LA COMBINACION OPTIMA DE INSUMOS

APUNTES DE ECONOMÍA AGRÍCOLA. DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA AGRÍCOLA. DIVISIÓN DE
CIENCIAS SOCIOECONÓMICAS. UAAAN. SALTILLO COAHUILA. MÉX. DIC – 2003.
LA COMBINACION OPTIMA DE INSUMOS
( Relación Insumo-Insumo )
Hemos estudiado el caso en que la decisión de producción dependería
de la aplicación de un sólo insumo pero muchos problemas de producción
implican la variación de dos o más insumos variables. Esto plantea al
productor el problema de seleccionar una combinación de insumos que le
permita maximizar sus beneficios.
El caso más simple de este tipo es aquel en el que sólo dos insumos
son variables y el resto fijos
Y = ƒ (X1, X2, / X3 . . . Xn)
Y = Producción de maíz Ton/Ha.
X1= Cantidad de nitrógeno Lits/Ha
X2= Densidad de plantas miles/Ha
X3= 1 hectárea
Xe . . . Xn = Clima, tecnología, etc..
Cuando se pueden variar dos o más insumos, un mismo nivel de
producción puede obtenerse de varias formas:
Ejemplo:
Respuesta del rendimiento de maíz a la aplicación de nitrógeno y al número
de plantas por ha. (Hipotético).
Kgs.N/ha
0
50
100
150
200
PLANTAS POR HECTÁREA (MILES)
9
12
15
18
50.6
54.2
53.5
48.5
78.7
85.9
88.5
87.5
94.4
105.3
111.9
114.2
97.8
112.4
122.6
128.6
88.9
107.1
121.0
130.6
Al analizar hileras Y = f (D)
21
39.2
81.9
112.2
150.3
135.9
Al
analizar
columnas
Y = f(N)
Dado que distintas formas de obtener el mismo nivel de producción el
problema es determinar cuál es la forma más rentable de lograrlo. (Se debe
decidir qué combinación de insumo usar).
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Cada combinación de insumos produce una cantidad única de
producto:
Nitrógeno (kgs.)
ISOCUANTA (1)
200
150
9
15
miles de plantas
UNA FUNCION DE PRODUCCION HIPOTETICA PARA DOS INSUMOS
VARIABLES
La tabla representa la cantidad de producto que se puede obtener
como resultado de cada combinación de insumos X1 y X2. Todos estos
niveles de producción fueron generados a partir de la función de producción
siguiente:
Y = 18X1 – X21 + 14X2 – X22
La producción para cualquier combinación de insumos puede
calcularse mediante la sustitución de los valores seleccionados de X1 y X2 en
la función de producción.
La producción alcanza su nivel máximo cuando el producto marginal para
cada insumo es igual a cero:
dy/dX1 = 18 - 2X1 = 0
dy/dX2 = 14 - 2X2 = 0
X1 = 9 y X2 = 7
Cuando X1 = 9 y X2 = 7, la producción es máxima ( Y = 130 ).
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Muestra las diferentes combinaciones de insumo que
generan una misma cantidad de producto.
(Los insumos se pueden combinar de distintas maneras
para obtener el mismo nivel de producción)
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Para niveles de aplicación de insumos mayores ( X1 > 9; X2 > 7 ) la
producción disminuye.
La posibilidad de sustituir un insumo por otro (relación insumo insumo), permite obtener un nivel dado de producción con distintas
combinaciones de insumos (isocuanta)
por ejemplo, 105 unidades de producto pueden obtenerse con las siguientes
combinaciones de insumos: sea la siguiente tabla de datos. (2)
X1
X2
9
2
6
3
5
4
4
7
5
10
ISOCUANTA: Curva de isoproducto
o igual producción
X1
X2
ECUACION DE LA ISOCUANTA
Resolviendo la función de producción (1) para X1 mediante la fórmula
cuadrática:
X21 - 18X1 + (Y + X22 - 14X2) = 0
como se tiene una estructura igual a aX2 + bx + c = 0, se obtiene la solución
por medio de la fórmula general (3).
X1 = 18 √[ 324 + 56X2 - 4X22 - 4Y] / 2
= 18 - √[ 81 - 14X2 - X22 – Y] / 2
Sacando 4 como factor común en la raíz y dividiendo entre 2
obtenemos la ecuación de la isocuanta:
X1 = 9 - ( 81 + 14X2 - X22 - Y )½
Por ejemplo:
si X2 = 7 y Y = 105, X1 = 04, si X2 = 4; Y = 105 X1 = 5.
2
3
A partir de los datos de la tabla se pueden construir
otras isocuantas.
X = -b ±¹b2 - 4ac / 2a
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TASA MARGINAL DE SUSTITUCION TECNICA
La tasa marginal de sustitución técnica (TMgST) se define como la
cantidad en que debe disminuir un insumo por unidad de incremento del
otro para mantener constante el nivel de producción. La TMgST está dada
por la pendiente de la isocuanta y varía para cada punto de la misma.
TMgSTx2 por x1 = AX1/AX2 = 6 - 9 / 3 - 2 = - 3
Forma de calcular la tasa marginal se sustitución técnica exacta: la
función de producción es: Y = ƒ(X1, X2), sacando el diferencial total, se tiene
dy = dy/dX1 dX1 + dy/dX2 dX2
recordando que dy/dX1 = PMg X1
dy/dX2 = PMg X2
En una isocuanta al variar la combinación de insumos dy = 0
PMg X1 dX1 + PMg X2 dX2 = 0
dX1 = PMg X2 / PMg X1 dX2
dX1 / dX2 = PMg X2 / PMg X1 = TMgST (x2 por x1).
RELACIONES ENTRE INSUMOS
Los insumos son técnicamente sustituibles cuando un incremento en
el uso de un insumo permite disminuir el uso del otro sin variar el nivel de
producción.
Las maneras en que los insumos pueden combinarse para obtener un
mismo nivel de producción se dividen en tres grupos:
1). Insumos que se combinan en proporciones fijas ( insumos
complementarios ).
X1
0
0
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0
X2
Existe sólo una manera de combinar los insumos para obtener un
nivel de producción ( 2H + O = H2O ; 4H + 2O = 2H2O; ....etc.).
Es muy fácil encontrar casos de proporciones fijas en la agricultura (1
tractor por 1 arado).
No existe ningún problema para determinar la combinación óptima de
insumo, el único problema es determinar cuánto producir.
2). Tasa de sustitución constante. (Insumos perfectamente sustituibles).
Ocurre cuando la cantidad de un insumo que es reemplazada por una
unidad del otro no varía con la cantidad del insumo que se agrega.
X1
-∆X1
∆X2
X2
La gráfica muestra que TMgST = - AX1 / AX2 = K (4)
4
La TMgS de X2 por X1 es constante, lo cual implica que la
isocuanta es una línea recta. (un insumo perfectamente
sustituible).
En una ración alimenticia se sabe más o menos con exactitud cuantos Ks. de maíz deben usarse para sustituir a un
Kg. de sorgo sin variar el valor alimenticio de la ración. Otro ejemplo es la sustitución de un trabajador cali
ficado por uno no calificado ( siempre se sabe a cuantos
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3). Insumo con tasa de sustitución variable.
Para mantener constante la producción se requieren cantidades
mayores de un insumo para sustituir una cantidad del otro.(Cada vez es más
difícil sustituir un insumo por otro). La TMgST decrece a lo largo de la
isocuanta. (Una vaca producirá más o menos la misma cantidad de leche con
una pequeña adición de granos y una disminución relativa mente grande de
heno). Ver la siguiente gráfica.
X1
-∆X1
∆X2
X2
LINEA DE ISOCOSTOS
Cada combinación tiene costo asociado con ella. El costo es variable
porque los insumos son considerados variables. Si:
X1 = Cantidad empleada del insumo X1
X2 = Cantidad empleada del insumo X2
PX1 = Precio unitario del insumo X1
PX2 = Precio unitario del insumo X2 (5)
CVT = PX1X1 + PX2X2 dados los precios de los insumos:
5
trabajadores no calificados equivale uno calificado).
PX1 , PX2 son conocidos por el productor.
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PX1 = 2
y
PX2 = 3
El costo variable es función de las cantidades empleadas de insumos:
CVT = 2X1 + 3X2
Sí CVT = 18 , CVT = 24 se tiene la siguiente gráfica.
X1
12
9
C = 18
C = 24
6
8
La ecuación de isocosto puede determinarse resolviendo la ecuación
de CVT para X1
PX1X1 = CVT - PX2X2
X1 = CVT / PX1 - PX2/PX1 * PX2
X1 = 18/2 - 3/2 * X2
X1 = 9 - 3/2 X2
PX2/PX1 es la pendiente de la isocosta; si varía el precio de los insumos varía
la pendiente de la isocosto.
COMBINACION OPTIMA DE INSUMOS (COMBINACION DE MINIMO COSTO)
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Generalmente el problema del productor es determinar como obtener
cierto nivel de producción a un costo mínimo:
CT = PX1X1 + PX2X2 + b ; donde b es CFT
Una vez seleccionado el nivel de producción, el problema consiste en
encontrar la combinación de insumos de mínimo costo.
Por lo tanto, el problema consiste en minimizar el CT sujeto a la
restricción de obtener una producción fija; utilizando la técnica del
multiplicador de Lagrange
CT = PX1X1 + PX2X2 - L [ Y - ƒ(X1,X2 ]
Derivar con respecto a X1 y X2
dCT/dX1 = PX1 - L dy/dX1 = 0
PX1 = L PMg X1
dCT/dX1 = PX2 - L dy/dX2 = 0
PX2 = L PMg X2
L = PX1/PMgX1 = PX2/PMgX2
por lo que TMgST(x, y) = dX1/dX2 = PMgX2 / PMgX1
PMgX2/PMgX1 = PX2/PMgX1
por lo que TMgST = PX2/PX1, PMgX1/PX1 = PMgX2/PX2. El último peso
invertido debe generar la misma producción si se invierte X1 que si se
invierte en X2.
La producción de mínimo costo se obtiene cuando la TMgST es igual a
la relación de precios de los insumos. Gráficamente esto significa que una
línea de isocosto debe ser tangente a una isocuanta.
"La pendiente de la isocuanta es igual a la pendiente de la isocosta".
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TMgST = dX1 / dX2 indica cómo se puede sustituir técnicamente
los insumos.
PX2 / PX1
india la tasa a la que pueden sustituirse
los insumos en el mercado.
Entonces la igualdad dX1 / dX2 = PX2 / PX1 indica que la combinación
de insumos que genera una determinada producción al mínimo costo es
aquella en que se iguala la tasa a la que los insumos se pueden sustituir en
el mercado, o también dX2 PX2 = - dX1 PX1 indica que el aumento en el costo debido a la
disminución de X1.
Entonces, si se encuentra que:
[ - PX1 dX1 > PX2 dX2 ] se deben hacer los siguientes ajustes X2 se
incrementa, X1 disminuye, por lo que el CT disminuye también.
En cambio si se encuentra que:
[ PX1 dX1 < - PX2 dX2 ] se deben hacer los diferentes ajustes
X1 se incrementa, X2 disminuye, por lo que el CT disminuye también.
Ejemplo:
Nuestra función de producción es Y = 18X1 - X21 + 14X2 - X22
PMg X1 = 18 - 2X1
PMg X2 = 14 - 2X2
entonces la
TMgST = dX1/dX2 = PMg X2 / PMg X1 y esto es igual a:
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14 - 2X2 / 18 - 2X1, por lo que la TMgST = 7 - X2 / 9 - X1
Sí PX1 = 2 y PX2 3, la combinación de mínimo casto se obtiene cuando
TMgST = PX2 / PX1 que es, 7 - X2 / 9 - X1 = 3/2
despejando X2:
7 - X2 = 3 (9 - X1)
- X2 = 3X1 - 27 + 7 / 2
X2 = 3X1 - 27 + 14 / 2
X2 = 3X1 - 27 + 14 / 2
X2 = 3X1 - 13 / 2
Dados los valores de X1 se pueden encontrar los niveles de X2 que hacen
mínimo el costo dado cierto nivel de producción.
Substituyendo X2 en la función de producción se tiene:
Y = 18 X1 - X21 + 14 (3X1 - 13) / 2 - (3X1 - 13)2/2
Y = 18 X1 X21 + (42X1 - 182)/2 - (9X21 - 78X1 + 169)/4
Y = 72X1 - 4X21 + 84X21 - 364 - 9X21 - 78X1 169 / 4
Y = 234X1 - 13X21 - 533 / 4
Y = 58.5X1 - 3.25X21 - 133.25
Si el nivel deseado de producción es Y = 105 entonces
105 = 58.5X1 - 3.25X21 - 133.25 resolviendo para X1 dado que Y = 105, se tiene
50.5X1 - 3.25X21 - 133.25 - 105 = 0, dividiendo por 3.25, se tiene X21 - 18X1 +
73.30 = 0, y resolviendo por la fórmula general se tiene que:
X1 = 18 ± ¹ 324 - 4(73.30) / 2, por lo que queda X1 = 6.2 y X2 = 3X1 - 13 / 2 = 3 (6.2) - 13 / 2 = 2.18.
Sustituyendo estos valores en la condición de minimización de costos
se tiene TMgST = PX2 / PX1, la cual puede expresarse también como:
PMgX1 / PX1 = PMgX2 / PX2 entonces tenemos
18 - 2 (6.2) / 2 = 14 - 2 (2.8) / 3 = 2.8
El último peso gastado en insumos debe producir 2.8 unidades de producto.
Es decir que el producto marginal del último peso gastado en insumos debe
ser igual para los dos insumos.
LA RUTA DE EXPANSION
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La ruta de expansión es una línea que representa las combinaciones
de insumo de mínimo costo para todos los niveles de producción. Lo cual se
describe en la siguiente gráfica.
A, B, C = Combinaciones de insumos de mínimo costo para distintos niveles
de productos. ( puntos donde la TMgST es igual)
ECUACION DE LA RUTA DE EXPANSION
La ecuación de la ruta de expansión se obtiene de la condición de
minimización de costos PMgX2/PMgX1=PX2/ PX1, la cual se resuelve para X1
dada la relación de precios de los insumos, PX1 = 2 ; PX2 = 3 por lo que se
tiene:
14 - 2X2 / 18 - 2X1 = PX2 / PX1 , y entonces 7 - X2 / 9 - X1 = PX2 / PX1 lo que
implica que (7 - X2) PX1 = (9 - X1) PX2 por lo que se tiene
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X1 = 9 - (PX1 / PX2) (7-X2), y
X2 = 9 - (2/3) (7 - X2)
X1 = 13/3 + 2/3 X2 que es la ecuación de la
ruta de expansión.
La ecuación de la ruta de expansión cambia cuando varía la relación
de precios de los insumos.
X1 = 9/7 X2 cuando PX2 /PX1 = 9/7
Mediante la ecuación de la ruta de expansión y la función de
producción puede encontrarse la combinación de insumos de mínimo costo
para cada nivel de producción. La cuestión es ahora: ¿Cuál es el nivel de
producción de máximo beneficio? sólo uno de los puntos de la ruta de
expansión es de máximo beneficio.
MAXIMIZACION DE BENEFICIOS
Como se vio en el Cap.III, se tiene que
BT = IT - CT
BT = [ Py Y] – [ Px1 X1 + Px2 X2 + CFT]
Maximizar BT con respecto a los insumos variables se tiene que
dBT/dX1 = Py dy/dX1 - PX1 = 0
VPMgX1 = PX1
dBT/ dX2 = Py dy/dX2 - PX2 = 0
VPMgX2 = PX2
El criterio de maximización requiere que el beneficio marginal para cada
insumo sea igual a su costo. Esto debe cumplirse simultáneamente para los
dos insumos:
VPMgX1/PX1 = VPMgX2/PX2
VPMgX1 = PX1, lo que es lo mismo VPMgX1/PX1
VPMgX2 = PX2, lo que es lo mismo VPMgX2/PX2
Sabemos que:
PMgX1 = 18 - 2X1
PMgX2 = 14 - 2X2
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Sí Py = 0.65
VPMgX1 = (18 - 2X1) 0.65
VPMgX2 = (14 - 2X2) 0.65
Si el precio de los insumos es PX1 = 9 y PX2 = 7 las condiciones de
maximización son:
VPMgX1 = PX1
(18 - 2X1) 0.65 = 9
VPMgX2 = PX2
(14 - 2X2) 0.65 = 7
resolviendo para X1 y X2 se tiene:
X1 = 2.08, y X2 = 1.6, al sustituir estos valores en la función de producción de
máximo beneficio (Y=53) cuando -PX1 = 9; PX2 = 7 y Py = 0.65.
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GENERALIZACION DE LOS CRITERIOS DE OPTIMIZACION PARA MAS DE
DOS INSUMOS VARIABLES
Minimización de costos:
PMgX1/PX1 = PMgX2/PX2 = . . . . . . PMgXn/PXn
La razón entre el PMg y el precio debe ser igual para todos los
insumos. Si un insumo (X) cuesta dos veces más que otro (Y), una unidad
adicional de (X) deberá producir dos veces más producto que una de (Y).
MAXIMIZACION DE BENEFICIOS
VPMgX1/PX1 = VPMgX2/PX2 = . . . . . VPMgXn/PXn
La relación entre los beneficios marginales generados por cada
insumo y el costo deben ser iguales.
OTRO METODO PARA DETERMINAR LA PRODUCCION DE MAXIMO
BENEFICIO CON DOS INSUMOS VARIABLES
Como se sabe que
BT = [ IT] – [CVT + CFT]
BT = [Py Y] - CV(Y)
dBT/dy = Py - dCV/dy
= Py - CMg = 0
IMg = CMg
Requerimos expresar la función de beneficio exclusivamente como
función de la producción por lo tanto, se requiere encontrar la función de
costos a partir de la función de producción. Para ello se procede de la
siguiente manera.
1.- Expresar la ecuación de producción como función de una sola variable,
esto se logra sustituyendo la ecuación de la ruta de expansión en la función
de producción.
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Y = 18X1 - X21 + 14X2 - X22 teniendo que PX2 = 7 y PX1 = 9 en donde se tiene
despejando X1 = 9/7 X2, por lo que sustituyendo se tiene Y = 18 (9/7X2) (9/7X2)2 + 14X2 - X22,
Y = 162/7X2 - 81/49X22 + 14X2 - X22
Y = 162X2 - 81/49X22 + 98/7 X2 - 49/49X22
Y = 260/7 X2 130/49 X22.
2.- Sustituir la ruta de expansión en la ecuación de costo variable total, para
desde esta manera restringirlo a combinaciones de insumos de mínimo
costo.
CVT = PX1X1 + PX2X2
CVT = 9X1 + 7X2 Ecuación de costo
CVT = 9 (9/7X2) + 7X2 Cuando X1 9/7X2
CVT = 81/7X2 + 7X2
CVT = 130/7 X2
3.- Resolviendo la ecuación de producción mediante la fórmula cuadrática
para encontrar su inversa para valores enteros entre 0 y 130 unidades de
producto:
260/7X2 - 130/49X22 - Y = 0
130/49X22 - 260/7X2 + Y = 0
X2 = 260/7 ± √ (260/7)2 - 4 (130/49) Y / 2 (130/49)
X2 = 260/7 ± √ (260/7)2 - 520/49 Y / 2 (130/49)
X2 = 7 - 49/260 ± √ 260/7 - 520/49 Y
El costo variable total a lo largo de la ruta de expansión es: CVT 130 ( 1 7/260 ± √ (260/7)2 - 520/49 Y )
CVT = 130 [ 1- 7/260 [ (260/7)2 – ( 520/49 Y)]1/2
CMg = dCVT/dy = ½ (520/49) (-7 * 130 / 260) { (260/7)2 - 520/49 Y }-½
CMg = 130/7 [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
La condición de equilibrio es:
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IMg = CMg
Py = CMg
Sí Py = 0.65
0.65 = 130/7 [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
0.65 (7/130) = [ (260/7)2 - 520/49 Y ]-½
0.65 (7/130) = ¹ (260/7)2 - 520/49 Y
¹ (260/49)2 - 520/49 Y = ( 1/0.65 * 130/7)
520/49 Y = (260/7)2 - (130/0.65*7)2
520/49 Y = 563.28
Y = (563.28 * 49) / 520
Y = 53.08
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