Circuito serie RL

4.4 Circuito serie RL
En una conexión serie entre dos elementos pasivos, resistencia e inductancia (fig. 2.21), la
intensidad de corriente i(t), es la misma en los dos elementos.
Si la corriente es:
i (t ) = I m sen (ωt + α )
La tensión en la resistencia será:
v R (t ) = R ⋅ I m sen (ωt + α ) = V Rm sen (ωt + α )
Y en la inductancia:
v L (t ) = ωLI m sen ωt + α + π = V Lm sen ωt + α + π
2
2
(
)
(
i (t )
vR (t )
R
vL (t )
L
v (t )
)
La tensión total es la suma de las tensiones en los dos elementos pasivos:
(
v (t ) = v R (t ) + v L (t ) = V Rm sen (ωt + α ) + V Lm sen ωt + α + π
2
)
Fig. 2.21
Las tres tensiones y la corriente se muestran en la fig 2.22.
V
VR
ϕ
VL
α
Fig. 2.22
I
Fig. 2.23
La tensión v(t) es la suma de dos señales senoidales de la misma frecuencia, por tanto v(t) también será una señal senoidal de esa
frecuencia, caracterizada por su valor máximo y su ángulo de fase. El cálculo de estos valores se simplifica si se utiliza la notación
fasorial. Los fasores de la intensidad y las tensiones en la resistencia y bobina son:
I =Iα
V R = VR α = RI α
V L = VL α + 90º = ωLI α + 90º
El fasor de la tensión v(t), es la suma de los fasores de las tensiones en la resistencia y en la inductancia, como se muestra en la fig 2.23.
V = V R +V L
(1)
Para calcular el valor del fasor V , vamos a utilizar la impedancia del circuito. Las tensiones las podemos expresar como:
V = I ⋅Z
(2)
V R = I ⋅Z R
V L = I ⋅Z L
Siendo Z , la impedancia que presenta la asociación serie RL. Sustituyendo en (1):
I ⋅ Z = I ⋅ Z R + I ⋅ Z L = I ⋅ (Z R + Z L )
Por lo que la impedancia del circuito es igual a la suma de las impedancias conectadas en serie:
Z =ZR +ZL
Sustituyendo los valores de las impedancias, tenemos:
Z = R 0º + X L 90º = R + jX L = R 2 + X L2 arctg X L R
y utilizando la ecuación (2), tenemos el fasor de V :
V = I ⋅ Z = I α ⋅ R 2 + X L2 arctg X L R = I R 2 + X L2 α + arctg X L R
La tensión v(t) será por tanto:
v(t ) = I R 2 + X L2 sen(ωt + α + arctg X L R )
Si se observa el diagrama fasorial de la fig. 2.23, podemos comprobar que los fasores V , V R y V L , forman un triángulo rectángulo,
donde V es la hipotenusa, V R el cateto situado sobre el fasor I ( V R e I están en fase) y V L el cateto que forma 90º con el fasor I
( V L adelanta a I ). Este triángulo lo podemos representar como se muestra en la fig. 2.24.
Dividiendo las tres tensiones por I , resulta el triángulo de la fig. 2.25, que recibe el nombre de triángulo de impedancias del circuito.
En el cual la hipotenusa representa la impedancia del circuito, el cateto horizontal la resistencia y el cateto vertical la reactancia
inductiva.
V = I ⋅Z
Z = R + jX L = Z ϕ
Z= R +X
2
ϕ = arctg
XL
R
ϕ
2
l
VR = I ⋅ R
0º < ϕ < 90º
Fig. 2.24
VL = I ⋅ X L
Z
ϕ
XL
R
Fig. 2.25
El ángulo ϕ en este tipo de impedancias estará comprendido entre 0º y +90º. Es importante hacer notar que el ángulo ϕ de la
impedancia coincide con el desfase entre la tensión y la intensidad, de modo que V adelanta a I .