El modelo probabilístico rectangular

El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas
El modelo probabilístico rectangular-triangular.
Aplicación a la tasación de fincas rústicas
Herrerías Pleguezuelo, Rafael < rherreri@ugr.es >
Herrerías Velasco, José Manuel< jmherrer@ugr.es >
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Granada
RESUMEN
En el presente trabajo se estudia, en primer lugar, una distribución de probabilidad
bivariante resultante de la mezcla de las distribuciones continuas univariantes rectangular y
triangular. En segundo lugar, a través de su análisis se concluye que sus componentes se
comportan como variables aleatorias independientes lo que permite disponer de un modelo
probabilístico, muy apropiado para la tasación de fincas rústicas mediante el método de
valoración comparativo denominado como método de las dos betas, en el caso de que, como es
usual, se dispongan de pocos datos para realizar comparaciones y simultáneamente se disponga
de un indicador bidimensional para la calidad de la finca tal que sus componentes
unidimensionales no estén relacionadas.
En tercer lugar, se aplica el modelo probabilístico bivariante a un caso práctico de la
literatura especializada de tasación de fincas rústicas, encontrándose la misma dificultad de
cálculo que en los modelos univariantes, si las variables aleatorias son estocásticamente
independientes.
Palabras claves: distribución rectangular; distribución triangular; distribución
bivariante; valoración; método de las dos funciones de distribución.
XVII Jornadas ASEPUMA – V Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:204
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Rafael Herrerías Pleguezuelo , José Manuel Herrerías Velasco
ABSTRACT
The present study first, focuses on a bivariate probability distribution resulting from the
mixture of univariate continuous distributions rectangular and triangular.
Secondly, through its analysis it is concluded that the components behave as
independent random variables which provides a probabilistic model suitable for the valuation of
a farm using the comparative method of the two betas distributions, in the case that, as usual,
few data are available for comparison and simultaneously have a bidimensional indicator for the
quality of the property that its unidimensional components are not related.
Third, the bivariate probabilistic model is applied to a study case of the literature of
farm valuation, if random variables are stochastically independent this procedure has the same
difficulty of calculation that univariate models.
Keywords: rectangular distribution; triangular distribution; bivariate distribution;
valuation; method of the two distribution functions.
Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C02; Q11
Área temática: Estadística Aplicada a los Métodos Cuantitativos.
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El modelo probabilístico rectangular-triangular. Aplicación a la tasación de fincas rústicas
1. INTRODUCCIÓN
Es sobradamente conocido la importancia de las distribuciones continuas
univariantes, cuya función de densidad es una figura geométrica: cuadrado, rectángulo,
triángulo, trapecio, parábola, etc… en el desarrollo de los métodos de valoración de la
Economía Agraria, conocidos como método de las dos betas o método de las dos
funciones de distribución, véase entre otros Lozano (1996), Romero (1997), Herrerías et
al. (2001), García (2007) y Caballer (2008). Está claro que desde un punto de vista
matemático-estadístico, estos modelos deben extenderse al campo bivariante en primer
lugar y al multivariante posteriormente.
El objetivo principal de este trabajo es doble, por una parte, estudiar la
distribución de probabilidad bivariante rectangular-triangular desde un punto de vista
probabilístico y por otra, extender el método de valoración de las dos betas, introducido
por Ballestero (1971) y (1973), al caso bivariante. Utilizándose la mencionada
distribución de probabilidad rectangular-triangular, denominada de esta forma por su
representación gráfica (como las similares univariantes: rectangular, triangular,
trapezoidal, etc…) , véase figura 1, que sirve como modelo para ilustrar la sencillez de
su aplicación práctica.
h
Figura 1: Representación gráfica modelo bivariante rectangular-triangular
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En su aplicación al método de valoración de las dos betas se utiliza la
metodología PERT, debido a la insuficiencia e incluso no existencia de datos que sirvan
de testigos referentes, por ello se supone que de una variable X se conocen, o pueden
estimarse, sus valores mínimo (a1) y máximo (b1), mientras que de otra variable Y se
conocen, o pueden estimarse, sus valores mínimo (a2), máximo (b2) y más probable ó
modal (m). En otras palabras, se consideran en los ejes cartesianos X e Y los valores
necesarios para determinar una distribución rectangular o distribución uniforme U(a1,b1)
y otra triangular T(a2,m,b2), que generan en el espacio una superficie similar en su
forma a una tienda de campaña, que en el caso de una distribución triangular simétrica
será de tipo canadiense, véase figura 1.
Con mayor precisión, se trata de la superficie de dos de las caras rectangulares
de un prisma triangular apoyado en su tercera cara rectangular.
En esta misma línea de trabajo debe destacarse, por un lado, una fundamentación
teórica del método de valoración de las dos betas que puede verse en Palacios et al.
(2000) y, por otro lado, respecto al tema de índices de calidad multidimensionales es
aconsejable consultar García et al. (2000) y (2002), Herrerías (2002) y Franco y Vivo
(2006).
Como aportaciones adicionales de este trabajo, cabe señalar las siguientes:
1. Abre una línea de investigación para el estudio de otras distribuciones de
probabilidad bivariantes, que puedan usarse como modelos probabilísticos en
el método de valoración de las dos betas extendido.
2. Constituye un primer paso en la extensión del método de valoración de las
dos betas al caso multivariante.
Para conseguir los objetivos señalados, el presente trabajo se organiza en
diferentes puntos o secciones:
En la sección 2 se presenta la distribución de probabilidad bivariante
rectangular-triangular, en primer lugar, se obtiene su función de densidad mediante
consideraciones geométricas y posteriormente se determinan sus características
estocásticas: vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas, así como se
comprueba que las componentes del vector aleatorio son independientes.
En la sección 3 se obtiene la función de distribución del vector aleatorio
rectangular-triangular, que es clave en el método de valoración de las dos betas.
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En la sección 4 se resume la filosofía del método de valoración de las dos betas
para el caso univariante y se extiende para el caso bivariante, ilustrándose su aplicación
con un caso práctico de la literatura especializada.
2. DETERMINACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
Para obtener la expresión de la función de densidad en el punto (x,y) se halla la
ecuación de la superficie de la figura 1, que puede determinarse fácilmente mediante las
ecuaciones de sus dos caras, ya que son planos que pasan por tres puntos, dos de ellos
situados en la base del prisma y el tercero en un vértice del mismo. Utilizándose su cota,
h, como constante normalizadora para la distribución continua bivariante resultante.
Proyectando la superficie de la rectangular-triangular en el plano Z = 0. Se
denotan por Ti (i = 1,2) los diferentes rectángulos que conforman los recorridos de (X
,Y) y por pi (i = 1,2,…,6) los vértices del prisma (entre paréntesis sus coordenadas).
Se determinan los dos planos que conforman las dos caras rectangulares de la
rectangular-triangular, a partir de la ecuación del plano que pasa por tres puntos.
El plano que pasa por los puntos A, B y E, se obtiene a través de la ecuación:
Π ( p1 , p 5 , p 2 ) ≡
x
y
z
1
a1
a1
a2
m
0
h
1
=0
1
b1
a2
0
1
⇒
Π (p1 , p 5 , p 2 ) ≡ −h (a 1 − b1 ) y + [a 1 (m − a 2 ) + b1 (a 2 − m)] z + a 2 h (a 1 − b1 ) = 0
Teniendo en cuenta que a 1 ≠ b1 , puede dividirse por (a1-b1) y resulta:
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(a 2 − y ) h + ( m − a 2 )z = 0
z=
⇒
y − a2
h
m − a2
si (x ,y) ∈ T1
(1)
El otro plano que pasa por los puntos C, D y E tiene por ecuación:
Π (p 3 , p 5 , p 4 ) ≡
x
y
z
1
b1
b2
0
1
a1
m
h
1
a1
b2
0
1
=0
⇒
Π (p 3 , p 5 , p 4 ) ≡ −h (b1 − a 1 ) y + [b1 (m − b 2 ) + a 1 (b 2 − m)] z + b 2 h (b1 − a 1 ) = 0
Al igual que antes puede dividirse por (b1-a1):
( b 2 − y ) h + ( m − b 2 )z = 0
⇒
z=
b2 − y
h
b2 − m
si (x ,y) ∈ T2
(2)
De (1) y (2) se obtiene la función de densidad, especificando el valor de h.
El procedimiento más sencillo que puede usarse para determinar h como
constante normalizadora es el geométrico.
Imponiendo la condición de que el volumen de la rectangular-triangular sea la
unidad, se obtiene la siguiente expresión:
h=
2
( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )
(3)
En efecto, como el volumen de un prisma triangular es: V = A BT h P , con A BT :
área de la base triangular y h P : altura del prisma triangular. El volumen de la
1
rectangular-triangular es : V = A BR h , donde A BR : área de la cara rectangular ABCD
2
y h: altura del triangulo ADE. Para que este sea la unidad, se tiene verificar que:
1=
1
( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )h
2
⇒
h=
2
( b1 − a 1 )( b 2 − a 2 )
Por lo cual la expresión de la función de densidad de la distribución
Rectangular-Triangular es la siguiente:
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⎧ y − a2
⎪ m − a (b − a )(b − a ) si ( x , y) ∈ T1
2
2
2
1
1
⎪
⎪⎪
2
z ( x , y) = ⎨ b 2 − y
si ( x, y) ∈ T2
⎪ b 2 − m (b 2 − a 2 )(b1 − a1 )
⎪
⎪
⎪⎩
0
en otro caso
(4)
O lo que es lo mismo:
2( y − a 2 )
⎧
⎪ (b − a )(b − a )(m − a ) si a1 ≤ x ≤ b1 ∧ a 2 ≤ y ≤ m
2
1
1
2
⎪ 2
⎪⎪
2(b 2 − y)
z ( x , y) = ⎨
si a1 ≤ x ≤ b1 ∧ m ≤ y < b 2
⎪ (b 2 − a 2 )(b1 − a1 )(b 2 − m)
⎪
⎪
0
en otro caso
⎩⎪
(5)
El resultado de independencia de las variables se obtiene observando que se
puede expresar la función de densidad conjunta, dada en (5), como el producto de las
marginales, esto es, z( x , y) = z1 ( x )z 2 ( y) , donde z1 ( x ) es la función de densidad de una
distribución rectangular o uniforme, U(a1,b1) y z 2 ( y) es la función de densidad de una
triangular T(a2,m,b2), Herrerías y Palacios (2007).
Las características estocásticas relevantes de la variable aleatoria bidimensional
(X,Y) son su vector de medias, μ, y su matriz de varianzas-covarianzas, Σ, que
responden a las expresiones siguientes:
⎛ ( b1 − a 1 ) 2
⎛ a 1 + b1 ⎞
⎜
⎜
⎟
12
2
⎟ y Σ= ⎜
μ=⎜
a
+
m
+
b
⎜
2 ⎟
⎜ 2
0
⎜
⎟
⎜
3
⎝
⎠
⎝
3.
FUNCIÓN
DE
⎞
⎟
⎟
( b 2 − a 2 ) 2 − ( m − a 2 )( b 2 − m ) ⎟
⎟
18
⎠
DISTRIBUCIÓN
0
DEL
MODELO
RECTANGULAR-TRIANGULAR
En el cálculo de la función de distribución hay que distinguir dos casos:
1.
Si (x0 , y0) ∈ T1 , se tiene que:
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F( x 0 , y 0 ) = ∫
y0 x 0
a2
∫a
1
z1dxdy = ∫
y0 x 0
a2
∫a
h
1
y − a2
dxdy =
m − a2
h (x 0 - a1 )( y 0 − a 2 ) 2
=
2
m − a2
2.
(6)
Si (x0 , y0) ∈ T2 , se tiene que:
F( x 0 , y 0 ) = ∫
=∫
x0
a1
m
∫a
2
h
x0
a1
m
∫a
2
z1dydx + ∫
x0
a1
y0
∫m
z 2 dydx =
x
y
y − a2
b −y
dydx + ∫ 0 ∫ 0 h 2
dydx =
a1 m
m − a2
b2 − m
(7)
h
h ( x 0 − a1 )(b 2 − y 0 ) 2
= (x 0 − a1 )(b 2 − a 2 ) −
2
2
b2 − m
Por tanto, la función de distribución del modelo probabilístico rectangulartriangular es:
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0
si x < a 1 ∧ y < a 2
⎧
⎪
⎪
a 1 < x < b1
(x − a 1 )( y − a 2 ) 2
⎪
si
⎪ (b − a )(b − a )(m − a )
a2 < y < m
1
1
2
2
2
⎪
F( x , y) = ⎨
⎪ x − a1 ⎛
a < x < b1
⎞
(b 2 − y) 2
⎜
⎟⎟ si 1
−
1
⎪
⎜
m < y < b2
⎪ b1 − a 1 ⎝ (b 2 − a 2 )(b 2 − m) ⎠
⎪
⎪
1
si x > b1 ∧ y > b 2
⎩
(8)
4. EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS DOS BETAS
Como es sobradamente conocido, el primer trabajo en el que se habla del
método de las dos distribuciones Beta y de su aplicación a la valoración de tierras es el
artículo de Ballestero (1971). En el mismo, pág. 226, el autor afirma: “Es frecuente que
las estadísticas de transacciones indiquen un precio mínimo, un precio máximo y un
precio normal (moda de la distribución de precios)... Las mismas razones que aconsejan
el uso de la distribución Beta en el cálculo de tiempos medios de las actividades de un
PERT, aconsejan también el uso de dicha distribución en el problema que nos ocupa”, y
a continuación presenta una aplicación de este método de valoración a la concentración
parcelaria.
El “Método de las dos Betas” fue formalmente presentado por Ballestero (1973),
como mejora del método sintético de valoración que, como se sabe, está basado
simplemente en la proporcionalidad entre el precio de la parcela y el valor de un índice
de calidad de la misma. Como mejora de este método sintético en la literatura americana
y europea también se había usado el análisis de regresión, relacionando ciertas variables
explicativas (variables exógenas) con el precio de mercado (variable endógena)
estimándose una función lineal a partir de los datos empíricos disponibles. Ballestero
(1973) dentro de la línea de los métodos de valoración sintéticos describe el método de
las dos Betas en la forma siguiente: “La variable valor de mercado de un bien obedecerá
estadísticamente a la función de distribución F. Por su parte, el índice, parámetro o
variable explicativa obedecerá
estadísticamente a una función de distribución G.
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Suponemos que las funciones F y G tienen forma de campana o similar, entonces el
método de las dos Betas establece una relación entre ambas variables”.
Para ello, es preciso adoptar la siguiente hipótesis: Si el índice, Ii, de un activo,
Ai, es mayor que el índice, Ij, de otro activo, Aj, el valor de mercado correspondiente al
primer activo, Vi, será también mayor que el valor de mercado correspondiente al
segundo, Vj. Es decir, existe una relación directamente proporcional entre el índice de
calidad del activo y su valor de mercado.
A partir de esta premisa, supuesto conocida la función de distribución, F, del
valor de mercado y la función de distribución, G, del índice, el valor de mercado, Vk,
correspondiente al índice Ik se establece mediante la igualdad de las dos funciones de
distribución:
F(Vk ) = G (I k )
(9)
Luego el valor de mercado Vk del activo Ak , será:
Vk = F −1 [G (I k )] = Φ(I k )
(10)
La dificultad del método está en conocer la forma de la función Φ , es decir, la
forma que adopten F y G va a determinar la dificultad que supone encontrar Φ .
Por el contrario, la mayor ventaja de este método de valoración frente a otros
métodos de valoración: sintéticos, analíticos, econométricos, etc… ,una clarísima
exposición de todos estos métodos de valoración puede verse en Caballer (2008), es su
aplicabilidad cuando los datos disponibles son muy escasos e incluso inexistentes, en tal
caso, puede disponerse de las estimaciones subjetivas de un experto sobre los valores
mínimos, máximos y más probables de las características de los activos a valorar, así
como los valores pesimista, optimista y modal del valor de mercado. Con esta mínima
información, el método de valoración de las dos betas puede utilizarse.
Su economía de uso puede apreciarse en las tasaciones masivas de fincas, véase
Lozano (1996), derivadas de una concentración parcelaria o de una expropiación, véase
Ballestero (1971).
4.1. Extensión al caso bivariante
En este apartado se introduce una extensión del método de valoración de las dos
betas al caso bidimensional.
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En muchas ocasiones un tasador profesional necesita determinar el valor de un
activo mediante un índice de calidad bidimensional o multidimensional; cuyas
componentes son a su vez un índice de calidad unidimensional de dicho activo. Para
ello, asumimos el mismo principio básico de valoración utilizado anteriormente, el
activo con mayor índice de calidad tiene mayor valor de mercado, donde el orden entre
dos vectores se determina por el ordenamiento entre las componentes de ambos
vectores. En este contexto y supuesto que los dos índices son de similar importancia
para el valor de mercado, el principio básico de valoración se puede establecer como
sigue:
Sean j y k dos activos, con (i 1 j , i 2 j ) y (i1k , i 2 k ) los valores de sus índices de
calidad y sean vj y vk sus respectivos valores de mercado. Entonces, si
i1 j 2 + i 2 j 2 <
i1k 2 + i 2 k 2 se tiene que vj < vk.
Análogamente al caso unidimensional, el método de las dos betas se basa en la
igualdad entre sus respectivas funciones de distribución, F para el valor de mercado y G
para el índice de calidad bidimensional. Por lo que la valoración de un activo con un
índice de calidad I = (i1d , i 2d ) por el método de valoración de las dos betas es:
F( v d ) = G (i 1d , i 2d ) entonces v d = φ (i1d , i 2 d )
(11)
donde φ = F −1 o G
Hay que tener en cuenta que gran parte de las características de calidad de una
finca rural y de otros activos se pueden reducir a dos componentes principales: la
ubicación y la calidad intrínseca de la finca o activo. La calidad intrínseca, a veces, se
puede medir por la rentabilidad de la propiedad, por su producción, por el alquiler, por
la renta, etc.
Además, estas dos componentes: producción y localización, por lo general no
tienen ninguna relación o esta es muy baja, por lo tanto, es necesario utilizar como
modelo distribuciones bidimensiones cuyas variables no presenten correlación.
Por lo anteriormente expuesto, se ha elegido la distribución rectangulartriangular como distribución bivariante de componentes independientes y de función de
densidad (5) muy sencilla, frente a otras muchas distribuciones bivariantes que
responden a expresiones más complejas y/o sus componentes presentan una alta
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correlación ya que, debido a ello, no serían modelos probabilísticos adecuados para el
caso práctico de valoración seleccionado.
4.2. Caso Práctico
En este trabajo se utiliza la distribución de probabilidad estudiada en los
apartados anteriores como modelo probabilístico para un indicador bidimensional de
calidad para fincas rústicas. El trabajo que se toma como referente es el de Alonso y
Lozano (1985), parcialmente reproducido en el texto de Alonso e Iruretagoyena (1990),
en el que se realiza la valoración de una finca de Valladolid atendiendo a un único
índice de calidad, la producción de la finca.
Tomando de partida los datos contenidos en el mencionado artículo de Alonso y
Lozano (1985). Se pretende determinar el valor de mercado (€ / hectárea) para una finca
cuya producción es de 2.100 kg de cebada por hectárea y que se encuentra a una
distancia de 24 Km. de Valladolid.
Los datos originales para la variable valor de mercado son:
VALOR DE MERCADO
(€/ hectárea)
a = 1.502,53
b = 2.704,55
m = 1.803,04
Tabla 1: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985)
Estos autores suponen que la distribución de la variable valor de mercado es
triangular, luego su función de distribución es la siguiente:
0
⎧
⎪
⎪
2
( x − 1.502,53) 2
⎪ (x − a )
=
⎪ (b − a )(m − a )
361.215,55
⎪
F( x ) = ⎨
⎪
(2.704,55 − x ) 2
(b − x ) 2
= 1−
⎪1 −
1.083.646,65
⎪ (b − a )(b − m)
⎪
⎪
1
⎩
si x ≤ 1.502,53
si 1.502,53 ≤ x ≤ 1.803,04
(12)
si 1.803,04 ≤ x ≤ 2.704,55
si x ≥ 2.704,55
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Como la distribución de probabilidad que se va a utilizar es bidimensional, se
deben de tomar dos índices de calidad en la valoración de la finca, para ello, además de
tomar como índice, al igual que en el citado ejemplo, la producción de la finca; se va a
tomar un segundo índice de calidad, la proximidad a Valladolid, que claramente no
están relacionados uno con el otro y puede presuponerse que su comportamiento es
independiente.
Se considera la proximidad en vez de la distancia para que se cumpla la hipótesis
de relación directamente proporcional entre el índice y el valor de mercado. Esto hace
suponer que el precio de la finca aumenta cuando la distancia a Valladolid es menor o lo
que es lo mismo cuando su proximidad es mayor, algo que resulta obvio. Este índice de
proximidad puede obtenerse fácilmente como el complementario de la distancia a un
valor superior a la mayor distancia presentada por las fincas testigo, en este caso puede
tomarse el valor 70.
En la siguiente tabla aparecen los valores para cada uno de los índices
empleados:
INDICE PROXIMIDAD A VALLADOLID
INDICE PRODUCCIÓN
I1 =70 – d (Km.)
I2 (kg de cebada / hectárea)
Mínimo
a1 = 70 – 65 = 5
a2 = 1.800
Máximo
b1 = 70 – 10 = 60
b2 = 4.000
Moda
m = 2.000
Tabla 2: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985)
Lo primero que se realiza con la información de la finca que se quiere valorar es
determinar el complementario de la distancia para obtener la proximidad a Valladolid,
70 – 24 = 46, entonces se determina que el valor del índice bivariante es:
(x0, y0) = (46 , 2.100)
(13)
Se va a aplicar la distribución rectangular-triangular, esto es, se supone que el
índice de proximidad sigue una distribución rectangular y que el índice de producción
sigue una distribución triangular.
Para determinar en qué región se encuentran los datos de la finca a valorar, hay
que tener en cuenta que:
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x0 ∈ (5 , 60 )
e
y0 = 2.100 es mayor que m = 2.000
Entonces (13) se encuentra en la región T2
A partir de (8) y teniendo en cuenta los valores de la tabla 2 se calcula la función
de distribución en el punto (13), que está en la región T2, y el resultado es 0,133843. La
aplicación del método de las dos betas lleva a utilizar la expresión (9) por ello, se
compara este resultado de la distribución conjunta con el valor de la función de
distribución del valor de mercado en la moda, que es 0,2500065 ≈ 1/4. Al ser menor,
hay que despejar de la primera rama de la función de distribución del valor de mercado,
obteniéndose:
( x − 1.502,53) 2
= 0,133843 luego x = 1.722,41 € /hectárea
361.215,55
Si se compara el valor obtenido con los que se obtienen usando un solo índice de
calidad, véase tabla 3, utilizando la misma distribución de probabilidad (12) como
modelo del valor de mercado y los mismos valores de la tabla 2 para cada uno de los
índices de calidad considerados, se deduce lo siguiente:
1. Los valores de mercado obtenidos cuando se considera como índice de
calidad la producción son ligeramente mayores que el determinado con la
distribución bivariante.
2. El valor de mercado obtenido cuando se considera como índice de calidad la
proximidad a Valladolid es más alto que el determinado con la distribución
bivariante.
El punto 1 se justifica probabilísticamente mediante la conocida propiedad de las
funciones de distribución bivariantes:
⎧ F ( x, y) ≤ F ( x,+∞) = F( x )
∀ ( x, y) ∈ R (X, Y) se tiene que ⎨
⎩F ( x, y) ≤ F (+∞, y) = F( y)
El punto 2 además de justificarse como el anterior, pone en evidencia la
significación del poder explicativo del índice de calidad utilizado.
Método de valoración
Método de las dos Betas
Índice de calidad
Proximidad a Valladolid
Distribución Uniforme
Distribución Triangular
2.179,35 € /hectárea
-
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Producción cebada
1.724,47 € /hectárea
1.757,20 € /hectárea
Tabla 3: Elaboración propia, a partir de los datos utilizados por Alonso y Lozano (1985)
Por todo lo anteriormente expuesto, de momento, no se puede concluir que el
valor de mercado 1.722,41 € /hectárea sea mejor o peor que los otros tres valores ya que
no se dispone de información sobre si se actúa como comprador o vendedor y, más aún,
se desconoce también si se llevó a cabo o no la transacción y el valor final acordado,
que serviría para clarificar que estimación está más próxima a la realidad.
CONCLUSIONES
En este trabajo, en primer lugar, se ha presentado y estudiado una distribución de
probabilidad bivariante que sirve, en una etapa posterior, como modelo para un índice
de calidad bidimensional de componentes no relacionadas.
En segundo lugar, se ha extendido formalmente el método de valoración de las
dos betas al caso bidimensional. Esto constituye un comienzo para abordar en su
generalidad los índices multivariantes.
En tercer lugar, se ha tratado un caso práctico de la literatura especializada
mediante el método de valoración de las dos betas extendido, constatándose que es tan
sencillo de utilizar como en el caso unidimensional. El valor de mercado obtenido por el
método extendido es ligeramente distinto al determinado por el método unidimensional
si se considera como índice de calidad solamente la producción de la finca.
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