido, R.; Cámara, A. (2002). ¿Qué matemáticas necesita la empresa? Rect@, 10, 1-44.
Gimenez, M.J.; Serrano, A. (2007). Propuesta de una ingeniería didáctica: curso de
Matemáticas-0, Rect@, 15, 1-12.
7
Los conocimientos matemáticos de los nuevos universitarios: El caso de Economía y Empresa…
9. Cuestiones para el debate
1.- ¿Los conocimientos de Matemáticas de los alumnos nuevos son suficientes para afrontar
con éxito los estudios de Economía y Empresa?. ¿Qué pasa en otros estudios?
2.- ¿Podemos detectar que conocimientos reales tienen los nuevos estudiantes?.¿Existe
una brecha entre la realidad de los alumnos y el nivel universitario de iniciación?
3.- ¿Cómo se puede salvar esa brecha de conocimientos básicos? ¿Tenemos soluciones o
simplemente perdemos candidatos a graduarse?, ¿están condenados a incrementar el fracaso
escolar?
4.- ¿Cómo se puede facilitar la transición del bachillerato a la universidad, en asignaturas
como las matemáticas? ¿deben cambiarse los planes de estudios pre-universitarios? ¿y los
universitarios?
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