Sistemas de numeración posicional y cambios de base Gustavo Ramos Agosto 2011 Sistema de numeración posicional I Se define el sı́mbolo cero (0) para indicar la no existencia de unidades I Se define un conjunto de sḿbolos especı́ficos que se utilizan para representar cualquier número I Cada uno de los sı́mbolos posee un valor que depende de su posición y de un numero entero llamado base Sistema posicional I Se elige un número entero positivo n como base del sistema I Se utilizan n sı́mbolos que representan el 0 y los n − 1 primeros numero naturales {a0 , a1 , . . . , an−1 } I Cada n unidades de orden m representan una unidad de orden m + 1 y se escribe a la izquierda de las unidades del orden m I Cuando no hay unidades de un orden se expresa mediante el sı́mbolo cero (a0 ) en la posición correspondiente. I La unidad de primer orden se representan con el sı́mbolo que denota al número natural 1 (a1 ) I La unidad de orden m (nm−1 ) se expresa como a1 a0 a0 . . . a0 | {z } m−1 Ej 1. Notación decimal (base 10) I Base n = 10 I Sı́mbolos {0, 1, . . . , 9} I Unidad 1 I Unidad de segundo orden 10 Ej 2. Notación binaria (base 2) I Base n = 2 I Sı́mbolos {0, 1} I Unidad 1 I Unidad de segundo orden 10 Notación desarrollada Todo número real x puede representarse de manera única en base n por el polinomio x= ∞ X xi n i i=−∞ donde xi es un śimbolo del sistema de representación. Ejemplo 321.9810 321.98 = 3 × 102 + 2 × 101 + 1 × 100 + 9 × 10−1 + 8 × 10−2 Ejemplo 11.012 11.01 = 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2 Cambio de Base 10 a 2 Dado un número en base 10 para pasar a base 2 I Para la parte entera: Se realizan divisiones sucesivas entre la base 2 hasta encontrar cociente cero y se toman los residuos como los dı́gitos del número en base 2. Comenzando desde la última división a la primera se escribe el número en base 2 de izquierda a derecha. I Para la parte decimal: Se realizan multiplicaciones sucesivas por la base 2 y se toman los enteros de cada multiplicación como los dı́gitos del número en base 2. Comenzando desde la primer multiplicación hasta la última se escribe de derecha a izquierda. Convertir 7.610 a base 2 Parte entera: 7÷2=3×2+1 3÷2=1×2+1 1÷2=0×2+1 Parte decimal: 0.6 × 2 = 1.2 0.2 × 2 = 0.4 0.4 × 2 = 0.8 0.8 × 2 = 1.6 0.6 × 2 = 1.2 .. . Se tiene entonces que 7.610 = 111.10011 . . .2 Cambio de Base 2 a 10 Escribir el número en base 2 en notación desarrollada expresando los dı́gitos en base 10 y realizar las operaciones. Convertir 101.12 a base 10 101.12 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2−1 = 4 + 0 + 1 + 0.5 = 5.5 Ejercicio: convertir 0.110 a base 2 http://sistemas.fciencias.unam.mx/ gcontreras/joomla15/